Конструктивне дослідження нелінійних крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.927.4 : 517.988 КОНСТРУКТИВНЕ ДОСЛ1ДЖЕННЯ НЕЛ1Н1ЙНИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ ДЛЯ ЗВИЧАЙНИХ ДИФЕРЕНЦ1АЛЬНИХ Р1ВНЯНЬ

ВОРОНЕНКО М.Д., СИДОРОВ М.В.

Розглядаються нелiнiйнi крайовi задачi рiзних типiв для звичайних диференщальних рiвнянь. За допомогою фун-кцп rpiHa розглядуванi крайовi задачi зводяться до еквь валентного iнтегрального piBraHra Гаммерштейна, яке дослщжуеться методами нелшшного аналiзу у натвупо-рядкованих просторах. При цьому будуеться послщов-шсть двобiчних наближень до единого додатного розв'язку вщповщно! крайово! задачi. Ключовi слова: додатний розв'язок; нелiнiйне звичайне дифеpенцiальне piвняння; крайова задача; функщя Грша; гетеротонний оператор; двобiчнi наближення. Key words: positive solution; semilinear ordinary differential equation; boundary problem; Green's function; heterotone operator; two-sided approach.

Вступ. Математичне моделювання високо-температурних пpоцесiв у хiмii, фiзицi плазми, теоpii горшня [9] викликае необхiднiсть розв'язання крайових задач для нелшшного зви-чайного диференщального piвняння вигляду

- id (p(x)ilX )+q(x)u=f(x,u), х e (o' L). (i)

Зазвичай у прикладних задачах виконуються умови p(x) > p0 > 0 , q(x) > 0 , х е [0, L] i ставиться задача знаходження додатного на (0, L) розв'язку piвняння (1). Точш розв'язки крайових задач для piвняння (1) вiдомi лише у поодиноких випадках. К^м того, до певних складностей приводить виршення питання про iснування та еди-нiсть розв'язку. У зв'язку з цим актуальною нау-ковою проблемою е розробка методiв конструктивного дослщження нелiнiйних крайових задач, тобто таких, яю не тiльки дозволяють з'ясувати питання юнування розв'язку, але й пропонують алгоритм його знаходження. Серед таких методiв особливе мюце належить двобiчним методам, якi дозволяють оцшити невiдомий розв'язок знизу та зверху, а отже, пропонують зручну апостерю-рну оцiнку похибки наближеного розв'язку. Розpобцi двобiчних iтеpацiйних методiв присвя-ченi роботи [1-7], але в них в основному розгля-далися двовимipнi кpайовi задачi, одновимipнi iнтегpальнi piвняння або одновимipнi кpайовi за-дачi з першими крайовими умовами. 1. Постановка задачи Метою роботи е розробка нових методiв конструктивного дослщження не-лiнiйного звичайного дифеpенцiального piвняння —u'' = f(x,u), x е (0, L), (2)

якщо в точках х = 0 та х = Ь заданi першi, другi або треп крайовi умови.

Вважатимемо, що ^х,и) додатна та неперервна за сукупшстю змiнних х, и, якщо х е (0, Ь), и > 0 .

За цих умов ставиться задача знаходження додатного розв'язку вщповщно! крайово! задачг Усього е можливими дев'ять постановок крайових умов:

и(0) = 0, и(Ь) = 0, (3)

и(0) = 0, и'(Ь) = 0, (4)

и'(0) = 0 , и(Ь) = 0 , (5)

и(0) = 0, и'(Ь) + к2и(Ь) = 0, (6)

и'(0) = 0 , и'(Ь) + к2и(Ь) = 0, (7)

и'(0) - к1и(0) = 0 , и(Ь) = 0 , (8)

и'(0) - к1и(0) = 0 , и'(Ь) = 0, (9)

и'(0) - к1и(0) = 0 , и'(Ь) + к2и(Ь) = 0, (10) и'(0) = 0, и'(Ь) = 0, (11)

де к1 > 0, к2 > 0 .

Вiдмiтимо, що крайовi умови (7), (9) е частинним випадком крайових умов (10), якщо к1 = 0, к2 = 0 вщповщно, а крайовi умови (11) - частин-ний випадок крайових умов (10), якщо одночас-но к1 = 0 i к2 = 0 .

Для аналiзу кожно! з поставлених крайових задач застосуемо методи теори нелiнiйних операторiв у напiвупорядкованих просторах [4, 6]. 2. ДеяК вiдомостi з теорп нелiнiйних операто-рiв у просторах з конусом. Наведемо деяю фак-ти з теорii нелшшних операторiв у натвупоряд-кованих просторах, як будуть використовувати-ся дат [4, 6].

Нехай Е - дшсний банахiв простiр, 6 - нульо-вий елемент простору Е . Замкнена опукла мно-жина К с Е називаеться конусом, якщо з того, що и е К, и ^6 , випливае аи е К при а > 0 та -и г К .

Будь-який конус К с Е дозволяе ввести у прос-торi Е нашвупорядковашсть за правилом: у < w , якщо w - у е К . Елементи и >6 (тобто и е К) на-зивають додатними. Множина елементiв < у, w > напiвупорядкованого простору, яка складаеться з тих и е Е , для яких у < и < w , називаеться конус-ним вiдрiзком.

Важливий клас конусiв для застосувань теорп натвупорядкованих просторiв у обчислювальнiй математищ складають нормальнi конуси. Конус К називаеться нормальним, якщо юнуе таке чи-

сло ^К) > 0 , що з 8 < у < w випливае IV! < . У цьому випадку кажуть, що нор-

ма нашвмонотонна. Якщо N(K) = 1, то конус на-зивають гострим i кажуть, що норма монотонна. Розглянемо означення деяких клашв операторiв у просторах з конусом.

Оператор Т : Е ^ Е називаеться додатним, якщо вiн залишае iнварiантним конус К, тобто Т(и) е К для будь-якого и е К . Оператор Т : Е ^ Е називаеться гетеротонним, якщо вш дозволяе дiагональне подання Т(и) = Т(и, и), де супровiдний оператор

Т:Ех Е ^ Е монотонно зростае за першим аргументом i спадае за другим, тобто

а) якщо у1 < у2 , то Т(уь w) < Т(у2, w) для вах

w е Е;

б) якщо w1 < w2, то Т(у, w1) > Т(у, w2) для всiх у е Е.

Конусний в^^зок < Уо, Wo > називаеться сильно iнварiантним для гетеротонного оператора Т, якщо

Т(Уо, Wo) > Уo, Т^, Уо) < Wo. Зафiксуемо деякий ненульовий елемент uo е К i позначимо через K(uo) множину тих елемешгв и е К , для яких можна вказати таю а, р > 0 , що

а^ < и < Puo .

Додатний гетеротонний оператор Т називаеться псевдоув^нутим, якщо Т(у, w) е К(и0) для будь-яких у, w еК, у ф 8 , w ф 8, i для будь-яких у,w еК(и0) i те (0; 1):

Т ^тv,1w j > тТ(у, w),

причому знак рiвностi тут неможливий. Псевдоув^нутий оператор Т називаеться ^ -псевдоувiгнутим, якщо для будь-яких у, w еK(u0) i те (0; 1) можна знайти таке П(у^, т) > 0 , що

Т ^ту, 1w j > т[1 + п(у, w,т)]Т(у, w) .

Мае мюце таке твердження [6]: якщо конус К е нормальним, оператор Т цшком неперервним, для Т юнуе сильно iнварiантний конусний вщр> зок < у0, w0 > , а система Т(у, w) = у, Т(у, w) = w на < у0, w0 > не мае розв'язюв таких, що у ф w , то терацшний процес, який формуеться за правилом

vn+1 = T(Vn> wn)5 wn+1 = T(wn> vn), n = 0, 1, 2, ..., починаючи з точки (vo, wo), двобiчно збiгаeться

до едино! на (v0, w0) нерухомо! точки u* оператора T :

Vo < Vi < ... < vn < ... < u* < ... < wn < ... < Wi < Wo . Вiдомо [6], що система T(v, w) = v, T(v, w) = w на < v0, w0 > не мае розв'язюв таких, що v ф w , якщо T - U0-псевдоувiгнутий оператор.

з. Побудова двобiчних наближень. Нехай C[0, L] - банахiв простiр неперервних на [0, L] функцш з нормою ||u|| = max |u(x)| . Видшимо у

xe[0, L]

C[0, L] конус K + = {u e C[0, L]: u(x) > 0, x e [0, L]} невщ'емних функцiй. Зазначимо, що конус K + у C[0, L] е нормальним (i навiть гострим) [4, 6]. За допомогою конуса K + у прост^ C[0, L] вве-демо нашвупорядкованють за правилом: для

и, v e C[0, L] u < v, якщо v - u e K +, тобто

u < v, якщо u(x) < v(x) для всiх x e [0, L]. Нагадаемо [8], що функщею Грiна оператора

Lu = - d | p(x)— | + q(x)u називаеться функцiя

d ^ dx )

G(x, s) така, що

1) G(x, s) задовольняе однорiдне рiвняння

Lu = 0

всюди, крiм точки x = s (s - довшьна, але фшсо-вана точка з (0, L));

2) G(x, s) задовольняе крайовi умови задачi;

3) G(x, s) неперервна за x при будь-якому фiк-сованому s ;

4) мае мюце сшввщношення

Gx(s + 0, s) - G ^(s - 0, s) = --^.

P(s)

Можна довести, що

G(x,s) =

u1(x)u2(s) " P(s)|W(s)| , u1(s)u2(x)

0 < x < s, s < x < L,

p(s)|W(s)|

де u1(x) - нетривiальний розв'язок однорiдного

рiвняння Lu = 0, що задовольняе крайову умову

при x = 0; u2 (x) - нетривiальний розв'язок од-

норiдного рiвняння Lu = 0, що задовольняе кра-

, , u1(s) u2(s) йову умову при x = L ; W(s) = - ви-

ui (s) u 2(s)

значник Вронського функцш u1 , u2 .

Функцiя Грша iснуе за умови, що X = 0 не е вла-

сним значенням оператора Ь [8].

Нехай в(х^) - функцiя Грша оператора---

ах2

для одних з крайових умов (3) - (10) (функщя

г . а2и „ .. Г рша оператора--- для друго1 крайово1 задачi

ах2

- умови (11) - не юнуе). Анал^ичний виг ляд фу... „ . а2и нкцil Г рiна оператора--- для рiзного типу

ах2

задача для рiвняння (2) з одними з крайових умов (3) - (10) е^валентна штегральному рiв-нянню Гаммерштейна:

Ь

и(х) = | в(х, 8)^, и©^ . (12)

0

Розв'язком (узагальненим) крайово1 задачi для рiвняння (2) з одними з крайових умов (3) - (10)

називатимемо функщю и * е С[0, Ь], яка е розв'язком штегрального рiвняння (12).

крайових умов наведено у табл. 1. Тодi крайова

Таблиця 1

№ Крайов1 умови при Вигляд функци Грша в(х, 8) Ь Функщя и0 (х) = | в(х, 0

х = 0 х = Ь

1 и(0) = 0 и(Ь) = 0 • х(Ь - 8), 0 < х < 8, Ь 8(Ь - х) —--, 8 < х < Ь. Ь х(Ь - х) 2

2 и(0) = 0 и'(Ь) = 0 Гх, 0 < х < [ 8, 8 < х < Ь. х(2Ь - х) 2

3 и'(0) = 0 и(Ь) = 0 ГЬ - 8, 0 < х < 8, [Ь - х, 8 < х < Ь. (Ь + х)(Ь - х) 2

4 и(0) = 0 и'(Ь) + к2и(Ь) = 0 • х[1 + к2(Ь - 8)] л 2 , 0 < х < 8, 1 + к2Ь 8[1 + к2 (Ь - х)], 8 < х < Ь. 1 + к2Ь х[Ь(2 + к2Ь) - (1 + к2Ь)х] 2(1 + к2Ь)

5 и'(0) = 0 и'(Ь) + к2и(Ь) = 0 Г1 + к2(Ь - 8) л 2 , 0 < х < 8, • к2 •1 + к2(Ь - х) 2 , 8 < х < Ь. [ к2 2Ь + к2(Ь - х)(Ь + х) 2к2

6 и'(0) - к1и(0) = 0 и(Ь) = 0 • (к1х +1)(Ь - 8), 0 < х < 8, 1 + к1Ь (к18 +1)(Ь - х), 8 < х < Ь. 1 + к1Ь (Ь - х)[Ь + (1 + к1Ь)х] 2(1 + к1Ь)

7 и'(0) - к1и(0) = 0 и'(Ь) = 0 к,х +1 1 , 0 < х < 8, к1 кп8 +1 —-, 8 < х < Ь. [ к 2Ь + к1х(2Ь - х) 2к1

8 и'(0) - к1и(0) = 0 и'(Ь) + к2и(Ь) = 0 Г(к1х +1)[1 + к2(Ь - 8)] 0 < х < 8 к1 + к2 + к1к2Ь (к18 + 1)[1 + к2(Ь - х] 8 < х < Ь к1 + к2 + к1к2Ь Ь(2 + к2Ь) + к1Ь(2 + к2Ь)х х2 2(к1 + к2 + к1к2Ь) 2

9 и'(0) = 0 и'(Ь) = 0 не юнуе —

З рiвнянням (12) пов'яжемо нелшшний штегра-льний оператор, який дiе у С[0, Ь] за правилом

Ь

(Ти)(х) = | в(х, (Б,и(Б)^ . (13)

0

З табл. 1 бачимо, що для вшх крайових умов (3) -

^2и

(10) функцiя Грiна оператора--- е не-

ах2

вiд'емною: в(х,Б) > 0, х, б е [0, Ь], та неперерв-ною у квадрат 0 < х, б < Ь . Оскiльки f(x,u) дода-тна, якщо х е (0, Ь), и > 0 , то оператор Т е дода-тним, тобто залишае iнварiантним конус К +: Т(К+) с К+ .

Припустимо, що функщя f(x,u) дозволяе дiаго-нальне подання f(x,u) = !(х,и,и), де неперервна за сукупшстю змшних х, у, w функцiя :(х,у^) монотонно зростае за у i монотонно спадае за w для вах х е (0, Ь). Тодi оператор Т вигляду (13) буде гетеротонним з супровщним оператором

Ь

Т(у^)(х) = | G(x,s)f(s,у(s),w(s))ds . (14)

0

Очевидно, що оператори Т i Т е щлком непере-рвними.

Якщо функцiя Дх,и) монотонно зростае за и для всiх х е (0, Ь), можна обрати :(х,у^) = Дх,у), а для монотонно спадно! за и функци Дх,и) можна покласти

:(х,у^) = Дх^).

У конус К+ видiлимо сильно iнварiантний конусний вiдрiзок <> умовами

T(v ,w ) > v , T(w ,v ) < w ,

тобто

L

0

x e [0, L],

L

J G(x,s)f(s,w0(s),v0(s))ds < w0(x) для Bcix 0

x e [0, L].

Сформуемо iтерацiйний процес за схемою

v(k+1) = T(v(k),w(k)), w(k+1) = T(w(k),v(k)), k = 0,1,2,...; v(0) = v0, w(0) = w0,

тобто

L

J G(x, s)f (s, v0 (s), w0 (s))ds > v0(x) для Bcix

w(k+1) (x) = J G(x, s)f(s, w(k) (s), v(k) (s))ds , (16)

0

k = 0,1,2,..., v(0) (x) = v0 (x), w(0) (x) = w0(x). (17) З огляду на сильну iHBapiaHTHiCTb конусного вщ-pi3Ka <v0,w0 > та гетеротоннicть оператора T, для якого оператор T е супровщним, можна зро-бити висновок про те, що послщовшсть {v(k)(x)} не спадае за конусом K +, а послщовшсть {w(k)(x)} не зростае за конусом K +. Крiм того, з нормальност конуса K + i цiлком неперервноcтi

оператора T випливае icнування границь v* (x) i w* (x) цих послщовностей. Отже, справджуеться ланцюг нерiвноcтей

v0 = v(0) < v(1) <... < v(k) <... < v*< <w*<...<w(k) <...<w(1) <w(0) = w0. Функци v* i w* е розв'язком системи рiвнянь

* гр / * * \ * гтч / * * \

v = T(v ,w ), w = T(w ,v ), тобто системи

L

v* (x) = J G(x, s)f(s, v* (s), w* (s))ds,

0 L

w* (x) = J G(x,s)f(s,w* (s), v* (s))ds .

0

ГТ * * * *

Якщо ж отримали, що v = w = u , то u - едина

на конусному вiдрiзку < v0 ,w0 > нерухома точка

* 0 0 оператора T, а отже, u - единий на < v ,w >

розв'язок вщповщно! крайово! задачi.

Умовою, яка забезпечить едишсть додатного

розв'язку крайово! задачi, е u0 -пcевдоувiгнутicть

оператора T вигляду (13) [6].

Найбшьш доcлiдженим е випадок першо! крайо-

во! задачi (2), (3). Зокрема, доведено [6], що вщ-

повiдний оператор T е u0 -пcевдоувiгнутим з

L

u0 (x) = J G(x, s)ds 0

за умови: для будь-яких додатних чисел v, w при будь-якому те (0, 1)

f I x, ту, — w |>Tf(x, v, w), x e (0, L) . (18)

v(k+1) (x) = J G(x, s)f(s, v(k) (s), w(k) (s))ds, (15)

0

Як бачимо, функщя u0 (x) задовольняе вщповщш функцiï G(x,s) крайовi умови i е розв'язком рiв-няння -u'' = 1. Отже, у випадку крайових умов (4) - (10) умова (18) теж забезпечить виконання вла-cтивоcтi u0 -псевдоувшнутосп оператора T ви-

гляду (13) з и0(х) = |в(х,8)а8 . Крiм того, можна

0

запропонувати шукати кiнцi сильно iнварiантно-го для оператора Т вигляду (14) конусного вщр> зка у виглядi

V0 (х) = аи0 (х), w0 (х) = Ри0 (х). Тодi для визначення а i р (0 < а < р ) маемо систему нерiвностей: для вшх х е [0, Ь]

Ь

I в(х, 8)1(8, аи0 (8), Ри0 (8))ё8 > аи0 (х), (19) 0 Ь

I в(х, 8)1(8, Ри0 (8), аи0 (8))ё8 < Ри0 (х). (20) 0

Отже, справджуеться така теорема. Теорема. Нехай система нер1вностей (19), (20) мае розв 'язок (а, Р) такий, що 0 < а < р, 7 вико-нуеться умова (18). Тод1 ШерацШний процес (15) - (17) зб1гаеться до единого неперервного дода-

тного розв'язку и* е<аи0, Ри0 > вгдповгдног кра-йовог задач1 для р1вняння (2), причому мають м1-сце нер1вност1

V0 = < V« <... < v(k) <... <и* <

<... < w(k) <... < w(1) < w(°) = w°. За наближений розв'язок крайово1 задачi на к-й тераци приймаемо функцiю

(x) =-

,Дк)

(x) + v(k)(x) 2

Зауважимо, що перевагою побудованих двобiч-них iтерацiйних процесiв е те, що на кожнш k -й тераци ми маемо зручну оцшку похибки для на-ближеного розв'язку:

u*- u(k)

II <1 max (w(k) (x) - v(k) (x)). IIC[0, L] 2 xe[0, L]

(Tu)(x) = J G(x,s) VU(S) +-rL=

0 I Vu(s).

ds,

очевидно, е гетеротонним з супровщним оператором вигляду

L (

T(v,w)(x) = J G(x,s) д/VcS) + .-

о I Vw(s)

Л

ds.

Безпосередньою перевiркою встановлено вико-нання умови (18): для будь-яких додатних чисел v, w при будь-якому те (0, 1)

л/xv + г1— > T|W + I, f 1 Jwj

або

(л/Г — т) + |>0.

У випадку крайових умов (3) отримано, що кшщ сильно iнварiантного конусного вiдрiзка можна визначити значеннями а = 2,55 , ß = 2,85 . Збiж-

нiсть з точнiстю е = 10 отримано на четвертш тераци. На рис. 1 наведено графки верхшх w(k)(x) та нижнiх наближень v(k)(x), k = 0, 1, 2, 3,4, а в табл. 2 наведено значення на-ближеного розв'язку u(4)(x) в точках x; = 0,25i, i = 0, 1, 2, 3, 4 .

0.2 0.4 0.6

Рис. 1

Тод^ якщо задана точнють е > 0, то терацшний процес слiд проводити до виконання HepiBHOCTi

max (w(k) (x) - v(k) (x)) < 2е xe[0, L]

i з точнiстю е можна вважати, що u* (x) и u(k) (x).

4. Результати обчислювального експерименту.

Обчислювальний експеримент для piвняння (2)

було проведено для f (u) = Vu + при L = 1 i

Vu

крайових умовах (3), (4), (6), (10). Вщповщний iнтeгpальний оператор

Li Л

Таблица 2

x 0,0 0,25 0,50 0,75 1,0

u(4) 0 0,2416 0,3156 0,2416 0

Для крайових умов (4) отримано, що кшщ сильно iнварiантного конусного в^^зка можна визначити значеннями а = 1,75 , р = 2,60 . Збiжнiсть

-3 ? • ^ •

з точнютю е = 10 отримано на п ятш терацп. На рис. 2 наведено графши верхнiх w(k)(x) та

нижнiх наближень v(k) (х), к = 0, 1, 2,3,4,5, а в табл. 3 наведено значення наближеного розв'язку и(5)(х) в точках 1 = 0, 1, 2, 3, 4 .

x; = 0,25i,

Таблица 3

У випадку крайових умов (6) (при к2 = 1) отри-мано, що кшщ сильно iнварiантного конусного вiдрiзка можна визначити значеннями а = 1,60,

в = 2,75 . Збiжнiсть з точнiстю е = 10-3 отримано на п'ятiй терацп. На рис. 3 наведено графши верхшх w(k)(x) та нижнiх наближень у(к)(х), к = 0, 1, 2, 3,4,5, а в табл. 4 наведено значення на-ближеного розв'язку и(5)(х) в точках х; = 0,251, 1 = 0, 1, 2, 3, 4 .

Таблица 4

Для крайових умов (10) (при к = 1, к2 = 1) отримано, що кшщ сильно iнварiантного конусного вiдрiзка можна визначити значеннями а = 1,85 ,

в = 2,20 . Збiжнiсть з точнютю е = 10-3 отримано на п'ятш iтерацii. На рис. 4 наведено графши верхнiх w(k)(x) та нижшх наближень у(к)(х),

k = 0, 1, 2, 3,4,5, а в табл. 5 наведено значення на-ближеного розв'язку u(5)(x) в точках x; = 0,25i, i = 0, 1, 2, 3, 4 .

Таблица 5

x 0,0 0,25 0,50 0,75 1,0

u(5) 1,0033 1,1916 1,2544 1,1916 1,0033

5. Висновки. Вперше проведене дослiдження можливостi побудови двобiчних наближень до додатного розв'язку нелшшного звичайного ди-ференцiального рiвняння -u'' = f (x, u) для рiзних титв крайових умов. Отримано умови юнування додатного розв'язку та умови двобiчноï зб1жнос-тi до нього посл1довних наближень. Одержанi результати можуть бути використаш у матема-тичному моделюваннi нелiнiйних процесiв у на-уцi та технiцi. Також ïx можна розповсюдити на звичайнi диференцiальнi рiвняння з бiльш зага-льною лiвою частиною i використати при побу-довi на основi методу Роте напiвдискретниx ме-тодiв чисельного аналiзу квазiлiнiйного рiвняння теплопров1дност1. Це i визначае наукову новизну та практичну значущiсть отриманих у робот ре-зультатiв.

Лiтература: 1. Колосов А.И., Колосова С.В., Сидоров М.В. Конструктивное исследование краевых задач для нелинейных дифференциальных уравнений // В1сник Запор1зького нацюнального ушверситету. Сер1я: ф1-зико-математичн1 науки. 2012. № 2. С. 50 - 57.

2. Колосова С.В., Луханин В.С., Сидоров М.В. О построении двусторонних приближений к положительному решению уравнения Лане-Эмдена // в1сник За-пор!зького нацюнального ушверситету. Сер1я: ф1зико-математичш науки. 2015. № 3. С. 107 - 120.

3. Колосова С.В., Сидоров М.В. Применение итерационных методов к решению эллиптических краевых задач с экспоненциальной нелинейностью // Радиоэлектроника и информатика. 2013. № 3 (62). С. 28 -31. 4. Красносельский М.А. Положительные решения

x 0,0 0,25 0,50 0,75 1,0

u(5) 0 0,4561 0,7701 0,9576 1,0200

x 0,0 0,25 0,50 0,75 1,0

u(5) 0 0,3447 0,5380 0,5995 0,5316

операторных уравнений. М.: ГИФМЛ, 1962. 394 с. 5. Курпель Н.С, Шувар Б.А. Двусторонние операторные неравенства и их применение. К.: Наук. думка, 1980. 268 с. 6. Опойцев В.И., Хуродзе Т.А. Нелинейные операторы в пространствах с конусом. Тбилиси: Изд-во Тбилис. ун-та, 1984. 246 с. 7. Сидоров М.В. Метод двоб1чних наближень розв'язання задач1 Д1р1хле для нелшшного р1вняння теплопроввдносп // Математич-не та комп'ютерне моделювання. Сер1я: Ф1зико-математичш науки. 2017. Вип. 16. С. 157 - 167. 8. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. 254 с. 9. Франк-Каменецкий Д.А. Основы макрокинетики. Диффузия и теплопередача в химической кинетике. М.: Интеллект, 2008. 408 с. 10. Шувар Б.А, Копач М.1, Ментинський С.М., Обшта А.Ф. Двосторонш наближеш методи. 1вано-Франшвськ: ВДВ Ц1Т, 2007. 515 с.

Transliterated bibliography:

1. Kolosov A.I, Kolosova S.V., Sidorov M.V. Konstruktivnoe issledovanie kraevyh zadach dlja nelinejnyh differencial'nyh uravnenij // Visnik Zaporiz'kogo nacional'nogo universitetu. Serija: fiziko-matematichni nauki. 2012. № 2. Pp. 50 - 57.

2. Kolosova S. V, Luhanin V.S, Sidorov M.V. O postroenii dvustoronnih priblizhenij k polozhitel'nomu resheniju uravnenija Lane-Emdena // Visnik Zaporiz'kogo nacional'nogo universitetu. Serija: fiziko-matematichni nauki. 2015. № 3. Pp. 107 - 120.

3. Kolosova S.V, Sidorov M.V. Primenenie iteracionnyh metodov k resheniju jellipticheskih kraevyh zadach s jekspo-nencial'noj nelinejnost'ju // Radiojelektronika i informatika. 2013. № 3 (62). Pp. 28 - 31.

4. Krasnosel'skij M.A. Polozhitel'nye reshenija operatornyh uravnenij. M.: GIFML, 1962. 394 p.

5. Kurpel' N.S., Shuvar B.A. Dvustoronnie operatornye neravenstva i ih primenenie. K.: Nauk. dumka, 1980. 268 p.

6. Opojcev V.I, Hurodze T.A. Nelinejnye operatory v prostranstvah s konusom. Tbilisi: Izd-vo Tbilis. un-ta, 1984. 246 p.

7. Sidorov M. V. Metod dvobichnih nablizhen' rozv'jazannja zadachi Dirihle dlja nelinijnogo rivnjannja teploprovidnosti // Matematichne ta komp'juterne modeljuvannja. Serija: Fiziko-matematichni nauki. 2017. Vip. 16. Pp. 157 - 167.

8. Tihonov A.N., Vasil'eva A.B., Sveshnikov A.G. Differen-cial'nye uravnenija. M.: FIZMATLIT, 2005. 254 P.

9. Frank-Kameneckij D.A. Osnovy makrokinetiki. Diffuzija i teploperedacha v himicheskoj kinetike. M.: Intellekt, 2008. 408 p.

10. Shuvar B.A., Kopach M.I, Mentins'kij S.M., Obshta A.F. Dvostoronni nablizheni metodi. Ivano-Frankovs'k: VDV CIT, 2007. 515 p.

Надшшла до редколегй' 02.03.2018 Рецензент: д-р фiз.-мат. наук, проф. Литвин О.М. Вороненко Микита Дмитрович, студент гр. ПМ-14-1 фак-ту шформацшно-аналггачних технологiй та менеджменту ХНУРЕ. Науковi iнтереси: математичне моделювання, чисельш методи. Адреса: Укра!на, 61166, Харшв, пр. Науки, 14, тел. (057) 7021436. Email: mykyta.voronenko@nure.ua. Сидоров Максим Вiкторович, канд. фiз.-мат. наук, доцент каф. прикладно! математики ХНУРЕ. Науковi iнтереси: математичне моделювання, чисельш методи, математична фiзика, теорiя R-функцiй та ii' засто-сування, стохастичний аналiз та його застосування. Адреса: Укра!на, 61166, Харкiв, пр. Науки, 14, тел. (057) 7021436. E-mail: maxim.sidorov@nure.ua. Voronenko Mykyta Dmytrovych, student of group PM-14-1 Faculty of Information and Analytical Technologies and Management, Kharkiv National University of Radioe-lectronics. Scientific interests: mathematical modeling, numerical analysis. Address: 14 Nauki ауе, Kharkiv, Ukraine, 61166, tel. (057) 7021436. E-mail: myky-ta.voronenko@nure.ua.

Sidorov Maxim Victorovich, Ph.D. in Physis and Maths, associate professor of the Applied Mathematics Department, Kharkov National University of Radioelectronics. Scientific interests: mathematical modeling, numerical analysis, mathematical physics, R-function's theory and its applications, stochastic analysis and its applications. Address: 14 Nauki ауе, Kharkiv, Ukraine, 61166, tel. (057) 7021436. E-mail: maxim.sidorov@nure.ua.