МЕТОДИКА РАСЧЕТА ПОРОГОВЫХ И ПОДПОРОГОВЫХ УРОВНЕЙ ПО ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫМ МОДЕЛЯМ ДОЗА (УРОВЕНЬ ФАКТОРА) — ЭФФЕКТ Текст научной статьи по специальности «Математика»

© М. Ю. АНТОМОНОВ, Л. Т. РУСАКОВА, 1991 . ,

УДК 613.632-074

М. Ю. Антомонов, Л. Т. Русакова

МЕТОДИКА РАСЧЕТА ПОРОГОВЫХ И ПОДПОРОГОВЫХ УРОВНЕЙ ПО ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫМ МОДЕЛЯМ ДОЗА (УРОВЕНЬ ФАКТОРА) — ЭФФЕКТ

Республиканский научный гигиенический центр Минздрава УССР, Киев

Теория и практика современного гигиенического нормирования, как известно, основываются на концепции порого-вости вредного действия факторов [3]. При этом в качестве одного из критериев вредного действия наряду с другими может использоваться и статистическая достоверность различия в ответах биосистемы по лимитирующему показателю [8]. В таком случае под порогом понимается минимальная величина воздействия, дающая достоверный эффект, а в качестве подпороговой используется максимальное значение, при котором достоверный эффект не наблюдается. В практике экспериментального гигиенического исследования за порог и подпорог принимаются минимальная из действующих и максимальная из недействующих среди реально исследованных доз (уровней). Поскольку число градаций воздействия, как правило, ограниченно и они существенно различаются (вплоть до 1—2 порядков), значения порогов и подпорогов устанавливаются со значительной погрешностью. Более точно пороговые и подпорого-вые величины можно определить по математической модели доза (уровень фактора) — эффект после изучения поведения функции в неисследованном диапазоне воздействий и применения соответствующего критерия пороговости (под-пороговости).

Для расчета критических пороговых х+ и подпороговых х- величин воздействия при таком подходе в качестве выходной функции состояния биосистемы целесообразно использовать непосредственно значения статистического критерия (например, критерия Стьюдента) или соответствующей ему достоверности, после чего зависимость выражается функцией доза (уровень фактора) — достоверность эффекта [12].

Значения критерия допустимо применять при равных или мало различающихся объемах выборок в каждой точке регистрации. При их существенных различиях целесообразно переходить к значениям соответствующих достоверно-стей, хотя это и может привести к некоторому искажению исходных зависимостей и тем самым к изменению вида используемых моделей.

В качестве пороговых при таком подходе будут считаться значения воздействия, при которых наблюдается эффект, статистически значимый с определенной достоверностью Р (например, Р=95 %), т. е. такие значения аргумента, при которых выходная функция ¿/=0,95. При подпороговом воздействии эффект должен быть достоверно незначимым (с той же достоверностью), что равносильно достоверности Р= 5 %, а следовательно, и значению ¿/=0,05.

Естественно, что величина расчетных критических значений воздействия в значительной степени определяется точностью и адекватностью выбранной математической модели [9, 11]. При выборе вида, математической модели рекомендуется основываться на трех принципах: логическом — минимальной сложности модели, математическом — точности описания и медико-биологическом — непротиворечивости исходным априорным предположениям (или, в идеале, ее теоретической обусловленности) [7].

Как правило, зависимости типа доза (уровень фактора) — эффект при выражении выходной функции в достоверно-стях достаточно адекватно описываются простыми экспоненциальными функциями следующего вида [1]:

У=Уоо{ 1—ехР [—а(х~*о)]}, (1)

гДе У оо — предельное значение функции при х-+оо\

хо — сдвиг по оси х; а — параметр модели, определяющий скорость ее изменения.

Если априорно известно, как, например, в условиях острого эксперимента, что у(Х= 1, то функция (1) существенно упрощается:

у— 1 —ехр [—а{х—хо)], (2)

а в предположении, что л:0=0 принимает наиболее простую форму:

у= 1—ехр(—ах). (3)

Таким образом, для построения моделей (1) — (3), выбор которых определяется внешними критериями, например графоаналитическими, необходимо определение от 1 до 3 параметров (г/^, хо, а) по исходным экспоненциальным данным. Идентификация параметров модели должна происходить в два этапа — определение начальных приближений (У°оо> *8. а°) и их последующее уточнение. Уточнение проводится стандартными методами, изложенными в литературе [4, 5]. Кроме того, при хорошо выбранном начальном приближении последующее уточнение часто оказывается необязательным.

Рассмотрим способы расчета начальных приближений каждого из параметров моделей (1) — (3), достаточно точно соответствующих их истинным значениям.

При разработке алгоритмов принимались во внимание следующие критерии: доступность их реализации в практике гигиенических исследований и достаточная их точность. Как показала многолетняя практика использования этих алгоритмов, погрешность определения параметров не превышает 5 % и, как правило, равна 2—3 %, что значительно выше обычной точности исходных данных и не требует дальнейшего уточнения более сложными итерационными методами, а достаточная простота подходов дает возможность практически реализовать их даже на уровне лаборанта, освоившего основы математической обработки данных.

Вычисление начального приближения параметра х0(;со) предлагается проводить по следующему алгоритму.

Вначале используем функциональное описание исходных данных моделью вида:

У= 1п (а| +а2х+а3х2), (4)

где а|, 02 и аз — идентифицируемые параметры.

После потенцирования этого выражения получаем обычный полином второго порядка:

г = а\а2Хазх\ (5)

где 2= ехр (у).

Коэффициенты а\, ао, аз определяются по традиционной в регрессионном анализе схеме методом наименьших квадратов (МНК) [6, 10].

Зная коэффициенты модели (5), можно вычислить значение хо при условии у = 0 по формуле:

= [- а2 ±V а\ -4а3(а, - 1) ]/2а3. (6)

Для оценки начального приближения параметра у^(у0^) применим аналогичный прием, используя для описания у(х) функциональную модель вида

У = ь> + Ь2/(х - х§)3 + Ь з/(л- - 4)6. (7)

Очевидно, что значение у0^ — это значение функции (7) при х-+оо. Таким образом, вычислив Ь\, Ь2 и /;3 по известной схеме с использованием МНК, определяем:

У°оо=Ь\. (8)

Для оценки начального значения параметра а(а°) в случае использования модели (3) после очевидного преобразования, логарифмирования и применения МНК получаем следующую формулу:

п п

а°= 2 агх- 1п (1 —г/,)/ 2 х} . (9)

<=1 1=1

Для случая (2) при оценке а0 используется значение хо, вычисленное по формуле (6):

п п

а°= 2 (х1—х°о) 1 п (1 — г/0/ 2 (х{-х°0)2. (10)

1=1 1=1

^ 0

В случае (1) для идентификации а0 требуется знание параметров я'о, у0оо, рассчитываемых по формулам (6), (8):

• { 1,98 при х* = х+ где и I Л 7 * -

у 1 0,07 при х =х

Таким образом,

х+ = - 1п [(2,33-1,98)/2,33]/0,20 + 2,02= 11,60;

— 1п |(2,33-0,07)/2,33]/0,20 + 2,02==2,17.

Значения х+= 11,60 и л:~=2,17 можно считать уровнями • достоверного действия и недействия исследуемого фактора.

Предложенный способ расчета параметров математических моделей доза (уровень фактора) — достоверность эффекта, а на их основе и пороговых (подпороговых) уровней обладает достаточной точностью и может быть легко реализуем на простейших средствах вычислительной техники вплоть до микрокалькуляторов. Проверка его на достаточно большом массиве реальных данных продемонстрировала его высокую эффективность. Использование изложенной методики позволит более точно и оперативно рассчитывать пороговые и подпоро-говые уровни исследуемых факторов окружающей среды, что в конечном счете должно способствовать повышению эффективности гигиенического нормирования.

п п

а°= 2 (*,—4)1 П [(</»„ -уд/у^]/ 2 (*,-*8). (11) /= 1 / = 1

Таким образом, расчет всех параметров каждой из моделей можно считать законченным, что позволяет получить критические значения воздействия х~).

Рассмотрим пример расчета у0^, хЙ, а0, а следовательно, порогов (подпорогов) воздействия на таком примере. Пусть в результате воздействия фактора среды на четырех уровнях х—5, 10, 15, 20—получены следующие значения критерия Стыодента различия по одному из регистрируемых показателей между опытной и контрольной группами (у): 1,1, 1,8,

2,1, 2,3.

По предложенному выше алгоритму идентифицируем параметры модели (4): а\= —0,51; а2 = 0,77; аз= —0,01. Затем по формуле (6) вычисляем значение х§ = 2,02. Расчетные значения параметров модели (7) следующие: 1 = 2,33; Ьо = = -596,51; &з = 55364,45.

С учетом формулы (8) получаем: у0оо= 2,33. По формуле (11) определяем: а° = —0,20.

Будем считать пороговым (х+) и подпороговым (х~) значения воздействия при которых достигается достоверность отличия между выборками на уровне 95 и 5 %. Считая объемы выборок достаточно большими (п^\00), получаем для них критические значения функции распределения Стыодента, равные ¿/0.95= 1,98; ¿/о,о5 = 0,07 [2], откуда из выражения (1) получаем:

Литература

1. Антомонов М. Ю., Русакова Л. Т. // Гиг. и сан.— 1988.— № 6.— С. 42—44.

2. Большее Л. И., Смирнов Н. В. Таблицы математической статистики.— М., 1983.

3. Гигиена окружающей среды / Под ред. Г. И. Сидоренко.— М., 1985.

4. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация.— М., 1985.

5. Джонсон К. Численные методы в химии.— М., 1983.

6. Дрейпер И., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ. Кн. 1.—М., 1986.

7. Методы математической биологии.— Кн. 7. / Алеев Л. С., Амосов Н. М., Антомонов М. Ю. и др.— Киев, 1983.

8. Саноцкий И. В., Уланова И. П. Критерии вредности в гигиене и токсикологии при оценке опасности химических соединений.— М., 1975.

9. Турусов В. С., Парфенов Ю. Д. Методы выявления и регламентирования химических канцерогенов.— М., 1986.

10. Ферстер Э.г Ренц Б. Методы корреляционного и регрессионного анализа.— М., 1983.

11. Филюшкин И. В., Петоян И. М. Теория канцерогенного риска воздействия ионизирующего излучения.— М., 1988.

12. Шандала М. Г., Антомонов М. Ю. // Гиг. и сан.— 1986.— № 7.—С. 26—28.

Поступила 19.12.89

Аннотации

К. А. А Б РА ГАМ. 1991

УДК 612.662:364.4641-053.5 + 364.464.612.662]-035.5

К. А. Абрагам. Из опыта проведения бесед о физиологии менструального цикла (Ровенский педагогический институт им. Д. 3. Мануильского)

В течение ряда лет студенты Ровенского педагогического института им. Д. 3. Мануильского проводят беседы о физиологии менструального цикла с девочками 4—6-х классов школ г. Ровно. Подготовка к этим беседам организована

в студенческом научном кружке «Половое воспитание школьников», где студенты прослушали цикл лекций по избранным главам акушерства и гинекологии.

Степень осведомленности, а также уровень физического и психосексуального развития детей 11 —13 лет неодинаковы. Поэтому содержание бесед, проводимых с детьми разного возраста, имеет некоторые различия. Чем старше девочки, тем больше должен быть объем предлагаемой информации и тем глубже следует вникать в суть тончайших механизмов менструального цикла.

Мы считаем, что рассказ о физиологии менструального цикла в любом их трех классов лучше всего начинать с