CC BY
6
ЛНУВМБТiMeHi С.З. Гжицъкого Том 10№1(36) частина 1,2008 337
УДК 658:330
Пеленський О. Л., к. т.н., ст. наук. сп. ®, Пеленський Р.О., шженер - програмкт, Токарчук О.П., ст.викладач Лъв1всъкий нацюналъний утверситет ветеринарног медицины та бютехнологт ¡мет С.З. Тжицъкого, м. Лъвгв, Украгна
МОДЕЛЬ ПРИЙНЯТТЯ КОАЛ1Ц1ЙНИХ Р1ШЕНЬ ОПТИМВАЦП РИЗИКУ В МЕНЕДЖМЕНТ
Розроблено оцгнку ризику для випадку прийняття коалщшних ршенъ у складних системах проведення експеримент1в.
Ключовi слова: ризик, конфлжттстъ, моделъ.
Постановка проблеми. Проблеми onraMi3a^i прийняття ршень у складних умовах менеджменту конфлжтносп, що визначаеться шформащйною невизначешстю середовища прийняття ршень, у багатьох випадках розглядаються за допомогою теоретико-iгрового моделювання.
Анашз останн1х дослщжень. Ситуацiя прийняття ршень характеризуеться кортежем <S1, S2, F>, де S1 - множина ршень об'екта керування, S2 - множина сташв середовища (станiв природи, ршень експериментаторiв тощо), F - функщонал оцiнювання прийняття рiшення, який ставить у вщповщшсть множинi S1XS2 значення з простору R1.
Якщо множини S1 i S2 сюнченими то функцiонал ощнювання е матрицею F=\\fff\\тп, кожний елемент яко! е оцiнкою для особи, що приймае рiшення, свого ршення з множини S1 у випадку, коли стан середовища набув деякого значення з множини S2. Елемент матриц ощнювання fj е числом, яке характеризуе кориснiсть прийнятого рiшення i може будуватися у виглядi деяко!, функци корисностi. У випадку коли прийняте рiшення можно характеризувати деяким апрiорним показником, то fj приймае значення такого показника.
Невизначешсть станiв середовища або його антагошзм з об'ектом керування приводять до появи неочiкуваних наслiдкiв результату прийняття ршення тобто до ризику.
У випадку п'ято! шформацшно! ситуаци, яка характеризуеться антагонiстичними iнтересами середовища у процес прийняття рiшень, одним з основних критерив прийняття ршень е критерiй мiнiмального ризику Севщжа. Згiдно цього критерiю функцiонал ощнювання F е числовим показником ощнювання ризику прийнятого ршення.
©
Пеленський О.Л., Пеленський Р.О., Токарчук О.П., 2008
ЛНУВМБТiMeHi С.З. Гжицького Том 10№1(36) частина 1,2008 338
Мета статть Побудована модель прийняття ршень в систему яка складасться з двох коалщш К1 та К2, причому деяю елементи системи входять в обидвi коалщи одночасно, тобто К1ПК2 Ф0 [1].
Виклад основного матер1алу. Позначимо: I - K1UK2 - множина елементiв системи, гравщв.
S1 - множина рiшень гравця (елемента системи) i, i е I, або множина чистих стратегш гравця i.
Sk1 = Si - множина чистих стратегш коалщи К1. Sk2 = Si - множина чистих стратегш коалщи К2.
Гру Г =< I, K1,K2,(SIjleI, Н>, де Н - функщя виграшу (ощнка коалiцiйних стратегiй) коалщи Ki, а, оскшьки iнтереси коалiцiй е антагошстичними, (- Н) - функцiя виграшу (ощнка коалщшних стратегiй) коалщи К2, будемо називати коалiцiйною грою двох коалщш. Змшаним розширенням гри Г будемо називати гру
Г*= <K1K2,S1*,S2*,H*,>, де S1* i S2* - множини ймовiрностних мiр /1 i ¡л2, яю заданi на множинах Sk1 та Sk2. Ситуащею у змiшаних стратегiях / будемо називати марковське продовження погоджених ймовiрностних мiр /1 i /2. Функщя виграшу Н* коалщ! К1 на множинi ситуацiй у змшаних стратегiях е математичними сподiваннями виграшу при виборi коалiцiями сво!х змшаних коалiцiйних стратегiй /1 i /2
Н* (/)=Ж1Ш® де S - множина ситуаци у змшаних стратегiях.
Довiльно задамо ймовiрностну мiру / Кпш. Будемо називати стратеги /1* i /2* оптимальними, якщо
max min H*(/) = H*(/*) для вах /1 i /2 погоджених з / К1пК2. Тут / - марковське продовження мiр /1* i /2 *, на яких досягаються зовнiшнi екстремуми.
Мае мiсце наступне твердження: кожна антагонiстична гра двох коалщш Г для довшьно! мiри / юпю мае хоча б одну пару оптимальних стратегiй у змшаному розширеннi.
Згiдно критерiю мЫмального ризику Севщжа, функцiонал оцiнювання стратеги гравця (функщя виграшу) H1 = F, де -F=\\a,j\\mn; i = 1,2...,n; j = 1,2...m; ay - ощнка стратеги s е S1 першого гравця у випадку коли другий вибрав стратегш ri е SL Позначимо bj = max ay. Значення функщонала оцiнювання F визначаеться як рiзниця мiж by i ay. F =\\fy\\mn. Fy = ay - by
Розглядаемо коалщшну гру двох коалщш з дискретними множинами стратегш S1 i S2. У цш грi виграш першого гравця ствпадае з функцiоналом оцiнювання стратегiй по Севщжу H = F, а виграш (програш) другого гравця протилежний за знаком (- Н). Для тако! гри у змiшаному розширенш
max min H*(x) = min max H*(x) = H*(x*),
ЛНУВМБТiменi С.З. ïжuцькoгo Toм 10№1(36) 4acmma 1,2008 339
де х1 i х2 - дис^етш pозподiли ймовipноcтей нa множишх S1 i S2, узгоджених з довшьним pозподiлом нa пеpетинi cтpaтегiй коaлiцiй, a х* -оптимaльнa cитyaцiя у змiшaномy pозшиpеннi тaкоï гpи.
Нaзвемо aнтaгонicтичнy гpy двох коaлiцiй Г еквiвaлентною мaтpичнiй rpi з обмеженнями нa облacтi змши cтpaтегiй Г, якщо для ïx фyнкцiй вигpaшy виконyeтьcя yмовa
Нг~(Х1,Х2) = Нг*(х).
Mae мicце таступне твеpдження: множинa оптимaльниx cтpaтегiй в aнтaгонicтичнiй rpi двох коaлiцiй Г для погодженого pозподiлy нa cтpaтегiяx пеpетинy коaлiцiй cпiвпaдae з множиною оптимaльниx cтpaтегiй еквiвaлентноï мaтpичноï гри з обмеженнями нa облacтi зaмiни cтpaтегiй.
У побyдовaнiй rpi членом обох raan^rn може виcтyпaти деяке cеpедовище екcпеpиментy, cтaн якого e невизнaченим, i тодi побyдовaнy мaтемaтичнy модель можнa pозглядaти як сгатистичну rpy пpоти пpиpоди, якa дie cпонтaнно, aле з чiтко о^е^еною множиною сво1'х можливих дiй.
^и aнaлiзi тaкоï гpи необх1дно вpaxовyвaти той фaкт, що пpиpодa не e pозyмним гpaвцем, i не вибиpae оптимaльнi у деякому сена свох' ди, оcкiльки не зaцiкaвленa у pезyльтaтax. Осюльки, нa пpотязi деякого чacy пpиpодa pеaлiзye певний меxaнiзм вибоpy сво1х дiй, можга мaти деяку iнфоpмaцiю пpо pозподiл ймовipноcтей cтaнiв пpиpоди i викоpиcтaти ïï пpи визнaченнi оптимaльноï cтpaтегiï гpaвця.
Для цього викоpиcтовyють ^rn^prn Бaйеca, cyтнicть якого полягae у мaкcимiзaцiï мaтемaтичного cподiвaння фyнкцiонaлa ощнювшня cтpaтегiй. Пpи тaкомy пiдxодi тайбшьш cклaдною пpоблемою e вибip a^^pTOro pозподiлy X нa множинi cтpaтегiй (дiй) пpиpоди для його подaльшого пеpетвоpення у aпоcтеpiоpний pозподiл.
Побyдyeмо aлгоpитм обчислення оптимaльниx cтpaтегiй у дискетам aнтaгонicтичнiй коaлiцiйнiй гpi двоx коaлiцiй з мaтpицею вигpaшa H = =\\a,j\ \mn; i = 1,2,...n; j =1,2,...m; a y- ощнга cтpaтегiï s¡ e S1 пеpшого гpaвця y випaдкy коли дpyгий вибpaв cтpaтегiю r¡ e S2. Алгоpитм rpyнтyeтьcя нa iтеpaтивнiй cxемi, зaпpопоновaнiй Г. Бpayном [2] для pозв'язкy мaтpичниx iгоp.
Розглянемо множини змiшaниx коaлiцiйниx cтpaтегiй коaлiцiй К1 i К2 , яю e ймовipноcтними мipaми (pозподiлaми ймовipноcтей) /1 i /2, зaдaнaми тaким чином та диcкpетниx множинax чиcтиx cтpaтегiй , що мipa погоджета з мipою /л2, a мipa /2 погодженa з мipою /1. Пiд cитyaцieю у змiшaниx cтpaтегiяx будемо pозyмiти мapковcьке пpодовження погодженж мip /1 i /2. Множини погодженж ймовipноcтниx мip /1 i /2 e непустими опуклими зшкненими бaгaтогpaнникaми. Веpшини пеpшого бaгaтогpaнникa позтачемо чеpез Р1, Р2, ..., Ра, a веpшини дpyгого чеpез Q1, Q2, ..., Qß.
Розглянемо мaтpицю
АН = =\\H*(Pi,Qj)\\; i= 1,2,.,ß,
де
H* (/) = Ш1(£)/(£)
ЛНУВМБТ iMeHi С.З. Гжицького Том 10 №1(36) частина 1,2008 3 40
Елементи матрищ АН е виграшi першо! коалщи', визначеш на ситуацiях, яю е марковськими продовженнями погоджених мiр Pi i Qy.
Алгоритм починаеться з двох вихщних векторiв
U (0) = (Ui(0),U2(0),...,Ue(0)); V (0) = (^(0)^(0),...^(0)),
де Ui (0) , i=1,2,..., а е деяка початкова ощнка виграшу коалщи K1, коли вона вибирае свою стратегш Pi, тобто деякий рядок матрицi АН, а V}- (0), y=1,2,..., ß - початкова ощнка виграшу коалщи K2, коли вона вибирае свою стратегш Q}-, тобто деякий стовпчик матрищ АН .
Коалщя K1 звичайно вибирае таку стратегш Pi (0), що Ui(0) = maxU(0) = max(U1(0),U2(0),...,Ua(0)), а коалщя K2 - таку стратегш Qy(0), що Vy(0) = minV(0) = min(V1(0),V2(0),...,Vß(0)). Пiсля цього коалщи переглядають сво! оцiнки наступним чином
U(1) = U(0) + HC,Qy(0)); V(1) = V(0) + H^/),
де H (\ Qy(0)) означае стовпчик матрицу А , який вщповщае стратеги Qy(0), а H(P(0), ) - рядок матрищ АН , який вщповщае стратеги Рг(0).
Di коалщи вибирають рядок матрищ АН , який вiдповiдае стратеги Piн , для яко! Ui(1) = maxU(1) = max(U1(1),U2(1),...,Ua(1)) i стовпчик матрищ А , який вщповщае стратеги Qy(1), де Vy(1) = min V(1) = min(V1 (1), V2 (1),..., Vß (1)).
Продовжуючи цей процес, одержимо
U(n +1) = U(n) + HC, Qy(n)); V(n +1) = V(n) + H(Рг{п),'),
де Ui (n) = max U(n), Vy (n) = min V(n).
U (n +1) = U (0) + (n + 1)H C, Qk ),
k=1
а
V (n +1) = V (0) + £ak (n + 1)H (Pk;),
k=1
Де crk (n +1) е число виборiв y(1), 0 < 1 < n за n+1 крок, а rk (n +1) -
число виборiв i(1), 0 < 1 < n за n+1 крок.
Мае мкце наступне спiввiдношення:
Тодi
Y,Ck (n +1) =^Ck (n +1) =n + 1.
k=1 k=1
U(n +1) U(0) ?Tk (n +1) H
-— =-7 + ^-Г" H ( , Qk ),
n +1 n +1 k=1 n + 1
V (n +1) = V (0) ack (n +1)
1+L-
1 k=1
n +1 n +1 n + 1
-H (Pk/).
Якщо U(0)=V(0)=0, то U(n +1) е середнiм зваженим рядк1в матрицi
n +1
н V(n +1) ________:_________________________:_________: лн
n + 1
- середшм зваженим стовпчикiв матрищ А . У цьому випадку
ЛНУВМБТ iMeHi С.З. Гжицького Том 10 №1(36) частина 1,2008 341
^ (n +1) P . . . (n +1) n У-rk e зм1шаною стратепею коал1ци K1, а У-Пк -
к=1 n +1 k=l n +1
змшаною стратепею коалщл K2.
Висновки. Отже, на кожнш 1тераци коалщя вибирае свою стратегш, яка вщповщае однш з вершин багатогранника змшаних стратегш, погоджених з м1рою /л°КnK2. При цьому вибрана стратепя повинна давати кращ1 результати,
шж мшана стратепя, яка утворилася до ujeï 1тераци. Одержано 1теращйний процес, аналопчний 1теращйному процесу Брауна для матричних 1гор.
Для таких процеав мае мкце теорема: для довшьних початкових вектор1в U(0) i V(0)
.. U (n) V (n) в в .
lim-= lim-= в, де в - щна гри.
nn
Л1тература
1. Коваленко О. О. Конечные коалиционные игры. Сб. "Успехи теории игр", Минитис, Вильнюс, 1993.
2. G.W.Brown. Iterative solutions of games by fictitlons play. Cowies Commision for Research in Economic Lonograpf. 1951, n.13.
Summary
Pelenskyy O.L.,Pelenskyy R..O., Tocharchuk O.P.
Lviv National University of Veterinary Medicine and Biotechnologies named after S.Z.Gzhytskyj
Model of acceptance of the coalition solutions of optimization in management the estimation of risk for a case of accepance of the coalition solutions in composite systems of realization of experiments is designed.
Стаття надтшла до редакцн 09.04.2008
