МЕТОДИКА ПОШУКУ КОМПЛЕКСНИХ РОЗВ’ЯЗКІВ НЕРІВНОСТЕЙ СПОСОБОМ НЕВ’ЯЗКИ Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

Scientific journal ISSN 2413-158X (online)

PHYSICAL AND MATHEMATICAL EDUCATION ISSN 2413 1571 (Print)

Has been issued since 2013.

Науковий журнал

Ф1ЗИКО-МАТЕМАТИЧНА ОСВ1ТА

Видаеться з 2013.

https://fmo-journal.org/

Флер З.Ю., Чуйков А.С. Методика пошуку комплексних розв'язшв нерiвностей способом нев'язки. Ф/'зико-математична осв'та, 2021. Випуск 5(31). С. 73-78.

Filer Z., Chuikov A. Method of searching complex solutions of inequalities by the deflection method. Physical and Mathematical Education, 2021. Issue 5(31). Р. 73-78.

DOI 10.31110/2413-1571-2021-031-5-011 УДК 517.165

З.Ю. Фтер

На^ональний ав/'ацшний унiверситет, Украна zalmenfilier3319@gmail.com https://orcid.org/0000-0003-0804-6794 А.С. Чуйков

На^ональний ав/'ацшний унiверситет, Украна chyiko v.artem @gm ail.co m https://orcid.org/0000-0002-0945-0396

МЕТОДИКА ПОШУКУ КОМПЛЕКСНИХ РОЗВ'ЯЗК1В НЕР1ВНОСТЕЙ СПОСОБОМ НЕВ'ЯЗКИ

АНОТАЦЯ

Формулювання проблеми. Традиц'1йно у школ! розглядають HepieHocmi у MHOMUHi д'1йсних чисел. Розв'язуючи HepieHocmi i3 нев'домим, обмежуються в'дшуканням област'1, у яшй виконуеться вимога бльше (менше). Mim ншим, у низц задач важливо на скльки в'др'вняються величини. При цьому виявляються i комплексы! розв'язки при д'шсн'ш нев'язu,i.

Матер ¡али i методи. У статтi використанi методи математичного анал!зу та теорп функци комплексноi зм 'тно), а також анал'з i моделювання - для розробки алгоритм'в графiчного подання результат'ю у системi комп'ютерно! математики Maple.

Результати. Запропоновано використовувати комплексну нев'язку r = s + it, де s > 0 або s = 0 i t > 0, яка дае комплексна розв'язки нерiвностей. Множиною уах розв'язшв нер'тност':, отриманих методом комплексноi нев'язки, е двовим'рна область. Причому, нерiвностi з протилежними знаками мають розв'язки, якi взаемно доповнюють один одного до комплексноi площини. Показано приклади застосування методу комплексноiнев'язки для розв'язування квадратних, ра^ональних та iнших нерiвностей. Продемонстровано застосування системи комп'ютерноiматематики Maple 17 для графiчноi' побудови област'ьрозв'язшв нерiвностей.

Висновки. Поданий матер'шл може бути корисний вчителям, викладачам заклад'ю фахово'1 передвищо'( та вищо'( освти при вивчент теми «Комплексна числа». Нерiвностi у комплексн'ш множин розглядалися епзодично, наприклад, при доведенн леми Д'Аламбера про значення модуля комплексного аргументу в суадн'к точках в околi точки, де вн не дор'внюе нулю. Ц нерiвностi можна використати для пошуку коренв комплексних функ^й. Подальшi науковi досл 'дження у цьому напрямку полягають у систематизации та класифiкацii' нерiвностей та метод 'в iх розв'язання у комплекснй площинi.

КЛЮЧОВ1 СЛОВА: метод нев'язки, комплексна нев'язка, комплекса розв'язки, Maple 17.

ВСТУП

Постановка проблеми. Ще у молодших класах дiти знайомляться з поняттям HepiBHOCTi на прикладах типу 3<5, розум^чи, що 5 бтьше 3 на 2. При цьому виробляеться поняття порядку серед чисел i нев'язки (вщхилення) мiж ними. У середшх i старших класах розглядаються лшмж i квадраты нерiвностi зi змшними, виробляеться звичка бачити у розв'язанн штервали i пошук розв'язшв зводиться до вщшукання кш^в цих iнтервалiв. Мiж тим, втрачаеться уявлення про множину точок, ям входять у множину розв'язюв, i втрачаеться уявлення про залежност величини вщхилення (нев'язки) вщ положення шукано!' величини. Природна вщмЫнкть у час для розв'язування рiвнянь i нерiвностей приводить до бтьшо!' ктькосп помилок при вщшуканы розв'язюв нерiвностей, ыж кореыв рiвнянь, через множення на вираз, який мктить невщому. Метод нев'язки, зводячи нерiвностi до рiвнянь з параметром, усувае ц помилки i дае залежысть кореыв вщ цього параметра.

© З.Ю. Фтер, А.С. Чуйков, 2021.

Аналiз статей показуе пюнерський характер наших po6iT в цьому напрямку, не враховуючи роботи О.В. Кужеля. Мета статт полягае в обфунтуваны доцiльностi використання методу комплексно! нев'язки для розв'язування нерiвностей у комплекснш областi.

МЕТОДИ ДОСЛ1ДЖЕННЯ

У статт використанi методи математичного аналiзу та теорп функцп комплексно! змшно!, а також аналiз i моделювання - для розробки алгоритмiв графiчного подання результатiв у системi комп'ютерно! математики Maple.

РЕЗУЛЬТАТИ ДОСЛ1ДЖЕННЯ

Метод дiйсно¡нев'язки полягае в тому, що нерiвнiсть f (x) < 0 замiнюеться рiвнянням f (x) + r = 0, де нев'язка

г >0 - величина вщхилення лiвоí частини нерiвностi вiд право! (Фiлер, 2014). Аналопчно, нерiвнiсть f (x) > 0 замшюеться рiвнянням f(x) = r, r > 0. Така замша дае можливкть знаходити к дшсы, так i комплекснi розв'язки

1 1 1 -1 x(r) = a(r) + ib(r) при r > 0. Наприклад, нерiвнiсть ~< 1 замшюеться рiвнянням ~ + r = 1 з додатним параметром r.

Розв'язуючи це рiвняння вiдносно x отримуемо x = ——, r > 0,r ф 1. Звкно, зазвичай для розв'язування тако! нерiвностi

1 - r

використовують метод iнтервалiв або перехiд до сукупност систем нерiвностей в залежност вiд знакiв чисельника i знаменника. Вщповщдю буде сукупнiсть вiдкритих пiвiнтервалiв (—<х;0) и(1;<х). Але це буде вщповщдю на питання «де?»,

але на питання «на скльки менше?» цей розв'язок не вщповщае. Нев'язка r(x) = 1--разом з множиною розв'язкiв

x

нерiвностi дають вiдповiдi на цi два питання.

Розв'яжемо цим методом нерiвнiсть x2 + 2x + 2<0. Вш дае рiвняння x2 + 2x+2 + r = 0, де нев'язка r > 0.

Розв'язуючи його, отримаемо множину комплексних розв'яз^в нерiвностi: x = —1 ±iV 1 + r , r > 0 (рис. 1).

На цьому прикладi легко бачити, що сукупысть розв'язкiв двох протилежних нерiвностей f(x) < 0 ifx) > 0 та кореыв рiвняння fx) = 0, отриманих методом дшсно! нев'язки, не заповнюе усю комплексну площину. Тодi прийшла думка розглянути комплексну нев'язку r = s + it з дiйсними додатними s i t.

Таким чином, виникае необхщысть введення порядку в область комплексних чисел. Такий же порядок, як у бiблiографií: слова пишуться у порядку А, Б i т. д. Але якщо першм лiтерi однаковi, то порядок встановлюеться по другiй лiтерi. Або як бтети i мiсця у театрг якщо номери рядiв рiзнi, то номери бiлетiв порiвнюються за номерами рядiв; для одного i того ж ряду номер встановлюеться по мкцю. Одне iз таких впорядкувань наведено у книзi О.В. Кужеля (Кужель, 1974): a + bi < c + di»a < cабо a = c i b < d. Вш навпъ запропонував читачу розв'язати лшшну нерiвнiсть з комплексними коеф^ентами, не вказавши методу i вiдповiдi.

Вибравши r = s + it, де s > 0 або s = 0 i t > 0 отримаемо, для вже розглянуто! нерiвностi, рiвняння x2 + 2x + 2 + s + it = 0 . Зробивши замшу x := x + iy , отримаемо систему (x +1)2 — y2 = —(1 + s), 2y(x +1) +1 = 0. Перше

рiвняння дае пперболи з вершинами у точках (—1^1 + s) i (—1; —J 1+s) та асимптотами y = x + 1 i y = —x — 1 (рис. 2). Пперболи покривають усю область, утворену граничною пперболою y2 — (x +1)2 = 1 при s = 0.

Рис. 1. Комплексы розв'язки HepiBHOCTi x2 + 2x + 2 < 0 Рис- 2. Розв'язування HepiBHOc^ методом комплексного r

У низцi пакетiв типу Maple, Wolfram Mathematica передбачена можливiсть побудови графив нерiвностей Re(f (x+iy)) < 0 . Вона дае розв'язок нерiвностi f (x + iy) < 0, але без границГ Границю дае розв'язок друго! нерiвностi з врахуванням знаку t. 1з нього отримуемо y(x + 1) =—t/2 , тобто знакиy i x + 1 протилежнi. Отже, злiва вiд прямо! x + 1 = 0 y > 0, справа вщ не! y < 0. 1нша частина гранично! пперболи приеднуються до розв'язкiв протилежно! нерiвностi x2 + 2x+2 >0. На рис. 2 арий колiр позначае розв'язки нерiвностi x2 + 2x+2 <0 методом комплексно! нев'язки; чорна л^я - границя ^е! обласп; зелений колiр - розв'язки, отримаы методом дiйсноí нев'язки; червоы точки - коренi рiвняння x2 + 2x+2 = 0 . Розв'язок нерiвностi x2 + 2x+2 >0 - бте поле на цьому рисунку з залишками границ мiж сiрою та бiлою частинами.

Покажемо розв'язки HepiBHOCTi — < 1 методом комплексно! нев'язки. Вона зводиться до рiвняння

1 x - iy .

-+ S + it = 1 -— + s + It = 1 ^

x + iy

t - I -

x + y

1

x2 + y2

+ s = 1,

2 у 2 +t = Перше рiвняння дае кола x2 + y2 += 0

x + У 1 — s

радiусiв r 7 з центром в точц (r; 0). При s < 0 кола дотикаються прямо! злiва вiд прямо! x = 0, при s > 1 - справа.

2 (1 — s)

При s ^ 1 дуги кт прямують до ос OY. При s=0 отримаемо r - границю областi розв'язюв. За допомогою системи комп'ютерно! математики Maple 17 отримано рис. 3. Друге рiвняння системи означае, що знак на границ ствпадае зi

знаком t, тобто областi розв'яз^в належить верхне пiвколо. Протилежна нерiвнiсть _>1 буде виконуватись в

самому

круз1 з нижн1м твколом.

ОБГОВОРЕННЯ

Наведемо приклади графiчного зображення комплексних розв'язюв нерiвностей. Для побудови област в системi комп'ютерно! математики Maple 17 застосовуемо команду piecewise (Дрозденко, 2019), яка задае характеристичну функщю двох змшних: у точках, ям задовольняють нерiвнiсть Re(f) < Re(g) вона прийматиме значення 1 та -1 у шшому випадку. Далi застосовуемо команду implicitplot для побудови графта неявно задано! функцп, видтяючи ту частину областi, де побудована функ^я додатна. Далi потрiбно дослiдити змiну знака уявно! частини на лшм, яка визначае змшу знака дiйсноí частини нерiвностi.

Покажемо алгоритм тако! побудови у Maple 17 на прикладi рис. 4. Спочатку пщключаемо пакет для побудови графЫв:

with{plots) :

Далi вводимо характеристичну функцю

1

f ~ (х,у) —>piecewise] Re

< Re(x + I-y), 1,-1

I Ч Сх + 1-у)2

Задаемо видтення тieí областi на площинi, де побудована функция додатна. Для цього вводимо об'ект Р: Р ■= трИсИрШ{[(х,у) > 0,х=-2 ,.2,у=-2,2,со1опп%, = [&еу,у/Ы1е],А11ес1ге&опз = 1гие, питроШх = 400000)

Вщображаемо отриманий графiчний об'ект: <1ир1ау{Р)

У результат ми отримаемо внутршы точки обласп. Щоб знайти и границю, побудуемо область, яка задаеться уявною частиною та визначаемо точки перетину ще''' областi з лiнiею Re(/) = Re(g). Аналiтичний спосiб приводить до

2ху - уг4

2 2 x - y

нертносп -< x для Д1исно1 частини та

-< 0 для уявно!, де r = x + y

1

Рис. 4. Область розв'язюв HepieHocmi — <x

1

Рис. 5. Область розв'язюв HepieHocmi — <x

Аналопчно визначаеться приналежысть границ на рис. 5: — < x — УУ, у[ 2x + — | >

r ^ r )

Далi наведено деякi приклади графiчного зображення комплексних розв'язкiв нерiвностей (рис. 6-8).

x

x

1

r

r

1

Рис. 6. Область розв'язюв HepiBHOCTi — < x

Рис. 7. Область розв'язкiв HepiBHOCTi x2 < ■

2-1 ... Г Л ....

1 1 1 ^ 1 '' -6 -4 -2 \ о '•-Ir -2- /2 4 6 X

Рис. 8. Область розв'язмв HepiBHOCTi -< x

sin x

На рис. 9-12 зображено облает розв'язкiв елементарних нерiвностей z < 0,z > 0,z < 0,z > 0.

Рис. 9. Розв'язки HepiBHOCTi z < 0

Рис. 10. Розв'язки HepiBHOCTi z > 0

Рис. 11. Розв'язок HepiBHOCTi z2 > 0

Рис. 12. Розв'язок HepiBHOCTi z2 < 0

Згадаемо метод iнтервалiв, який вивчають у школi для розв'язання нерiвностей: вщшукують точки, де функция дорiвнюe нулю та точки ТТ розриву, а потiм визначають знаки, якi приймае функщя в кожному з iнтервалiв. Цей метод Грунтуеться на властивостi неперервноТ функц^Т зберiгати знак в таких штервалах. Можна за цим зразком побудувати метод сумiжних областей, в якому будуеться границя мiж сусщыми пiдобластями, а потiм з'ясовуеться, де лежать потрiбнi пiдобластi.

x

ВИСНОВКИ ТА ПЕРСПЕКТИВИ ПОДАЛЬШОГО ДОСЛ1ДЖЕННЯ

У роботi дослiджуеться проблема пошуку множини розв'язкiв нерiвностей з досними коефiцiентами у комплекснiй областi, а також пропонуеться метод знахоження вщхилення знайдених розв'язмв в^д заданого значення. Це приводить до поняття нев'язки. Метод нев'язки при розв'язаны квадратних нерiвностей веде до комплексних розв'язюв, а застосування комплексно!' нев'язки - до заповнення уае! комплексно!' площини при розглядi сукупностi нерiвностей/х) < 0,/х) > 0 та рiвняння/х) = 0. Це дае змогу шукати границю - лiнiю, яка роздiляе ц множини та коренi функц^Т на цм лiнi!'. Тут лежить можливкть пояснити суть гiпотези Рiмана про кореы дзета-функцп £ , ям е точками перетину лiнiй - границь областей Яе^< 0 та Яе^> 0 з лiнiями 1т£ = 0. Границя Яе^(г) = 0 прямуе знизу догори, досягаючи максимуму, вщповщно до гiпотези, в коренях на прямм х = 0,5, тобто в точках виду 0,5 + 1у1 . Тодi в них ¿Г (0,5 + гук) = 0 , де вона змшюе знак з «-» на «+». На рис. 13 сиым кольором видiлено область, де Яе^(х+у) < 0, червона л^я е розв'язком рiвняння 1т£ = 0.

Подальшi дослiдження полягають у класифтацп нерiвностей (лiнiйнi, дробово-лiнiйнi, многочлены, тригонометричы, показниковi тощо) та методiв !'х розв'язання у комплекснiй площиы. Треба шукати математичнi задачi для нерiвностей, де будуть потрiбнi комплексы розв'язки нерiвностей та !'х застосування в задачах фiзики та Ыших наук реального свiту. Тодi цей апарат i метод будуть потрiбнi для вiдповiдного кола користувачiв.

Рис. 13. Корен дзета-функцп PiMaHa

Список використаних джерел

1. Дрозденко В.О. Maple в математицк навчальний поабник для студентiв вищих навчальних закладiв III та IV piBHiB акредитацп. Бiла Церква, 2019. 328 с.

2. Ерёмин А.Ю., Капорин И.Е., Керимов М.К. О вычислении дзета-функции Римана в комплексной области. Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1985, том 25, номер 4, С. 500-511.

3. Кужель О.В. Розвиток поняття про число. Ознаки подшьносл. Досконалi числа. К.: Вища школа, 1974. 80 с.

4. Ткаченко С.П., Фтер З.Ю. Комплексы розв'язки квадратно! неpiвностi. Математика в школ^ 2003, №2. С. 47-49.

5. Филер З.Е. Неравенства в комплексной области. Современные проблемы естественных наук. Том 1(2), 2014. Хармв: ХДУ. С. 194-199.

6. Фтер З.Ю. Рiвняння та неpiвностi в науц та навчаны. Матеpiали мiжвузiвcько! репонально! конференцГ! «Математика, !! застосування та викладання» (Кipовогpад, 24-25 вересня 1999 року). РВГ 1Ц КДПУ, 1999. С. 141-145.

References

1. Drozdenko V.O. (2019). Maple v matematytsi: navchalnyi posibnyk dlia studentiv vyshchykh navchalnykh zakladiv III ta IV rivniv akredytatsii [Maple in Mathematics: a textbook for students of higher education institutions of III and IV levels of accreditation]. Bila Tserkva. [in Ukrainian].

2. Erjomin A.Ju., Kaporin I.E. & Kerimov M.K. (1985). O vychislenii dzeta-funkcii Rimana v kompleksnoj oblasti [Calculation of the Riemann zeta function in a complex domain]. Zhurnal vychislitel'noj matematiki i matematicheskoj fiziki - Journal of Computational Mathematics and Mathematical Physics, 25 (4), 500-511.[In Russian].

3. Kuzhel O.V. (1974). Rozvytok poniattia pro chyslo. Oznaky podilnosti. Doskonali chysla [Development of the concept of number. Signs of divisibility. Perfect numbers]. Kyiv: Vyshcha shkola [in Ukrainian].

4. Tkachenko S.P. & Filer Z.Iu. (2003). Kompleksni rozviazky kvadratnoi nerivnosti [Complex solutions of a quadratic inequality]. Matematyka v shkoli - Mathematics at school, 2, 47-49 [in Ukrainian].

5. Filer Z.E. (2014). Neravenstva v kompleksnoj oblasti [Inequalities in the complex area]. Sovremennye problemy estestvennyh nauk - Modern problems of natural sciences, 1(2), 194-199 [In Russian].

6. Filer Z.Iu. (1999). Rivniannia ta nerivnosti v nautsi ta navchanni [Equations and inequalities in science and education]. Proceedings of the Regional Conference «Mathematics, its application and teaching» (pp. 141-145J Kirovohrad [in Ukrainian].

METHOD OF SEARCHING COMPLEX SOLUTIONS OF INEQUALITIES BY THE DEFLECTION METHOD

Z.Yu. Filer, A.S. Chuikov

National aviation university, Ukraine

Abstract.

Formulation of the problem. Traditionally, the school textbooks deal with inequalities in the set of real numbers. Solving inequalities with the unknown number they are limited to finding the area where the requirement is greater or less is fulfilled. By the way, in a number of problems it is important how much the values are differs. At the same time, complex solutions are revealed in the case of a real deflection.

Materials and methods. The methods of mathematical analysis and theory of functions of a complex variable are used. Analysis and modeling techniques are also used to develop algorithms for graphically representing our results in the computer mathematics system Maple 17.

Results. It is proposed to use a complex deflection r = s + it, where s > 0 or s = 0 and t > 0, which gives complex solutions of inequalities. The set of all inequality solutions obtained by the complex residual method is a two-dimensional domain. Moreover, inequalities with

opposite signs have solutions that complement each other to a complex plane. Examples of the application of the complex deflection method for solving quadratic, rational, and other inequalities are presented. The application of the computer mathematics system Maple 17 for graphical construction of the area-solutions of inequalities is demonstrated.

Conclusions. The submitted material can be useful for school teachers and teachers of professional higher and higher education in studying the topic «Complex numbers». Inequalities in a complex set have been considered sporadically, for example, in proving D'Alembert's lemma about the value of the modulus of a complex argument at adjacent points around a point where it is nonzero. These inequalities can be used to find the roots of complex functions. Further research in this area is to systematize and classify inequalities and methods of their solving in a complex plane.

Key words: deflection method, complex deflection, complex solutions, Maple 17.

This work is licensed under Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License.