CC BY
37
УДК 69.4, 539.376, 539.4.015
Эффекты пластической дисторсии в зоне кривизны кристаллической решетки в вершине трещины
В.Е. Панин12, Д.Д. Монсеенко1, П.В. Максимов1, С.В. Панин12
1 Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск, 634055, Россия 2 Национальный исследовательский Томский политехнический университет, Томск, 634050, Россия
Разработан дискретно-континуальный метод возбудимых клеточных автоматов для моделирования напряженно-деформированного состояния в вершинах трещин и надрезах с учетом кривизны кристаллической решетки и эффектов пластической дисторсии ионов из узлов решетки в междоузлия ее кривизны. Показано, что данный нелинейный подход определяет тип трещины и характер разрушения, предсказывает возможность развития на фрактограммах динамических ротаций и структурной турбулентности, позволяет описывать нелинейные волновые процессы структурных трансформаций в полосах локализованной деформации, где возникает микропористость и развиваются трещины продольного сдвига.
Ключевые слова: разрушение, трещины, сингулярность, кривизна решетки, пластическая дисторсия, динамические ротации, структурная турбулентность
Effects of plastic distortion in the lattice curvature zone of a crack tip
V.E. Panin12, D.D. Moiseenko1, P.V. Maksimov1, and S.V. Panin1-2
1 Institute of Strength Physics and Materials Science SB RAS, Tomsk, 634055, Russia 2 National Research Tomsk Polytechnic University, Tomsk, 634050, Russia
The paper proposes a discrete-continual method of excitable cellular automata for simulating the stress-strain state at crack tips and in notches with account of the effects of lattice curvature and plastic distortion of ions from lattice sites to interstices. The proposed nonlinear method allows one to determine the crack type and the character of fracture, to predict the possibility of dynamic rotations and structural turbulence, and to describe the processes of nonlinear wave structural transformations in strain localization bands involved in microporosity and tearing mode cracking.
Keywords: fracture, cracks, singularity, lattice curvature, plastic distortion, dynamic rotations, structural turbulence
1. Введение
Очень важная проблема в континуальной механике разрушения связана с эффектом сингулярности краевых задач в особых точках среды, который не позволяет рассчитывать напряжения в вершине трещины на основе аппарата линейной механики [1]. Как показано в работах [2, 3], возникновение кривизны кристаллической решетки в вершине трещины нарушает метрику пространства и требует построения корректной сингулярной краевой задачи на основе нелинейной механики разрушения. В настоящей работе для нелинейного описания напряженно-деформированного состояния в вершине трещины предлагается использовать модифицированный дискретно-континуальный метод возбудимых клеточных автоматов, который позволяет учитывать кри-
визну кристаллической решетки в пластической деформации и разрушении твердых тел [4-8]. Данный метод учитывает эффект пластической дисторсии в зонах кривизны кристаллической решетки, позволяет описать напряженно-деформированное состояние в вершинах трещин различного типа (нормального отрыва, поперечного и продольного сдвига) и дать объяснение многих видов разрушения твердых тел.
В работе [9] была предложена концепция о возможности развития эффекта пластической дисторсии в зоне кривизны кристаллической решетки в вершине трещины. Это высокоэффективный механизм релаксации напряжений в вершине трещины, который исключает в механике разрушения эффект сингулярности в особых точках среды. Данный механизм позволяет развить на
© Панин В.Е., Монсеенко Д.Д., Максимов П.В., Панин C.B., 2017
поверхности разрушения структурную турбулентность, которая обусловливает высокую вязкость разрушения [2, 3, 10].
Моделированию нелинейных структурных трансформаций в вершине трещин различного типа и выявлению условий развития структурной турбулентности при вязком разрушении металлических образцов с надрезом посвящена настоящая работа.
2. Алгоритмы моделирования переноса фронта неупругой деформации на базе возбудимых клеточных автоматов
Предлагается математическая модель деформации нагруженного твердого тела, в основе которой лежит положение о том, что процесс деформации, по сути, есть следствие перераспределения энергии между различными структурными элементами твердого тела и трансформации различных ее частей друг в друга.
Клеточные автоматы можно классифицировать как бистабильные, возбудимые, автоколебательные. Элемент бистабильного автомата может находиться в одном из двух возможных состояний. Элемент возбудимого автомата способен совершать последовательную цепочку переключений состояний под влиянием внешнего воздействия. Автоколебательные элементы также обладают набором возможных состояний и пробегают их в отсутствие влияния извне. Исходя из особенностей моделируемых процессов, предполагающих распределение тепловой и механической энергии в материале, в качестве инструмента моделирования был выбран возбудимый клеточный автомат, активация которого происходит за счет высокоскоростного потока механической энергии.
Каждый элемент автомата характеризуется определенным набором соседей на первой координационной сфере, а также числовыми параметрами, соответствующими материалу, содержащемуся в моделируемом объеме пространства, такими как модуль упругости, плотность, модуль сдвига, плотность дислокаций, удельная теплопроводность, удельная теплоемкость, коэффициент температурного расширения и др. При взаимодействии с соседними элементами могут меняться тепловая и механическая составляющие энергии, а значит, и связанные с ними физические параметры (температура, энтропия, напряжение, деформация, плотность и т.д.).
Моделируется распределение механической энергии в образце, подвергающемся внешнему механическому воздействию (растяжению, сжатию и др.). Моделируемый образец представляется в виде клеточного автомата, в составе которого имеется сеть из элементов. Данная сеть разделена на кластеры, каждый из которых отвечает за отдельное зерно, обладающее собственным вектором ориентации кристаллической решетки ф, п), координатами которого являются углы Эйлера ф, п.
Входными параметрами модели являются начальные значения гидростатического давления р, плотности р и температуры Т каждого элемента, т.е. множество {р0, р0, Т°, 0 < I < I}, где I — общее число элементов, верхний индекс отвечает за номер временного шага п. Начальная механическая энергия элемента с индексом i вычисляется следующим образом:
Е0 = р0 Лс, (1)
где Лс — объем элемента.
Значение механической энергии элемента с индексом i на п-м временном шаге Е" зависит от величины его энергии на (п - 1)-м временном шаге Ег"-1 и суммарного притока энергии со стороны своих ближайших соседей ДЕг", т.е. элементов, расположенных на его первой координационной сфере, и вычисляется следующим образом:
Е" = К"-1 +ДЕП, ДЕП = Е1 ДЕП. (2)
к=о
В данном случае ДЕ"к — изменение механической энергии г'-го элемента в результате взаимодействия с к-м элементом на первой координационной сфере (0 < к < К, K — число элементов на первой координационной сфере) на п-м шаге по времени, которое рассчитывается следующим образом.
1. Вычисляется напряжение с;П-1 на границе '-го элемента и его к-го соседа на (п - 1)-м шаге по времени как разница гидростатических давлений, действующих со стороны каждого элемента из рассматриваемой пары:
_И-1 П-1 П-1
Ск = Рк - Р1 . (3)
2. По формуле Торнбулла рассчитывается скорость границы г^к под действием напряжения с;"-1:
VI =-К* сЗТ1- (4)
Здесь — подвижность границы между г'-м элементом и его к-м соседом:
*ik = X
о к
/V-! +П" -1
Лг + Лк
е-3;к/(kTk )
(5)
ч N+Щ
В данном случае «0Л — максимальное значение подвижности, соответствующее случаю, когда энергия активации границы между элементами равна нулю, а сами элементы не содержат в себе дефектов кристаллической решетки. Эта величина зависит исключительно от вида материала, содержащегося в каждом из этих элементов:
«о* = С1 (¥Л) ^-У )7(5Д), (6)
где У, Ук — значения модуля упругости г'-го элемента и его к-го соседа; с — эффективная скорость отклика среды на внешнее механическое воздействие; кв — постоянная Больцмана;
Тк = (Т + Тк )/2, (7)
где Т, Тк — величины температуры г'-го элемента и его к-го соседа; п"-1, п"-1 — количество дефектов, содер-
Ориентация
кристаллической
решетки
Элемент
клеточного
автомата
Ядро атома
Свободный электрон — Граница зерна
Ориентация
• © *Л
кристаллической решетки
Л * ./©У^ГЛ-а
. , I Ядро атома
п . „ Свободный электрон
'.тШ...
. Область кривизны
Граница зерна
■ Поток механической энергии
s* ' * • m* *Ш/
V©«•Y• у
Рис. 1. Схематическое изображение зерна с кристаллической решеткой (а) и соседних зерен с разными ориентациями решетки (б)
жащихся в г-м элементе и его ^м соседе; N1, N1 — число атомов, содержащихся в г-м элементе и его ^м соседе, причем
N1 = ^ р)Лс/цто1) , (8)
где р) — плотность вещества в j-м элементе на и-м шаге; цто1) — молярная масса материала, содержащегося в j-м элементе; Лс — объем элемента; ИА — число Авогадро; — энергия активации границы между г-м элементом и его ^м соседом:
3* И
Y HAGB
А(в,-, 8k )
(
HAGB
1 - ln
А(в,-, 8k )
Л
А(в,-, вк ) > 0,
(9)
HAGB
[0, А(0г-, 0к) = 0.
Здесь у ^ст — максимальная энергия границы, соответствующая максимальному углу разориентации кристаллической решетки 9^^; А(0г-, 0к) — функция, определяющая величину угла разориентации решеток зерен, содержащих г-й элемент и его ^го соседа, 0 <А(0,-, 0к ) <9нAGB.
Функция А(0г-, 0к) должна быть задана таким образом, чтобы принимать значение 0 при совпадающих векторах ориентации зерен г-го (0г- (V,, ф,, п,)) и ^го (0к (Vк, фк, Пк)) элементов и достигать максимального значения при максимально возможной разнице их координат, т.е. соответствующих углов Эйлера. В рамках предлагаемого метода данная функция определяется следующим образом:
А(0,-, 0к) =4(V,- -Vк)2 + (Ф,- -Фк)2 + (П,- -Пк)2, (10)
при этом значения углов Эйлера для каждого зерна (V, Ф, п) принадлежат промежутку [0; 9^^].
Иллюстрация разориентации кристаллических решеток между зернами приведена на рис. 1. На рис. 2 приведена схема тройного стыка зерен в моделируемой поликристаллической структуре.
Такое определение подвижности К позволяет сделать вывод о том, что подвижность границы есть величина, обратная удельному (по объему) импульсу силы реакции материала, содержащегося в соседнем элементе.
Далее вычисляются объемная доля вещества АР^-, переместившегося в соседний элемент, и изменение механической энергии г-го элемента АЕ"к в результате взаимодействия со своим ^м соседом:
АЛПк/Лс =Ар£ = ^АтДс, (11)
АЕ-к =АР-к £4- (12)
Здесь Ат — величина временного шага; 1с — размер элемента; Лс — объем элемента.
Затем вычисляются полное относительное изменение объема АРг" и изменение механической энергии АЕ- г-го элемента в результате взаимодействия со всеми своими ближайшими соседними элементами:
АР" = АЛ-/Лс = £ АЛг"к/Лс = £ Ар-к, (13)
к=1 к=1
АЕ- =£ АЕЦ. (14)
к=1
В данном случае АРг" > 0, если количество вещества в г-м элементе уменьшилось по сравнению с предыдущим временным шагом, в противном случае АРг" < 0. Значения относительного объема материала в" и полной механической энергии Е- г-го элемента на и-м временном шаге вычисляются следующим образом:
Поликристаллический образец
Угол разориентации
Ориентация кристаллической решетки
Рис. 2. Схема тройного стыка зерен в поликристаллической структуре
en= Р?-1+лр?
(15)
Е? = Е?~1 + ДЕ? -^п(ДЕ?)тт([МДя,|ДЕ?|), (16) где [ДЕД" — диссипационный член энергии микровращений элементов клеточного автомата, определяемый согласно следующей формуле:
[ДЕД? = к^О |Ду?|2 пг^/2. (17)
Здесь Ду? — приращение векторного угла разворота активного элемента; О1 — модуль сдвига; — коэффициент диссипации (может быть измерен экспериментально); г — радиус активного элемента.
Зная значение плотности рг"-1 и изменение объема ДЛг", можно вычислить изменение массы Дц? и ее новое значение Ц? для г'-го элемента:
дц? = -р?-1Л? ^р?-1^?, (18)
Ц? = Ц?-1 + дц?. (19)
Новые значения плотности материала рг", содержащегося в г'-м элементе, и его гидростатического давления р? определяются выражениями
р? = Ц? /Лc = 01?-1 + ДЦ? )/Лc = р?-1 + Дц? /Лc, (20)
Р? = Е? /Лc. (21)
Приращение векторного угла разворота поворота г'-го элемента на п-м шаге Ду? пропорционально общей угловой скорости '-го элемента ю? на п-м шаге:
Ду? = ю? Дт. (22)
Угловая скорость '-го элемента на рис. 1 под действием потока вещества через границу к-го и 1-го элементов (каждый к-й элемент лежит на первой координационной сфере '-го элемента, каждый 1-й — на пересечении первых координационных сфер г'-го и соответствующего к-го элементов) вычисляется следующим образом:
«* = . (23)
I гЛ112
Общая угловая скорость г'-го элемента определяется
(24)
в виде следующей суммы:
К L
ю = Е Ею».
к=11=1
Здесь К — число элементов на первой координационной сфере '-го элемента; Ь — число элементов на пересечении первых координационных сфер '-го элемента и каждого к-го соседа.
Изменение момента силы г'-го элемента ДМ 1 за время т вычисляется следующим образом:
ДМг = Опт^Ду 1/2 = Опт^ю1 т/2. (25)
Здесь G — модуль сдвига материала, содержащегося в г'-м элементе; ^ — радиус элемента.
Вектор вихря определяется как ротор скорости юг- = rot V. (26)
Компоненты вектора вихря выражаются следующим образом:
ю1 = 2^23, ю2 = 2^31, ю3 = 2Ц2, (27)
где ^ — тензор завихренности
Рис. 3. Схема вычисления угловой скорости кручения материала в активном элементе клеточного автомата
(
О =-
У 2
dv, - dv dx У дх ,
Л
(28)
Угловая скорость, вычисленная с помощью соотношений (23), (24), по физическому смыслу аналогична вектору вихря (рис. 3). Принимая во внимание формулу (25), имеем следующие соотношения для компонент вектора вихря:
2M,
2M 2
2M 3
(29)
Опт/т Опт/т Опт/т Таким образом, тензор завихренности ^ можно выразить следующим образом:
(
О =
0
M3
M3
M
Л
Gnrc3T
Gnrc3T
M
Gnr3x
Gnr3x
M
M
Gnrc3T
Gnrc3T
0
(30)
Выражение (30) позволяет производить численное моделирование генерации ротационных дефектов в условиях завихренности структурных трансформаций в деформируемом твердом теле.
3. Генерация бифуркационных ротационных дефектов в условиях кривизны кристаллической решетки
Изменение числа дефектов в элементе Дп ? при его повороте на угол Ду? определяется исходя из того, какое количество элементарных ячеек кристаллической решетки попало в сектор, соответствующий этому углу (рис. 4):
Дп? = к^(Ду? )А;еи, (31)
где ^е^ (ДУ?) — объем сектора, соответствующего углу Ду?; ^ц — объем элементарной ячейки; к — коэффициент пропорциональности, зависящий от вида упаковки атомов и материала. Из «первых принципов» известно, что каждый материал характеризуется своим значе-
Ду.
cell
Рис. 4. Схема вычисления изменения числа дефектов в элементе при кручении материала
нием энергии межатомного взаимодействия, а значит, и коэффициент к для различных материалов оказывается различным. Но он зависит не только от значения данной энергии, но и от многих других факторов.
Величина объема сектора (Ду?) определяется следующим выражением:
К^(Ду?) = 2/3 | Ду? | т3. (32)
Подставляя выражение (32) в (31), получаем
Дп? = 2/3 к | ДуП^ец. (33)
Соотношение (33) позволяет вычислять изменение количества дефектов в материале при формировании кривизны под действием локального момента силы:
п? = п?-1+Дп?. (34)
Параметры элементов, вычисленные на п-м временном шаге, становятся входными параметрами для (п + 1)-го временного шага. Выходными параметрами моделируемого образца являются конечные значения параметров элементов, вычисленные на последнем временном шаге.
Соотношение (17) позволяет вычислить часть энергии микровращений материала в элементе клеточного автомата, уходящую на образование деформационных дефектов в этом материале. С точки зрения термодинамики это означает локальное изменение энтропии и температуры:
[Е ]? = т^а^+sГx^т?. (35)
В рамках классической термодинамики рассматриваются два вида процессов: изотермические и изоэнтро-пийные. Для моделирования изменения обоих параметров предлагается чередование временных шагов с постоянной температурой (нечетные) и постоянной энтропией (четные).
Таким образом, для нечетного п = 2т - 1 (т >0) в выражении (35) ДТ? = 0 и изменение энтропии вычисляется следующим образом:
AS;l = AS2m"1 = [АЕа ]2т-1/ Т2и"2. (36)
Величина энтропии '-го элемента на нечетном шаге определяется в виде суммы, при этом его температура не меняется:
............(37)
грП — — T^m-2
(38)
n-1
При четном шаге п=2т в формуле (35) AS ? = 0, а S ? - = = S2 т-1 (см. формулу (37)), что позволяет получить выражение для АТ":
АТ? = аТ2" = [АЕа ]2^S2m"1. (39)
Энтропия '-го элемента на четном шаге остается
прежней, а его температура увеличится на АТ2т:
nn _ m _ m-1 "г _ Si _ Si '
тп _ т2m _ т2m-l + Д t2m
2m
Sn _s2m-1 _S2m-2 ^ д" 2m-1
(40)
(41)
Значение Т используется на следующем нечетном шаге для вычисления изменения энтропии согласно (36).
Существует возможность явного учета формирования новых дефектных структур в выражении для подвижности материала на границе между активными элементами. Величина подвижности границы между '-м элементом и его к-м соседом вычисляется исходя из соотношения, учитывающего вид материала, содержащегося в каждом из рассматриваемых элементов, энергетические свойства границы между элементами и дефектов структуры материала:
«Г1 = «оlke-(S^k+^n-1-^^0kвT^^, (42)
где «огк — максимальное значение подвижности в материале (6); Тк?-1 — температура на границе '-го элемента и его к-го соседа (7); — энергия активации границы между г'-м элементом и его к-м соседом (9); О?-1, О?"1—значения энергии дефектов кристаллической решетки, содержащихся в материале '-го элемента и его к-го соседа:
г = лг квТг 1п(Щ /Лг ),
0Й-1 „Я-Ь тй"1l„/' дгй-1 / И-1 \ (43)
Ь = лг кВТк 1п( Щк /лк л?-1, л?-1 — количество дефектов, содержащихся в г'-м элементе и его к-м соседе; Щ-1 и Щ?-1 — число атомов, содержащихся в '-м элементе и его к-м соседе.
Подставляя соотношения (43) в формулу (42), получаем
«?к- = «огк X
У{ 3 гк +Л?-1квТ--11п { ^ VЛ^ГЬ Г 1
х е
КтП
Пк
(44)
-Клетка
Av
Дефект
Рис. 5. Схема вычисления изменения числа межузельных бифуркационных состояний в элементе при кручении материала
^¿к 1 - ^0ik :
k Tn~1
х e kBTk e
^¿k1
-ni
ТП-1 Ti
Tn— T
1 Tkn—
ГГП— T
кТ*ТП
N
i—i ^
и-1
n
Tr
T
rn -1 Лк
(45)
(46)
Аналогичным образом можно вычислить изменение числа межузельных бифуркационных структурных состояний в элементе при кручении материала. В данном случае под межузельным бифуркационным структурным состоянием подразумевается неравновесная вакансия в междоузлии зон кривизны кристаллической решетки (рис. 5).
Как видно из рис. 5, в окрестности межузельных бифуркационных структурных состояний возникает область повышенной кривизны решетки, что создает в ней условия для движения неравновесной вакансии механизмом пластической дисторсии ионов из узлов решетки.
Особый интерес для механики разрушения представляют результаты расчета числа межузельных бифуркационных состояний в зонах кривизны кристаллической решетки, которые возникают при кручении материала (рис. 5). Согласно теории [3, 5], именно такое кручение материала происходит при развитии полос локализованного пластического течения в деформируемом твердом теле. Пластическая дисторсия ионов из узлов решетки в междоузлия зон ее кривизны генерирует неравновесные вакансии, коалесценция которых обусловливает образование микропористости в полосах локализованной деформации.
На рис. 6 представлена зависимость формы и скорости локализованной пластической деформации от кривизны % деформируемой области. Стрелки указывают величину и направление скорости пластической деформации, поляризованной перпендикулярно к направлению распространения нелинейных волн локализованного пластического течения. При большой величине кривизны х материала в полосе локализованного сдвига и в условиях специфического направления скоростей локализованной деформации возникают эффекты пластической дисторсии, образования вакантных уз-
лов решетки и микропористости, которая обусловливает развитие трещин продольного сдвига.
На основе метода возбудимых клеточных автоматов были проведены численные эксперименты по ударному нагружению образца с надрезом, имитирующим вершину трещины (рис. 7) [5, 11]. Анализ результатов этого численного эксперимента позволил выявить взаимосвязь величины концентрации напряжений и локальных моментов сил. Показано, что локальные моменты сил приводят к понижению уровня нормальных напряжений вблизи концентратора в виде надреза. Это обеспечивается явным учетом диссипации энергии в результате действия ротационных мод деформации.
В рамках данной работы весь спектр микромеханизмов дефектообразования в вершине трещины не рассматривался. Однако при анализе структурных трансформаций в вершинах трещин различного типа (см. раздел 4) они учитывались на основе соотношений для дис-сипационного члена энергии (17) и приращения плотности дефектов (33).
4. Обсуждение актуальных приложений дискретно-континуального метода возбудимых клеточных автоматов к моделированию нелинейных процессов разрушения твердых тел
Как уже отмечалось выше, центральная проблема в линейной механике разрушения связана с эффектом сингулярности 1/г в вершине трещины. Хотя решению
Рис. 6. Зависимость формы и скорости нелинейной волны локализованной пластической деформации от кривизны х деформируемой области, %1 < % 2 [9]
3
Рис. 7. Картины распределения компонент Y (а) и Z (б) момента силы на лицевой грани образцов с надрезом [11]
данной проблемы посвящено много работ [1], феноменологический подход к проблеме корректно сформулирован в [12]. В вершине трещины предлагается рассматривать две области с линейными параметрами А и R. Размерный параметр А области в непосредственной близости около вершины трещины определяется свойством материала и остается неизменным в процессе распространения трещины. Сильные структурные трансформации в области А могут вызывать возмущение структуры материала в более протяженной области R. Отношение R/А является мерой вязкости разрушения. При RА >> 1 происходит вязкое разрушение материала, при r/А>1 материал в зоне А испытывает структурно-фазовый распад и разрушается хрупко.
Данный феноменологический критерий [12] правильно характеризует вязкое и хрупкое разрушение материала. Однако физика структурных трансформаций в областях А и R кристаллической решетки остается при этом нераскрытой. Это сделано в работах [4, 13] на основе анализа изменения кривизны кристаллической решетки, возникновения в междоузлиях решетки с нарушенной трансляционной инвариантностью новых структурных состояний и развития в вершине трещин механизма пластической дисторсии. Оригинальным в подходе [13] является заключение о возможности развития механизма структурной турбулентности при распространении трещины в условиях вязкого разрушения, когда пластическая дисторсия вызывает коллективные перемещения атомов через междоузлия в зонах кривизны кристаллической решетки. Это является новым научным направлением в нелинейной механике разрушения.
Степень кривизны кристаллической решетки в вершине трещины определяет ее моду: нормального отрыва, поперечного сдвига, продольного сдвига. Подчеркнем, что в данной классификации трещин определяющую роль играет наномасштабный структурный уровень деформации, который в линейной механике разрушения не рассматривается. При этом очень важно, что распространение трещины не происходит одновременно по всему ее фронту. Зарождение распространения трещины возникает на краю ее фронта и эстафетно (step by step) перемещается вдоль вершины трещины меха-
низмом пластической дисторсии. Характер этого процесса определяет моду трещины.
4.1. Трещина нормального отрыва
Схема пластической дисторсии ионов из узлов решетки в междоузлия в вершине трещины нормального отрыва представлена на рис. 8. Высокий уровень межатомных связей в кристалле, низкие температуры деформации или ударное нагружение обусловливают эстафетную пластическую дисторсию одного-двух рядов ионов вдоль вершины трещины. Поскольку механизм данного процесса подобен распространению винтовой дислокации, то назовем его винтовой пластической дис-торсией. Подчеркнем только, что при пластической дис-торсии ионы смещаются в междоузлия зоны кривизны кристаллической решетки в вершине трещины. Далее процесс винтовой пластической дисторсии многократно повторяется вдоль вершины распространяющейся трещины, обусловливая хрупкое разрушение материала. Смещенные в междоузлия ионы формируют ядра дислокаций, которые не связаны с традиционной пластической деформацией, но всегда обнаруживаются на поверхностях хрупкого разрушения [14]. Проблемы сингулярности 1/т в вершине трещины нормального отрыва не будет, поскольку пластическая дисторсия ионов является релаксационным процессом. Возникновение вакантных узлов при смещении ионов в междоузлия определяет механизм распространения трещины нормального отрыва в условиях хрупкого разрушения.
Рис. 8. Модель распространения трещины механизмом пластической дисторсии положительных ионов в междоузлия кривизны кристаллической решетки в вершине трещины [13]
Рис. 9. Схема образца с шевронным надрезом по боковым граням ВА и ВС
4.2. Вязкое разрушение механизмом структурной турбулентности с образованием на фрактограммах динамических ротаций
При разрушении пластичных материалов структурные трансформации в вершине трещины (зона А в терминологии [12]) формируют кривизну кристаллической решетки в протяженном мезообъеме R. При распространении вдоль вершины трещины винтовой пластической дисторсии развивается эффект завихренности структурных трансформаций, в которой участвует коллектив ионов, эстафетно передающих свои моменты сил от иона к иону. Выражение для завихренности структурных трансформаций имеет вид [13]:
d/dx ( Ев- Pvp ) CV/-E,
где Ев — сдвиговая деформация под действием внешнего напряжения; рв — пластическая компонента дис-торсии, связанная с перемещением атомов через междоузлия кривизны решетки в зоне R перед вершиной трещины. Данный вихревой процесс представляет собой структурную турбулентность в твердом теле, в котором имеется кривизна кристаллической решетки. Согласно [15], структурная турбулентность в твердом теле принципиально отлична от турбулентных потоков в жидкости и газе, контролируемых числом Рейнольдса. В структурной турбулентности каждая частица среды воздействует только на смежную частицу, передавая ей свой импульс и перемещаясь на ее место. Такой процесс развивается эстафетно с большой скоростью. В структурной турбулентности принимает участие боль-
шое число частиц среды. При моделировании процессов структурной турбулентности эффективно используется выражение (30) для тензора завихренности структурных трансформаций в зонах кривизны кристаллической решетки.
Экспериментальная иллюстрация структурной турбулентности при вязком разрушении пластичных материалов хорошо выражена в условиях одноосного растяжения образцов с шевронным надрезом (рис. 9). Надрезы ВА и ВС на боковых сторонах шевронного надреза генерируют распространение начальных поперечных трещин в области вершины В треугольного образца. Встречные трещины, возникающие при распространении пластической дисторсии вдоль надрезов ВА и ВС, создают в образце моментные напряжения различного масштаба и сильно развитую кривизну кристаллической решетки с бифуркационными межузельными структурными состояниями. В таких условиях на фрактограммах разрушения развиваются динамические ротации и глубокие кратеры, на дне которых обнаруживаются частицы, обогащенные атомами легирующих элементов (рис. 10) [10, 16]. Подобные структуры с образованием кратеров на поверхностях разрушения описаны в [17] при ударном нагружении на маятниковом копре образцов высокомарганцовистой стали 110Г13Л. Аномально высокая скорость миграции вещества сопровождается образованием на дне кратеров частиц, обогащенных марганцем, и обеднением этим элементом стенок кратеров.
В литературе нет объяснения аномально высоких скоростей миграций вещества при образовании динамических ротаций. Поскольку данные процессы развиваются механизмом пластической дисторсии в зонах кривизны кристаллической решетки, необходимо учитывать квантовые эффекты наномасштабного уровня с участием электронной подсистемы. Пластическая дис-торсия положительных ионов в междоузлия вызывает возникновение ионных кластеров с избыточным положительным зарядом. Такие кластеры должны экранироваться электронным газом из ближайшего окружения. Это должно сопровождаться увеличением межионных расстояний в ближайшем окружении и кулоновским выталкиванием иона из кластера с избыточным положи-
Рис. 10. Динамические ротации и кратеры на фрактограммах субмикрокристаллических образцов a-Fe (а) и малоуглеродистой стали 12ГБА (б, в); растровая электронная микроскопия [10]
тельным зарядом в ближайшие междоузлия. Такой механизм миграции ионов по междоузлиям связан с неравновесными квантовыми электромеханическими процессами в наноструктурных системах [18, 19]. Эти квантовые эффекты играют важную роль в распространении деформационных дефектов в условиях кривизны кристаллической решетки и развития структурных трансформаций механизмом пластической дисторсии.
Образование на дне кратеров структурной турбулентности частиц, обогащенных атомами легирующих элементов или примесей, связано с эффектом их сепарации. Эстафетная передача атомами компонентов материала своих импульсов смежным атомам и их перемещения через междоузлия обусловливают зависимость скорости их миграции от удельного веса элементов. В динамических ротациях атомы более тяжелых элементов обогащают стенки кратеров, атомы более легких элементов обогащают частицы на дне кратеров. Это объясняет образование на дне кратеров при разрушении субмикрокристаллического железа соединений Fe с углеродом и кислородом [20], обогащение атомами марганца частиц на фрактограммах стали Гадфильда [17], сегрегаций атомов легирующих элементов (Мп, Si, С) и примесей (кислород) на фрактограммах малоуглеродистой трубной стали 12ГБА [10].
В зонах кривизны кристаллической решетки сплавов могут возникать неравновесные фазы, которых нет на равновесных диаграммах состояния. Так, сплав ^6А14У, поверхностные слои которого обработаны ультразвуком и характеризуются сильной кривизной кристаллической решетки, в условиях scratch-теста проявляет полное восстановление царапины вследствие обратимого образования неравновесных фаз типа ю ^ ^ а ^ ю [21]. При scratch-тесте исходного сплава такого эффекта нет. Подобные нелинейные эффекты, связанные с кривизной кристаллической решетки, проявляются в деформированных материалах в условиях кручения под высоким давлением [22-25].
4.3. Трещина поперечного сдвига
При циклическом нагружении ниже предела текучести объема материала его поверхностные слои деформируются пластически [26]. Их сопряжение с упруго нагруженной подложкой обусловливает синусоидальное изменение нормальных напряжений на интерфейсе [27]. В зонах растягивающих нормальных напряжений возникают кластеры положительных ионов, которые экранируются электронным газом из поверхностных слоев кристаллического материала. В последних увеличиваются межатомные расстояния и кулоновское отталкивание осуществляет инжектирование положительных ионов из кластеров в междоузлия кристаллической подложки. Так образуются краевые дислокации. Далее возникают новые кластеры, которые генерируют ядра новых краевых дислокаций. Тем самым происходят дисло-
Рис. 11. Трещина поперечного сдвига в фольге алюминия А999, наклеенной на плоский образец технического алюми-
ния А7; знакопеременный изгиб, N = ческая микроскопия, DIC, х 50 [29]
1.8 • 10' циклов; опти-
кационные поперечные сдвиги в поверхностных слоях материала, которые вызывают развитие кривизны кристаллической решетки и распространение в поверхностных слоях трещины поперечного сдвига (рис. 11). Данный процесс является кинетическим, поэтому трещина распространяется с остановками, формируя усталостные бороздки.
4.4. Трещина продольного сдвига
Развитие макрополос локализованной пластической деформации, которые распространяются через все сечение образца в направлениях максимальных касательных напряжений ттах, хорошо известно в литературе [20, 28-30]. Когда происходит распространение только одной полосы локализованной пластической деформации, вдоль нее развивается трещина продольного сдвига, обусловливая разрушение срезом. Динамика подобного разрушения образца субмикрокристаллического армко-железа представлена на рис. 12 [30].
В литературе распространение трещины продольного сдвига связывается с развитием микропористости
X, мм
Рис. 12. Дипольная модель развития трещины продольного сдвига при растяжении субмикрокристаллического образца армко-железа: оптическое изображение (а) и карта распределения главного пластического сдвига (б) [30]
Рис. 13. Развитие микропористости в полосе локализованной деформации и распространение вдоль микропористой полосы усталостной трещины продольного сдвига; наводороженный поверхностный слой плоского образца технического титана; знакопеременный изгиб, N = 105 циклов; профилометр New-View [35]
в полосах локализованной деформации [31-34]. Экспериментально микропористость выявляется с помощью 3D рентгеновской микротомографии. Теоретически образование микропористости связывается с коалесцен-цией нанопор, которые возникают в междоузлиях зон кривизны кристаллической решетки [3, 35]. Пример распространения трещины продольного сдвига вдоль пористой полосы локализованной пластической деформации в наводороженном поверхностном слое технического титана при знакопеременном изгибе представлен на рис. 13 [35].
Характер распространения трещины продольного сдвига, возникающей в вершине надреза в деформируемом образце, зависит от жесткости П напряженного состояния, создаваемого надрезом. Величина П определяется выражением П = //T, где / = 1/3 (/ + /2 + /3) — среднее нормальное напряжение; /1, /2, /3 — главные напряжения; T = — интенсивность тангенци-
альных напряжений; Sj — компоненты девиатора напряжений. При растяжении образцов субмикрокристаллического технического титана с надрезом, создающим невысокую жесткость напряженного состояния П = = 1.82, развивается многостадийное распределение зон упругопластического течения [29]. На завершающей стадии процесса развивается трещина продольного сдвига, траектория которой представлена на рис. 14. В общем случае характер распределения кривизны
Рис. 14. Разрушение вдоль полосы локализованной деформации при растяжении образца с боковыми надрезами (П = 1.82); субмикрокристаллический титан [29]
кристаллической решетки зависит от вида материала, величины жесткости напряженного состояния в вершине надрезов и их числа в деформируемом образце. Поэтому конфигурация полос локализованного пластического течения и связанных с ними трещин продольного сдвига может быть существенно различной [29].
Механизм влияния микропористости на механику распространения трещин продольного сдвига в настоящее время подробно исследуется в литературе [31-34 и др.]. Предварительные результаты моделирования данного механизма методом возбудимых клеточных автоматов представлены выше.
5. Заключение
Учет кривизны кристаллической решетки, участия электронной подсистемы в структурных трансформациях при пластической деформации и разрушении, развития механизма пластической дисторсии положительных ионов из узлов решетки в ее междоузлия в рамках многомасштабного описания механического поведения иерархически организованных систем лежит в основе нелинейной механики деформируемого твердого тела и механики разрушения. Мультискейлинговый подход позволяет описать генерацию деформационных дефектов всех типов, включая трещины, при различных условиях нагружения, сформулировать корректно нелинейную сингулярную краевую задачу в вершинах трещин и надрезов, описать механическое поведение твердых тел как многоуровневых иерархически организованных систем.
Настоящая статья посвящена разработке метода многомасштабного моделирования структурных трансформаций в вершинах трещин и надрезах с учетом кривизны кристаллической решетки и механизма пластической дисторсии, который определяет тип трещины и характер разрушения материала. Разработаны алгоритмы моделирования переноса фронта неупругой деформации в зоне кривизны кристаллической решетки на базе нелинейного дискретно-континуального метода возбудимых клеточных автоматов. Построен тензор завихренности структурных трансформаций, которые возникают при последовательном развитии пластической дисторсии вдоль вершины трещины в процессе ее распространения. Показана возможность развития структурной турбулентности на фрактограммах вязкого разрушения субмикрокристаллических материалов. Развитый метод имеет широкие перспективы в моделировании нелинейных волновых процессов в полосах локализованной деформации, где возникает микропористость и распространяется трещина продольного сдвига, описании функциональных свойств наноструктурных материалов и прогнозировании механического поведения твердых тел в экстремальных условиях нагружения.
Работа выполнена в рамках Программы фундаментальных исследований государственных академий наук РФ на 2013-2020 гг., а также при финансовой поддерж-
ке РФФИ (проект № 17-01-00691), Отделения энергетики, механики, машиностроения и процессов управления РАН (проект № 1.11.2) и гранта Президента РФ по поддержке ведущих научных школ № НШ-10186. 2016.1.
Литература
1. Черепанов Г.П. Механика разрушения. - М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2012. - 872 с.
2. Panin V.E., Egorushkin V.E. Fundamental role of local curvature of crystal structure in plastic deformation and fracture of solids // AIP Conf. Proc. - 2014. - V. 1623. - P. 475-478.
3. Panin V.E., Egorushkin V.E., Elsukova T.F., Popkova Yu.F., Suriko-va N.S., Panin A.V. Multiscale Translation-Rotation Plastic Flow in Polycrystals // Mechanics of Materials. Micromechanics / Ed. by Ch.-H. Hsueh, S. Schmauder, Y. Kagawa. - Springer, 2017 (in print).
4. Моисеенко Д.Д., Панин B.E. Физическая мезомеханика разрушения твердых тел как нелинейных иерархически организованных систем // МТТ. - 2015. - № 4. - С. 42-55.
5. Panin V.E., Egorushkin V.E., Moiseenko D.D., Maksimov P.V, Kul-kov S.N., Panin S.V. Functional role of polycrystal grain boundaries and interface in micromechanics of metal ceramic composites under loading // Comp. Mater. Sci. - 2016. - V. 116. - P. 74-81.
6. ПанинB.E., МоисеенкоД.Д., Елсукова Т.Ф. Многоуровневая модель деформируемого поликристалла. Проблема Холла-Петча // Физ. мезомех. - 2013. - Т. 16. - № 4. - С. 15-28.
7. Moiseenko D.D., Panin S.V, Maksimov P. V., Panin V.E., Babich D.S., Berto F. Computer simulation of material behaviour at the notch tip: Effect of microrotations on elastic energy release // AIP Conf. Proc. -2016. - V. 1783. - P. 020157.
8. Moiseenko D.D., Maksimov P.V., Panin S.V., Panin V.E. Effect of notch shape on strain localization in steel under shock loading: Hybrid CA simulation // AIP Conf. Proc. - 2016. - V 1785. - P. 040040.
9. Егорушкин B.E., Панин B.E. Физические основы нелинейной механики разрушения // МТТ. - 2013. - № 5. - С. 53-66.
10. Панин B.E., Егорушкин B.E., Деревягина Л.С., Дерюгин Е.Е. Нелинейные волновые процессы при распространении трещин в условиях хрупкого и хрупковязкого разрушения // Физ. мезомех. -2012. - Т. 15. - № 6. - С. 5-13.
11. Panin S.V., Vinogradov A., Moiseenko D.D., Maksimov P. V., Berto F., Byakov A.V, Eremin A.V., Narkevich N.A. Numerical and experimental study of strain localization in notched specimens of a ductile steel on meso- and macroscales // Adv. Eng. Mater. - 2016. - V. 18. -No. 12.- P. 2095-2106.
12. WnukM.P., Alavi M., Rouzbehani A. Comparison of time dependent fracture in viscoelastic and ductile solids // Физ. мезомех. - 2012. -Т. 15. - № 2. - С. 37-49.
13. ПанинB.E., ЕгорушкинB.E., ПанинA.B., ЧернявскийА.Г. Пластическая дисторсия — фундаментальный механизм в нелинейной мезомеханике пластической деформации и разрушения твердых тел // Физ. мезомех. - 2016. - Т. 19. - № 1. - С. 31-46.
14. Трефилов B.M., Мильман W.B., Фирсов С.А. Физические основы прочности тугоплавких материалов. - Киев: Наукова думка, 1975.- 315 с.
15. Мухамедов А.М. Турбулентность: концепция калибровочных структур. - Казань: КГТУ, 2007. - 190 с.
16. Deryugin Ye.Ye., Panin V.E., Suvorov B.I. Determination of fracture toughness for small-sized specimens with ultrafine grain structure // AIP Conf. Proc. - 2014. - V. 1623. - P. 111-114.
17. Kveglis L.I., Noskov F.M., Kalitova A.A., Abylkalukova R.B. Abnor-maly fast migration of substance at shock loading // Adv. Mater. Res. -2014. - V. 871. - P. 231-234.
18. Жуковский М.С., Bаженин C.B., Маслова O.A., Безносюк С.А. Теория и компьютерное моделирование неравновесных квантовых электромеханических процессов наноструктурирования материалов: Монография. - Барнаул: Изд-во АГУ, 2013. - 172 с.
19. Besnosyuk S.A., Zhukovsky M.S., Zhukovsky T.M. Theory and computer simulation of quantum NEMS energy storage in materials // Int. J. Nanoscience. - 2015. - V. 14. - No. 1-2. - P. 1460023-1460027.
20. Деревягина Л.С., Панин B.E., Гордиенко А.И. Самоорганизация пластических сдвигов в макрополосах локализованной деформации в шейке высокопрочных поликристаллов и ее роль в разрушении материала при одноосном растяжении // Физ. мезомех. -2007. - Т. 10. - № 4. - C. 59-71.
21. Ultrasonic Impact Treatment of Structural Materials / Ed. by A.V. Panin. - Tomsk: TSU Publ. House, 2016. - 172 p.
22. Perez-Prado M.T., Zhilyaev A.P. First experimental observation of shear induced hcp to bcc transformation in pure Zn // Phys. Rev. Lett. -2009. - V. 102. - P. 175504.
23. Edalati K., Horita Z., Yagi S., Matsubara E. Allotropic phase transformation of pure zirconium by high-pressure torsion // Mater. Sci. Eng. A. - 2009. - V. 523. - P. 277-281.
24. Edalati K., Matsubara E., Horita Z. Processing pure Ti by high-pressure torsion in wide of pressures and strain // Met. Mater. Trans. A. -2009. - V. 40. - P. 2079-2086.
25. Ivanisenko Y., Kilmametov A., Roesner H., Valiev R.Z. Evidence of a ^ m phase transition in titanium after high pressure torsion // Int. J. Mater. Res. - 2008. - V. 99. - P. 36-41.
26. ПанинB.E., Елсукова Т.Ф., ПопковаЮ.Ф. Каналирование локальных структурных превращений в поверхностных слоях поликристаллов при циклическом нагружении знакопеременным изгибом // Физ. мезомех. - 2010. - Т. 13. - № 4. - С. 5-14.
27. Cherepanov G.P. On the theory of thermal stresses in thin bounding layer // J. Appl. Phys. - 1995. - V. 78. - No. 11. - P. 6826-6832.
28. Рыбин B.B. Большие пластические деформации и разрушение металлов. - М.: Металлургия, 1986. - 224 c.
29. Деревягина Л.С. Закономерности упругопластического течения и разрушения в зонах локализованной деформации, инициированных концентраторами напряжений: Автореф. дис. ... докт. техн. наук. - Томск: ИФПМ СО РАН, 2011. - 32 с.
30. Панин B.E., Гриняев Ю.B., Панин А.B. Полевая теория многоуровневого пластического течения в шейке деформируемого твердого тела // Физ. мезомех. - 2007. - Т. 10. - № 5. - C. 5-16.
31. Benzerga A.A., Leblond J-B. Ductile fracture by void growth to coalescence // Adv. Appl. Mech. - 2010. - V. 27. - P. 83-151.
32. Week A., Wilkinson D.S., Maire E. Observation of void nucleation, growth and coalescence in a model metal matrix composite using X-ray tomography // Mater. Sci. Eng. A. - 2008. - V. 488. - P. 435-445.
33. Lecarme L., Maire E., Kumar KCA, de Vleeschouver C., Jacques L., Simar A., Pardoen T. Heterogeneous void growth revealed by in situ 3D X-ray microtomography using automatic cavity tracking // Acta Mater. - 2014. - V. 63. - P. 130-139.
34. Tekoglu C., Hutchinson J.W., Pardoen T. On localization and void coalescence as a precursor to ductile fracture // Phil. Trans. R. Soc. A. - 2015. - V. 373. - P. 20140121.
35. Панин B.E., Елсукова Т.Ф., Попкова Ю.Ф. Роль кривизны кристаллической структуры в образовании микропор и развитии трещин при усталостном разрушении технического титана // Докл. РАН. -2013. - Т. 453. - № 2. - С. 155-158.
Поступила в редакцию 16.03.2017 г.
Сведения об авторах
Панин Виктор Евгеньевич, д.ф.-м.н., проф., акад. РАН, зав. лаб. ИФПМ СО РАН, проф. ТПУ, [email protected] Моисеенко Дмитрий Давидович, к.ф.-м.н., снс ИФПМ СО РАН, [email protected] Максимов Павел Васильевич, к.ф.-м.н., нс ИФПМ СО РАН, [email protected]
Панин Сергей Викторович, д.т.н., проф. РАН, зам. дир. ИФПМ СО РАН, зав. каф. ТПУ, [email protected]
