Двобічні ітераційні методи чисельного аналізу першої крайової задачі для напівлінійного еліптичного рівняння Текст научной статьи по специальности «Математика»

СИСТЕМЫ И ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ_

УДК 517.988 : 519.632 ДВОБ1ЧН1 1ТЕРАЦ1ЙН1 МЕТОДИ ЧИСЕЛЬНОГО АНАЛ1ЗУ ПЕРШО1 КРАЙОВО1 ЗАДАЧ1 ДЛЯ НАП1ВЛ1Н1ЙНОГО ЕЛ1ПТИЧНОГО Р1ВНЯННЯ

СИДОРОВ М.В._

Розглядаеться проблема побудови iтерацiйних мето-дiв розв'язання першо! крайово! задачi для нашвль нiйного елiптичного р!вняння. За допомогою функцп Гpiна чи кваз!функцп Грша-Рвачова розглядувана крайова задача зводиться до екивалентного нелшш-ного iнтегpального piвняння, яке дослiджуеться методами нелшшного аналiзу у напiвупоpядкованих просторах. При цьому будуеться послiдовнiсть двобiчних наближень, яка збiгаеться до единого додатного розв'язку вщповщно! крайово! задача Ключовi слова: додатний розв'язок; нашвлшшне елiптичне piвняння; перша крайова задача; функщя Гpiна; квазiфункцiя Гpiна-Рвачова; гетеротонний оператор; двобiчнi наближення.

Key words: positive solution; semilinear elliptic equation; first boundary value problem; Green's function; Green-Rvachev's quasi-function; heterotone operator; two-sided approach.

Вступ. Розв'язання задач математичного моде-лювання процес!в у х!м!!, ф!зиц! плазми, теор!! гор!ння, б!олог!! тощо [7] приводить до необх!д-ност! досл!дження першо! крайово! задач! для нап!вл!н!йного ел!птичного р!вняння. Точн! розв'язки таких крайових задач в!дом! лише у поодиноких випадках. До певних складнощ!в та-кож приводить досл!дження питання !снування та единост! розв'язку ! його чисельне знахо-дження, особливо у областях некласично! геометр!!'. У зв'язку з цим актуальною науковою проблемою е розробка нових та вдосконалення !с-нуючих метод!в конструктивного досл!дження нел!н!йних крайових задач, як! б не т!льки дозволяли з'ясувати питання !снування розв'язку, але й пропонували чисельний алгоритм його знахо-дження. Серед таких метод!в особливе м!сце на-лежить двоб!чним методам, як! дозволяють оц!-нити нев!домий розв'язок знизу та зверху, а от-же, надають зручну апостер!орну оц!нку похибки наближеного розв'язку.

Розробц! двоб!чних !терац!йних метод!в присвя-чен! роботи [1-3, 5], але в них в основному розг-лядалися двовим!рн! крайов! задач! для оператора Лапласа. Дана робота продовжуе та узагаль-нюе розпочат! в них досл!дження на випадок ел!-птичного р!вняння б!льш загального вигляду.

1. Постановка задачи Метою роботи е розробка нових метод!в конструктивного досл!дження крайово!задач!

-div(p(x)Vu) + q(x)u = f(x,u), xeQ, (1) u(x) > 0, x eQ, (2)

u| 5Q= 0, (3)

де Q - вим!рна за Жорданом область з К2 чи К3 з кусково-гладкою межею dQ (Q = Qu5Q);

x = (xi, X2), якщо Qc! , ! x = (xi, X2, X3), якщо

Qc!3.

Вважатимемо, що

p(x) > 0 у Q , q(x) > 0 у Q , p(x) неперервно диференц!йована у Q , q(x) неперервна у Q , f(x,u) неперервна ! додатна при x eQ, u > 0. Задача Д!р!хле (1)-(3) часто зустр!чаеться у мате-матичному моделюванн! нел!н!йних стац!онарних процес!в. При цьому умова додатност! (2) приро-дно випливае з сенсу функц!! u у т!й чи !нш!й прикладн!й галуз!.

2. Побудова екв1валентного штегрального pi-вняння. Досл!дження задач! (1)-(3) зручно про-водити методами теор!! нел!н!йних оператор!в у нап!вупорядкованих просторах [4]. Для цього в!д задач! (1)-(3) треба перейти до операторного р!в-няння вигляду u = T(u), зам!нивши крайову задачу екв!валентним !нтегральним р!внянням. Це можна зробити двома основними способами -методом функц!й Гр!на ! методом кваз!функц!й Гр!на-Рвачова.

Означення 1. Функц!ею Гр!на G(x,s) задач! (1)-(3) називатимемо розв'язок задач!

- div(p(x)VG) + q(x)G = S(x, s), x eQ (s eQ),

_ gI5Q= 0,

неперервний у Q всюди, окр!м точки x = s . Тут S(x, s) - 5 -функц!я Д!рака з особлив!стю у точц! x = s .

Умови !снування функц!! Гр!на наведено, напри-клад, у [6].

Якщо G(x,s) - функщя Гр!на задач! (1)-(3), то ця задача екв!валентна !нтегральному р!внянню Гаммерштейна

u(x) = J G(x, s)f (s, u(s))ds . (4)

Q

Розглядатимемо р!вняння (4) у банаховому простор! C(Q) функц!й, неперервних у Q . Норма у C(Q) вводиться за правилом ||u|| = max|u(x)|. У

xeQ

простор! C(Q) вид!лимо конус

K + = {u e C(Q): u(x) > 0, x e Q} нев!д'емних функ-ц!й. Конус K + у C(Q) е нормальним (! нав!ть гострим). За допомогою конуса K + у простор!

С(П) введемо нашвупорядковашсть за правилом:

для и, V е С(П) и < V , якщо V - и е К +,

тобто

и< V , якщо и(х)<v(x) для всiх хеП. Наразi iснування класичного розв'язку задачi (1)-(3), тобто тако! функцл и : е С2(П) п С(П), яка за-довольняе рiвняння (1) i умови (2), (3), ця функцiя також задовольняе i рiвняння (4). Якщо ж класичного розв'язку немае, то штегральне рiвняння (4) можна взяти за основу означення узагальненого розв'язку задачi (1)-(3).

Означення 2. Розв'язком (узагальненим) крайово! задачi (1)-(3) називатимемо функщю и* е К +, яка е розв'язком штегрального рiвняння (4). З рiвнянням (4) пов'яжемо нелшшний штеграль-ний оператор Т , що дiе у С(П) за правилом

Т(и)(х) = | в(х,s)f(s,и(8)^8 . (5)

П

Властивостi оператор Т вигляду (5) викладеш у наступнiй лемь

Лема 1. Оператор Т вигляду (5), де в(х,8) - фу-нкцiя Грiна задачi (1)-(3), розглядуваний у прос-торi С(П), натвупорядкованому конусом К+ невiд'емних функщй, мае такi властивостi:

а) е додатним оператором, тобто Т(и) е К+ , якщо и е К +;

б) е и0-додатним оператором, тобто для вах хеП матиме мюце подвшна нерiвнiсть

аи0 (х) < | в(х, s)f(s, и(8)^8 < Ри0 (х),

П

де а = а(и) > 0 , р = Р(и) >0, а функщя и0 (х) ви-значаеться рiвнiстю

и0(х) =| 0(х, 8^8; (6)

П

в) е гетеротонним оператором, для якого оператор Т вигляду

Т^, w)(x) = | в(х, 8^(8, v(s), — (8)^8 (7)

П

е супровiдним, якщо функщя Дх,и) дозволяе дia-гональне подання f(x,u) = 1(х,и,и), де неперервна за сукупшстю змшних х, V, — функщя 1(х^,—) монотонно зростае за V i монотонно спадае за — для вшх х еП;

г) якщо для будь-яких додатних чисел V, — при будь-якому те (0, 1)

1^х, ту, |>т?(х, V, —), хеП, (8)

е псевдоув^нутим i навiть и0 -псевдоувiгнутим оператором, де функцiя и0(х) мае вигляд (6). Позначимо через К(и0) пiдмножину функцiй и з

К+, для яких юнують числа а, р > 0 тaкi, що аи0 < и < Ри0 . Тодi гетеротонний оператор Т на-зиваеться псевдоувiгнутим, якщо для будь-яких ненульових елементiв V, — з К + маемо, що

—)еК(и0), i для всiх V, — еК(и0) та будь-якого те (0; 1) виконуеться нерiвнiсть

Умова u0 -псевдоув^-

Т^ту, 1—^ > тТ^, —) .

нутосп для псевдоувiгнутого оператора е бшьш жорсткою, нiж умова просто псевдоув^нутостк для всiх V, — е К(и0) та будь-якого те(0; 1) iснуе П = пС^, т) >0 таке, що мае мiсце нерiвнiсть

Т^ту, 1—| > т(1 + п)Т^, —) .

Якщо функцiя Дх,и) монотонно зростае за и

для всiх х еП, то можна обрати 1(х^, —) = 1 (x,v),

i супровiдний оператор визначиться рiвнiстю

Т(у, —)(х) = | в(х, 8)1(8, v(s))ds . П

Для монотонно спадно! за и функщ! 1(х,и) можна покласти 1(х^,—) = 1(х,—) i тодi супровiд-ний оператор матиме вигляд

—)(х) = | в(х, 8)1(8, W(8))d8 . П

Недолiком практичного застосування розгляну-того пiдходу е те, що анал^ичний вираз для функщ! Грiнa може бути побудований у замкнено-му виглядi лише для обмежено! кiлькостi областей П .

Розглянемо шший пiдхiд до замши зaдaчi (1)-(3) е^валентним iнтегрaльним рiвнянням, який ви-магае лише знання фундаментального розв'язку рiвняння.

Позначимо диференщальний оператор у лiвiй чaстинi рiвняння (1) через А :

Аи =-<1ту(р(х^и) + д(х)и. (9)

Областю визначення цього оператора вважати-мемо множину функцiй Ба , яка складаеться з

функцiй и е С2(П) п С(П) таких, що и яо = 0 i Аи е Ь2(П).

Нехай §(х, 8) - фундаментальний розв'язок рiв-няння (1). 1снування фундаментального розв'язку доведено у роботах [6], ^м того, доведено, що юнують фундаментальш розв'язки, симетричш вiдносно х i 8 . Дaлi вважатимемо, що фундаментальний розв'язок е симетричним: Я(х, 8) = ё(8, х) .

Означення 3. Квaзiфункцiею Грiнa-Рвaчовa пер-шо! крайово! зaдaчi для оператора А вигляду (9) назвемо функщю

J quasi

(x, s) = g(x, s) - g (x, s),

(10)

де х = (хь х2), «= я2) у випадку К 1

х = (хь х2, х3), в = 82, я3) у випадку К ; §§ (х, в) - симетрична (§§ (х, в) = §§ (в, х)) дв1ч1 дифе-ренцшована у Ох О функщя така, що §§(х, в) = §(х, в), якщо х е дО чи в е дО . Безпосередньо з цього випливае симетричнють кваз!функщ! Грша-Рвачова: &чиа8;(х, в) = х)

та те, що вчиа§; (х, в) = 0 на дО.

Кр1м того, кваз1функщя при х = в мае таку ж особливють, що 1 звичайна функщя Грша, а за-вдяки вибору функщ! §§ (х, в) можна досягти того, що кваз1функщя Грша-Рвачова буде додатною в обласп О.

Отже, матиме мюце таке твердження.

Лема 2. Кваз1функщя Грша-Рвачова (10) мае таю

властивостк

а) сяиа81(х, 8) = 0 на дО;

б) е симетричною: 0Чиа81 (х, в) = 0Чиа81 (в, х);

в) мае таку ж особливють при х = в , що 1 звичайна функщя Грша;

г) додатна в област О : вчиа§; (х, в) > 0, х, в еО, х Ф в .

Для функщ! и е

С2 (О) П С1 (О) тако!, що Аи е Ь2 (О), мае мюце штегральне подання [6]

и(х) = | р(8)

дО

Л(х, в) -и(в) д§(х, в)

dsст +

дпв дпв

+1 л(х, s)Asu(s)ds, х еО, (11)

О

а для функцш и, § е С2(О) мае мюце друга формула Грша

| [§ (в) А и(в) - и(в)А8 § (s)]ds =

О

= | Р(8)

дО

䧧(в) _ чди(в)

dsст .

(12)

дпв дпв

У формулах (11), (12) п8 - зовшшня до дО нормаль у змшних в , dsст означае, що штегрування за в ведеться вздовж дО,

Ави = ^1у(р(в)Уи) + q(s)u .

Нехай и - класичний розв'язок задач! (1)-(3), тобто функщя и е БА задовольняе р1вняння (1), а функщю §§ у (12) оберемо таку, як в означенш 3. Додаючи р!вност (11) 1 (12) та враховуючи р> вняння (1) I те, що С^а§;(х, в) = 0 I и(х) = 0 на дО,

отримаемо штегральне р1вняння

и(х) = | К(х, s)u(s)ds + | GquaSi (х, (в, и(я))й1, (13) О О

де позначено К(х, в) = А^(х, в). Нелшшне штегральне р1вняння (13) можна та-кож подати у вигляд! р1вняння Урисона

и(х) =| Р(х, в, u(s))ds, (14)

О

де Р(х, в, и(в)) = К(х, з)и(з) + GquaSi(x, s)f(s, и(в)).

Отже, якщо задача (1)-(3) мае класичний розв'язок, то вш задовольняе також р1вняння (13) (чи (14)). Якщо ж класичного розв'язку задач! не юнуе, то р1вняння (13) можна використати для введення поняття узагальненого розв'язку задач! (1)-(3).

Р1вняння (13) розглядатимемо у банаховому простор! С(О) функцш, неперервних у О, натву-порядкованому конусом К+. Означення 4. Розв'язком (узагальненим) крайово! задач! (1)-(3) називатимемо функщю и* е К+ , яка е розв'язком штегрального р1вняння (13). Введемо до розгляду нелшшний оператор Т , що д1е у С(О) за правилом

Т(и)(х) = | Р(х, в, u(s))ds =

О

= | К(х, 8)и(8)<1я + | Gquasi (х, в)^, u(s))ds .(15)

О О

Оператор Т е сумою лшшного штегрального оператора Т1 з ядром К(х, в) \ нелшшного оператора Гаммерштейна Т2 з ядром (х, в). Через умови, накладен! на функщю f (х, и), ! до-датнють кваз! функщ! Грша-Рвачова Gquasi (х, в), якщо х, в еО (х ф в), можна стверджувати, що оператор Т2 залишае швар!антним конус К +, тобто Т2 - додатний оператор. Проте ми не мо-жемо бути впевненими щодо знаку функщ! К(х, в) при х, в еО (х ф в), а отже, не можемо стверджувати, що додатним е ! оператор Т . Позначимо

К + (х, в) = тах{0, К(х, в)}, К_(х, в) = тах{0, -К(х, в)}. Тод1 К + (х, в) > 0, К _ (х, в) > 0 при х, в еО ( х Ф в ), причому

К(х, в) = К+ (х, в) _ К _ (х, в), |К(х, в) = К + (х, в) + К_(х, в), ! оператор Т вигляду (15) можна записати так: Т(и)(х) = | К+ (х, _ | К_ (х, s)u(s)ds +

О О

+1 Gquasi (х, s)f (в, и(в))й| . (16)

О

Припустимо, що функщя Дх,и) дозволяе д1аго-нальне подання Дх,и) = Дх,и,и), причому непе-рервна за сукупнютю змшних х, V, w не-вщ'емна функщя ^х^^) монотонно зростае за V ! монотонно спадае за w для вс1х хеО. Тод1 оператор Т вигляду (16) буде гетеротонним з супровщним оператором

Т(у, w)(x) = | К+ (х, - | К_ (х, s)w(s)ds +

о о

+1 Сдиа^ (х, (8, У(8), W (s))ds . (17)

о

Зрозумшо, що оператори Т i Т е цiлком непере-рвними.

Зауважимо, що для випадку, коли функщя f (х, и) монотонно зростае за и для всiх х еО, можна обрати Дх, у, w) = f(x, у) i тодi супровiдний оператор матиме вигляд

Т(у, w)(x) = | К+ (х, s)y(s)ds _ | К_ (х, s)w(s)ds +

о о

+ | Сдиаз^х, s)f(s, y(s))ds ,

о

а для f (х, и) монотонно спадно! за и для всiх х ео можна покласти f(х, у, w) = f(х, w) i тодi супровiдним оператором буде

Т(у, w)(x) = | К+ (х, s)v(s)ds _ | К_ (х, s)w(s)ds +

о о

+ | Сдиа81(х, s)f(s, w(s))ds .

о

3. Побудова двобiчних наближень на основi використання функцп Грiна. Вважатимемо, що оператор Т вигляду (5) е гетеротонним з супро-вщним оператором вигляду (7). Побудуемо метод двобiчних наближень знаходження додатно-го розв'язку штегрального рiвняння (4) (а отже, i крайово! задачi (1)-(3)).

У конус К+ видiлимо сильно iнварiантний ко-нусний вiдрiзок <у0, w0 > умовами: для вшх х ео

| в(х, s)f(s, y0(s), w0(s))ds > у0 (х),

0

1 в(х, s)f(s, w0 (s), У0 (s))ds < w0 (х).

о

Далi сформуемо iтерацiйний процес за схемою

у(к+1) (х) = I в(х, s)f(s, У(к) w(k) (s))ds, (18)

о

w(k+1)(x) = I в(х, s)f(s, w(k)(s), y(k)(s))ds , (19)

о

k = 0, 1, 2, ..., У(0) (х) = У0 (х), w(0) (х) = w0 (х). (20) Через сильну iнварiантнiсть конусного вiдрiзка < y0,w0 > та гетеротоннють оператора Т, для якого оператор Т е супровщним, можна зробити висновок про те, що послщовнють {у^-^х)} не спадае за конусом К +, а послщовнють ^^(х)} не зростае за конусом К +. Крiм того, з нормаль-носп конуса К + i повно! неперервностi оператора "Г випливае юнування границь у* (х) i w* (х) цих послiдовностей. Отже, справджуеться лан-цюг нерiвностей

У0 = У(0) < У(1) < ... < y(k) < ... < У* <

< W* < ... < W(k) < ... < W(1) < W(0) = W0.

Можливими е два випадки: у* < w* i у* = w*. У другому випадку и* := у* = w* - едина на конусному в^^зку <у°^° > нерухома точка опера* ^ 0 0 тора Т, а отже, и - единий на < у ^ >

розв'язок розглядувано! крайово! задача Функцi!' у* (х) i w* (х) е розв'язком системи рiв-нянь

(21)

у(х) = I в(х,s)f(s,y(s),w(s))ds :

о

w(x) =| в(х, s)f (s, w (s), y(s))ds. (22)

о

Рiвнiсть у* = w* буде виконана, якщо система (21), (22) не мае на <у°^° > таких розв'язюв, що у ф w .

Отже, справджуеться така теорема.

Теорема 1. Нехай < у°, w0 > - сильно гнваргант-ний конусний в1др1зок для гетеротонного оператора Т вигляду (5) з супров1дним оператором Т вигляду (7) / система р1внянь (21), (22) не мае на <у°, w0 > розв'язюв таких, що уфw. Тодг те-рацШний процес (18)-(20) зб1гаеться у норм1 простору С(о) до единого на <у°^° > неперервно-

го додатного розв'язку и* крайовог задач1 (1)-(3), причому мае м1сце ланцюг нер1вностей

у° = У(0) < У(1) < ... < y(k) < ... < и* <

<... < w(k) <... < w(1) < w(0) = w0. (23) Ланцюг нерiвностей (23) саме i характеризуе гге-рацiйний процес (18)-(21) як метод двобiчних наближень.

Умови юнування единого додатного розв'язку крайово! задачi (1)-(3) та двобiчно! збiжностi до нього послiдовних наближень (18)-(21) можуть бути уточненi за рахунок з'ясування умов, за яких система рiвнянь (21), (22) не мае на

< у°, w0 > розв'язюв таких, що у ф w . Викорис-товуючи умови, наведеш у [4], отримаемо таю твердження.

Теорема 2. Нехай < у°, w0 > - сильно ¡нвар1ант-ний конусний в1др1зок для гетеротонного оператора Т вигляду (5) з супров1дним оператором Т вигляду (7) / для будь-яких чисел у , w, и таких, що 0 < у < w, 0 < и < w , 1 для вах х еП мае м1сце нер1втсть

(х, у + и, w _ и) < (х, у, w) + иМ-1,

де М = шахи°(х).

хео

Тод1 ¡терацШний процес (18)-(20) двоб1чно зб1га-еться у норм1 простору С(о) до единого на

<v0,w0 > неперервного додатного розв'язку u* крайовог задач1 (1)-(3).

Теорема 3. Нехай < v0, w0 > - сильно ¡нвар1ант-ний конусний в1др1зок для гетеротонного оператора T вигляду (5) з супров1дним оператором T вигляду (7) i ¡снуе таке число L > 0, що функщя f(x,v,w) для вах чисел v, w таких, що

0<v, w <M0, де M0 = maxw0(x), i для вах xeQ xeQ

задовольняе нерiвнiсть

|f (x,w,v) - f (x,v,w)) < Lw - v|, причому y = LM < 1, де M = maxu0(x). Тодi тера-

xeQ

цтний процес (18)-(20) двобiчно збiгаеться у но-рмi простору C(Q) до единого на <v0,w0 > неперервного додатного розв 'язку u* крайовог за-дачi (1)-(3).

Ще одшею умовою того, що система piB^Hb (21), (22) не мае на сильно iнварiантному конусному B^pi3Ky <v0,w0 > розв'язкiв таких, що v ф w , е умова U0 -псевдоyвiгнyтостi гетеротонного оператора T вигляду (5) з супровщним оператором T вигляду (7). Тодi з огляду на твер-дження г) леми 1 приходимо до такого результату.

Теорема 4. Нехай < v0, w0 >с K(u0) - сильно ¡н-варiантний конусний вiдрiзок для гетеротонного оператора T вигляду (5) з супровiдним оператором T вигляду (7) i мае мiсце умова (8). Тодi ШерацШний процес (18)-(20) двобiчно збiгаеmься у нормi простору C(Q) до единого на < v0,w0 >

неперервного додатного розв'язку u* крайовог задачi (1)-(3).

На k-й теращ! за наближений розв'язок крайово! (1)-(3) приймаемо функщю

Тодi з нерiвностi

u(k)(x)= w

(k)

(x) + v(k) (x)

(24)

u*- u(k)

xeQ

i з точнiстю e можна вважати, що u* (x)» u(k) (x). Крiм того, за умов теореми 3 можна записати i апрюрну оцiнкy похибки:

,,k

u - u

(k)

max(w0(x) - v0(x)). 2 xeQ

u: -u(k)

k

< — max(w0 (x) - v0 (x)) < e 2 xeQ

знаходимо, що для досягнення точностi e треба зробити

k0(e) =

ln

max(w0(x) - v0(x)) xeQ

2e

ln

LM

+1

терацш, де квадратнi дужки означають цiлy час-тину числа.

4. Побудова двобiчних наближень на 0CH0Bi використання квазiфункщт Грiна-Рвачова.

Для iнтегрального рiвняння (13) (чи (14)) побу-дуемо процес двобiчних наближень знаходження його розв'язку (а отже, i розв'язку крайово! зада-

4i (1)-(3)).

Видiлимо у конус K+ сильно iнварiантний конусний в^^зок < v0, w0 > умовами: для всiх x eQ

J K+ (x, s)v0 (s)ds - J K- (x, s)w0 (s)ds +

+ J Gquasi (x, S)f(8, v0 (s), w° (s))ds > v0 (x) ,

Q

J K+ (x, s)w0 (s)ds - J K- (x, s)v0 (s)ds + Q Q

+ J Gquasi (x, S)f(S, w0(s), v0(s))ds < w0(x) .

Q

Даш сформуемо iтерацiйний процес за схемою

v(k+1)(x) = J K + (x, s)v(k)(s)ds - J K- (x, s)w(k)(s)ds +

Q Q

+ J Gquasi (x, s)f(s, v(k)(s), w(k)(s))ds , (25)

w

(k+1)(x) =

Тодi ми матимемо зручну апостерiорнy ощнку похибки для наближеного розв'язку (24):

< ^max(w(k)(x) - v(k) (x)), 2 xeQ

що е безумовною перевагою побудованого дво-бiчного теращйного процесу. Отже, якщо задана точнють e > 0 , то iтерацiйний процес слщ проводити до виконання нерiвностi

max(w(k) (x) - v(k) (x)) < 2e

(x) = J K+ (x, s)w(k) (s)ds - J K- (x, s)v(k) (s)ds + Q Q

+ J Gquasi (x, S)f(S, w(k) (s), v(k) (s))ds , (26)

Q

k = 0, 1, 2, ..., v(0) (x) = v0 (x), w(0) (x) = w0 (x). (27)

Оскiльки конусний в^^зок < v0,w0 > е сильно iнварiантним для гетеротонного оператора T, для якого оператор T е супровщним, то послщо-вшсть {v(k)(x)} е неспадною за конусом K +, а послщовшсть {w(k)(x)} е незростаючою за конусом K +. Крiм того, з нормальносп конуса K + i повно! неперервносп оператора TT випливае ю-нування границь v* (x) i w* (x) цих послщовнос-тей. Тодi справджуеться ланцюг нерiвностей v0 = v(0) < v(1) <... < v(k) <... < v* < < w* <... < w(k) <... < w(1) < w(0) = w0.

Як i рашше, можливими е два випадки: у* < w* i у* = w *. У другому випадку и* := у* = w* - едина

на конусному в^^зку < y0,w0 > нерухома точка

* 0 0 оператора Т, а отже, и - единий на < у ,w >

розв'язок крайово! задачi (1)-(3).

Функцi! у*(х) i w*(х) е розв'язком системи рiв-

нянь

у(х) =| К+ (х, s)v(s)ds _ | К_ (х, s)w(s)ds +

о о

+ | СЧиа81(х, s)f(s, У(s), w(s))ds , (28)

о

w(x) =| К+ (х, s)w(s)ds _ I К_(х, s)v(s)ds +

о о

+1 Очшш; (х, s)f(s, w(s), У(s))ds . (29)

о

Умовою виконання рiвностi у* = w * е те, що система (28), (29) не мае на <у°^° > таких розв'язюв, що у ф w . Отже, справджуеться така теорема.

Теорема 5. Нехай < у°, w0 > - сильно гнваргант-ний конусний в1др1зок для гетеротонного оператора Т вигляду (16) з супров1дним оператором Т вигляду (17) / система р1внянь (28), (29) не мае на

< у°, w0 > розв'язкгв таких, що у ф w. Тодг гте-ращйний процес (25)-(27) зб1гаеться у норм1 простору С(о) до единого на <у°^° > неперервного

додатного розв'язку и* крайовог задач1 (1)-(3), причому мае м1сце ланцюг нер1вностей

у° = У(0) < У(1) < ... < У« < ... < и* <

<... < w(k) <... < w(1) < w(0) = w0. Умови iснування единого додатного розв'язку крайово! задачi (1)-(3) та двобiчно! збiжностi до нього послщовних наближень (25)-(27) можна уточнити за рахунок з'ясування умов, за яких система рiв-нянь (28), (29) не мае на < у°, w0 > розв'язюв таких, що у ф w .

Можна довести такi твердження.

Теорема 6. Нехай < у°, w0 > - сильно ¡нвар1ант-ний конусний в1др1зок для гетеротонного оператора Т вигляду (16) з супров1дним оператором Т вигляду (17) 7 мае м1сце умова: для будь-яких чисел у , w, и таких, що 0 < у < w, 0 < и < w , 7 для всгх х ео мае мгсце нергвнгсть

и

(х, у + и, w _ и) < (х, у, w) +

М + М-

де

М = шах I Счиа8; (х, s)ds .

хео

(3°)

еться у норм1 простору С(о) до единого на

<у°^° > неперервного додатного розв'язку и* крайовог задач1 (1)-(3).

Теорема 7. Нехай < у°, w0 > - сильно гнваргантний конусний в1др1зок для гетеротонного оператора Т вигляду (16) з супров1дним оператором Т вигляду (17) 7 ¡снуе таке число Ь > 0, що функц1я 1(х,у^) для вах чисел у , w таких, що 0 < у, w < М°, де

М° = maxw0(x), г для вах хей задовольняе нергв-хео

нгсть

|1(х^,у) _ 1"(х,у^)| < Ь^ _ У, причому у = М1 + ЬМ < 1, де стал1 М 7 М1 визна-чаються р1вностями (30) 7 (31) в1дпов1дно. Тод1 ¡терацШний процес (25)-(27) двоб1чно зб1гаеться

у норм1 простору С(о) до единого на <у°^° >

неперервного додатного розв'язку и* крайовог задач1 (1)-(3).

Проте не вс умови збiжностi двобiчного тера-цiйного процесу з п. 3 можна перенести на випа-док рiвняння (13). Так, гетеротонний оператор Т вигляду (16) з супровщним оператором Т вигляду (17) не буде навт псевдоув^нутим, бо нерiв-шсть, що визначае псевдоувiгнутiсть, для нього прийме вигляд

т _111 К_ (х, s)w(s)ds +

+ | ^диайКхЮ

" | тv(s),1w(s) ^т!"^^«)^^))

ds >0

i не буде виконуватися для значень т, близьких до нуля, навт якщо

^s, тv(s), 1 w(s) ^тГ"^, У^), w(s)) >0 .

Якщо виконано k iтерацiй, то за наближений розв'язок крайово! задачi (1)-(3) слщ взяти функ-цiю

u(k)(x) = ^^^х+у«« . (32)

Тодi для похибки для наближеного розв'язку (32) ми матимемо зручну апостерiорну ощнку:

и*_ u(k) < ^шах^^х) _У^х)). (33)

2 хео

Наявнiсть оцiнки вигляду (33) е безумовною перевагою побудованого двобiчного торацшного процесу.

Якщо задана точнiсть е > 0 , то терацшний процес слщ проводити до виконання нерiвностi

шах^1 (х) _ y(k) (х)) < 2е хео

М1 = шах I [К + (х, s) + К_ (х, s)]ds . (31) i тодi з точшстю е можна вважати, що

хе°° и* (х)« и««.

Тодг гтерацгйний процес (25)-(27) двобгчно збгга- т. . _

Крiм того, за умов теореми 7 можна указати i ап-

рюрну оцшку похибки: k

max(w0(x) - v0(x)). 2 xeQ

u* — u(k)

Тодi з нер1вносп

(k)

u — u

k

< max(w0 (x) — v0 (x)) < s 2 xeQ

знаходимо, що для досягнення точност s треба зробити

k0(s) =

max(w0(x) — v0(x))

jn xeQ_

2s

ln

Mj + LM

+1

iтерацiи, де квадратнi дужки позначають цiлу ча-стину числа. 5. Висновки

Вперше проведене дослщження можливостi по-будови двобiчних наближень до додатного розв'язку першо! краИово! задачi для нелiнiИного елiптичного рiвняння (1). При цьому розглянуто два шдходи: один - на основi використання точно! функцii Грша розглядувано! задачi, а другиИ - на основi використання квазiфункцii Грша-Рвачова. Отримано умови iснування додатного розв'язку та умови двобiчноi збiжностi до нього послiдовних наближень. Отримаш результати можуть бути використанi у математичному мо-делюваннi стацiонарних нелшшних процесiв у науцi та техшщ. Це i визначае наукову новизну та практичну значущiсть отриманих у робот ре-зультатiв.

Лiтература: 1. Колосов А.И., Колосова С.В., Сидоров М.В. Конструктивное исследование краевых задач для нелинейных дифференциальных уравнении // Вюник Запорiзького нацюнального унiверситету. Серiя: фь зико-математичнi науки. 2012. № 2. С. 50 - 57.

2. Колосова С.В., Луханин В.С., Сидоров М.В. О построении двусторонних приближений к положительному решению уравнения Лане-Эмдена // Вюник За-порiзького нацюнального ушверситету. Серiя: фiзико-математичш науки. 2015. № 3. С. 107 - 120.

3. Колосова С.В., Сидоров М.В. Применение итерационных методов к решению эллиптических краевых задач с экспоненциальной нелинейностью // Радиоэлектроника и информатика. 2013. № 3 (62). С. 28 -31. 4. Опойцев В.И., Хуродзе Т.А. Нелинейные операторы в пространствах с конусом. Тбилиси: Изд-во Тбилис. ун-та, 1984. 246 с. 5. Сидоров М.В. Застосу-вання методiв функцш Грша та квазiфункцiИ Грша-Рвачова для побудови двобiчних ггерацшних процеав розв'язання нелшшних крайових задач // Вюник За-порiзького нацюнального ушверситету. Сергя: фiзико-математичш науки. 2017. № 2. С. 250 - 259. 6. Miranda C. Partial Differential Equations of Elliptic Type. Springer, Berlin, 1970. 7. Pao C.V. Nonlinear parabolic and elliptic equations. Plenum Press, New York, 1992.

Transliterated bibliography:

1. Kolosov A.I, Kolosova S.V., Sidorov M.V. Konstruktivnoe issledovanie kraevyh zadach dlja nelinejnyh differencial'nyh uravnenij // Visnik Zaporiz'kogo nacional'nogo universitetu. Serija: fiziko-matematichni nauki. 2012. № 2. Pp. 50 - 57.

2. Kolosova S. V., Luhanin V.S., Sidorov M. V. O postroenii dvustoronnih priblizhenij k polozhitel'nomu resheniju uravnenija Lane-Emdena // Visnik Zaporiz'kogo nacional'nogo universitetu. Serija: fiziko-matematichni nauki. 2015. № 3. Pp. 107 - 120.

3. Kolosova S.V., Sidorov M.V. Primenenie iteracionnyh metodov k resheniju jellipticheskih kraevyh zadach s jekspo-nencial'noj nelinejnost'ju // Radiojelektronika i informatika. 2013. № 3 (62). Pp. 28 - 31.

4. Opojcev V.I, Hurodze T.A. Nelinejnye operatory v prostranstvah s konusom. Tbilisi: Izd-vo Tbilis. un-ta, 1984. 246 p.

5. Sidorov M. V. Zastosuvannja metodiv funkcij Grina ta kvazifunkcij Grina-Rvachova dlja pobudovi dvobichnih iteracijnih procesiv rozv'jazannja nelinijnih krajovih zadach // Visnik Zaporiz'kogo nacional'nogo universitetu. Serija: fiziko-matematichni nauki. 2017. № 2. Рр. 250 -259.

6. Miranda C. Partial Differential Equations of Elliptic Type. Springer, Berlin, 1970.

7. Pao C.V. Nonlinear parabolic and elliptic equations. Plenum Press, New York, 1992.

Надшшла до редколеги 10.06.2018 Рецензент: д-р фiз.-мат. наук, проф. Литвин О.М. Сидоров Максим Вшторович, канд. фiз.-мат. наук, доцент каф. прикладно! математики ХНУРЕ. Науковi штереси: математичне моделювання, чисельнi мето-ди, математична фiзика, теорiя R-функцiИ та ii засто-сування, стохастичний аналiз та Иого застосування. Адреса: Украша, 61166, Харшв, пр. Науки, 14, тел. (057) 7021436. E-mail: maxim.sidorov@nure.ua. Sidorov Maxim Victorovich, Ph.D. in Physis and Maths, associate professor, associate professor of the Applied Mathematics Department, Kharkov National University of Radioelectronics. Scientific interests: mathematical modeling, numerical analysis, mathematical physics, R-function's theory and its applications, stochastic analysis and its applications. Address: 14 Nauki avе, Kharkiv, Ukraine, 61166, tel. (057)7021436. E-mail: max-im.sidorov@nure.ua.