Математичні моделі фільтраційних течій та застосування методу R-функцій для їх чисельного аналізу Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.63 : 532.5

МАТЕМАТИЧН1 МОДЕЛ1 ФШЬТРАЦШНИХ ТЕЧ1Й ТА ЗАСТОСУВАННЯ МЕТОДУ Й-ФУНКЦШ ДЛЯ IX ЧИСЕЛЬНОГО АНАЛ1ЗУ

ПОДГОРНИЙ О.Р.

Розглядаються постановки основных крайових задач для функци течп фiльтрацiйного потоку. Для тестово! крайово! задачi теорп стацюнарно! фшьтраци у !зот-ропному грунтi будуеться (ввдповщно до методу R-функцiй) структура розв'язку крайово! задачi та об-грунтовуеться застосування методу Рiтца для апрок-симаци невизначено! компоненты структурно! формулы.

Ключовi слова: закон Дарсц фiльтрацiя рiдини у пористому середовищц метод R-функцiй; метод Рггца. Key words: Darcy's law; fluid flow through porous media; boundary problem; R-function's method; Ritz method.

Вступ. Фшьтращею називаеться повшьний рух (просочування) рщин, нафти та газу, газовано! рщини у пористому середовищ1 тд д1ею якихось фактор1в [16]. Явище фшьтрацп зустр1чаеться у наущ, промисловосп, сшьському господарств1 тощо. Це процеси осушення i зрошення, втшання морсько! води в прюну, обтiкання гiдротехнiчних споруд, просочування води ^зь землянi дамби, задачi прийняття рiшень i управлiння у надзви-чайних ситуацiях, пов'язаних з паводками, та ба-гато шшого.

При математичному моделюваннi фiльтрацiйних течш приходять до крайових задач для рiвнянь у частинних похiдних. Точш розв'язки таких задач можна у деяких випадках отримати, використо-вуючи методи теорп функцiй комплексно! змш-но! [11]. Бiльш унiверсальними е чисельш методи - метод шток, метод скшченних елементiв, метод мажорантних областей, метод суматорних подань, метод фштивних областей тощо [4, 5, 6, 9, 12, 13]. Кожен з цих методiв мае сво! переваги та недолши. До недолтв точних методiв слiд в> днести обмежену кiлькiсть областей, до яких вони застосовнi, а основним недолшом iснуючих наближених методiв е те, що при !х реалiзацi!' у геометрично складних областях межа областi ап-роксимуеться, наприклад, вписаною ламаною, тобто втрачаеться точнють у врахуваннi геометрично! шформацп у чисельному алгоритмi.

Найбшьш точно i повно врахувати геометри-чну та аналiтичну iнформацiю, яка мютиться у постановцi задачi математично! фiзики, дозволяе структурний метод R-функцш [18]. Для численного розв'язання задач фiльтрацi!' метод R-функцш було застосовано у [2,3,19], але в них

було розглянуто лише задачi фiльтрацii пiд пд-ротехшчними спорудами.

Отже, розробка нових та вдосконалення юную-чих методiв чисельного аналiзу фiльтрацiйних течiй е актуальною науковою задачею.

1. Мета та задачi дослiдження. Метою роботи е розробка нових та вдосконалення юнуючих ме-тодiв чисельного аналiзу плоских стащонарних фiльтрацiйних течiй на основi математичноi мо-делi у термшах «функщя течи». Для досягнення цiеi мети необхiдно:

- провести аналiз постановок можливих крайових задач для функци течи;

- для тестовоi задачi теорii фiльтрацii побудува-ти на основi методу Я-функцш структуру розв'язку;

- обгрунтувати застосування варiацiйних методiв до апроксимацii невизначених компонент побу-довано!' структурно!' формули.

2. Математичш моделi теорн плоскоТ фшьтра-цil. Побудова математичних моделей фшьтра-цiйних течiй заснована на використанш закону, встановленого емпiрично французьким шжене-ром А. Дарсi (1803-1858) у 1852-1855 рр. [16]. Математичне формулювання закону Дарсi для iзотропного середовища мае вигляд:

т dH

v = kJ = -к-,

ds

(1)

dH

де J =--- градiент п'езометричного напору

ds

Н = -Ь + z (pg = у) РИ

за шляхом 8 ; р - тиск; р - щiльнiсть рiдини; и - прискорення сили тяж1ння; х - геометрична висота над деякою площиною порiвняння; у -питома вага рщини; к - коефiцiент фшьтрацп. Закон Дарсi (1) означае, що втрати напору при фшьтрацп пропорцшш и швидкостi. Коефiцiент фiльтрацii к залежить вiд властивос-тей як пористого середовища, так i рщини:

к = М,

де к - проникшсть пористого середовища; р -щшьшсть рiдини; и - прискорення сили тяжш-ня; ц - коефщент динамiчноi в'язкостi рiдини. Типовi значения к при фiльтрацii води у тску мають порядок 10-5 -И0-2 м/с, у грунтi -

10-6 -И0-4 м/с, у глиш - 10-7 -И0-6 м/с.

При фшьтрацп у ашзотропних пористих середо-

вищах лiнiйна залежнiсть швидкостi фшьтрацп

та гращента тиску збертаеться, але щ вектори у загальному випадку вже не будуть колшеарш. Коефiцiент фшьтрацп наразi буде симетричним додатно-означеним тензором. ^m^ieM застосовностi закону Дарсi е малють числа Рейнольдса.

Якщо межа обласп фшьтрацп складаеться лише з проникних та непроникних дiлянок, то фшьт-рацiю називають напiрною. Якщо ж до складу межi входять сухий чи змочений грунт, а також поверхш (промiжки) просочування, з яких рiдина потрапляе безпосередньо в атмосферу, то фшьт-рацiю називають безнатрною. Основнi рiвняння гiдромеханiчноi теори фшьтрацп були отриманi в роботах Н.С. Жуковського [8] та М.М. Павловського [15]. Система рiвнянь руху рiдини у пористому сере-довищi мае вигляд:

1 dvx dH 1

--- + — + - vx = 0,

g dt dx к

1 dVy

dH 1

--^ + — + - vy = 0,

g dt dy к *

1 dv, dH 1

--z + — + —vz = 0,

g dt dz к

(2)

(3)

(4)

d

d

п-z + — (pv x) + — (pVy) + — (pVz) = 0, (5)

dy dz

dp д '— + —

dt dx

f(p, H, T) = 0. (6)

Рiвняння (5) називаеться рiвнянням нерозривнос-т (п - пористiсть грунту), а (6) - рiвнянням стану, що характеризуе стан рiдини вщношенням мiж густиною p, iзотермiчним напором Н та абсолютною температурою Т. Система (2) - (6) е замкнутою системою рiвнянь, яю описують нестацiонарну фiльтрацiю важко! стисливо! рiдини у недеформованому грунт1, якщо справедливий закон Дара. 1нтегруючи систему рiвнянь (2) - (6) в област фшьтрацп (при крайових та початкових умовах), отримуемо проекцп швидкостi фшьтрацп, п'езометричний натр та густину рщини, яка ф> льтруеться.

Для нестисливих однорiдних рiдин рiвняння стану мае вигляд p = const. Тодi рiвняння нерозрив-ностi перетворюеться на рiвнiсть:

dvx dvy dv.

- + —- + = 0. dx dy dz

(7)

задовольняе в област фшьтрацп однорiдному елiптичному рiвнянню

-4^-4^1-4^ = 0, (9) dx ^ dx J dy ^ dy J dz ^ dz J

яке для однорщночзотропного грунту (к = const) переходить у рiвняння Лапласа

AH =

d2H d2H d2H

dx2 dy2 dz2

= 0.

(10)

Ввiвши потенцiальну функщю ф як

ф = -кй , (11)

з (9) та (10) отримаемо, що при к = const функщя Ф е гармошчною в обласп фiльтрацii:

d 2 ф d 2 ф d 2 ф Аф = 2 +~г + 2 = 0.

dx dy dz

(12)

Шнп рiвня ф = const функци ф називаються ек-вшотенщальними поверхнями (поверхнями рiв-ного потенщалу), а враховуючи (11), вони е поверхнями рiвного напору. Зрозумшо, що вектор швидкостi фiльтрацii у будь-якш точцi областi фiльтрацii спрямований за нормаллю до поверхш рiвного напору, який проходить через цю точку. У випадку плоско! стацiонарноi фшьтрацп в од-норiдному iзотропному недеформованому грунтi (фiльтрацiя вiдбуваeться у площиш, яка е пара-лельною до координатное' площини xOy) система (2) - (6) матиме вигляд:

dH

dH dvx dv.

vx = -к^ , vv =-к^, ^ + = 0, (13)

dx " y dy dx dy

а рiвняння (12) -

. d2ф д2ф n Аф = 2 + = 0.

dx2 dy2

(14)

Плосю фшьтрацшш течii зручно аналiзувати за допомогою функцii течii у, яка вводиться сшв-вiдношеннями:

дш дш

vx = — , vx =---

dy dx

(15)

Для стацiонарноi фiльтрацii з (2) - (4) отримаемо

dH dH dH

vx =-к^г, vv = -к^Т, vz = -к^~. (8) dx dy dz

Постановкою (8) у (7) отримаемо, що натр Н

Завдяки такому означенню функци течи ш рiв-няння нерозривностi (трете з рiвнянь (13)) обер-таеться в тотожнють, а з (8) матимемо, що

dH 1 дш dH 1 дш

— =---, — =--- . (16)

dx к dy dy к dx

Оскiльки ф = -кИ , то за умови к = const функци

ф та ш пов'язаш умовами Кошi-Рiмана:

5ф=5ш 5ф = -5ш (17)

dx dy dy dx

Диференцiюючи перше з рiвностей (16) за y i

вщшмаючи з нього друге з рiвностей (16), яке

продиференцшоване за x, отримаемо, що функщя течи задовольняе в обласп фiльтрацii рiвнян-

ня

d I 1 дш | д | 1 дш | 0

, , , . (18)

dx ^к dx J dy ^к dy

Лiнii рiвня ш = const функци течи ш називають лшями течii. Вони мають властивють: вектор швидкостi фiльтрацii в будь-якш точщ областi фiльтрацii спрямований за дотичною до лши течи, що проходить через цю точку. Рiвняння для напору (9), (10), потенщалу (12), (14), функци течи (17), (18) необхщно доповнити крайовими умовами [4, 5, 6]. На дшянках межi област фiльтрацii, яю е непро-никними поверхнями, нормальна складова шви-дкостi повинна дорiвнювати нулю (умова непро-тiкання):

v n =0. (19)

Прикладами таких дiлянок е поверхнi бетонних основ пдроспоруд або межi шску та глини. 1з закону Дарсi та рiвнянь (11), (17), (19) випли-вае, що на цих дiлянках меж виконуються умови дф

—L = 0, ш = const, dn

тобто вони е лшями течii.

Деякi дiлянки меж областi фiльтрацii можуть межувати з областями вшьно! рiдини. Прикладом такого випадку е межа мiж пористим середови-щем та водоймою, через яку рщина просочуеться з водойми в грунт та навпаки - коли грунтовi води можуть потрапляти у водойму. У цьому випа-дку на дшянках межi дотична складова швидкос-тi повинна дорiвнювати нулю:

vs = 0. (20)

1з закону Дарсi та рiвнянь (11), (17), (19) випли-вае, що

дш ^

ф = const, — = 0 , dn

тобто вони е еквшотенщальними лшями. Припустимо, що область фшьтрацп частково межуе з атмосферою. Таю межi називаються промiжками височування, оскiльки на таких д> лянках рiдина може витiкати з пористого середо-вища i, наприклад, спкати уздовж межi або ви-паровуватися. Прикладами таких меж служать стшки земляних гребель, через яю фiльтруeться вода, або стiнки колодязiв, викопаних у водона-сиченому грунта

На промiжку височування мають мюце умови неперервностi тиску (якщо знехтувати капшяр-ними ефектами, то тиск рщини в пористому се-

редовищi на меж збiгаeться з атмосферним) та додатност проекцii швидкостi фшьтрацп на зов-нiшню нормаль:

Vn > 0,

тобто рiдина може тшьки витiкати з пористого середовища. Саме ж значення швидкосп фшьтрацп на межi областi розв'язання задачi е невi-домим.

Частина межi областi фiльтрацii може бути лшею роздiлу мiж сухим i вологим грунтом. Така дшян-ка називаеться вiльною поверхнею (лiнieю) або поверхнею депреси. Вiдзначимо, що до розв'язання задачi ii форма невiдома. На д^нщ вiльноi поверхнi мають мюце зазвичай загальна умова збереження маси i умова неперервностi тиску. Крiм того, ця крива е лшею течii. Тепер припустимо, що грунтова вода проходить крiзь два грунти з рiзними коефiцieнтами фшьтрацп к1 и к2. Нехай грунти межують по деякш лiнii L . На цш лiнii повинш бути виконанi умови неперервностi тиску:

p1 = p2 в будь-якш точщ L та нерозривност течи:

v1n = v2n в будь-якiй точцi L . Тодi iз закону Дарсi i рiвнянь (11), (17) випливае, що на L виконуються умови

ф1 = ф2 Адф! = 1 дф2

к1 к/ к ds к2 ds

1 дш! 1 дш? ш1 = ш 2, —£1 = —т2.

к1 dn к 2 dn

3. Конструктивний апарат теорп Л-функцш та його застосування в математичному моделю-ваннi фiзико-механiчних полiв. Розглянемо ос-новнi вщомосп з теорii Л-функцiй та загальну схему застосування методiв цiei теори у математичному моделюваннi фiзико-механiчних полiв [10, 18].

Вперше .К-функци з'явилися у 1963 р. в робоп акад. НАН Украiни В.Л. Рвачова [17]. Серед фу-нкцш неперервного аргументу ним було видше-но клас функцiй, якi мають властивосп, схожi з властивостями функцш дискретного аргументу, а саме - з функщями алгебри логiки. Можна дати таке означення [10, 18]. Означення. Функщя y = f(x1, ..., xn), f: Rn ^R, називаеться R-функцieю (функщею В.Л. Рвачова), що вщповщае розбиттю множини X = (-да, + да) = R на три градаци:

S-1(0) = X(0) = (-да, 0), S-1(1) = X(1) = {0},

8-1(2) = Х(2) = (0, + да), якщо iснуе така функцiя тризначноi лопки У = Б(Х1, ..., Хп), що

адхь ..., Хп)] = ^(хД ..., Бз(хп)], (21)

0, г < 0, де Б3(г) = <¡1, г = 0, 2, г > 0.

Множина вшх таких Я-функцш позначаеться так:

=Щ[Х = (-да, + да); Б3]. Функцiя тризначноi логiки Б, що задовольняе (21), називаеться супровщною для Я-функци f . Множина «3 мае непустий перетин з множиною елементарних функцш, тому над Я-функщями можна виконувати, зокрема, операци диферен-цiювання та штегрування.

На теперiшнiй час вщома велика кiлькiсть систем Я-функцш [18]. Зокрема, система мае ви-

гляд

1

Х1 ла х2 = "

Х1 х2 = ■

1 + а 1

1 + а

х = -х;

х1 + х2 -

л/х?

+ х2 - 2ах^2 |; (22)

х, + хп +

л/х2

+ х2 - 2ах1х2

Тут а(х1, х2) - довiльнa функцiя, яка задовольняе умови

-1 < а(х1, х2) < 1, а(хь х2) = а(х2, х1) = а(-хь х2) = а(хь -х2) для вшх х1, х2 £ Я . Для Я-функцш (22) супровiдними е функци три-знaчноi логiки заперечення, диз'юнкцiя та кон'юнкцiя вiдповiдно.

Розглянемо розв'язання методом Я-функцш обе-рнену задачу aнaлiтичноi геометрii. Ця задача полягае у наступному: нехай у Яп задано геоме-тричний об'ект О з кусково-гладкою межею дО i необидно побудувати таку функщю ю(х), яка додатна всерединi О i дорiвнюе нулю на дО. Тодi рiвняння ю(х) = 0 у неявнш формi визнача-тиме геометричне мiсце точок, що е межею гео-метричного об'екта О .

Нехай геометричний об'ект О побудовано з ош-рних множин Е; = (ст; (х) > 0), 1 = 1, ..., т, за допо-могою операцш -, л, V алгебри логiки над ними:

О = Б(Е1, ..., Ет). (23)

Вважаемо, що ст;(х), 1 = 1, ..., т, - прост непере-

рвнi (елементарш) функцii, тобто ст;(х) = 0 е межею множин СТ; (х) > 0 i СТ; (х) > 0 . Якщо тепер у (23) провести формальну замшу О на ю(х), Е; на ст;(х), 1 = 1, ..., т, а символiв -, л, V алгебри лопки на символи вщповщних Я-операцш, то отримаемо aнaлiтичний вираз, який в елементарних функцiях визначае рiвняння меж дО [9]:

ю(х) = 0 .

При цьому для внутршшх точок О виконуеться нерiвнiсть ю(х) > 0 .

На функщю ю(х) також можна накладати додат-ковi умови: наприклад, умову нормaлiзовaностi, яка полягае у задоволенш вимог

ю(х) = 0 на дО; ю(х) > 0 всерединi О ;

дю дп

= -1.

(24)

дО

де п - зовнiшня до дО нормаль. При розв'язанш диференцiaльних задач матема-тично! фiзики метод Я-функцш дозволяе побудувати так звану структуру розв'язку крaйовоi за-дaчi, тобто жмуток функцш, який точно задовольняе вшм крайовим умовам зaдaчi та залежить вщ деяких невизначених компонент. Вибiр цих невизначених компонент роблять так, щоб у де-якому сенс задовольнити диференцiaльне рiв-няння зaдaчi. Для цього використовуються рiзнi чисельнi методи мaтемaтичноi фiзики, зокрема, метод Рiтцa, метод найменших квaдрaтiв, метод Гaльоркiнa тощо.

Перевагою цього тдходу порiвняно, наприклад, з рiзницевими методами i методом скшченних елеменпв е те, що геометрiя розрaхунковоi обла-стi враховуеться точно, тобто, зокрема, не вщбу-ваеться замши криволшшних дiлянок. Схему застосування методу Я-функцш в задачах чисельного aнaлiзу фiзико-мехaнiчних полiв можна розбити на таю етапи:

1) точний анал^ичний опис геометрп розрахун-ково! облaстi, тобто побудова функци ю(х) з вла-стивостями (24);

2) продовження крайових умов всередину облас-тi, тобто довизначення функцiй та оперaторiв, заданих на меж1, у внутршшх точках облaстi;

3) побудова зaгaльноi структури розв'язку, тобто тaкоi формули, яка залежить вiд деяких невизначених функцш (компонент) та за будь-якого !х вибору точно задовольняе вшм крайовим умовам задачу

4) побудова наближеного розв'язку, тобто апрок-

симац1я невизначених компонент структури де-яким чисельним методом.

Для продовження крайових умов всередину облает! використовуються два основних тдходи [18].

Нехай функщя ф0 в точках дЦ задана у вигляд1

ф01)(5), 5 едЦ,

Фо(5) = | к К

ф0г )(5), 5 едЦг, де дшянки меж1 дЦ, ..., дЦ попарно р1зш, не мають спшьних внутршшх точок {

дЦ = ац ик дЦ.

Нехай дал1 ф,.(х), , = 1,..., г , таю, що ф,.|вц = ф0'), а ю,. (х), г = 1,..., г, таю, що ю,. (х) = 0 на дЦ. \ ю,. (х) > 0 в Ц \ дЦ.. Тод1 функщя

г г

&Пю1

ф +... + фг

ф = -

1=1

1 *•

1 1

— +... + —

в, ю_

хп

,=1 1=1 1 *<

(25)

ю,

ву умову Неймана — дп

= ф0(8), 8 е дЦ :

дЦ

и = -юф + Ф-юБ1Ф. (27)

У формулах (26), (27) ф = ЕСф0, ю(х) задоволь-няе умови (24), Ф - невизначена компонента. Загальний метод побудови структурних формул розглянуто у [10, 18]. Основш застосування методу ^-функщй до розрахунку р1зних ф1зико-мехашчних пол1в мютяться у [7, 10, 14, 18, 20 та 1н.].

4. Побудова структури розв'язку тестовоТ за-дачi теорп фшьтрацп. Розглянемо таку крайову задачу теорп стащонарно! фшьтрацп:

-41 дф_д( 1 дУ) = 0 у ц ,

дх ^к дх ) ду ^к ду )

Чдц1 = 0, УЦ =

ду дп

д^2

= 0, ^ дп

= 0 .

(28)

(29)

(30)

дЦ4

Розрахункова область Ц (область фшьтрацп) наведена на рисунку.

мае властивють ф|дЦ = ф0.

Формулу (25) називають формулою «склейки» { позначають ф = ЕСф0, де ЕС - оператор склею-вання межових значень.

Другий шдхщ пов'язаний з продовженням дифе-ренщальних оператор1в, яю задаш на дЦ, в середину обласп Ц . Нехай ю = 0 - нормал1зоване р> вняння меж1 дЦ област Ц . Тод1 оператор Д, який д1е за правилом

^ „ ч -П дю дм

Б1ы - (Ую, Ум) = Х——,

,=1 дх,. дх,.

в регулярних точках дЦ задовольняе р1внють

I дм -Цм1 = —,

1 1дЦ дп

де п - зовшшня до дЦ нормаль. При цьому вираз Б1и мае сенс всюди в Ц и дЦ . За допомогою оператора В1 будують жмутки функщй, нормальна похщна яких, або лшшна комбшащя нормально! похщно! ! само! функци на меж1 област! приймае задан! значення. Деякими класичними прикладами структур розв'язку е:

- структура розв'язку, яка точно враховуе крайову умову Д1р1хле и|дЦ = ф0^), 8 е дЦ :

и = ф + юФ; (26)

- структура розв'язку, яка точно враховуе крайо-

Рис. 1

Межа дЦ област! Ц складаеться з чотирьох д> лянок: дЦ = дЦ и дЦ и 5Ц и дЦ. На дшянках дЦ , дЦ Грунт межуе з областями вшьно! рщи-ни (наприклад, це дно водойми), а дшянки дЦ, дЦ вщповщають непроникним поверхням (гра-штна основа або бетонна пдротехшчна споруда). Задачу (28) - (30) можна розглядати як тестову при апробаци чисельних метод1в. Тут у - функщя течи, к - коефщент фшьтрацп , п - зовшшня нормаль до вщповщних дшянок меж1, р -повна витрата рщини, Н' - д1ючий натр. Стала величина р е невщомою ! визначаеться штегральним сшввщношенням

г I^У = -н'.

дЦ3 к дп

Помнимо, що якщо и - розв'язок задачi

-—( 1 ди 1-41 ди 1 = о у ^,

дх ^ к дх ) ду ^ к ду )

и15Й! = 0' и д03 =

ди Зл

= о, ^

Зл

= 0,

(32)

(33)

(34)

504

то функщя у = Ои , де вщповщно до (31)

-1

1 яи

о = -Н' •

( \ 11 ^

503 к дп

»(х,у) = 0 на д0; »(х,у) > 0 у 0; —

Зл

= -1,

50

»¡(х,у) = 0 на 5Ц; »(х,у) > 0 у 0и (50 \ 5Ц);

д»; Зл

= -1, 1 = 1, 2, 3, 4 .

50;

^ (х,у) =

»1(х,у) + ю3(х,у)

яка мае властивiсть

и = f + »^Ф, де ®1-3(х,у) = ®1(х,у) ла ®3(х,у), Ф = Ф(х,у) - не-визначена компонента. З умови (36) випкае, що

Б(2 4)и = »2-4¥ .

(37)

е розв'язком задачi (28) - (30). Вщповщно до структурного методу Я-функцш побудуемо структуру розв'язку крайово! задачi (32) - (34). Нехай вiдомi функци »(х,у), »¡(х,у), 1 = 1, 2, 3, 4 , таю що:

Якщо межа дО складаеться зi сюнченно! юлько-ст кусково-гладких кривих, кожна з яких може бути описана елементарною функщею, то функци зi вказаними властивостями можна побудува-ти у виглядi единого аналiтичного виразу, корис-туючись конструктивним апаратом теори Я-функцiй [18], причому вони також будуть функ-цiями елементарними iз заданими диференцiаль-ними властивостями.

За допомогою формули «склейки» (25) будуемо функщю

»3(х,у)

f 1ао1 = 0, п 5о3 =1. Тодi крайовi умови (33) можна записати у вигля-дi

(и - f)| 501^503 = 0. (35)

А за допомогою диференцiального оператора

„(2-4) „ ч д»2-4 5и 5®2-4 5и

Е>1 ^ = ^»2^ ^и) = —-— + —т——,

ох ох Оу Оу

де »2-4(х,у) = »2(х,у)ла»4(х,у), крaйовi умови

(34) запишуться так:

Б(2-4)и = 0. (36)

502и304

З (35) випливае, що функщя и належить жмутку функцiй вигляду

Подамо невизначену компоненту Ф у виглядi

Ф = Ф1 + »2-4Ф2 i шдберемо Ф1, Ф2 такими, щоб виконувалась умова (37). Матимемо:

Б(2-4)и = D(2-4)(f + »1-3Ф) =

= D(2-4) (f +Ю1-3Ф1 +Ю1-3Ю2-4Ф2) = = D(2-4)f + D(2-4) (ю1-3Ф1) + +»2^(2-4) (Ю1-3Ф 2 ) + Ю1-3Ф 2D(2-4)®2-4 = = D(2-4)f + D(2-4) (ю1-3Ф1) +

+»2^(2-4) (Ю1-3Ф2) + Ю1-3Ф2 (1 + »2-4Х) . Тодi рiвнiсть (37) набуде вигляду

D(2-4)f + D(2-4)(ю1-3Ф1) +

+»2^(2-4) (Ю1-3Ф2 ) + Ю1-3Ф2 (1 + »2-4Х) = »2-4¥ . Додавши до обох частин останньо! рiвностi до-данок »2-4Ф2, отримаемо

D(2-4)f + D(2-4) (®1-3Ф1) + (»1-3 + »2-4)Ф2 = »2-4¥0 ,

де ¥0 =Ф2 +¥-D(2-4)(Юl_зФ2)-»1-3Ф2X . Звiдси

Ф 2 =

=-1-[-D(2-4)f - D(2-4) (Ю1-3Ф1) + »2-4¥0 ]

»1-3 + »2-4

i

и = f + »1-3 Ф1 + ®1-3®2-4 Ф2 =

= f + »1-3Ф1 +

+ »1-3»2-4 [-D(2-4)f^^(»^Оч) + »2-4 ¥0]. »1-3 + »2-4

Покладемо ¥0 = 0 . Тодi структуру розв'язку за-дaчi (32) - (34) отримаемо у виглядi (перепозна-чимо Ф1 на Ф)

и = f - »1-3»2-4 D(2-4)f +

»1-3 + »2-4

+»1-3Ф- »1-3»2-4 D(2-4)(»1-3Ф). (38)

»1-3»2 »1-3 +»2-4

Теорема 1. Структура розв'язку крайовог задач1

(32) - (34), яка точно задовольняе крайов1 умови

(33), (34), мае вигляд (38).

5. Метод знаходження чисельного розв'язку тестовоТ задачi теорп фшьтрацп. Формула (38) при будь-якому виборi невизначено! компоненти

Ф точно задовольняе крайов1 умови (33), (34). Для знаходження наближеного розв'язку (32) -(34) апроксимуемо Ф з використанням методу Р1тца.

У задач1 (32) - (34) зробимо замшу

де

и = г+V,

; = f ю1-3ю2-4 р(2-4)£.

и1-3

+ ю

2-4

функщя. Тод1 для V отримаемо задачу з однор> дними крайовими умовами:

-4 1 * 1 * |=Р у ц ,

дх ^ к дх ) ду ^кду^

V = 0 —

VI дЦ1идЦ3 , дп

= 0

(39)

(40)

дЦ2 идЦ4

= [V, V] - 2(Б, V),

де

[V, V] = Г -

2

+ 1ду

dxdy,

(Б, V) = Г Б • V dxdy .

Ц

Наближений розв'язок ще! екстремально! задач1 вщповщно до методу Р1тца шукатимемо у вигля-д1

п

vn = X скфк . к=1

Елементи координатно! послщовност {фк} вщ-повщно до структури (38) обираемо у вигляд1

фк = ю1-3Тк

^-^2-4

-0(2-4)(ю1-3Тк),

ю1-3 +ю2-4

де {Тк} - будь-яка повна у Ь2(Ц) система функщй (полшоми, сплайни тощо). Тод1 для визначення сталих Ск , к = 1, 2, ..., п, маемо систему лшшних алгебра!чних р1внянь

X [Фk, ф]]ск =(F, Фj), j =1 2, к=1

де

[Фk, ф j] =

дфк ^ + дфк дфj

п ,

dxdy.

V - нова невщома

ох дх ду ду

(Б, фj) = Г Б•фj dxdy , к, j = 1, 2, ..., п .

Ц

1з загальних теорем зб1жност1 методу Р1тца та викладеного вище випливае така теорема. Теорема 2. Нехай Б е Ь2(Ц) • Тодг послгдовшсть

У п = Опип >

де

Рп =-Н'

де Б=4 I дг 1+4I дг,.

дх ^к дх ) ду ^к ду Введемо у розгляд оператор А крайово! задач1

(39), (40), який д1е за правилом

^ = -—(1—V —{-—

дх ^к дх ) ду ^к ду на област визначення Ба , що складаеться з тих функцш простору Ь2 (Ц), яю належать множит С2(Ц) п С1(Ц) та задовольняють крайов1 умови

(40).

Можна показати, що цей оператор буде додатно-означеним, а отже, задача (39), (40) екв1валентна задач1 знаходження у вщповщному енергетич-ному простор1 НА мшмуму функщонала енергп

' Г 1 ^^

дЦ3 к дп

ип = f + vn .

зб1гаеться у Ь2(Ц) до узагальненого розв'язку задач\ (28) - (30).

6. Висновки. Розглянуто основш математичш модел1 фшьтрацшних течш, зокрема, постановка найпростшо! задач1 фшьтрацп, яка може слугу-вати тестовим прикладом для перев1рки роботи чисельних метод1в. Для ще! крайово! задач! отримано структуру розв'язку та обГрунтовано застосування метода Р!тца для апроксимацп не-визначено! компоненти.

Отже, отримано подальший розвиток застосування структурного методу R-функцiй у матема-тичному моделюванш фiзико-механiчних полiв, а також вдосконалено метод математичного мо-делювання фiльтрацiйних течш у частинi ураху-вання у чисельному методi додаткового штегра-льного сшввщношення для знаходження повних витрат рщини.

Отриманi результати можуть бути поширеш на iншi крайовi задачi теорi! фiльтрацi!, а також можуть застосовуватись у розв'язанш приклад-них задач, пов'язаних з розрахунком фшьтрацшних течш. Це i визначае наукову новизну та практичну значущють отриманих у роботi результат.

Л1тература: 1. Блишун АЛ., Сидоров МВ. Метод численного анализа стационарного фильтрационного течения под гидротехническим сооружением в кусочно-однородному грунте // Вюник Запор!зького нацюналь-ного ушверситету. Сергя: ф!зико-математичн! науки. 2012. № 2. С. 5-12. 2. Блишун АЛ, Сидоров МВ, Яло-вега ИГ. Математическое моделирование и численный анализ фильтрационных течений под гидротехническими сооружениями с помощью метода Я-функций // Радиоэлектроника и информатика. 2010. № 2. С. 40-46. 3. Блишун АЛ., Сидоров МВ., Яловега ИГ. Применение метода R-функций к численному анализу фильтрационных течений под гидротехническими сооружениями // Вюник Запор!зького нацюнального ушверситету.

Серш: фiзико-математичнi науки. 2012. № 1. С. 50-56. 4. Бомба А.Я., Булавацький В.М, Скопецький В.В. Не-лiнiйнi математичт моделi процесiв геопдродинашки. К.: Наук. думка, 2007. 292 с. 5. Вабищевич П.Н. Метод фиктивных областей в математической физике. М.: Изд-во МГУ, 1991. 156 с. 6. Венгерський П. Про задачу сумюного руху поверхневих i грунтових потоков на те-ритори водозбору //Вiсник Львiв. ун-ту. Сер. прикл. матем. та iнф. Вип. 22, 2014. С. 41-53. 7. Гибкина Н.В, Роговой Н.С, Сидоров М.В., Стадникова А.В. Численный анализ задачи перемешивания вязкой жидкости, вызванного системой точечных вихрей // Вюник За-порiзького нацюнального ушверситету. Серiя: фiзико-математичнi науки. 2013. № 2. С. 11-21. 8. Жуковский

H.Е. Теоретическое исследование о движении почвенных вод (1889). Полное собр. соч., т. 7. М.: 1937. С. 933. 9. Коннор Дж, Бреббиа К. Метод конечных элементов в механике жидкости. Л.: Судостроение, 1979. 264 с. 10. Кравченко В.Ф, Рвачев В.Л. Алгебра логики, атомарные функции и вейвлеты в физических приложениях. М.: Физматлит, 2006. 416 с. 11. Лаврентьев М.А, Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973. 736 с. 12. Ляшко И.И., Великоиваненко И.М., Лаврик В.И., Мистецький Г.Е. Метод мажорантных областей в теории фильтрации. К. : Наук. думка, 1974. 202 с. 13. Ляшко Н.И, Великоиваненко Н.М. Численно-аналитическое решение краевых задач теории фильтрации. К. : Наук. думка, 1973. 264 с. 14. Максименко-Шейко К.В. R-функции в математическом моделировании геометрических объектов и физических полей. Харшв. 1ПМаш НАН Украни, 2009. 306 с. 15. Павловский Н.Н. Теория движения грунтовых вод под. гидротехническими сооружениями и её основные приложения. Петроград, Изд-во Научн.-мелиорац. ин-та, 1922. 752 с. 16. Полубари-нова-Кочина П.Я. Теория движения грунтовых вод. М.: Наука, 1977. 664 с. 17. Рвачев В.Л. Об аналитическом описании некоторых геометрических объектов. Докл. АН СССР. 1963. 153, № 4. С. 765-768. 18. Рвачев В.Л. Теория R-функций и некоторые её приложения. К.: Наук. думка, 1982. 552 с. 19. Сидоров М.В, Сторо-женко А.В. Математическое компьютерное моделирование некоторых фильтрационных течений //Радиоэлектроника и информатика. 2004. № 4. С. 5861. 20. Lamtyugova S.N., SidorovM.V. Numerical analysis of the external slow flows of a viscous fluid using the R-function method. J. Eng. Math. 2015. Vol. 91. P. 59-79. DOI 10.1007/s10665-014-9746-x.

Transliterated bibliography:

I. Blishun A.P., Sidorov M. V. Metod chislennogo analiza stacionarnogo fil'tracionnogo techenija pod gidrotehnich-eskim sooruzheniem v kusochno-odnorodnomu grunte. Visnik Zaporiz'kogo nacional'nogo universitetu. Serija: fiziko-matematichni nauki. 2012. № 2. P. 5-12.

2. Blishun A.P., Sidorov M.V, Jalovega I.G. Ma-tematiche-skoe modelirovanie i chislennyj analiz fil'tra-cionnyh techenij pod gidrotehnicheskimi sooruzhenijami s pomoshh'ju. Radiojelektronika i informatika. 2010. № 2. P. 40-46.

3. Blishun A.P., Sidorov M.V., Jalovega I.G. Primenenie metoda R-funkcij k chislennomu analizu fil'tracionnyh techenij pod gidrotehnicheskimi sooruzhenijami. Visnik Zaporiz'kogo nacional'nogo universitetu. Serija: fiziko-matematichni nauki. 2012. № 1. P. 50-56.

4. Bomba A.Ja, Bulavac'kij V.M., Skopec'kij V.V. Nelinijni matematichni modeli procesiv geogidrodi-

namiki. K.: Nauk. dumka, 2007. 292 p.

5. Vabishhevich P.N. Metod fiktivnyh oblastej v matema-ti-cheskoj fizike. M.: Izd-vo MGU, 1991. 156 p.

6. Vengers'kij P. Pro zadachu sumisnogo ruhu pover-hnevih i gruntovih potokiv na teritorii' vodozboru. Visnik L'viv. un-tu. Ser. prikl. matem. ta inf. Vip. 22, 2014. P. 41-53

7. Gibkina N.V., Rogovoj N.S., Sidorov M.V'., Stadnikova A.V. Chislennyj analiz zadachi peremeshivanija vjazkoj zhidkosti, vyzvannogo sistemoj tochechnyh vihrej // Visnik Zaporiz'kogo nacional'nogo universitetu. Serija: fiziko-matematichni nauki. 2013. № 2. P. 11-21.

8. Zhukovskij N.E. Teoreticheskoe issledovanie o dvizhe-nii pochvennyh vod (1889). Polnoe sobr. soch., t. 7. M.: 1937. P. 9-33.

9. Konnor Dzh., Brebbia K. Metod konechnyh jelementov v me-hanike zhidkosti. L.: Sudostroenie, 1979. 264 p.

10. Kravchenko V.F., Rvachev V.L. Algebra logiki, ato-marnye funkcii i vejvlety v fizicheskih prilozhenijah. M.: Fizmatlit, 2006. 416 p.

11. Lavrent'ev M.A, Shabat B.V. Metody teorii funkcij kompleksnogo peremennogo. M.: Nauka, 1973. 736 p.

12. Ljashko 1.1., Velikoivanenko I.M., Lavrik V.I., Mis-tec'kij G.E. Metod mazhorantnyh oblastej v teorii fil'tracii. K. : Nauk. dumka, 1974. 202 p.

13. Ljashko N.I., Velikoivanenko N.M. Chislenno-analiticheskoe reshenie kraevyh zadach teorii fil'tracii. K. : Nauk. dumka, 1973. 264 p.

14. Maksimenko-Shejko K.V. R-funkcii v matematich-eskom modelirovanii geometricheskih ob'ektov i fizicheskih polej. Kharkiv, IPMash NAN Ukrai'ni, 2009. 306 p.

15. Pavlovskij N.N. Teorija dvizhenija gruntovyh vod pod. gidrotehnicheskimi sooruzhenijami i ejo osnovne prilozhe-nija. Petrograd, Izd-vo Nauchn.-meliorac. in-ta, 1922. 752 p.

16. Polubarinova-Kochina P.Ja. Teorija dvizhenija gruntovyh vod. M.: Nauka, 1977. 664 p.

17. Rvachev V.L. Ob analiticheskom opisanii nekotoryh geometricheskih ob'ektov. Dokl. AN SSSR. 1963. 153, № 4. P. 765-768.

18. Rvachev V.L. Teorija R-funkcij i nekotorye ejo prilozhenija. K.: Nauk. dumka, 1982. 552 p.

19. Sidorov M.V., Storozhenko A.V. Matematicheskoe kom-p'juternoe modelirovanie nekotoryh fil'tracionnyh techenij. Radiojelektronika i informatika. 2004. № 4. P. 58-61.

20. Lamtyugova S.N., Sidorov M.V. Numerical analysis of the external slow flows of a viscous fluid using the R-function method. J. Eng. Math. 2015. Vol. 91. P. 59-79. DOI 10.1007/s10665-014-9746-x.

Надшшла до редколеги 23.02.2018 Рецензент: д-р фiз.-мат. наук, проф. Литвин О.М. Подгорний Олексш Русланович, астрант кафедри прикладно! математики ХНУРЕ. ^yraBi iнтереси: математичне моделювання, чисельнi методи, метод R-фyнкцiй. Адреса: Укра!на, 61166, Харк1в, пр. Науки, 14, тел. (057) 7021436. E-mail: oleksii.podhornyi@nure.ua.

Podhornyj Oleksii Ruslanovich, postgraduate student of the Applied Mathematics Department, Kharkov National University of Radioelectronics. Scientific interests: mathematical modeling, numerical analysis, R-function's theory and its applications. Address: 14 Nauki avе, Kharkiv, Ukraine, 61166, tel. (057) 7021436. E-mail: oleksii.podhornyi@nure.ua.