МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ФіЛЬТРАЦіЙНИХ ПРОЦЕСіВ В ЗАДАЧАХ ОЦіНКИ РіВНЯ ТА ЯКОСТі ГРУНТОВИХ ВОД Текст научной статьи по специальности «Математика»

Розглядаються математич-ш моделi фшьтрацшних процеыв з метою вивчення поведтки Грунто-вих вод в екологiчних (паводки, тдто-плення територш) та технологiчних (видобування сланцевого газу) аспектах. Для опису вказаних проце^в використовуються моделi Дары та Форхгеймера з сталими коефщен-тами, реалiзований чисельний метод розв'язання видповидних систем

Ключовi слова: чисельний метод, течiя, грунтовi води, моделi Дары та

Форхгеймера □-□

Рассматриваются математические модели фильтрационных процессов с целью изучения поведения грунтовых вод в экологических (паводки, подтопления территорий) и технологических (добыча сланцевого газа) аспектах. Для описания указанных процессов используются модели Дарси и Форхгеймера с постоянными коэффициентами, реализован численный метод решения соответствующих систем

Ключевые слова: численный метод, течение, грунтовые воды, модели Дарси и Форхгеймера

УДК 681.518.5:621.643.8

МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ Ф1ЛЬТРАЦ1ЙНИХ ПРОЦЕС1В В ЗАДАЧАХ ОЦ1НКИ Р1ВНЯ ТА ЯКОСТ1 ГРУНТОВИХ ВОД

А.П. О л i й н и к

Доктор техычних наук, доцент* Контактний тел.: (034) 224-32-19 E-mail: andrij-olijnyk@rambler.ru Л.О. Штаер Кандидат техычних наук* Контактний тел.: (034) 72-71-70 E-mail: lida.shtayer@gmail.com О.1. Клапоущак Астрант*

Контактний тел.: (034) 72-71-70 E-mail: oksana_kl@meta.ua *Кафедра комп'ютерних технолопй в системах управлшня i автоматики 1вано-Франмвський нацюнальний техшчний ушверситет нафти i газу вул. Карпатська, 15, м. 1вано-Франмвськ, УкраТна, 76019

1. Вступ

2. Аналiз лггературних даних i постановка проблеми

Проблема ощнки рiвня та якоси Грунтових вод е актуальною науково-технiчною задачею в свiтлi складних геоклiматичних процешв, що вiдбуваються в крашах бвропи та призводять до катастрофiчних повеней (Чеська республжа, Нiмеччина, 2002; Укра-1на 1998, 2008; Польща, Словаччина, 2012; Росшська Федерацiя, 2012).

Крiм того, явища поширення рiдини в Грунтах вимагають вивчення у зв'язку з перспективою роз-робки родовищ сланцевого газу в районах Львiвсь-ко1, Тернопiльськоi, Iвано-Франкiвськоi областей та на родовищах Донбасу (Олеське та Юзiвське родовища), оскiльки при реалiзацii технологii видо-бутку сланцевого газу виникае загроза забруднення Грунтових вод. Розробка методiв математичного мо-делювання фшьтрацшних процесiв з урахуванням особливостей iх протiкання (проникнiсть середо-вища, швидкоси фiльтрацii, тиск рiдини, особливо-си конфiгурацii дослiджуваних областей) дозволяе одержати детальний юльюсний опис процесiв та вивчити особливосш поширення рiдини в пористому середовишд, що мае велике значення для вирь шення широкого класу економiчних та еколоНчних проблем.

Вказаш питання дослiджувались багатьма авторами [1, 2, 3], було встановлено та описано основш закономiрностi течп Грунтових вод [4], яка описуеться параболiчними рiвняннями Бусiнеска:

— - k— 9t = Эх

(H(x,y)+

iэ

+ k—

Эу

(н(х,у)+

, (1)

функцiя, що задае вшьну поверхню S0pg

—— , р - густина води, g - приско-

де Ь = Ь(x,y,t)

Грунтових вод;к =

т

рення вшьного падiння, S0 - коефiцiент, що визначаеться властивостями Грунту. Реалiзацiя моделi (1) пов'яза-на зi значними складностями, обумовленими складною геометричною конфкуращею областi дослiдження, не-можливiстю коректно задати граничш умови. Найбiльш поширеним способом вивчення фiльтрацiйних процесiв е методи моделювання, що базуються на використант напiвемпiричноi системи рiвнянь Дара [1, 4, 5], який ви-користовуе гшотезу про те, що швидюсть руху рiдини е такою, що величиною V2 можна знехтувати в порiвняннi з величиною V , де V - характерна швидюсть руху рщи-ни. Вказана гшотеза не завжди виконуеться в реальних

© н!

збр

системах, тому необхщно розробити удосконалет моделi фiльтрацiйних процесiв.

3. Цiль i задачi дослщження

Метою роботи е розробка математичних моделей фiльтрацiйних процеав для рiдин, що характеризують-ся величиною швидкосп, яка не задовольняе гiпотезi системи рiвняння Дарсi, вивчення основних закономiр-ностей процесу поширення рiдини в пористому середо-вишд з урахуванням особливостей геометрii дослщжу-ваних областей, що дозволить робити достатньо точш прогнози рiвнiв паводкових вод та Грунтових вод, швид-костi та розмiрiв зони поширення рвдини при реалiзацii технологiчних процеав видобутку сланцевого газу.

4. Моделювання фiльтрацiйних процесiв

При побудовi математичноi моделi приймаються наступнi допущення [5]:

1. Течiя рiдини в цилшдричнш формi з радiусом основи Я та висотою Н е симетричною вiдносно вер-тикальноi осi области фактично, розглядаеться течiя в прямокутнш областi.

2. Динамiчна в'язкiсть ц та густина р рiдини вва-жаються сталими.

3. Температура середовища та його проникшсть вважаються сталими.

4. Тиск в точках област при вивченш фшьтрацш-них процеав в задачi оцiнки рiвня паводкових та Грун-тових вод визначаеться лише атмосферним тиском та тиском стовпа рщини, при моделюваннi фшьтра-цiйних процесiв при видобутку сланцевого газу тиск визначаеться технолопчними параметрами.

Задача оцшки швидкостi фiльтрацii в середовищд з опором в прямокутнш области

G = {0 < х < Я; 0 < у < Н} ,

при умовi V >> V2, де V - модуль вектора швид-косп V (u;v) зводиться до задачi розв'язку системи рiвнянь Дарсi:

-—-Ц и-рР^- = 0;

Эх к Тк V Эр ц рV2 V

-ду+м-г=0,

де в - безрозмiрний коефiцiент, який залежить вiд структури пористого середовища, в ~ 1; к - коефщент, який за розмiрнiстю ствпадае з коефiцiентом проникно-стг, V - характерна швидкiсть фшьтрацп. Системи (3) та (4) доповнюються граничними умовами виду:

р ^ = ^(х,у) , (5)

де £(х,у) неперервна функцiя в обласп G , або

р= б(х,у), (6)

де g(х,у) - кусково-неперервна функцiя. Умови (5) описують випадок, коли стшки або границi областi G е вшьно проникними для рiдини, у випадку використання умов (6) виршуються задачi дослiдження фiльтрацiйноi течii за умови, коли частина обласп G мае непроникнi для рiдини границ! Крiм того, розв'язок задач (3) та (4) з умовами (6) дозволяе вивчити розмiр зони впливу наяв-носп витокiв з обласп на конфiгурацiю течii в цшому.

Важливим моментом е те, що системи (3) та (4) мо-жуть бути зведеш до виду:

Эи Эv „ + = 0; Эх Эу

п Эр и=-с1 эХ;

V=-С1 |Р+C2g, Эу

(7)

а вигляд констант С1 та С2 залежить лише ввд типу моделi ((3) або (4)). Таким чином, з математичноi точки зору системи (3) та (4) е вдентичними, шляхом елементарних перетворень система (7) зводиться до задачi Дiрiхле для тиску рiдини:

(2)

дР=о

Эх2 + Эу2 0

(8)

(3)

Эи Эv „ + = 0; Эх Эу

к Эр и= - ; ц Эх

v=-к Эр+М

цЭу ц

де и, V - компонента вектора швидкосп фшьтрацп; р -тиск рщини. В тому випадку ,коли умова V >> V2 не ви-конуеться, два останш рiвняння системи (3) записуються з використанням закону фшьтрацп Форхгеймера [6]:

Эи Эv „ + = 0; Эх Эу

(4)

з граничними умовами (5) та (6). Для чисельного розв'язання задачi Дiрiхле з вiдповiдними граничними умовами використовуеться метод верхньоi релак-сацii по рядках [7].

Математичш особливостi розв'язання задачi методом верхньоi релаксацii вивчено в робоп [8], встановлено залежнiсть мiж значеннями параметрiв релаксацii та збiжнiстю иерацшного процесу. Роз-роблено комплекс програм, який дозволяе реалiзу-вати моделi (3) та (4), проведено серж розрахунюв, якi дозволяють встановити закономiрностi процесу фiльтрацii.

5. Результати дослщжень

1. За результатами математичного моделювання процесу фшьтрацп

встановлено, що фiзична, яюсна картина процесу фiльтрацiйноi течп не залежить вiд характерноi вели-чини швидкоси фiльтрацii: всi основш висновки [8, 9], одержанi для моделi Дарсi в допушеннi, що

V >> V2,

(9)

де V - характерна швидюсть, е справедливими i для фшьтрацшних процеив, для яких умова (9) не викону-еться.

2. Проведено дослщження горизонтальноi компонента швидкосп по висот обласи при х = Я . Виявле-но, що, незалежно вiд моделi фiльтрацiйноi течii (3) або (4) та юльюсть зон проникнення рщини через грани-цю областi, вплив наявносп цих зон е вщчутним лише в невеликому околi цих зон, тобто, наявшсть витокiв по висоп областi практично не впливае на параметри течп внизу цiеi област - вiдмiннiсть в результатах розрахунюв складае менше 0,5%. Це дозволяе зробити висновок про те, що виявлення координати витоку, як i самого факту його наявностi е неможливим в рамках моделей Дар« (3) та Форхгеймера (4). Особливосп розподшу горизонтальноi компоненти швидкостi подано на рис. 1, 2.

РОЗПОД|Л горизонтально! ШВИДКОСТ! ПО ВИС011 облает! за наявност кшькох витокш

¡5 о

1 I

0,3 0,2 0,1 0 -0,1 -0,2 -0,3 -0,4 -0,5

2

-Ряд1

Висота обласп, одиниц умовш

Рис. 1. Залежнiсть мiж горизонтальною компонентою швидкосп та висотою колони (випадок 5 зон витоюв)

Розподт горизонтально! швидкост по висот област за наявност единого витоку

0,3 0,2 0,1 0

£ о -0,1

■2 ^ -0,2 5 -0,3

СО

=3 -0,4

24 10 1

♦

-Ряд1

Висота области одиниЦ умовш

Рис. 2. Залежнiсть мiж горизонтальною компонентою швидкостi та висотою колони (випадок 1 зони витоку)

Знаходячи витрату рщини через зони вщбо-РУ [yi,yi+i] , i=1,____, L, де L- кiлькiсть зон вiдбору,

та порiвнюючи з потоком рiдини, що прибувае в область, можна оцшити швидисть накопичення води в областi: нехай витрата рщини через зони выбору складае , = pVS ; V - горизонтальна швидисть, р - густина рiдини; S - площа зон вiдбору - наприклад, для цилiндричноi областi

L

Si = 2яШ, , де 1 - висота i-оi зони выбору, S = ^Si ,

1=1

а iнтенсивнiсть надходження води , при цьому слiд зазначити, що розмiрнiсть ] = [Ц2] = —— . Знаходячи значення

а=а2 - > 0,

та приймаючи, що

а=^ ,у0=socнh, (11)

(10)

S„

де V0 - об'ем, який займае вказана маса води, площа основи облает^ t - час, та враховуючи, що для цилвдрично! областi

V0 = nR2h , Одержуемо:

Qt

h = -

nR2p

(12)

(13)

де h - рiвень води через час t при заданiй iнтенсивностi надходження води.

6. Висновки

1. Створеш математичнi моделi процесу ф^ьтра-цii рiдини через середовище з певним рiвнем проник-ностi дозволяе оцiнити рiвень Грунтових та паводко-вих вод та вивчити особливоси процесу фiльтрацii (розподШ тиску та швидкостi фiльтрацii), а також оцшити розмiри областей поширення рщини в сере-довищi.

2. Моделi фiльтрацii з урахуванням умови (9) та без цiеi умови дають однаковий результат з точки зору фiзичноi картини процесу.

3. Напрямки подальших дослщжень можуть бути пов'язаш з дослiдженням вказаноi моделi для випад-ку ц = ц(х,у),к = к(х,у), при цьому задачi (3) та (4) зводяться до необхщноси розв'язання задачi Пуасо-на для тиску рщини з умовами типу (5), (9).

Лиература

1. Лейбензон, Л.С. Движение природных жидкостей и газов в пористой среде [Текст] / Л.С. Лейбензон - М.-Л.: Гостехиздат, 1947. - 244 с.

2. Полубаринова-Кочина, П.Я. Теория движения грунтовых вод [Текст] / П.Я.Полубаринова - Кочина - М.: Наука, 1977. - 664 с.

3. Нигматулин, Р.И. Основы механики гетерогенных сред [Текст] / Р.И.Нигматулин - М.: Наука, 1978. - 332 с.

4. Самарский, А.А. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры. [Текст] / А.А.Самарский - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 320 с.

2

2

5. Олийнык, А.П. Математическое моделирование нестационарной фильтрации с целью оценки физико-механических свойств грунтов в зоне трубопровода [Текст] / А.П.Олийнык, М.В.Панчук - Сб. м-лов XI Межвузовской школы - семинара «Методы и средства технической диагностики» - Ивано-Франковск, 1992 - С.137-140.

6. Леонтьев, Н.Е.Основы теории фильтрации:Учебное пособие. [Текст] / Н.Е. Леонтьев - Изд-во прикладних иследований при механико-математическом факультете МГУ, 2009. - 88 с.

7. Андерсон, Д. Вычислительная гидромеханика и теплообмен [Текст] / Д. Андерсон, Дж. Таннехил, Р.Плетчер - М.:Мир, 1990 - Т.1 -384с.

8. Олшник, А.П. Дослщження впливу параметрiв релаксаци на збiжнiсть чисельного методу послщовно! верхньо! релаксаци для задачi Дiрiхле [Текст] // А.П. Олшник, Л.О. Штаер / Карпатсью математичш публшаци, 2012 - Т.4, №2 - С.289-296.

9. Шешенин, С.В. Моделирование нестационарной фильтрации , вызванной разработкой месторождений [Текст] // С.В.Шешенин,

Э.Р.Канушев, Н.Б.Артамонова / Вестник Московского Университета. Серия 1: Математика. Механика, 2011, №5 - С.66-68.

Abstract

The article concerns the mathematical models of filtration of groundwaters taking into account the environmental (flooding) and technological (extraction of shale gas) factors. The models of Darcy and Forchheimer were considered with appropriate boundary conditions; the numerical implementation of the models was carried out. It was determined that the pattern of the filtration under conditions that V>>V2, where V is a typical filtration rate and without this condition, is identical, according to its qualitative measures. The peculiarities of the filtration pro -cess for the areas with different configurations of fluid invaded zones through the area boundary were determined; the impact of these zones on the spatial nature of the flow in the studied area was assessed. The obtained results permit to assess the level of groundwaters, and the peculiarities of their distribution in terms of environmental characteristics of the flow in the presence of different geometrical configuration of leakage zones through the studied area. These results can be used to assess the impact of the environmental and technological factors on water quality and to prevent flood waters

Keywords: numerical method, flow, groundwaters, models of Darcy and Forchheimer

□

Побудовано математичну модель про-цесу взаемоди лазерного випромтювання з ембрюном на основi чисельних значень коефiцiентiв теnлоnровiдностi його слогв

i математичного розрахунку розподЫу температури в ембрют

Ключовi слова: математична модель,

коефщенти теплопровiдностi □-□

Построена математическая модель процесса взаимодействия лазерного излучения с эмбрионом на основе численных значений коэффициентов теплопроводности его слоев и математического расчета распределения температуры в эмбрионе

Ключевые слова: математическая модель, коэффициенты теплопроводности

-□ □-

УДК 517.955$635.5

РАСЧЕТ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ В МНОГОСЛОЙНОЙ СТРУКТУРЕ ЭМБРИОНА

Д.А. Левкин

Аспирант Кафедра кибернетики Харьковский национальный технический университет сельского хозяйства им. П.Василенко ул. Артема, 44, г. Харьков, Украина, 61002 Контактный тел.: (057) 716-42-63 E-mail: artur.lav@3g.ua

1. Введение

При тепловом воздействии лазера на эмбрион актуальной научной задачей является уменьшение травмируемости бластомеров. Эмбрион - это сферический микробиологический объект, состоящий из зоны пеллюцида, перивителлированного пространства и бластомеров. Зона пеллюцида на 90% состоит

из воды, 5% которой составляют белковые молекулы. Бластомеры имеют сферическую форму и являются белковыми компонентами эмбриона. Согласно неоднородному химическому составу слоев эмбриона, при взаимодействии лазерного излучения с эмбрионом происходит неравномерное распределение температуры по его слоям [1]. Для уменьшения травмируемо-сти эмбриона при построении математической моде-

©