CC BY
31
Проведено аналiз забруднених зон антропогенного походження, зокрема поверхне-вих та тдземних вод. Проаналiзовано стан i характер процеЫв, що вгдбуваються в межах Домбровського кар'еру, а також тших промис-лових зон Украгни, що зазнають техногенних вnливiв. Запропоновано математичн моделi дифузшних процеЫв, а також рiзницевi схеми методу змтних напрямiв для чисельногреалiза-ци моделей, вказано напрями подальших до^д-жень
Ключовi слова: стан довкшля, антропогенш фактори впливу, математична модель, дифузiя
Проведен анализ загрязненных зон антропогенного происхождения, в частности поверхностных и подземных вод. Проанализировано состояние и характер процессов, происходящих в пределах Домбровского карьера, а также других промышленных зон Украины, испытывающие техногенные нагрузки. Предложены математические модели диффузионных процессов, а также разностные схемы метода переменных направлений для численной реализации моделей, указано направления дальнейших исследований
Ключевые слова: состояние окружающей среды, антропогенные факторы воздействия,
математическая модель, диффузия
-□ □-
УДК 519.876.5
|DOI: 10.15587/1729-4061.2015.359521
МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ПРОЦЕС1В ЗАБРУДНЕННЯ ГРУНТ1В ЯК РЕЗУЛЬТАТУ ТЕХНОЛОГ1ЧНИХ ПРОЦЕС1В
А. П. Ол i й н и к
Доктор техшчних наук, професор, завщуючий кафедри* E-mail: andrij-olijnyk@rambler.ru А. А. Мороз Астрант* E-mail: alice.shelyp@gmail.com *Кафедри математичних методiв в шженери 1вано-Франмвський нацюнальний техычний ушверситет нафти i газу вул. Карпатська 15, м. 1вано-Франмвськ, УкраТна, 76019
1. Вступ
Ощнка впливу технолопчних процеав в рiзних галузях промисловост залишаеться актуальною нау-ково-технiчною проблемою, виршенню яко' присвя-чено багато робгг експериментального та теоретичного характеру. Можливосп сучасних ЕОМ дозволяють ре-алiзовувати та доводити до чисельних характеристик модел^ що базуються на системах диференщальних рiвнянь з частинними похвдними, зокрема, параболiч-ного типу, з урахуванням широкого класу початкових та граничних умов, використовуючи при цьому дат експериментальних дослiджень характеристик Грунт-iв - 1х проникностi, коефiцiентiв дифузп, в'язкостi, гу-стини тощо. Важливого значення набувае також вивчен-ня залежносп мiж характером поширення шюдливих речовин в середовищi та геометричною конфiгурацiею дослiджуваних областей. Математичне моделювання дозволяе розробляти засоби опису, вивчення та юль-кiсноi характеристики процеав та явищ рiзноi природи, яких об'еднуе негативний вплив на довкшля.
2. Аналiз лiтературних даних та постановка проблеми
При реалiзащi технолопчних процеав в нафтога-зовiй та xiMi4Hrn промисловостi важко спрогнозувати
iх можливi негативнi наслiдки для еколопчшл та еко-номiчноi ситуацii. Тому вивчення таких наслщюв, iх кшьюсних характеристик е актуальною науково-тех-шчною задачею.
З даного питання шнуе багато лiтературних дже-рел, бшьшкть з яких звертають основну увагу еко-логiчним аспектам проблеми - при видобутку сланцевого газу на газоносних площах Украши [1], стану тдземних вод в районах видобутку калшних солей [2, 4]; стану Грунпв на рекультивованих дшянках свердловин [3]. Вказана проблема е актуальною для багатьох регюшв Украши [4, 5]. Важливого значення набувае вивчення властивостей як Грунпв - '¿х проникшсть, густина, в'язюсть, пористшть, так i вщ-повщш характеристики нафтопродуктiв [6]. Якiсна ощнка впливу вторинних методiв iнтенсифiкацii видобутку нафти на довюлля, i зокрема, на стан Грунпв, вивчена в роботах [7, 8].
Реалiзацiя пiдходiв, пов'язаних в роботах [1-8], передбачае значний об'ем експериментальних досль джень, результати цих методiв мае вагоме значення при математичному моделювант вказаних процеив, оскiльки вони дають змогу одержати шформащю про величини та функцп, якi входять у вщповщт моделi. Математичне та фiзичне моделювання часто виконуеться одночасно, оскшьки це дозволяе побудувати ефективш розрахунковi алгоритми з
©
використанням широкого класу експериментальних дослщжень. Зокрема, в робой [8] розглядаеться теорiя формування кашлярних явищ у глинах, суглинках, сутсках та шсках. Встановлено, що висота i швидюсть капiлярного пiдняття пiдземних вод рiзна i зростае зi збiльшенням дисперсноси Грун-тiв в зонi мапстральних трубопроводiв, кар'ерiв, в яких вщстоюеться технологiчна рiдина та вiдходи хiмiчноi промисловостi, капiлярнi сили утримують рщинний ареал у Грунтах на певнш висотi вiд рiвня Грунтового потоку.
В роботах [9-12] аналiзуються експерименталь-но - теоретичш методи визначення коефiцiентiв дифу-зii та iнших властивостей Грунпв. Експериментально на фiзичнiй моделi одержано даш щодо висоти кат-лярного тдняття води у Грунтах i дослiджено його вплив на розповсюдження забруднення. Встановлено, що капiлярнi сили утримують рщинний ареал у Грунтах на певнш висоп вщ рiвня Грунтового потоку.
З математичноi точки зору реалiзацiя моделей пов'язана з необхщшстю урахування складних геоме-тричних конфiгурацiй областей, властивостей середо-вища поширення речовин [13-15] (наприклад, при ава-рiях, пов'язаних з витоком продукпв з трубопроводiв), ощнки зони поширення речовин до певних концен-трацiй (реалiзацiя технологiй видобутку сланцевого газу) та шших факторiв. Оптимiзму, при реалiзацii таких моделей додае той факт, що сучасш засоби ЕОМ дозволяють реалiзовувати двовимiрнi та тривимiрнi моделi, що дозволяе суттево тдвищити точнiсть мо-делювання.
3. Цшь i задачi дослщження
Метою роботи е моделювання процесу ф^ьтрацп шкiдливих речовин в Грунтах з використанням дво-вимiрних та тривимiрних параболiчних рiвнянь, що дозволяе ощнювати змiну концентрацii цих речовин та прогнозувати процес '¿х поширення.
Дослщження будуть проводитись iз застосуван-ням методiв математичноi фiзики, чисельних методiв, методiв iнтерполяцii та апроксимацii даних, методiв розробки та реалiзацii апаратного забезпечення для контролю параметрiв Грунпв та концентрацii речовин, методiв створення програмних комплексiв для ЕОМ.
В пропонованш роботi здiйснюеться побудова ма-тематичноi моделi, яка дозволяе ощнити концентрацii речовин у певнiй област за вiдомим математичним апаратом з широким класом граничних та початкових умов, зокрема таких, що задаються як неперервними, так i розривними функцiями.
З цiею метою ставляться наступнi задачi:
- побудова математичноi моделi процесу поширення шкщливих речовин в Грунтах;
- встановити вщповщш граничнi та початковi умо-ви на основi даних про забруднення Грунпв на реаль-них об'ектах;
- розроблення та дослщження на стшюсть рiзни-цевих схем для рiвняння дифузii;
- створення програмного комплексу реалiзацii моделей, його ввдлагодження, аналiз розрахункiв.
4. Математичне моделювання процесу фшьтрацп з використанням двовимiрних та тривимiрних р'ишяиь параболiчного типу
Розглядаеться модельна задача дифузп речовин в тривимiрнiй областi G, яка моделюе конфiгурацiю дослщжуваного об'екта. Основним рiвнянням моделi е рiвняння дифузп в областi , яке е тривимiрним параболiчним рiвнянням, що описуе нестацiонарний процес:
дс д ^чдс,
— = — (а(х,у,^)—) + дt дх дх
д ^дсч д ^ дс ч
+(а(х,У,г^Ь) + ^ (а(х,у,^)—), ду ду дz дz)
(1)
де с - концентращя речовин, а(х, у, z, коефiцiент дифузii, який залежить ввд часу t та просторових координат х, у, z, t. Для рiвняння (1) необхiдно встановити граничш :
С дG = ОД
та початковi умови:
од=C(x,y,z).
(2)
(3)
При моделюваннi об'ектiв необхiдно враховувати, що найбiльш загальна постановка (1)-(3) дае можли-вшть одержати адекватний реальнiй фiзичнiй картиш розв'язок в окремих випадках: для вщносно простих конфiгурацiй областi G та найпростiших типiв гра-ничних та початкових умов.
Система (1)-(3) дозволяе моделювати процеси в областях типу кубу:
0 < х < Цх;0 < у < Ly;0 < z < Lz,
(4)
де - характернi розмiри областi.
Така модель використовуеться, наприклад, в задачах ощнки зони впливу технолопчних рвдин при видобуванш сланцевого газу. В тому випадку, коли моделюеться аварiйна ситуацiя на трубопроводi (про-рив, малi витоки тощо) рiвняння (1) записуеться в цилшдричнш системi координат:
Эс
дГ
д2с 1 дс
—2 +---
дг Г дг
1 дс
г2 де2'
+ Ц(г, ф,z,t),
(5)
де г, ф, z - цилшдричш координати, t - час, а2 - коефь цiент дифузп (а2 = сош^;Ц(г,ф,z,t) - питома штенсив-нiсть надходження в дослщжувану область речовини, що характеризуеться концентращею С(г, ф, z, В такому випадку граничнi умови задаються у виглядк
С|г=Кт = ЦФ,^),
= Cf2(Г, Ф),
с1 = С£,(г, ф,t),
(6)
(7)
(8)
с - с
^ ф-0 _ ^ ф-2п
^С ф-0 -УС ф-2п
(9)
(10)
та
и" - и" §Х(и*+и")+ бу(и"+и")§2и-
де Ят - радiус трубопроводу. Умови (9) та (10) опи-сують властивiсть замкнутих перерiзiв. В системi (6)-(10) вщсутш умови на нескiнченостi або на певнш вiдстанi Я - Якр вiд трубопроводу виду:
С
- С
(11)
Крок 3 :
и"+1 - и" Х(и + и")+ +—бу(и**+и")+—б2(и"+1+и").
(18)
де Якр та С0 - це параметри областi, при яких вплив витоку Ц(х, у, 7, t) е несуттевим.
Значення Якр вибираеться з точки зору реально! фiзичноi картини процесу i може бути з корегованим в процес розв'язку.
Рiвняння (1) допускае частковий розвиток виду (при умов^:
С(х,У,2^)-~тте
(12)
який, як правило, не враховуе умови (2) та (3). При побудовi чисельного методу для вказаного рiвнян-ня методом скшчених рiзниць використовуються неявнi методи змiнних напрямюв. При найбiльш очевидному узагальненнi на тривимiрний випадок рiзницева схема виявляеться лиш умовно стiйкою i мае похибку апроксимацп O(At,Ах2,Ду2,Д72). Для того, щоб обшти цю проблему, запропоновано [16] загальний метод побудови неявних схем змшних напрямюв, якi мають другий порядок точноси i е безумовно стшкими.
Застосовуючи цей метод, можливе узагальнення схеми Кранкла - Нiколсона на випадок тривимiрного рiвняння дифузп. Якщо ввести позначення:
C(xi,yj,Zk,t")- Ц^,
62и".к -
х i,j,k
б^и^к -
и"+1.к - 2и^,к+и"-и,
им+1,к - 2и^,к + и"н,к
ь2
(13)
(14)
* ** .
Тут верхш iндекси та позначають промiжнi значення, п та п +1- кроки по часу, шдекси 1, к, j опущен в усiх членах рiвнянь.
В системi (16) задача зводиться до лшшно! системи з три дiагональною матрицею за методом прогонки [16] вщносно и*, на другому крощ система розв'язуеться вiдносно и**, а на третьому - ввдносно и"+1. При цьому в схемi використовуються умови (2) та (3).
При реалiзацii схеми (16)-(18) виникае проблема опису масиву и^к - в загальному випадку чотириви-мiрного. При фiксованому номерi кроку по часу «я» цей масив е тривимiрним, що також суттево ускладнюе об-числювальну схему. В процес розрахункiв використо-вуеться 12 одновимiрних масивiв, значення елеменпв яких переприсвоюеться для кожного нового кроку по координатi t. Аналогiчний пiдхiд збер^аеться також при розв'язаннi задачi (5) з умовами (6)-(11). Схема (16)-(18) з умовами (2), (3) вимагае значних обчислю-вальних ресурсiв, тому ефективним методом зменшен-ня об'ему обчислень е пониження розмiрностi задачь Крiм того, такий перехiд е достатньо обгрунтованим, якщо розглядаеться вщносно проста конфiгурацiя областi.
Тому область G розглядаеться як двовимiрна пря-мокутна область, що е допустимим припущенням за умови, що процеси в дослщжуванш обласп мало змь нюються по однш з координат. В такому випадку область замшюеться на:
V -{(х,у);0 < х < L1;0 < у < L2} .
(19)
За умов, що в рiвняннi (1) при цьому зникають по-хiднi по 7, одержуються:
Эс д ^чдс, д
—- —(а(х,у^)—)+ —(а(х,у,^—) . дt дх дх ду ду
(20)
- им,к+1 -2и;у+и^1
^и^ - Ь2
(15)
де Ьх,Ьу,Ь7- кроки по вщповщних координатах, то за умови, що Дt - т - крок по часу, i , виникае наступна три крокова схема: Крок 1 :
и* - и" 6 х(и*+и")буи" 6 2и". (16)
Крок 2 :
Коефвдент залежить вiд просторових координат по часу, що дозволяе моделювати змшш властивост грунтiв щодо дифузп, проникностi шкiдливих речовин в середовище. У випадку областi (19) необхщно задати концентрацiю речовини на кожнш з чотирьох границь
С | х-о - Cl(y,t);
сЦ - С2(у^);
С|у-о - Cз(x,t);
СI у^2 - С4(х, (21)
2
4аЧ
ь
що дозволяе врахувати особливостi концентрацiй речо-вини на границях областi. Конкретний вигляд функцш ci(x,y,t) встановлюеться з урахуванням особливостей задач^ що дослщжуеться. Зокрема, для моделювання пiдняття рiвня забруднення вод можлива наступна роз-рахункова схема: для граничних умов в област V (рис. 1)
Крок 2:
цт - и;
— а^^Г72 + а252ип+1
х ч у ч
С у—0 - С1;
С0 - 0,Lз ^ у ^ — 2, С1 ф 0,0 < у ^ -з;
— С ;
у——2 С0;
= {С0 — 0,—3 ^ у ^ — 2,
х—|С1 Ф 0,0 < у ^ —з,
(22)
з поширенням вказаних умов на вс внутрiшнi точки.
Вказаш початковi умови е модельними, зокрема С, може бути функцiею х та у . Для моделювання випад-кiв задаються граничш умови у виглядк в у мовах (22) змшюеться у мова при у = 0 :
С
С
К^ +1
(23)
де С1 - початковаконцентращя, К -коефь щент який моделюе штенсивнють х1м1чних реакцш, пов'язаних зi збыыиенням концентрацп контрольовано! величини. Функщя в (23) е модельного, яка дозволяе вивчати викиди 31 спадною в часп штенсивнютю. В найзагальшшому випадку:
0,40
Застосування (25)-(26) та (27)-(28) дозволяе зменшити об'ем обчислень без суттево! втрати точ-ностi.
5. Аналiз результатiв розрахункiв за моделлю процесу поширення шкiдливих речовин в облает з рiзними властивостями грунтiв.
Для рiзницевоI схеми (25)-(26) з граничними та початковими умовами (21)-(24) та (3) створено про-грамний комплекс реалiзащI моделi та проведено те-стовi розрахунки, результати яких наведено на рис. 2.
■ 0,40-0,60
■ 0,20-0,40
■ 0,00-0,20
Х - вщстаньпо координат! X, умовж
ОДИНИф
У - вщстань по координат! У, умовж
ОДИНИф
1- Концентрацт шшдливоТ речовини
Су—0 — ^(х, ^ ,
(24)
Рис. 2. Розпод1л концентрацп шк1дливоТ речовини в модельн1й облает за наявност1 виток1в р1зноТ Ытенсивносл
де £(х, t)- модельна функщя для граничних умов. Умови (24) можуть бути залишеш i для шших дiлянок границi областi , в яких е втж або витж шкiдливих речовин.
Рис. 1. Початков1 умови задач!
Позитивним моментом при переходi до областi меншо! розмiрностi е те, що за основу може бути взятий розрахунковий алгоритм (16)-(18), який в даному випадку е двокроковим: Крок 1:
и /2 - ип 1/
^ - — а2б^^ + а2б^
Т/ х ^ у ^
(25)
Розроблена обчислювальна схема дозволяе врахо-вувати змiннi характеристики грун^в, iнтенсивностi викидiв шкiдливих речовин. Розроблена модель дозволяе ощнювати поведшку концентрацп шюдливо! речовини в залежносп вiд часу, результати модельних розрахунюв наведено на рис 3.
Час, ум. од.
Рис. 3. ЗмЫа концентрацп шкщливоТ речовини в час
В цилiндричнiй системi координат схема (25)-(26) набувае вигляду:
и"/2 - иг
!А = а28 2и°;12 +
__1 иП+1 - иП?
Ят + 1Ьг Ьг
(Ят + 1Ьг):
■8 те,
и"+1 - ЦТ2 2 2 "+ V
—у-т-У— = а282и°+/2 +
т/ г 1
__^Ц+ЬЦТ!.
Ят + 1Ьг Ьг
(Ят + Шг):
2 8"+1и°+1
з граничними умовами (6) - (11). Допущення суттево обмежуе можлившть моделi - в загальному випадку
а2 = а2(х,у^,с,ц1,...,,
або
нi дифузii для двовимiрних та тривимiрних областей з широким класом початкових та граничних умов, а також рiзницевi схеми методу змшних напрямiв для чисельноi реалiзацii моделей, вказано напрями по-
(27) дальших дослiджень.
Наукова новизна проведених дослщжень полягае в розробцi нового тдходу до моделювання процесiв, що вiдбуваються в Грунтах забруднених зон внаслщок антропогенноi дiяльностi на основi двохвимiрного та тривимiрного рiвняння дифузп з розривними почат-ковими умовами та засобiв чисельноi реалiзацii моделi методом змiнних напрямкiв.
(28) Теоретичне значення полягае в адаптацп вщомих моделей та чисельних алгоритмiв до виршення задачi опису дифузiйних процеав з урахуванням розривних початкових умов та джерел забруднення.
Практичне значення визначаеться можливштю ви-вчення та прогнозування поведшки поверхневих та
(29) тдземних вод внаслiдок забруднення через антропо-генну дiяльнiсть людини з урахуванням широкого класу факторiв, що впливають на них.
а2 = а2(г,ф,z,c,ц1,...,ЦпЛ) .
(30)
7. Висновки
Параметри ц1,1 = 1,...,п та '¿х юльюсть - число п визначають фактори, що впливають на узагальнений коефiцiент дифузп. До таких факторiв можуть нале-жати параметри, дослiдженнi в [7, 8] та iншi параметри - проникшсть середовища, пористiсть, в'язюсть рiдин та iншi. Очевидно, число «я» не може бути великим - попередшми дослщженнями з використанням методiв оптимiзацii експериментальних дослщжень необхiдно вiдiбрати тi параметри ц, якi суттево впливають на величину С(х, у, z, t) [17].
Замiсть коефiцiента а (х, у, t) можна тдрахувати ефективний коефiцiент дифузii, який визначаеться для сумiшi речовин, яка складаеться з N компонент:
а =
(1 - Ха)
(31)
де ха; Х1 - молярнi долi речовини, що проникае в сере-довище та 1 - о' компоненти комбшованого середовища; Эа1 - коефiцiент бiнарноi дифузп компонента а в середовишд 1.
6. Обговорення результаив моделювання процесу поширення шкщливих речовин в област з рiзними властивостями Грунив
Проведено аналiз забруднених зон антропогенного походження, зокрема поверхневих та тдземних вод. Проаналiзовано стан i характер процеив, що вщбуваються в межах Домбровського кар'еру, а також шших промислових зон Укра'ни, що зазнають техногенних впливiв. Запропоновано математичш моделi дифузiйних процесiв, що базуеться на рiвнян-
Таким чином, основними результатами роботи е:
- побудовано математичну модель процесу поши-рення шкщливих речовин в Грунтах з використанням дво- та тривимiрного рiвняння дифузп в декартовш та цилiндричнiй системах координат;
- встановлено вщповщш граничш та початковi умови на основi даних про забруднення Грунтiв на ре-альних об'ектах шляхом моделювання граничних умов спещально введеними функщями;
- розроблено та дослiджено на стшюсть рiзнице-вих схем для дво- та тривимiрного рiвняння ф^ьтрацп та встановлено порядок точностi по кожшз координат;
- створено програмний комплекс для реалiзацii моделей, проведено його ввдлагодження, здiйснено ро-зрахунки та проведено '¿х аналiз, який засввдчив добре узгодження результатiв чисельного моделюванням з реальною фiзичною картиною процеса дифузп шквд-ливих речовин в середовищд
Предметом подальших дослщжень будуть наступнi питання:
- дослiдження його стшкоси розрахункових алго-ритмiв;
- проведення тестових розрахунюв для модельних областей;
- збiр та узагальнення шформацп про всi числовi характеристики та вигляд функцш, що входять в ввд-повiднi моделi;
- визначення коефвдента дифузп як функцii про-сторових координат з урахуванням складу середо-вища як сумiшi речовин, що дозволяе враховувати найскладшший з точки зору математичного опису характер процесу;
- дослщження реальних систем, що впливають на довкшля, формулювання рекомендацш.
Лiтература
1. Калшшченко, А. В. Еколопчш ризики видобутку сланцевого газу на газоносних площах Укра'ни [Текст] / А. В. Кашшченко, О. П. Котшинська, А. В. Котшинський; В1СНИК Полтавсько' державно' аграрно' академй. - 2013. - Т. 477, № 2. - С. 127-131.
2. Семчук, Я. М. Основш завдання i методи дослщжень для обгрунтування охорони пiдземних вод в райош видоб-утку калiйних солей [Текст] /Я. М. Семчук, Л. В. Палшчук // Науковий вюник 1ФНТУНГ. - 2007. - № 1(15). -С. 164-167.
3. Журавель, М. Ю. Ощнка техногенно! трансформацй грунтiв на рекультивованих дiлянках свердловин [Текст] / М. Ю. Журавель, Т. О. Клочко, В. В. Яременко // Ученые записки Таврического национального университета имени
B.И.Вернадского Серия «География». - 2013. - Т. 26 (65), № 1. - С. 55-61.
4. Малик, Ю. О. Мошторинг стану Домбровського кар'еру [Текст] / Ю. О. Малик, О. М. Демюв. - Нащональний ушверситет "Льв1вська пол^ехшка", кафедра прикладно! екологй та збалансованого природокористування, 2013. -
C. 285-288.
5. Кудеравець, Р. С. Геомагштш моделi родовищ вуглеводнiв та перспективних структур центрально! частини Дншровсько-Донецько! западини [Текст] / Р. С. Кудеравець, В. Ю. Максимчук, Ю. М. Городиський // Науковий вюник 1ФНТУНГ. - 2009. - № 1(19). - С. 73-81.
6. Процько, Я. I. Вплив нафти та нафтопродук^в на грунтовий покрив [Текст] / Я. I. Процько // Вюник Полтавсько! державно! аграрно! академп. - 2010. - № 2. - С. 189-191.
7. Сабан, В. З. Ощнювання впливу вторинних методiв штенсифшаци видобутку нафти на довюлля [Текст] / В. З. Сабан, Я. М. Семчук // Науковий вкник 1ФНТУНГ. - 2009. - № 4 (22). - С. 142-147.
8. Скиба, Е. Е. Дослщження впливу кашлярного пщняття пщземних вод на розповсюдження нафтового забруднення в грунтах [Текст] /Е. Е. Скиба, Я. М. Семчук // Науковий вюник 1ФНТУНГ. - 2011. - № 4 (30). - С. 77-81.
9. Ryzhakova, N. K. A new method for estimating the coefficient of diffusion and emanation of radon in the soil [Text] / N. K. Ryzhakova // Journal of Environmental Radioactivity. - 2014. - Vol. 135. - P. 63-66. doi: 10.1016/ j.jenvrad.2014.04.002
10. Rampit, I. A. About measurements emanation of soil factor [Text] / I. A. Rampit // ANRT. - 2004. - Vol. 3. - P. 51-52.
11. Migaszewski, Z. M. Element concentration in soils, and plant bioindicators in selected habitats of the Holly Cross Mts, Poland [Text] / Z. M. Migaszewski // Water, Air and Soil Pollut. - 2001. - Vol. 129. - P. 369.
12. Migaszewski, Z. M. Soil subhorizon - a potential geoindicator of environmental pollkution [Text] / Z. M. Migaszewski,
A. Galuszka // Polish J. of Evironmental Stud. - 2008. - Vol. 17, Issue 3. - P. 405-410.
13. Silva, E. J. G. A puff model using a three-dimensional analytical solution for the pollutant diffusion process [Text] / E. J. G. Silva, T. Tirabassi, M. T. Vilhena, D. Buske // Atmospheric Research. - 2003. - Vol. 134. - P. 131-136. doi: 10.1016/j.atmosres.2013.07.009
14. Sahoo, B. K. Two-dimensional diffusion theory of trace gas emission into soil chamber for flux measurements [Text] /
B. K. Sahoo, Y. S. Mayya // Agricultural and Forest Meteorology. - 2010. - Vol. 150, Issue 9. - P. 1211-1124. doi: 10.1016/j.agrformet.2010.05.009
15. Arya, S. P. Modelling and parametrization of near source diffusion in weak winds [Text] / S. P. Arya // Journal of Applied Meteorology. - 1995. - Vol. 34, Issue 5. - P. 1112-1122. doi: 10.1175/1520-0450(1995)034<1112:mapons>2.0.co;2
16. Андерсон, Д. Вычислительная гидромеханика и теплообмен [Текст] / Д. Андерсон, Дж. Таннехил, Р. Плетчер. - М.: Мир, 1990. - 384 с.
17. Ермаков, С. М. Математическая теория оптимального эксперимента [Текст] : уч. пос. / С. М. Ермаков, А. А. Жиглев-ский. - М.: Наука, 1987. - 320 с.
