CC BY
11
Scientific journal ISSN 2413-158X (online)
PHYSICAL AND MATHEMATICAL EDUCATION ISSN 2413 1571 (Print)
Has been issued since 2013.
Науковий журнал
Ф1ЗИКО-МАТЕМАТИЧНА ОСВ1ТА
Видаеться з 2013.
http://fmo-journal.fizmatsspu.sumy.ua/
Ботузова Ю.В. Забезпечення наступност'! навчання математики при п1'дготовц до розв'язування задач ЗНО методом о^нки. Ф'!зико-математична освта. 2020. Випуск 3(25). Частина 2. С. 21-28.
Botuzova Yu.V. Ensuring The continuity of learning mathematics in preparation for solving problems of EIA with the assessment method. Physical and Mathematical Education. 2020. Issue 3(25). Part 2. Р. 21-28.
DOI 10.31110/2413-1571-2020-025-3-020 УДК 317.512
Ю.В. Ботузова
Центральноукранський державний педагогiчний ушверситет iменi Володимира Винниченка, Украна vassalatii@gmail.com ORCID: 0000-0002-1313-0010
ЗАБЕЗПЕЧЕННЯ НАСТУПНОСТ1 НАВЧАННЯ МАТЕМАТИКИ ПРИ П1ДГОТОВЦ1 ДО РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ ЗНО МЕТОДОМ ОЦ1НКИ
АНОТАЦЯ
Формулювання проблеми. Ум1ння розв'язувати задач'! методом оценки е умовою усп1шного складання ЗНО з математики учнями ЗЗСО. Опанування цим методом зд/'йснюеться посл1довно в процеи вивчення шкльного курсу математики, що сприяе забезпеченню наступност1 навчання математики. Зокрема, в учн1в мае сформуватись вм1ння знаходити област'1 визначення та значень функц1й, ОДЗ р1внянь, а також оцнювати значення вираз1в, користуючись властивостями числових нер1вностей. Анал'в сучасних п1дручник1в та програм показав, що методу оц1нки достатньо)' уваги не придляеться. Тому вчител¡, керуючись власним досв1дом, вивчаючи методичну лтературу та щор'чно анал1зуючи задач': ЗНО, мають пропонувати под1бн1 задач': учням старших класв.
Матер/'али / методи. В дослдженн/' використовувались теоретичн1 методи: анал'в навчальних програм з математики, задач сертиф1кац1йних робт ЗНО попередтх рок1в, змсту сучасних шкльних п1дручник1в ¡з алгебри; узагальнення власного та передового педагог'много досв'ду; емтричн': методи: педагог'чт спостереження на уроках математики та заняттях курс1в пдготовки до ЗНО; методи наукового п1знання: систематизац1я та узагальнення для формулювання методичних рекомендаций та висновюв.
Результати. Автором були розглянут'1 теоретичш основи використання методу оцнки при розв'язуванш р1внянь та ¡х систем.
Наведен': ор1ентовн1 алгоритми даного методу. Проанал1зован1 основт знання з'! шк1льного курсу математики, як1 необх1дн1 учням для успшного опанування методом оцнки. Запропоновано деяш пропедевтичн вправи ¡з зазначенням знань та вмнь, як1 необх1дн1 учням для ¡х виконання. Наведено задач '! ¡з сучасних п1дручник1в алгебри, а також приклади задач ¡з сертиф1кац1йний робт зовншнього незалежного оцнювання з математики, як1 розв'язуються методом оцнки, зокрема задач'! з параметром.
Висновки. Запропонований в статт ': теоретичний матер 'шл, сформульоват ор1ентовн1 алгоритми використання методу оцнки, а також наведен'! р1знопланов1 приклади його застосовування будуть корисними учням та вчителям у процес пдготовки до складання зовншнього незалежного оцнювання з математики.
КЛЮЧОВ1 СЛОВА: рiвняння, метод о^нки, методика навчання математики, ЗНО, наступнсть.
ВСТУП
Одним iз методiв розв'язування рiвнянь з використанням властивостей функцм е метод оцшки. Вш передбачае отримання оцшок значень виразiв, ям знаходяться в правм та лiвiй частинах рiвняння, з метою обфунтування на '¡х основi вщсутносп кореыв рiвняння чи переходу до системи бтьш простих рiвнянь.
У сучасый методична лiтературi можна знайти достатньо зраз^в використання методу оцшки до розв'язування нестандартних, складних задач та задач iз параметром (Амелькин&Рабцевич, 2004; Голубев, 2007; Голубев&Шарипн, 1991). У шктьних тдручниках для клаав з поглибленим (профтьним) вивченням математики мктяться поодинок приклади розв'язування рiвнянь нестандартного вигляду методом оцшки (Мерзляк&Полонський&Я^р, 2017). Варто зазначити, що в змют програм з математики метод оцшки не е обов'язковим для вивчення, але вш достатньо часто зус^чаеться в задачах ЗНО. Цей факт актуалiзуе проблему забезпечення наступност навчання математики, адже наступысть - це загальнопедагопчний принцип, спрямований на збереження неперервност освiтнього процесу за рахунок забезпечення зв'яз^в всередин та мiж ступенями освiти.
Яккна пщготовка учыв до складання ЗНО з математики передбачае вивчення вчителем велико!' кiлькостi методично! лiтератури, виконання щечного аналiзу задач ЗНО та вiдбiр задачного ряду для формування в учыв умiнь та навичок розв'язання задач ЗНО, зокрема рiвняння та '!х системи, якi розв'язуються методом оцшки.
Для того, щоб використовувати метод оцшки для розв'язування рiвнянь, необхщно чiтко розумiти для яких титв рiвнянь вiн взагалi тдходить. Отже, варто зазначити, що метод оцшки застосовуеться до рiвнянь вигляду f (x) = C, де
С - const, або f (x) = g (x). Вiдмiтимо, що е двi основi ознаки, якi спонукають до використання методу оцшки для певного
рiвняння: 1). Вiдсутнiсть iнших стандартних методiв для розв'язування заданого рiвняння; 2). Обмеженiсть функцiй, якi мктяться в рiзних частинах цього рiвняння.
Метод оцiнки розв'язування рiвняння вигляду f (x ) = C , де С - const передбачае алгоритм №1: 1) Оцшюемо
значення функцй y = f (x) на !! областi визначення; 2). Розглядаемо можливi ситуацп: а) f (x)< A , де А<С ; б) f (x)< A ,
де А < С ; в) f (x)< С ; г) f (x)> B , де B >С; Г) f (x)> B , де B >С; д) f (x)> С ; е) f (x)< С ; е) f (x)> С . Якщо пiсля аналiзу
отримано'! оцiнки значення функцй y = f (x) виконуеться одна iз умов а)-д), то задане рiвняння не мае розв'яз^в. Якщо
виконуеться одна iз умов е) або е), то рiвняння може мати розв'язки. Одним iз способiв '!х знаходження е графiчний метод розв'язування рiвнянь.
Трапляються випадки, коли функщя y = f (x) в рiвняннi вигляду f (x ) = C , де С - const може бути представлена у виглядi суми або добутку ктькох функцш. Наприклад, f (x) = f (x) + f (x) +...+f (x), або f (x) = f (x)• f, (x)•...• f (x) . Тодi алгоритм використання методу оцшки може бути наступним: 1) Якщо рiвняння мае вигляд
fi (x)+ f2 (x) +...+f„ (x) = С , при чому f (x )< С, f2 (x)< С2, ..., fn (x)< Сп та C + С2 +... + C„ = C, або ж f (x )> С, f2 (x)> С2
fi (x ) = Ci;
f2 (x ) = C2;
2) Якщо рiвняння
, ..., fn (x)> Сп та C + С2 +... + C„ = C, то переходимо до рiвносильноí системи рiвнянь: •
мае вигляд fi (x )• f2 (x )•...• fn (x ) = С , при чому 0 < fj (x )< С1, 0 < f2 (x)< С2, ..., 0 < fn (x)< Сп та C С •... • C = C, або ж f1 (x )> С1, f2 (x )> С2, ..., fn (x )> Сп, де C ,С2 - невiд'емнi числа та C С •... • C = C, то переходимо до рiвносильноí
' fi (x ) = Ci; f2 (x ) = C2;
системи р1внянь:
3) Розв'язуючи отриману систему рiвнянь, знаходимо шуканий розв'язок заданого
/ (X )= С,
рiвняння, або встановлюемо, що його не кнуе.
Для розв'язування рiвнянь вигляду /(х) = д(х) методом оцшки можна скористатись алгоритмом №2: 1) Оцшюемо
значення функцш у = /(х) та у = д(х) на ОДЗ заданого рiвняння; 2) Розглядаемо можливi ситуацп: а) значення одые! з
функцш менше деякого числа А, а значення друго! функцй в цей час бтьше деякого числа В, при чому А<В; б) значення одые! з функцш не бiльше деякого числа А, а значення друго! функцй бтьше деякого числа В, при чому А < В; в) значення одые! з функцш менше деякого числа А, а значення друго! функцй в цей час не менше деякого числа В, при чому А<В; г) значення одые! з функцш не бтьше деякого числа А, а значення друго! функцй не менше деякого числа В, при чому А < В ; Г) значення одые! з функцш менше деякого числа С, а значення друго! функцй в цей час бтьше цього ж числа С; д) значення одые! з функцш не бтьше деякого числа С, а значення друго! функцй в цей час бтьше цього ж числа С; е) значення одые! з функцш менше деякого числа С, а значення друго! функцй в цей час не менше цього ж числа С; е) значення одые! з функцш не менше деякого числа С, а значення друго! функцй в цей час не бтьше цього ж числа С.
Якщо тсля аналiзу отриманих оцшок значень функцш у = /(х) та у = д(х) виконуеться одна iз умов а)-е), то задане рiвняння не мае розв'яз^в. Якщо ж виконуеться умова е), то рiвняння може мати розв'язки, як знаходяться шляхом
/ (х) = С;
розв'язання р1вносильно1 системи р1внянь: , , .
[д (х ) = С.
З наведених вище алгоритмiв зрозумто, що для опанування методом оцшки учн мають вмти знаходити област визначення та значень функцш, ОДЗ рiвнянь, а також оцшювати значення виразiв, користуючись властивостями числових нерiвностей. Ц знання учн отримують впродовж вивчення курсу математики основно! та старшо! школи.
Мета статп полягае у розкритi важливост формування в учнiв умiнь розв'язувати рiвняння та !х системи методом оцшки для !х успiшного складання ЗНО з математики.
МЕТОДИ ДОСЛ1ДЖЕННЯ
Для виокремлення необхiдного для засвоення учнями навчального матерiалу використовувались деякi теоретичнi методи, а саме: аналiз навчальних програм з математики, задач сертифтацшних робiт ЗНО попереднiх робп-, змiсту сучасних шкiльних пiдручникiв з алгебри; узагальнення власного та передового педагопчного досвщу. Пiд час проведення педагопчних спостережень на уроках математики у ЗЗСО та заняттях курав пiдготовки до ЗНО застосовувався емтричний
метод дослiдження - спостереження. Також були використанн TaKi методи наукового тзнання як систематизацiя та узагальнення, як дозволили узагальнити результати проведено'!' роботи та сформулювати методичн рекомендаций зробити висновки.
РЕЗУЛЬТАТИ ДОСЛ1ДЖЕННЯ
За навчальною програмою з математики, в 9 клас вивчаеться тема «Нерiвностi», в межах яко'|' учнi знайомляться з основними властивостями числових нерiвностей та на ïx основi оцiнюють значення вирaзiв. Окрiм того, знаючи властивост основних елементарних функцiй, учнi вже можуть виконувати завдання на знаходження област значень функцiй.
Наприклад: «Вправа 1. Знайдпь область значень функцп: а) y = ~fx -5 ; б) y =|x |+2 (1стер, 2017); в) y = 5-x2 ; г) y = Vx - 2 +V 2 - x (Мерзляк&Полонський&Якр, 2017)».
Розв'язання: а) функ^я y = <fx на своïй област визначення D(y) = [0; +œ) приймае невiд'емнi значення, тобто
yfx >0, а тому оцшити значення виразу \fx -5 можна скориставшись властивостями числових нерiвностей, а саме: «якщо вiд обох частин правильно'!' нерiвностi вiдняти (додати) одне й те саме число, то отримаемо правильну нерiвнiсть». Тобто, six >0 ^ Jx -5>0-5 ^ sfx -5>-5 . Отже, E(y) = [-5; +х>) .
б) областю визначення функцп y =|x | е множина всix дiйсниx чисел, а областю значень - числовий промiжок [0; +»), тобто |x|>0 . Користуючись властивостями числових нерiвностей, aнaлогiчно до пункту а), маемо: |x|>0 ^
| x | +2 > 0 + 2 ^ | x | + 2 > 2 . Отже, E ( y) = [2; +œ).
в) областю визначення функцп y = X е множина вах дмсних чисел, а областю значень - числовий промiжок [0; +œ), тобто х2 > 0 . Спочатку оцшимо значення -х2 : -х2 < 0 , а дaлi додамо до обох частин отримано' нерiвностi 5. Таким чином, отримуемо: -х2 + 5 < 5 ^ E(y) = (-œ;5].
г) функ^я y = Vx - 2 +V 2 - x мае областю визначення одну едину точку х = 2 . А тому приймае едине значення, що дорiвнюе y(2) = V2-2 +V2-2 = 0 . Отже, E(y) = {0} .
Biànoeiàb: a) E(y) = [-5; +х>) ; б) E(y) = [2; +<x>) ; в) E(y) = (-œ;5j ; г) E(y) = {0} .
Для розвитку вмшня оцшювати значення вирaзiв (знаходити област визначення функцiй) корисними е вправи, пов'язан з властивостями квадратично' функцп. Наприклад: «Вправа 2. Знайти область значень функцп: a) y = x2 -2x + 3; 2
б) y = —- ».
x - 2x + 3
Розв'язання: a) функцiя y = x2 -2x + 3 квадратична; областю ïï визначення е множина вах дмсних чисел; графтом е парабола, вiтки якоï спрямован вгору; областю значень е промiжок E(y) = [y; +х>), де y - ордината вершини параболи. Отже, знайшовши значення y, знайдемо область визначення зaдaноï функцп. Зазначимо, що в рiзниx пщручниках з алгебри, по-перше, фiгурують рiзнi позначення для координат вершини параболи (наприклад, (хд;ye) (1стер, 2017), (х;Уо) (Мерзляк&Полонський&Яшр, 2017), (m;n) (Бевз, 2017); по-друге, рiзнi способи вщшукання ординати вершини (пiдстaвити значення абсциси вершини у саму функ^ю та обчислити y = f(xe) (1стер, 2017); рахувати за формулою 4ос - b2 D
yn =-=--(Мерзляк&Полонський&Якр, 2017; Бевз, 2017). Нам iмпонуе перший спосiб обчислення, адже сучасн
0 4 a 4 a
учн не схильн до запам'ятовування формул. Достатньо того, щоб вони запам'ятали, як знаходити абсцису вершини
параболи, а саме x = — .
в 2a
-b -(-2) _
Отже, повертаючись до нашого прикладу, знаходимо: xe = — =-= 1, y = 12 -2 1 + 3 = 1 -2 + 3 = 2. Звщки,
2a 2
E (y) = [2; +х>) .
2
б) розглядаючи функщю y = —-, помiчаемо, що знаменник нтоли не перетворюеться в нуль, а приймае
x - 2x + 3
2
значення з промiжку [2; +œ), що було встановлено вище у пункт а). Таким чином, дрiб —- приймае лише додaтнi
x - 2x + 3
2
значены, але не бтьшл за 1. Отже, можемо записати: 0<—-< 1 ^ E(y) = (0; 1].
x - 2x + 3
Biànoeiàb: a) E ( y) = [2; +œ) ; б) E (y) = (0;1].
В старших класах школи учнi вивчають iррaцiонaльнi, тригонометричнi (10 клас), показников^ логaрифмiчнi функцп (11 клас) та ïx основнi влaстивостi. Тому можуть оцшювати значення iррaцiонaльниx, тригонометричних, показникових та
1
логaрифмiчниx вирaзiв. Наприклад: «Вправа 3. Оцшгть значення виразу: a) 4sin x - 3 (1стер&£рпна 2018); б)
cos x - 2
(Бевз&Владiмiрова, 2018); в) 7cos2x + 3sin2x (1стер&£рпна 2018)». Розв'язання:
а) вщомо, що -1 < sinx< 1, тодi за властивостями числових HepiBHOcreki: -4 <4sinx<4 та -4-3<4sinx-3<4-3 ^ -7 < 4 sin x - 3 < 1;
1
б) вщомо, що -1 <cosx< 1 та -1 -2<cosx-2< 1 -2 ^ -3<cosx-2<-1, тодi дрiб - мктиться в межах
cos x - 2
1 1
-1 <-< —;
cosx - 2 3
в) спочатку спростимо вираз 7cos2 x + 3sin2 x = 4cos2 x + (3cos2 x + 3sin2 x) = 4 cos2 x + 3 . Далi оцшимо його значення
-1 <cosx< 1 ^ 0 < cos2 x < 1 ^ 0 < 4cos2 x < 4 ^ 0 + 3 < 4cos2 x + 3 < 4 + 3 ^ 3 < 4cos2 x + 3 < 7
Bidnoeidb: а) [-7;1]; б)
-1; -1 3
; в) [3;7].
Подiбнi задачi трапляються i на ЗНО. Зокрема, серед задач ЗНО в сертифтацшшй робот 2013 р. е завдання:
(1 - 2cos x )4
«Знаид1ть наиб1льше значення функцп y = ±-'— ». Дане завдання вимагае зд1иснити оц1нку значення виразу
2
(1 - 2cos x )4
-'— . Для цього виконуються послщовы оцшки: -1 <cosх< 1 ^ -2<-2cosх<2 ^ -1 < 1 -2cosх<3 ^
0 < (1 -2cosх)4 < 81 ^ 0 < (1 2cosХ^ <81 = 40,5 . Вщповщь: найбiльше значення функцп 40,5.
V / 2 2
Задачi на знаходження област визначення та област значень функцiй, що мктять iррацiональностi, за статистичними даними звтв ЗНО е складними для учыв. Наприклад завдання: «Укажпъ область значень функцп
y = Vx2 + 9 -6 (ЗНО 2008 р.)»
А Б В Г Д
[9; [0; [3; +«>) [-3; +да)
- виконало лише 26,21% учыв, як проходили тестування, що вказуе на складысть завдання. Це завдання потребувало глибокого аналiзу виразу 4хг + 9 -6 . Область визначення задано! функцГ! - множина всiх дiйсних чисел, через те, що пщкореневий вираз х2 + 9 при будь-якому значен змiнно! х приймае додатн значення. Мiнiмальне значення
виразу х2 + 9 дорiвнюе 9, максимального значення не мае, тобто (х2 + 9)> 9 , а тому, враховуючи, що у = -Тх зростаюча
функщя, оцiнимо значення виразу >/х1 + 9 -6 : ^х2 + 9 >>/9 ^ Vх1 + 9 >3 ^ л/х2 + 9 -6>3-6 ^ Vх1 + 9 -6>-3 . Отже, правильна вщповщь «Г», тобто промiжок [-3; .
Приступати до розгляду методу оцшки при розв'язуванн рiвнянь варто лише тод^ коли учнi мають досвiд вирiшення задач на знаходження област значень рiзноманiтних виразiв та функцш, вмiють оцiнювати вирази, використовуючи при цьому властивостi числових нерiвностей.
ОБГОВОРЕННЯ
Розглянемо задачi основних сесш ЗНО з математики, якi передбачають використання методу оцiнки для свого розв'язання.
Задача 1. «Розв'яжпъ рiвняння л/2х2 + 7х-9 + ^п(жх) +1|= 0 . Якщо рiвняння мае один коршь, то запишiть його у вщповщь. Якщо рiвняння мае бiльше, ыж один корiнь, то у вщповщь запишiть суму всiх коренiв (ЗНО 2010 р.)».
Розв'язання: задане рiвняння мае вигляд /(х) + /2(х) = С , де /(х) = V2х2 + 7х-9 , /2(х)=^п(жх) +1|, С=0. Алгоритм розв'язання такого типу рiвнянь наведений вище. Оцiнимо значення / (х) та /2 (х). Маемо:
/(х) = V2х2 + 7х-9 >0, /(х)=^п(жх) +1|>0 ^ /(х)+ /(х)>0 . Отже, можемо переходити до рiвносильно!, системи, адже рiвнiсть нулю буде виконуватись лише у випадку, коли обидва доданки дорiвнюють нулю. IV 2х2 + 7х - 9 = 0; |2х2 + 7х - 9 = 0;
[ ^¡п(жх) +1|= 0; [s¡n(жх) +1 = 0;
Перше рiвняння системи - квадратне. Розв'язуемо, використовуючи дискримшант чи властивост суми
с -9
коеф^ен^в: « а + Ь+с = 0 , тодi х1 = 1, х = _ ». Отже, знаходимо х1 = 1, х = — .
а 2
Друге рiвняння системи - тригонометричне, яке зводиться до частинного випадку: 5т(я\х) = -1 ^
ж 1 жх = —+2жк, к е I ^ х = —+2к, к е I . 2 2
Розв'язком системи е сптьний коршь обох рiвнянь системи. Помiчаемо, що серед розв'язкiв другого рiвняння не
Задача 2. «Розв'яжпъ систему рiвнянь
-9
може бути цтих, а тому спiльним розв'язком обох рiвнянь e x = — за умови, якщо вдасться знаити таке значення k e Z,
2
9 1
при якому виконуватиметься р1вн1сть — =---+2k . Маемо: 2k = -4 , а отже к = -2e Z. Таким чином розв'язком системи
2 2
-9
e x =— = -4,5 . Bidnoeidb: -4,5. 2
За даними звпу ЗНО 2010 р. розглянуте вище рiвняння змогли розв'язати повшстю лише 3,74% вах учасникв тестування, що вщносить Иого до розряду «дуже складних».
cos i|(2x + 5)1 = 1 + ( у -1)8;
^ ' Запишiть у вiдповiдь добуток x0 • у0 , якщо
лу , 4sin — = 4x + 4 x + 5. 2
пара (х0;у0) е розв'язком системи рiвнянь (ЗНО 2006 р.)».
Розв'язання: обидва рiвняння, що мктяться в заданiИ системi е трансцендентними рiвняннями з двома змшними, а тому потребують пошуку методу розв'язання. Спробуемо скористатись алгоритмом №2 методу оцшки для рiвнянь вигляду f(x)=g(y).
Розглянемо детальнiше перше рiвняння системи: cos (~(2x + 5)| = 1 + ( у -1)8. Оцiнимо значення обох частин рiвняння, враховуючи, що змшы x та y можуть приймати будь-як дiИснi значення.
Оцшка лiвоï частини рiвняння: -1 <cos|~(2x + 5)|<1. Оцiнка право!' частини рiвняння: (у-1)8 >0 ^
1 + (у -1)8 > 1 + 0 ^ 1 + ( у -1)8 > 1. Помiчаeмо, що виконуеться умова (е) наведено вище алгоритму №2: значення лiвоï частини рiвняння не бтьше 1, а значення право!' частини рiвняння в цей час не менше 1. Отже, вщ рiвняння
cos I ~(2x + 5) | = 1;
i 1+( у-1)8=1.
cos [^(2x + 5)J = 1 + (у -1)8 можемо переходити до рiвносильноï системи: В отриманiИ системi рiвняння простiшi. Розв'яжемо кожне з них:
1). cos |y(2x + 5)| = 1 - частинний випадок; ~(2x + 5) = 2жк, k e Z ^ 2*+ 5 = 2k, k e Z ^ 2x + 5 = 4k, k e Z ^ 4k - 5 . ,
2x = 4k - 5, k e Z ^ x =-,k e Z ;
2
2). 1 + (у -1)8 = 1 ^ (у-1)8 = 0 ^ у -1 = 0 ^ у = 1 ;
(4k - 5 | ,
Отже, розв'язком першого р1вняння е пара чисел I-;1 I,k e Z .
лу 2
Тепер розв'яжемо друге рiвняння задано)' системи: 4sln— = 4x + 4x + 5 . Воно також е трансцендентним, тому
2
застосовуемо до нього метод оцшки.
лу лу
Оцшка лiвоï частини рiвняння: -1 <sin— < 1 ^ -4 <4sln— <4 . Оцiнка право!' частини рiвняння: 4х2 + 4х + 5 -
2 2
-b -4 1
квадратнии тричлен. Область иого значень: [у; +œ). Обчислюемо x =— =-= —. Тод|
в в 2a 2 • 4 2
( 112 ( 11 14
у = 4-I -— I + 4 •!--! + 5 = 4 •"-" + 5 = 1 -2 + 5 = 4 . Звщси, 4х2 + 4х + 5 > 4 . Помiчаeмо, що знову виконуеться умова (е)
наведено вище алгоритму: значення лiвоï частини рiвняння не бтьше 4, а значення право!' частини рiвняння в цей час не
1лу
4sin— = 4; 2
4x2 + 4x + 5 = 4.
1 1
Оцшюючи значення право1 частини, ми встановили, що 4х + 4х + 5 = 4 виконуеться при x = —. Тому x =---
2 2
розв'язок другого рiвняння отримано! системи.
„ ■ лу . лу
Розв'яжемо перше р1вняння ц1е1 системи: 4sin— = 4 ^ sin— = 1 - частинний випадок. Маемо
2 2
лу л у 1 „ ,
— = —+ 2лп,п e Z ^ — = -+2n,ne Z ^ у = 1 + 4n,n e Z . Отже, розв'язком другого р1вняння початково! системи е пара 2 2 2 2
чисел — ;1 + 4n ,n e Z .
I 2 )
( 4k - 5 ^ ,
З|ставляючи розв'язки першого та другого р1внянь I —-— ;1 I,k e Z, 4k - 5 1
розв'язок: -= — та 1 = 1+4n, дек, n e Z ^ 4k - 5 = -1 ; 4n = 0 ^ 4k = 4 ; n = 0 ; ^ k = 1 ; n = 0 ^ k, n e Z . Це
2 2
—;1 + 4n I,n e Z , спробуемо знайти сптьний 2
означае, що знайшлись так цЫ значення k,n , при яких система мае розв'язок ;1j . У вщповщь необхщно записати 1
добуток:---1 = -0,5 . Biônoeiôb: -0,5.
2
Метод оцшки використовуеться також для розв'язування р1внянь з параметром, як традицшно входять до завдань ЗНО з математики i мають на мет перев1рку р1вня лопчного й абстрактного мислення випускникв шкт, здатност до анал1зу й узагальнення, необхщних для подальшого навчання у закладах вищо!' осв1ти. Як свщчать оф|ц[йн1 зв1ти про проведення ЗНО, задач! з параметрами викликають значн труднощ1 в учасникв тестування. Адже, там завдання належать до найвищого когытивного р1вня. Показовим е те, що максимальну кшьмсть бал1в за виконання завдання з параметром отримуе дуже незначна кшьшсть учасникв (в межах в[д 2% до 3 %), а бтьше половини учасникв тестування нав1ть не приступають до його розв'язання (Ботузова, 2019).
Задача 3. «Знайдпъ найменше значення а, при якому мае розв'язки р1вняння 1 (sinx +-\/3cosx) = 6 - 5a-2a2 (ЗНО
2011 р.)».
Розв'язання: Задача м1стить параметр а i за виглядом дуже схожа на попередньо розглянуту, але пщхщ до розв'язання буде дещо ¡нший.
1 -J3
Оц1нимо л1ву частину р1вняння. Розкривши дужки, отримаемо: —sin x +--cos x . Скористаемось методом
2 2
введення допом1жного кута (матер1ал 10 класу профтьного р1вня). Нехай cosœ = 1,sinœ = ^3 ^ Ф = — . Можемо
2 2 3
— — ( — I ( — I
переписати: -sin x +—— cos x = = cos—sin x + sin—cos x = sin I x + ~\ та оц1нити -1 < sinl x +~I<1.
Якщо л1ва частина р1вняння обмежена пром1жком [-1;1], то для того, щоб ¡снував розв'язок, необхщно щоб права
частина також приймала значення з даного пром1жку. Отже, -1 < 6 - 5a- 2a2 < 1. Перейдемо до р1вносильно!' системи
Î6 - 5a - 2a2 >-1; f-2a2 - 5a + 7 > 0; нер1вностей: < , ^ < Розв'яжемо кожну ¡з нер1вностей отримано|' системи методом
[ 6 - 5a - 2a2 < 1; [-2a2 - 5a + 5 < 0.
5+9 14 7
парабол: 1) -2a2 -5a + 7>0 ; D = (-5)2 -4 (-2)-7 = 25 + 56 = 81 ; Jd = 9 ; a = 59 = — = 1 ; a, =- = =
v ' v ' 1 2-(-2) -4 2 2-(-2) -4 2
2) -2a2 -5a + 5<0 ; D = (-5)2 -4-(-2)-5 = 25 + 40 = 65; J5 = л/б5 ; a = ^f65 = ; a = = Z^/6I.
-4
Нанесемо отриман точки на числову пряму; зобразимо параболу, в1тки яко!' вниз; розставимо знаки «+» та «- »; виберемо потр1бний пром1жок/пром1жки.
Рис. 1. Розв'язання квадратних HepÏBHOc^ методом парабол
. . >/65 -5 -5-л/65 „ , . „
Оц1нивши значення вираз1в - та -, знайдемо розв'язок системи нер1вностей. Маемо:
3 >/65 - 5 „
-<--< 1 ;
4 4
7 -5-л/65 „
— <--—< 0 ,
2 4
4 4
а тому розв'язком
системи е об'еднання двох пром1жкв:
г 7 -5-л/6? -5+ л/65 „ , _
a e [—;--—] --—;1] (рис. 2).
2 4 4
Рис. 2. Знаходження розв'язкiв системи нерiвностей
За умовою задачi необхiдно визначити найменше значення параметру а, при якому задане рiвняння мае розв'язок.
ил ■ • , 7 -5-л/65, -5+>/6? „, п „
Ми встановили, що р1вняння мае розв'язки, якщо ae[—;--—]--—;1] . При цьому найменше значення
2 4 4
параметра а дорiвнюe - — = -3,5 . Bidnoeidb: -3,5. 2
Дане завдання виконало повыстю лише 2,2% учасникв тестування, що свщчить про його пщвищену складысть для випускникiв.
Незважаючи на те, що в ЗНО з математики задачу як розв'язуються методом оцшки неодноразово зус^чались, в сучасних пщручниках Ух одиницi, або й взагалi такi завдання вiдсутнi. В одному з д^чих пiдручникiв алгебри для 10 класу профiльного рiвня знаходимо рiвняння, яке розв'язуеться методом оцшки, але споаб оцiнювання значення виразу тут вщмшний в^д розглянутих вище.
Задача 4. «Розв'яжггь рiвняння у[х + %/8-х = X -8х+20 (1стер&£ргша 2018)».
Розв'язання: На вигляд дане рiвняння нескладне, iррацiональне, але застосовувати до нього стандарты методи пщнесення до квадрату не хочеться, адже вираз, що метиться в його правш частин перетвориться на вираз четвертого степеня i процес розв'язування рiвняння лише ускладниться.
x > 0; [ x > 0;
Знайдемо ОДЗ рiвняння: <8 - x > 0; x < 8; ^ х e[0;8] .
x2 -8x + 20>0; [d<0,x2 -8x + 20>0,xeR
Для оцiнки значень обох частин рiвняння скористаемось похщною. Розглянемо функцй f (x) = %/x+V8-х та
g(x) = х2 - 8х + 20 . Знайдемо найбтьше та найменше значення цих функцм на ОДЗ рiвняння (вiдрiзку [0;8]).
-1 V8 - х-л/х
1) знайдемо похщну f'(x) = (>/x) + (V8 - х ) = —^ +--,_1_= 8 ".—— ; розв'яжемо рiвняння f'(x) = 0 :
w v ' v ' 24х 2^8 - х 24х V8 - х
Ts-х-4х [V 8 - х-4х = 0; [V8 - х =л/х ; [8 - х = х; [2х = 8; [х = 4;
2л/х -у/ 8 - х [2>/х • V 8 - х * 0; [х * 0,х * 8; [х * 0,х * 8; [х * 0,х * 8; [х * 0,х * 8.
Знайдемо значення функцй' f (x) в точц х = 4 та на кшцях вiдрiзка [0;8] : f (0)=>/Ö + V 8 - 0 ^л/в = 2^2 ; f(4) = ^4 + V 8 - 4 = 4 ; f (8)=>/8 +V 8 - 8 = >/8 = 2^2 . Отже, на ОДЗ значення функцй' f (x) можна оцшити наступним чином 2^2 < f (x)<4 .
2) знайдемо похщну g'(x) = (x2 -8x + 20)= 2x-8 ; розв'яжемо рiвняння g'(x) = 0 : 2x-8 = 0 ^ 2x = 8 ^ x = 4 . Легко можна встановити, що знайдена точка - це точка м^муму функцй' g(x) = х2 -8х + 20, а отже gmin (x) = 42 - 8 • 4 + 20 = 16 - 32 + 20 = 4 ^ на ОДЗ g (x) = х2 - 8х + 20 > 4 .
Отже, завдяки оцшц обох частин рiвняння, ми встановили, що лiва частина рiвняння не бтьше 4, а права - не
[4х +V8 - х = 4;
менша 4. Тому можемо перейти до рiвносильноi системи рiвнянь: [ ^ x = 4 . Bidnoeidb: 4.
I х2 - 8х + 20 = 4;
ВИСНОВКИ ТА ПЕРСПЕКТИВИ ПОДАЛЬШОГО ДОСЛ1ДЖЕННЯ
Звичайно, проведений в данiИ статтi огляд задач, якi розв'язуються за допомогою методу оцшки, не вичерпуе всього Ух рiзноманiття. Сподiваeмось, що запропонований теоретичний матерiал, сформульованi орieнтовнi алгоритми використання методу оцшки, а також наведен рiзноплановi приклади Иого застосування стануть у нагодi учням та вчителям у процес пiдготовки до складання зовнiшнього незалежного оцiнювання з математики.
Список використаних джерел
1. Амелькин В.В., Рабцевич В.Л. Задачи с параметрами: справ. пособие по математике. Минск: ООО «Асар». 2004. 464 с.
2. Бевз Г.П., Бевз В.Г. Алгебра: пщруч. для 9 кл. загальноосвп-. навч. закл. Кив: Видавничий дiм «Освп^а», 2017. 272 с.
3. Бевз Г.П., Бевз В.Г., Bладiмiрова Н.Г. Алгебра i початки анал'ву. Профльний рiвень: пщруч. для 10 кл. закладiв загально!' середньо!' освiти. Кж'в: Видавничий дiм «Освiта», 2018. 336 с.
4. Ботузова Ю.В. Задачi з параметром в контекст STEM-освiти. Матер'юли мiжнарoднoï науково-методичноÏ конференцп «Проблеми математичноÏосвти» (ПМО - 2019). Черкаси: Вид. ФОП Гордieнко E.I., 2019. С. 237-238.
5. Голубев В.И. Решение сложных и нестандартных задач по математике. Москва: ИЛЕКСА. 2007. 252с.
6. 1стер О.С. Алгебра: пщруч. для 9-го кл. загальноосвп-. навч. закл. Кив: Генеза, 2017. 264 с.
7. 1стер О.С., брпна О.В. Алгебра i початки анал'!зу (проф'т. р'!вень): тдруч. для 10-го кл. закл. заг. серед. освти. Ки!'в: Генеза, 2018. 448 с.
8. Мерзляк А.Г., Полонський В.Б., Якр М.С. Алгебра: тдруч. для 9 кл. загальноосвп-. навч. закладiв. Харкiв: Гiмназiя, 2017. 272 с.
9. Мерзляк А.Г., Полонський В.Б., Якр М.С. Алгебра для загальноосвiтнiх навчальних закладiв з поглибленим вивченням математики: тдруч. для 9 кл. загальноосвп-. навч. за кладiв. Харкв: Гiмназiя, 2017. 416 с.
10. Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. Факультативный кур по математике: Решение задач: учеб. пособие для 11 кл. ср. школы. Москва: Просвещение. 1991. 384 с.
References
1. Amelkin, V.V. & Rabtsevich V.L. (2004). Zadachi s parametrami: sprav. posobie po matematike. [Tasks with parameters: ref. textbook on mathematics]. Minsk: LLC "Asar" [in Russian].
2. Bevz, G.P. & Bevz, V.G. (2017). Algebra: pidruch. dlya 9 kl. zagalnoosvit. navch. zakl. [Algebra: textbook. for 9 classes. general education]. Kyiv: Vydavnychyj dim «Osvita» [in Ukrainian].
3. Bevz, G.P., Bevz, V.G. & Vladimirova, N.M. (2018). Algebra i pochatky analizu. Profilnyj riven: pidruch. dlya 10 kl. zakladiv zagalnoyi serednoyi osvity. [Algebra and Introduction into Analysis. Profile level: textbook. for 10 classes. general secondary education institutions]. Kyiv: Vydavnychyj dim «Osvita» [in Ukrainian].
4. Botuzova, Yu.V. (2019). Zadachi z parametrom v konteksti STEM-osvity. [Problems with a parameter in the context of STEM education]. Materialy mizhnarodnoyinaukovo-metodychnoyikonferenciyi «Problemy matematychnoyiosvity» (PMO -2019). (pp.237-238). Cherkasy: Vyd. FOP Gordiyenko Ye.I. [in Ukrainian].
5. Golubev, V.I. (2007). Reshenie slozhnyh i nestandartnyh zadach po matematike. [Solving complex and non-standard problems in mathematics]. Moscow: ILEKSA [in Russian].
6. Ister O.S. (2017). Algebra: pidruch. dlya 9-go kl. zagalnoosvit. navch. zakl. [Algebra: textbook. for 9 classes. general education]. Kyiv: Geneza.
7. Ister, O.S. & Yergina, O.V. (2018). Algebra i pochatky analizu (profil. riven): pidruch. dlya 10-go kl. zakl. zag. sered. osvity. [Algebra and Introduction into Analysis (profile level): textbook. for 10 classes. general secondary education institutions]. Kyiv: Geneza.
8. Merzlyak, A.G., Polonskyj, V.B. & Yakir, M.S. (2017). Algebra: pidruch. dlya 9 kl. zagalnoosvit. navch. zakladiv. [Algebra: textbook. for 9 classes. general education]. Kharkiv: Gimnaziya.
9. Merzlyak, A.G., Polonskyj, V.B. & Yakir, M.S. (2017). Algebra: pidruch. dlya 9 kl. zagalnoosvit. navch. zakladiv z poglyblenym vyvchennyam matematyky. [Algebra for secondary schools with in-depth study of mathematics]. Kharkiv: Gimnaziya.
10. Sharygin, I.F., Golubev, V.I. (1991). Fakultativnyj kurs po matematike: Reshenie zadach: ucheb. posobie dlya 11 kl. sr. shkoly. [Elective courses in mathematics: Problem solving: textbook. manual for 11 grades]. Moscow: Education [in Russian].
ENSURING THE CONTINUITY OF LEARNING MATHEMATICS IN PREPARATION FOR SOLVING PROBLEMS OF EIA WITH THE ASSESSMENT METHOD
Yu.V. Botuzova
Volodymyr Vynnychenko Сentral Ukrainian State Pedagogical University, Ukraine
Abstract.
Formulation of the problem. The mastering assessment method is carried out consistently in the process of learning the school course of mathematics. In particular, pupils should develop the ability to find areas of definition and values of functions, areas of the definition of equations, as well as evaluate the values of expressions, using the properties of numerical inequalities. Analysis of modern textbooks and programs has shown that the assessment method is not given enough attention. Therefore, teachers, guided by their own experience and annually analyzing the tasks of external evaluation, should offer similar tasks to senior pupils.
Materials and methods. In the research we used theoretical methods: analysis of mathematics curricula, problems of certification works of external evaluation of previous years, the content of modern school textbooks on algebra; generalization of own and advanced pedagogical experience; empirical methods: pedagogical observations in mathematics lessons and external preparation courses; methods of scientific cognition: systematization and generalization for the formulation of methodological recommendations and conclusions.
Results. We consider the theoretical basis of using the assessment method in solving equations and their systems. The algorithms of this method are given. The basic knowledge from the school course of mathematics, which is necessary for students to successfully master the method of assessment, is analyzed. Some propaedeutic exercises are offered, indicating the knowledge and skills that students need to perform them. Problems from modern textbooks of algebra are given, as well as examples of problems from certification works of external independent assessment in mathematics, which are solved by the method of assessment, in particular problems with a parameter.
Conclusions. The theoretical material proposed in the article formulated algorithms for using the assessment method, as well as various examples of its application will be useful to students and teachers in the process of preparation for external independent assessment in mathematics.
Keywords: equations, assessment method, methods of teaching mathematics, external independent evaluation, continuity.
