МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ТА ПРОГНОЗУВАННЯ ПОШИРЕННЯ РАДіОАКТИВНИХ ЗАБРУДНЕНЬ У ПРИПОВЕРХНЕВИХ ШАРАХ НАСИЧЕНОГО ҐРУНТУ Текст научной статьи по специальности «Математика»



МОДЕЛЮВАННЯ I УПРАВЛ1ННЯ

УДК 517.958:532.72

О.Ю. ЧЕРНУХА*, В.е. ГОНЧАРУК**, Ю.1. Б1ЛУЩАК*, А.е. ЧУЧВАРА*

МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ТА ПРОГНОЗУВАННЯ ПОШИРЕННЯ РАД1ОАКТИВНИХ ЗАБРУДНЕНЬ У ПРИПОВЕРХНЕВИХ ШАРАХ НАСИЧЕНОГО

Грунту

Центр математичного моделювання 1нституту прикладных проблем мехашки i математики iм. Я. С. Шдстри-гача НАН Украши, м. Львiв, Украша Нацiональний ушверситет «Львiвська полггехшка», м. Львiв, Укра1на

Анотаця. Запропоновано математичн моделг мгграцИ забруднення у грунтах з урахуванням двох шлях1в переносу частинок з р1зними коефщентами дифузп - у водному поровому розчин та в ад-сорбованих на скелетi грунту шарах води, а також процеав сорбцп-десорбцп за дп сталого та кругового джерел забруднення на поверхн грунту. Сформульовано крайовi задачi гетеродифузИ' двома шляхами у середовищi з пастками в одно- (вертикальнШ) i двовимiрнiй (за кругового джере-ла) постановках у прямокутнт та цилтдричнт системах координат. Розглянуто практично ва-жливi частковi модельн варiанти, отриман на основi фiзичних припущень, щодо коефiцieнтiв моделi та миттевого перерозподшу частинок мiж станами. Розв 'язки модельних задач побудова-н за допомогою ттегральних перетворень. Розроблено програмне забезпечення та проведений по-рiвняльний аналiз моделей. Показано, що необхiдно враховувати рiзнi шляхи мiграцii частинок та масообмт мiж станами, тобто процеси сорбцп-десорбцп.

Ключовi слова: моделювання, поверхневе радiоактивне забруднення, грунт, гетеродифузiя, пастка, програмне забезпечення, чорнобильська катастрофа.

Аннотация. Предложены математические модели миграции загрязнения в почвах с учетом двух путей переноса частиц с различными коэффициентами диффузии - в водном поровом растворе и в адсорбированных на скелете грунта слоях воды, а также процессов сорбции-десорбции при действии постоянного и кругового источников загрязнения на поверхности почвы. Сформулированы краевые задачи гетеродиффузии двумя путями в среде с ловушками в одно- (вертикальной) и двухмерной (из кругового источника) постановках в прямоугольной и цилиндрической системах координат. Рассмотрены практически важные частные модельные варианты, полученные на основе физических предположений относительно коэффициентов модели и мгновенного перераспределения частиц между состояниями. Решения модельных задач построены с помощью интегральных преобразований. Разработано программное обеспечение и проведен сравнительный анализ моделей. Показано, что необходимо учитывать различные пути миграции частиц и массообмен между состояниями, то есть процессы сорбции-десорбции.

Ключевые слова: моделирование, поверхностное радиоактивное загрязнение, почва, гетеродиф-фузия, ловушка, программное обеспечение, чернобыльская катастрофа.

Abstract. Mathematical models of contaminant migration in soils taking into account two ways for particle transport with different diffusion coefficients, namely, in water porous solution and adsorbed water layers on ground skeleton, as well as the processes of sorption-desorption under action of contamination on soil surface are proposed. The initial-boundary value problem of heterodiffusion by two ways in a medium with traps is formulated in one- (vertical) and two-dimensional (from circular source) statements in rectangular and cylindric coordinates. Practically important partial variants of the model are considered on the basis of physical assumptions in regard to the model coefficients and instantaneous redistribution of admixture particles between states. Solutions of the model problems are constructed by integral transformations. It is designed software and comparative analysis is carried out. It is shown that different ways of admixture particle migration have to be taken into consideration as well as mass exchange between states, i.e. the processes of sorpsion-desorption.

© Чернуха О.Ю., Гончарук В.е., Бшущак Ю.1., Чучвара А.е., 2017 ISSN 1028-9763. Математичш машини i системи, 2017, № 3

Keywords: modelling, surface contamination, soil, heterodiffusion, trap, software, Chernobyl disaster. 1. Вступ

М^ащя радюактивних речовин, як потрапили на поверхню землi, призводить до забруд-нення рослин, водойм, рiчок i грунтових вод. Поширення забруднень у довкiллi значною мiрою визначаеться процесами поверхневого змиву та подальшо! дифузп. При цьому про-цеси поверхневого перерозподiлу забруднень е на декшьки порядкiв швидшими, шж про-цеси дифузп [1].

Ощнка захищеностi грунтових вод у випадку попадання забруднюючих речовин тiсно пов'язана iз модельним уявленням про перерозподш домiшкових частинок у припо-верхневих шарах Землi [2]. Важливий практичний штерес, зокрема, становить випадок повнютю зволожених приповерхневих шарiв, коли пори середовища майже повнiстю за-повнеш водою (грунтовим розчином), а домiшковi частинки в рамках довiльно вибрано! мало! областi перебувають у фiзично рiзних станах, що iстотно впливае на перерозподш ще! речовини. Внаслщок цього процес просторового перенесення техногенних домiшок вiдбуваеться декiлькома шляхами та супроводжуеться локальними переходами з одного шляху м^аци на шший (процесами типу сорбцп-десорбцп) [3, 4].

Закономiрностi просторового перерозподiлу домiшок у значнш мiрi залежать вiд фiзико-хiмiчного стану [5], в якому перебувають частинки, процеав 1хньо1 локально! трансформацп у системi «грунт-вода», структурних особливостей середовища та рiзних зовнiшнiх факторiв. Ощнка ступеня забрудненосп природного середовища та прогноз що-до поширення шкщливих домiшок е актуальними та важливими проблемами охорони дов-кiлля й безпеки життедiяльностi людини. У зв'язку з цим метою роботи е побудова адек-ватних фiзико-математичних моделей переносу шкщливих речовин у приповерхневих шарах Земл^ проведення кшьюсних дослщжень переносу радiонуклiдiв у грунтах та розробка на цш основi ефективних методик оцiнки i прогнозування динамши забрудненостi природного середовища.

Радiонуклiди у грунт в основному перебували у таких фiзико-хiмiчних формах: у складi паливних частинок, а також водорозчиннш, обмiнно-сорбованiй та фiксованiй у твердш фазi формах. У результатi зовшшшх чинникiв, наприклад, опадiв чи життедiяль-ностi живих органiзмiв, мiж рiзними формами радiонуклiдiв проходять рiзноманiтнi об-мiннi процеси, що приводять до трансформацп одше1 форми в шшу. Гравiтацiйно рухомi фракцiï радiонуклiдiв: водорозчинна та юнно-сорбована, утворилася в результат вилуго-вування радiонуклiдiв з паливомюних, так званих «гарячих», частинок. Необмшно-сорбована (фiксована) форма утворилася у результат! вилуговування з «гарячих» макроча-стинок радюнуклвдв i подальшою 1'х фiксацiею твердою фазою грунту. Причина фiксацiï -взаемодiя iонiв радюнуклвдв з кристалiчною граткою деяких компонештв глинистих ма-терiалiв.

За швидкостями мiграцiï видiляють, як правило, двi групи радiоактивних частинок -юни, якi знаходяться у поровому розчиш, та iони, частково зв'язанi в адсорбованш водi на поверхнi скелета грунту або зв'язаш безпосередньо зi скелетом грунту.

У багатьох випадках достатньо видшити три фiзично рiзнi стани домiшкових частинок, яю вiдповiдають 1хньому знаходженню в обласп гравiтацiйно рухомого водного по-рового розчину, шарах адсорбовано1 i зв'язано1 зi скелетом води та обласп самого скелета (рис. 1). У цих станах частинки мають рiзну рухливють, характеризуються рiзними коефiцiентами концентрацшного розширення тощо.

Рис. 1. Характерна структура фiзично малого елемента тша. Область 1 займае водний поровий розчин, область 2 - адсорбоваш на скелет Грунту шари води, 3 - скелет Грунту

2. Математичш модел1 масоперенесення рад1онукл1д1в у грунтах

Математична модель гетеродифузп двома шляхами у тш з пастками побудована методами термодинам1ки нер1вноважних процеав з використанням представлень мехашки суцшьно-го середовища. Частинкам забруднення одного х1м1чного виду, якщо вони знаходяться у грав1тацшно рухомому поровому розчиш або в адсорбованих на внутр1шнш поверхш шарах води, вщповщають р1зш шляхи дифузп, а в об'ем1 скелета Грунту - пастки. При макро-скотчному опис частинки у цих станах розглядаються як термодинам1чш компоненти системи. Приймалась ппотеза локально! термодинам1чно! р1вноваги 1 знаходились лшшш р1вняння стану. Формулювались балансов! стввщношення, яю вщповщають законам збе-реження 1 балансу маси, 1мпульсу та енергп. З р1внянь балансу ентропп записано кшетичш р1вняння модель

Шсля лшеаризацп отримано таку ключову систему р1внянь модель

р1вняння гетеродифузп дом1шково'1 речовини у середовищ1 з пастками:

¿/с

Р~Г = V• + Д2Ус2) + + 4*с,,

ат

с!с

Р~Г = У- (А1 + В2-УС 2 ) + К\С\ + ^2С2 + Къ°ъ , ат

асз п * п *

р— — Л32С2 + Х33С3 ,

ат

р1вняння дифузп частинок води:

ат

(1а) (1б) (1в)

(1г)

р1вняння теплопров1дност1:

с Л Т ат

(1д)

р1вняння руху 1 нерозривност!:

¿V - йр - _

ат ат

(1е)

де ск - масова концентращя, шдекс к — 1,5 вщм1чае вщповщш величини для частинок до-м1шково'1 речовини одного х1м1чного виду у поровому розчиш (к — 1), поверхш (к — 2) 1 об'ем1 скелета (к — 3) , самого розчину (к — 4) та скелета (к — 5) , - коефщ1енти дифузп;

\ = И р - питомий об'ем, р - густина; V - оператор Гамшьтона, крапкою позначено ска-

лярний добуток; с = Т0 (дл/дТ) - питома теплоeмнiсть при постiйному тиску; т - час, Т

— абсолютна температура в початковий момент; ()н - нескомпенсоване тепло [6, 7]; к,

кр , кг — коефщенти теплопровщносп; § — масова густина потенщально! 1 консервативно!

сили; Ук - швидюсть компонента к по вщношенню до точок ейлерового простору; А* -

концентрацiйнi коефiцieнти штенсивносп процесiв переходу з одного шляху м^ацп на iнший /, ] = 1,3 .

Для отримання простiших математичних моделей використаемо умови локально!' термодинамiчноi рiвноваги мiж рiзними станами домiшкових частинок, що вщповщае мит-тевому перерозподiлу частинок мiж вiдповiдними станами. Так, якщо виконуеться умова локально'! термодинамiчноi рiвноваги мiж другим та третiм станами домшки, то перенос домiшкових частинок тдпорядковуеться системi рiвнянь гетеродифузп:

¿/с

= У-СА^ + А^с«)-^ +кЛе\ (2а)

ат

Лс(е) -

Р-^^ЧАЛ7^ + ) + кгсг -к2с?, (26)

ат

Ле) _

де с( = с2 + с3, а ефективш коефiцiенти набувають вигляду

п(е) - ^33А12 Тл2е) — ^3А22

А12 л* л* , А22 л* л* .

^33 _ ^32 ^33 _ ^32

Якщо виконуеться умова локально'! термодинамiчноi рiвноваги мiж першим та другим станами домшки, то перенос домшкових частинок пiдпорядковуеться системi рiвнянь дифузп у середовищi з пастками:

= (П^Ус^) - к^ + к3с3, (За)

ат

рО3 = Кс\е) _ Ксъ, (3б)

ат

^ГТ Ле)-п±г. Ы-е) - ^иФи + А21) + ^11(^12 + А22) Г _ + ^22 7. _ ; » _ ; »

тут с! = с! + с2 , =-----, « =Ац—-"Г , «3 =^23 =_^33 .

А\1 +^21 ^11 +^21

Якщо виконуеться умова локально!' термодинамiчноi рiвноваги мiж усiма станами

домiшки, то мгращя домiшкових частинок пiдпорядковуеться рiвнянню дифузп в середо-

вищi з ефективними характеристиками:

йс ,

(е) п « (А! + АО+К (А(2е) + А£)) тут ^ = с2е) + с3 = с, + с2 + с3 , А/ =-^1-12-^ .

Залежно вiд властивостей конкретного радюнуклща i переважаючих його фiзико-хiмiчних форм, у даному тит грунту для дослiдження мграцп радюнуклвдв у природних об'ектах вибираеться та чи шша математична модель. Кожна математична модель повинна враховувати найбшьш суттевi ефекти та параметри дослщження для конкретного випадку.

Кшьюсний опис процеав для вертикального масопереносу (одновимiрний просто-ровий випадок) зводиться до розв'язання рiвнянь (1)-(4) при вщповщних умовах на кон-центрацп с О' = 1,2,3) на границях середовища i в початковий момент часу. Постановки крайових задач здшснено для шару 40 у безрозмiрнiй формi, де

г = к2т; = (к^АГ х(а), а = 1,3, 4 = (к2/0,)У2 х0.

(5)

У випадку одновимiрноi (вертикально!) гетеродифузп у середовищi з пастками система рiвнянь (1а)-(1в) набувае вигляду

дс д2 с у д2 с —1 = —г + « —п - аС + с2,

дг д4 1 д<4

дс2 д2 с ,д2 с2

—2 = а —1 + а —^ + ас - (1 + а2 )С + аСъ,

дг

2-31:2

д4 д4

дс3 д

Тут а = —, а1 = —, а 2 = —4, а = — , а1 = —, а2 = — .

А — 1 А к2 к2 к2

Прийнято, що в початковий момент часу у шарi грунту вщсутня забруднююча ре-човина, тобто

с, I = сI = с,| = 0. (6)

1 \г=0 2\г=0 3 \г=0 4 '

З моменту г > 0 на поверхш 4 = 0 пiдтримуються постшш значення сумарно! кон-центрацп с0, на нижнш границi шару 4 = 4 ДOмiшкова речовина вiдсутня, а саме

с14=0 =асо, с 2 4=0=(1 -а)со; с14=4 = с 2 4=4 = 0.

4=0

4=40

4=4

(7)

Тут а - параметр задачi (0<а< 1), який задае частку радюнуклвдв, що з поверхш по-трапляють на швидкий шлях дифузп (у рiдину). Цей параметр у бшьшосп випадкiв невщомий i повинен визначатися з додаткових умов. Так, при а = 1 вс частинки попада-ють у водний розчин.

Аналггичш розв'язки рiвнянь для рiзних модельних варiантiв (1)-(4) за крайових умов (6)-(7) отримано методом iнтегральних перетворень Лапласа i Фур'е. В результат отримаемо для концентрацш с, (г, 4):

с ас0

\-4

V 4 у

т 2с

+ Е — *тУп4\р3*' + ** - *>)

1=1 пж 1

р

а* 2 + р^ + р + —

+ / (я - я )(а^2 + ря2 + р +

Л

'2 У

Г

е*2г + я* - )

р

3

1 У

\

е*1 г +

ая2 + р^ + р + — V я3 у

г

с2 = (1 -а)с0

'1 -¿Л

V 4 у

2с (

+ £— эт + ** (*2 - *3) ((1 - а)*12 +

1= пж 4

+1% + р + р3

е*1 г + / (^ - ^) (1 - а>22 + р'э2 + р + р

1 У

е*2г +

32 у

f

p

\

+5* - s2) (1 - a)s3 + ps3 + p + —

s,

2cn .

f

C3 = ^2sinynnp¡s' + s*(s2 -S3) 2(1 -a)Si + p+

n ж

p

Л

esi* +

Ji J

Тут

+s*(s3 - Si)

2(1 -a)s2 + P2"+ P3

'Л

(

eS2 * + s*(sj - s2)

J2 J

Д'

■Л

2(1 -a)s3 + P"+ —

J3 J

P = 2 + y^(ad* - d ) + a(a + a2 - a-1),

P = у2 [d(1 + a(a - a -1)) - a2d ] - aaa2 + a (1 + a ) , p = axaxd¡y2, —' = y2n (1 - ad2) + (1 - a)(a - a2) + a + a,

P2 = УП [d2 (aa - 1) + a1 + (1 - a)(a1 - a2 )]-

-(1 - a)aa2 + a (a + a), P3' = axaxd*y2, P" = a (a +(1 - a)d)y2,

Рз" = a2 ((1 - a)dУ + (1 - a)da + a2 + a1d2 ) Уп2 > S

1

s ' = ■

1

(s1 s2)(s2 s3)(s3 s1) s1s2s3

4

1 + 2yJ - p /3 cos(^/3), s =-y + 2^1 - p / 3 cos [j±j

де cos P = -

q

2^¡-(p /3)3 '

Вiдмiтимо, що отриманi вирази для концентрацп домшково':! речовини у трьох pÍ3-них станах мають однакову структуру. Члени, яю не залежать вщ часу i визначають асимп-тотичну поведiнку, та члени, що по^зному залежать вiд часово':! змшно'^ при цьому ця залежнiсть близька до поведшки функцп erfc .

У наведених формулах присутнi доданки, що повшьно збiгаються, а саме ri, якi визначають асимптотику розв'язку при t ^ да . Просумуемо ix окремо. У виразi для концентрацп домiшки в поровому розчиш маемо член

да 2 c 2 c да P

11 = £ ^ —3 s ' sin y¿ = ^ £ -p^sin y¿.

„=1 пж ж „=1 п^3

Пiсля вiдповiдниx перетворень його можна представити таким чином:

a 2c042 » sin Уп^

da ж3 п=1 п(п2 +^2)'

де ряд можна просумувати [8]. В результатi маемо

j __ cod1 a1

d..

4 shl£o

(8)

Шсля аналогiчних перетворень для члена, який визначае асимптотику концентрацп частинок в адсорбованих на скелет грунту шарах води, одержимо

да

п=1

ж 2с с а "а

12 =]Г ^ р 5' 81П Уп4 = ^

п=1 пж а„

х_4_ -4) 4

Оскiльки при г ^ ж с (4) = Ъс2 (4) , то, використовуючи вираз (9), отримаемо

с0а2а1

/3 = Ъ-

8^(4 -4) 40 вЬ^,

(10)

1з урахуванням формул (8)-(10) запишемо:

розподш концентраци домiшок у водному поровому розчиш:

( е \

с1(г ,4) = ас0

1 -

V ^0 у

4 40

а..

5Ь^(40 -4)

4 эЬ^4

ж 2с I

5*э1п Уп41(52- 5) 1=1 иж I

с

р

+ ^^^^ + р + —

Л

у

51 г + (5 - 5) (а*2 +

++ Р2 +

Р

л

е52 г + (- я2)

^ у

ая3 + + р +

Л

^ у

(11а)

розподiл концентраци домшково! речовини, яка м^руе в адсорбованих на внутрш-нiй поверхнi скелета грунту шарах води:

с2(г,4) = (1 -а)с0

| 4 ал

-40

V ^0 у г

а

5^(4-4) 40 §Ь^40

+Е ^я* э1п | & - ) (1 - «>2 +^ + р + ^

V У

е'1 г + (я3 - ^ )((1 -а)я2 +

р:

\

+^ + +

я2 у

Г

р:

\

г4г + (^ - ) (1 - а>32 + + р + -3 V У

розподш концентраци частинок в об'емi скелета грунту (пастках):

с3(г ,4) =

сааъ

а.

8^(4-4)

40

(11б)

2с,

+а2 £— я* э1п уп41 ^ - я3) 2(1 - а + р + -3

п=1

и ж

Л

Л

ея1 г +

Ч у

+ (я3 - я1)

К

А

2(1 -а)82 + —2 + ~~~ е*2г + -я2)

S2 у

2(1 -а>3 + р + -3

Л

"3 у

(11в)

розподiл сумарно1 концентрацil домiшки в середовищi з двома шляхами м^аци i наявнiстю пасток для домшкових частинок:

с(г,4) = с0

'1 -4

V 40 у

+ Б"

х_4_ §Ь^(40-4) 4 э^4

ж

2с,

Б

+ —^+—* +—3 5.

л

3

1 У

е51' + (5з - 51)(5^ +

в*

+в>2 + -* + -3

г

е52' + (51 - 52)

2 У

Я

л

53 + — 5 + -* + — V 53 у

(11г)

С а

де — = -^«ч(1+ь)а2*), -; = р+рч2^ (1 -а), -*= р+р;+ р, , = 2,3.

"а

Таким чином, у наведених формулах видiленi асимптотичш складовi. Зазначимо, що отриманi залежносп суттево вiдрiзняються вiд класичних (лшшних), якi знаходять з розв'язку незв'язано'1' системи рiвнянь гетеродифузп або з поодинокого рiвняння з ефектив-ними характеристиками. Причому доданки типу — вносять суттевий вклад

у розподши концентрацiй у приповерхневому шарi i показують збiльшення концентрацп радюнуклвдв бiля границi грунту.

При ощнщ iнтенсивностi забруднення домiшковими частинками водоносних гори-зонтiв важливими характеристиками е величини потоюв у рiдкiй фаз^ в адсорбованих на скелетi грунту шарах води та 1'хня сума. Виходячи з формул (1а), (1б), запишемо 1'х для да-ного випадку у виглядi

Л = —Д ^ — А^, Л = —А ^ — А ^

1 1 о 3 - м " 2

ах ах

4 дх 2 дх

використовуючи формули (5), представимо через безрозмiрнi змiннi:

' П \1/2

Л =—(К Д)

л2 = —(к-Д] )12

а— 7 а--, —1+а —-

% а*

+ а ^ 2 а а

При цьому сумарний потш домiшки Л = Л + Л2 через поверхню <; = £* приймае ви-

гляд

л «) = — (к д)

1/2

+а а 2 а 1 а

Пiдстaвляючи в останне стввщношення вирази для концентрацiй (11а) i (11 б), знайдемо потiк через поверхню {;=£,* в середовищi з двома шляхами м^ацл:

Л * С) = -¿оКА)^ — ссз( уп? 5 [(52 — 5з)(у1512 + V, ^ + Уз)е51 ' +

И=1

+(53 — 51)(^1522 +^252 +^3)е52 ' + (51 — 52)(^1532 +^253 + ^ ^ ' ]} ,

де V! = Аа , V, = (1 + <)Р + (а + <)р, , = 2;3 .

Наведемо вираз для сумарного потоку домшки через нижню границю дослщжува-ного шару £ = :

Ло(Г) = -о4(К2Дх)1/2{^1 — 2]Г (—1)-5* [(52 — 5з)(к1512 + ^ + Кз)е51' +

да

1

»

+(¿3 - 'хХп^ + иг + - ^ХП'2 + + ^ е'3г ]}.

(12)

Вщм^имо, що у формулах для потоюв наявний доданок, який не залежить вщ часо-во'1 змшно'1 i визначае поведiнку потокiв при т ^ да . Вирази для цих члешв мстять поряд з коефщентами дифузп також кiнетичнi коефiцiенти, як характеризують взаемопереходи частинок. У результат вони можуть бути використаш для ощнки цих коефiцiентiв та ште-рпретацп експериментальних даних, що вщповщають стацiонарним умовам.

Певний iнтерес представляе величина

I

а = { Л (г) Л,

(13)

* ».»

яка визначае кiлькiсть домiшковоi речовини, що за час г пройшла через одиницю площi поверхш 4 = 4*. Пiдставляючи вираз для сумарного потоку (12), отримаемо

а = е040 (к'2 Д )1/2 иг * - 2£ 0С8( у„4*) 5*

„=1

Л2 ¿3 Л , о2

-(^Г +

+и2' +Уз)(е1С -1) + (и^22 + и252 +Уз)(е*2' -1) +

+из2 + и2¿3 + к,)(еЛзг*-1)]} .

Числовий aнaлiз отриманих закономiрностей (11 a)—(11 в) показуе, що з часом проходить суттеве накопичення домшкових частинок у пастках (в об'емi монокристaлiв грунту). Причому, якщо при малих часах вiдбувaеться рiзке зростання сумaрноi концентрацп частинок у приповерхневому шар^ то зi збiльшенням часового промiжку максимум розподшу сумарно'1' концентрацп зсуваеться у глибину грунту.

Фiзичнi значення характеристистик домшкових частинок та грунту впливають тльки на величину сумарно'1' концентрацп, та '1'хня змiнa не приводить до яюсно1 змiни по-ведiнки концентрацшних залежностей. Так, чим бiльше домшки з поверхi грунту попаде в адсорбоваш на скелетi грунту шари води, тим бiльшa концентрaцiя забруднення. Збшь-шення сумaрноi концентрацп домшки вiдбувaеться також при зменшеннi коефщента ди-фузи С, при збшьшенш iнтенсивностей переходу частинок з порового розчину в адсорбоваш на скелет грунту шари води а та з адсорбованих шaрiв в об'ем монокристaлiв грунту а2 та зменшенш штенсивност зворотного переходу а .

Розв'язання крaйовоi зaдaчi (2), (6), (7) здiйснюемо за тею самою методикою. В результат отримаемо:

розподш концентрацп у водному поровому розчиш:

(

с1(г,4) = «с0

41 А2о0

1 --

40

о У

С,.

?И(4о -4)

40

-Е

2со вт У„4

1 „Ж (' - )

ал1 + А +

А

е¥ -

У

ал2+А +

А

32 У

(14a)

розподiл концентрацп домiшки в адсорбованих шарах води:

о

да

Л'

5

2

Л

3

п

—2(*1) = (1 — а)—о

1—

1

1

—2—0

о У

а..

—1)

+Е

2-0 вт У»1

1 »ж (5 — 5)

У

—(1—а)5 + — + -1

5-

а

л г

1о

2

1 У

е51' -

—(1 — а)5 + — + —

5.

Л

2

2 У

(14б)

розподiл суми концентрaцiй у сeредовищi:

= -о

А*-о

1о

+Е

2-о ^п У»1

V ^о у (

а.

1-1-.^^о — 1

1о

1 »Ж (5 — 52)

5 + А* + —

Л

е51' -

V

-"1 У .2

( Г Л

52+

V 52 У

(14в)

2 » ,

де А; = -; — А;, А* = -2 — А2, А, =а(1 + а) + а1ау2, А2 =а1а1у»2, -1=—(1—а)(1 + а) + йЪхУ> — =аа*у2, ёа / а *, а*= а—, =аа—(1—а)а, а2а =аа2 — (1—а),

5; 2 =— ^/2 ±£, ^ = [ (V / 2)2 — ]1/2 , V; = 1 + а + (1 + а)у2 , ^ = + ¿'у* .

У випадку, коли в середовищi виконуеться умова локально'1' рiвновaги щодо проце-ав переходу домiшкових частинок мiж водним поровим розчином та адсорбованими на скелет! грунту шарами води, то, нехтуючи конвективною складовою, маемо таку систему рiвнянь дифузп домшково1 речовини у середовищi з пастками:

а—(е) а2—(е)

0—( = а(е) 0 — пАе)

а*

1

2 а—1 + а2—3 ,

а—-

а

1 3 3 5

де а(е) = д(е) / (рд), а = К / (рК").

У цьому випадку крaйовi умови мають вигляд: у початковий момент часу

а( е) = —

1 1*=о

3I*=о

= о

(15)

(16)

i на границях шару

Л е)\ _г Л е)

—( 1=о — 0 , —( 1=1о

=о.

Тодi розв'язок зaдaчi (15)—(17) запишеться у виглядг розподiл концентраци домшки у водному поровому розчинi:

—( е)(*1) = —о

1

Е

2—о ^ У»1

о У

( »Ж 5 — 52

(17)

[ + а + а3 )е5* — (я2 + а + а3 К2' ] ; (18а)

розподiл концентрaцil частинок у пастках:

а

(

—3(*1) = — —

а

1—1 . 1

Л

+Е 2—оа1 у,

У»1

»=(

5( 52

I е5;* — ( е52 *

розподiл суми концентрaцiй у такому ефективному середовищг

(18б)

»

= С0

Г р\Г 1

4

1+-1-2;

а3 I п=1

о /V "з. (

2со ^ У„4

пж - 32

3 + а + — -

< у1л

в* -

"1 /

а4Уп

2 2 Л

+ а + — -

V 52 /

2

(18в)

Тут 3, - розв'язки рiвняння ^ + ^ + щ = 0, в якому коефщенти

V = ^У2п + а + аз , V = Яз^У»2 •

Потiк домшково'1' речовини, яка мiгруe в водному поровому розчинi з ефективним коефщентом дифузп в середовищi з пастками, можна отримати за формулою

л (г)=-(^ А)1/2

1/^(в) ^с1(в)

54

(19)

4=4*

Пщставляючи вираз для концентрацп (18) в (19), отримаемо

(3 + а + а3 )в'1г - (з2 + а + а )в3

л ($)=-^ ^(в)(к'2 ду/2 1+2;;С08 Уп4

4о [

п=1 32

(20)

Ефективний коефщент дифузп з урахуванням введених позначень можна подати у виглядi

^ = ^ = • (21)

"в/

(1 + а) рБх

Щоб отримати стввщношення для потоку в ефективному середовищ^ можна ско-ристатись формулою (19) з коефщентом дифузп (21). Отже, враховуючи розподiл концентрацп забруднення, маемо

^ = - £о. й/ (к2 А)1/2

4с

1 + 2; в йв/У2 С08 Уп4

V п=1

(22)

Тепер розглянемо випадок, якщо у середовищi наявна умова локально':! рiвноваги мiж усiма трьома станами:

5с/. = а 5св/

дх

в/ 4 '

Вважаемо, що в початковий момент часу задано

"в/

г=0

= о

i на границях шару маемо

св/ 4=о Со' св/ 4=4 0 •

Розв'язок задачi (23)-(25) запишеться у виглядi

Cef (г,4) = С0

V 40 / п=1

9/-1 2

^ е/г 81П Уп4 •

пж

(23)

(24)

(25)

(26)

да

*

Знайдемо вирази для потоюв домшково! речовини через одиницю площi поверхнi на деякш глибинi Ь=Ь*. Для ще! задачi, вiдповiдно до вигляду рiвняння (4) у безрозмiр-них змшних (5), формула для визначення дифузшного потоку мае вигляд (19).

Пщставляючи в останне спiввiдношення вирази для концентрацш (14а) i (14б), знайдемо потiк через поверхню Ь = <;* в середовищi за наявно! умови локально! термоди-намiчноi рiвноваги мiж другим та третм станами:

(О = -с04-ЧВД)1/2 \ Л, +2^(4А + 4)е* -(ЛА + Л,] I (27)

2=1 $1 $2 1* .2

де Л, = а,*2 + (1 - а)<, 4= (1 + а) Л, + й * У2.

Зокрема, сумарний потш домiшкових частинок через нижню поверхню шару Ь = Ьо запишеться таким чином:

¿0«) = -|°(к2А)Ш \ Лй +2^^[(ЛЛ + л;у* -(ЛЛ + Л'У2<] [.

2=1 $2

Кiлькiсть домшково! речовини, що за час пройшла через одиницю площi повер-хнi Ь=Ь*, визначаеться за формулою (13). Пщставляючи вирази для потоюв (20), (22), (27) отримаемо:

для випадку локально! рiвноваги мiж адсорбованими шарами води та пастками для домш-кових частинок:

а =со^т)112 \- л, й 2]г

СОБ

2=1 $1 $2

1

-(Л, + л; -1)-

--(Лй$2 + Л')(е^-1)

у випадку переносу частинок у розчинi з ефективним коефiцiентом дифузп в середовищi з пастками:

0-=- ^ й1е)(к; а)1/2 ^ *+ 2^

Ьо

у —

с™ уп^

2=1 $1 $2

— + а + а )(е¥ -1) -я,

— (52 + а + а )(е*2' -1)

5

2

при наявносп в середовищi локально! термодинамiчноi рiвноваги мiж усiма станами:

г . ~ л

со

Ьо

' тл \1/2

0—=^ й4 (к; а)

■ 9 2,

'~2(ейе,У2 - !)сов УпГ

V 2=1 У2

Отримаш вирази для концентрацiй, потокiв i кiлькостi речовини мiстять ряд нових невщомих характеристик середовища, зокрема, таких як к[ 1 к'2, що визначають штенсив-

нiсть переходу частинок мiж рiзними шляхами м^ацл (станами 1 i 2). Ц величини можна знаходити шляхом чисельного експерименту по тдгонщ розрахункових профшв концент-рацiй до знайдених експериментально [9] або реалiзуючи цiльовi експериментальш досль дження. 1дея таких експеримештв наведена, зокрема, в роботi [10].

Для встановлення основних закономiрностей гетеродифузи, зважаючи на викорис-тану безрозмiрну форму, дослщжено залежностi розподiлiв концентрацiй i потокiв вiд вщ-повiдних характеристик у широких межах. Так, для вах моделей цього пункту з часом концентращя домшково! речовини у грунт суттево зростае. Наявнiсть у середовищi пас-ток для домшкових частинок збiльшуе концентрацiю забруднення по всш глибинi шару. Можливiсть мграцп частинок в адсорбованих шарах води (повшьним шляхом) призводить до збшьшення забруднення у приповерхневiй зонi i рiзкого спадання концентрацп в сере-динi шару, особливо для малих промiжкiв часу.

Розподiл сумарно! концентрацп домшково! речовини за моделлю п мграцп двома шляхами iстотно залежить вiд таких характеристик середовища, як параметр а , який задае долю домiшкових частинок, що попадають з поверхнi у водний поровий розчин, та конс-танти рiвноваги а, що визначаеться вiдношенням кшетичних коефiцiентiв к[ i к'2 процесу переходу частинок, або локально рiвноважними значеннями концентрацш, тобто а — к / к2 — / с•

При I ^ ж вiдмiнностi мiж розподiлами концентрацш, знайденими за формулами (14) i (26), визначаються виразом

с " с4 — А

йЬг(40 -4)

40

де г — ^ёа / ё * i А — с а а (- ) , якi у випадку ^ — ^ — 0 даються виразами

] — (1 + а / ё)1/2, Ах— с0

ч1/2 _„ (1" ё)[а(1 + а) -1]

ё + а Покажемо, що

„ 4 бЬ а (4-4) „

1 ---уь^Л! > о (28)

40 ^ а40

Якщо (28) мае мюце, то тодi повинна виконуватися нерiвнiсть

а4-4) ^ 4 "4

бЬ а40 40 ,

i, оскiльки всi члени невщ'емш, то

а (40 -4) ^ бЬ а4 40-4 " 40 '

Враховуючи розклад

ж 2к+1 3 5

-I X XX

бЬx — > -— xл---1---л...,

>0^ +1)! 3! 5!

одержимо

а л

3! = , 5! ч^ ^ 3! 5!

а + ^а3(40 -4)2 + — а5(40 -4)4 +... ^ а + — аЪ41 + — а544 +...

або

ж _ 2 ж _ 2

^ _а_(Р _ £Г\2к < ^ _а_ ¿т2к

>> (2кл 1)!(4 0-4) (2кл 1)! 4 •

Оскшьки <Ь0 -Ь <Ь0, то кожен член ряду з лiвоi частини нерiвностi завжди небшь-ший за вiдповiдний член ряду справа, то остання нерiвнiсть справедлива, а, значить, вико-нуеться i нерiвнiсть (28).

1 - й

При а = 0 бачимо, що Лд = -с0-, тобто концентращя с(х,Ь) спадае швидше,

й + а

нiж ефективна концентрацiя се/ (X, ¡). Причому для малих значень параметра а (коли а спiвмiрний з d) коефiцiент 4 не мшяе свого вигляду, тодi як при а >> й отримаемо 4 = -С (1 - й)а-, тобто, збшьшуючи параметр а , ми тим самим зменшуемо коефщент 4, що наближае концентращю с(г,Ь) до ефективно!.

При а = 1 маемо 4 = с0а(1 - й )(й + а)-1. Додатнш знак коефiцiента означае, що з ростом Ь концентрацiя с(1 ,Ь) спадае повшьшше, нiж ефективна концентрацiя се/ (X, або обумовлюе зростання сумарно! концентрацп. При великих значеннях параметра а отримаемо 4 = с (1 - й), тобто в цьому випадку коефщент суттево залежить тшьки вщ й , тодi як при малих а, як i для а = 0 , 4 не змшюе свого вигляду.

Поклавши й = 0 (випадок пасток), отримаемо

с се;[ с0

а(1 + а) -1

а

1 -Ь ¡0

Як бачимо, зникае нелшшна частина рiзницi i лишаеться тiльки лiнiйна добавка.

У рiвноважному випадку ар = (1 + а)-1: 4 = 0. Тобто в усталеному режимi при рiв-новажному значенш а сумарна концентрацiя с(1 ,Ь) спiвпадае з концентрацiею в ефектив-ному середовищi се/ (X¡) .

З практично! точки зору найбшьший iнтерес представляють величини сумарних по-токiв домшково! речовини через задану поверхю. Вiдношення потоюв, визначених у рiз-них наближеннях, що описуються формулами (22) i (27), при X ^ д буде

= 4 = [а + (1 -а)й + а

¿Д йеГ 1 + ай '

приймаючи й = й2 = 0 . При а = 0 бачимо, що ¿/¿5= й(1 + а)(1 + ай)-1, тобто при значеннях параметра а, яю спiвмiрнi з коефiцiентом й, вщношення потокiв прямо пропор-цшне до й, тодi як при а >> й маемо ¿/¿5 = ай/(1 + ай) . Це означае, що при збшьшен-ш коефщента а в усталеному режимi реальний потш наближаеться до потоку в ефектив-ному середовищг При а= 1 вiдношення дослiджувaних потокiв мае вигляд = (1 + а)/(1 + ай), звiдки видно, що при а >> й вщношення прямуе до 1/й ,

а при малих значеннях параметра а - до 1. Розглядаючи рiвновaжне значення ар = 1/(1 + а), бачимо, що У-/ ¿Д = 1.

У випадку середовища з пастками (й = 0) маемо ¿/¿5 = а(1 + а). Звщки для а = 1 при великих значеннях а вщношення потоюв прямуе до цього ж параметра, а при а ^ 0 ¿} прямуе до . При а = 0 вщношення потоюв в усталеному режимi ¿,/¿5 = 0.

На рис. 2 наведено розподши сумарних концентрацш (а) та потоюв (б) домшково! речовини для модели з двома шляхами мграцл частинок та пастками (кривi 1), гетеродифузп двома шляхами (кривi 2), дифузп в середовищi з ефективними

характеристиками та пастками (кривi 3), дифузп в середовищi з ефективними характеристиками (кривi 4).

При розрахунках прийнято таю значення характеристик середовища: = 10, ^ = ^ = 0, а = 0,01, а2 = 0,001 в момент часу t = 10 .

1,3

1,04

0,78

0,52

0,26

1с б

\ 2с

1Ь IX 2Ь

2а 4

__

2,5

7,5

10

75 150 225 300 375

Рис. 2. Пор1вняльш розподши концентрацш та потоюв для р1зних модельних випадюв

у залежносп вщ коефщ1ента о

На рис. 2 (а) вздовж ос ординат вiдкладено вщношення сумарно'1 концентрацп до й значення на поверхш шару с(%, t) / c0, вздовж оа абсцис - безрозмiрну координату %. На рис. 2 (б) вздовж оа ординат вiдкладено величину потоку, вщнесеного до с0, а вздовж осi

абсцис - безрозмiрний час г.

Числовi розрахунки показали, що наявшсть пасток сприяе накопиченню домiшки в шарi грунту. Суттевий вплив на профш концентрацп забруднення домiшки мае коефщент поверхневого розподiлу домшково! речовини мiж водним поровим розчином та адсорбо-ваними шарами води. Коефщент дифузп та iнтенсивностi процесiв сорбцй-десорбцй впливають на значення концентрацп та потоюв, але не змiнють 1х якюно! поведiнки.

Встановлено, що мехашзм проникнення частинок в об'ем скелета грунту (пастки) використовуеться з часом. Наприклад, розподши концентрацп радюнуклвдв, характеры для середовища з пастками, вперше вiдмiченi в експериментальних даних через 3,5-4 роки тсля Чорнобильсько'1 аварй.

Зазначимо, що побудова аналiтичних розв'язюв для концентрацiй частинок забруднення у рiзних станах дала можливють визначити дифузiйнi потоки та кшькють радю-нуклiдiв, що за певний промiжок часу пройшла через задану поверхню грунту.

3. Математичн1 модел1 м1грацн забруднень 1з кругового джерела на поверхш

Далi розглянемо випадок, коли на поверхш дiе кругове джерело забруднення i розглянемо модель гетеродифузй двома шляхами.

Приймемо, що шар товщиною вiднесений до цилшдрично! системи координат

так, що вюь Ох перпендикулярна до його поверхш г0.

Нехай у початковий момент часу у грунт були вщсутш частинки забруднення:

1 ^ X)0= С22 ^ х) |0 = 0

(29)

8

6

4

2

0

0

0

5

0

де г - час, г, г - координати цилшдрично! системи. На верхнш границ шару г = 0 дie кругове джерело маси стало! штенсивносп, тобто тдтримуеться постiйне значення сумар-но! концентрацп частинок забруднення, яке мiж рiзними станами частинок розподiляeться таким чином:

'(1 -а)Со, Г < Го,

. Гасп, г < г , , Г(1

^Г, г)1-=о ={о,0 ; ^Г,г) 1г=0 = {0,

Г > Го.

(30)

Також приймасться, що

1 Г, г) |г= ^ = Г, г) г_ ^ = 0 , 2 , г) \г_ = с2 (t, г, г)| ^^ = 0, сх (t, г, г)| , с2(t, , г) | < К < . (31)

Для цього випадку систему диференщальних рiвнянь гетеродифузп (2) запишемо у цилшдричнш системi координат з урахуванням симетрп за кутом ф :

дсх д = А \ '1 д ( г д, 1 Г до. 1 д, У д2с ) дгс ]

дс2 д = А ' 1 д , д, , £) д2с2) + дгс ,

- кс + к2с2,

+ кс к2с2.

(32)

Тут Д i В2 - коефщенти дифузп домiшки у водному поровому розчиш та сорбованих шарах води; к1 i к2 - кiнетичнi коефщенти, якi визначають процеси типу сорбцп-десорбцп.

Крайова задача (29)-(32) розв'язана за допомогою iнтегральних перетворень Ханке-ля, Фур'е i Лапласа.

В результат отримаемо:

концентрацiю домiшки на швидкому шляху мграцп:

с (г, г, г)

с0Г0

I Л(,0 J 0(Г^) \а

эЬ эгп

эЬ

2

вт у„г

г0 Е Уп (Рх - Р2)

У

ар + А + ~ Р1

Л

(

еР1 -

аР2+А1+—

1 2 1 Р 2

л

;,Р2г

•йя;

концентрацiю домiшкових частинок на повiльному шляху переносу:

Г, г)

I Л(,0 ^0(,я) \Ъ

эЬ я(г0 - г) эЬ ягп

+ ((1 -а) - Ь)

бЬ $(г0 - г)

2

Е-

81П Упг

У

Б,

\

а2Р1 + Б1 + — Р1 У

(

eplt -

Б

Л

а2Р2 + Б1 + —

Р2 У

г0 п=1 Уп (Р1 - Р2) сумарну концентрацiю домшково! речовини с = с + с2:

ГШ /-*

с(г, г, t)

;,Р2г

;

0'0

I ^(Г0я) Jа

вЬ г0 - г) ( (г0 - г) +(1 - а)

эЬ ягг.

эЬягп

0

да

с0Г0

0

0

2

-е I-

Б1п У„г

У

Т в

\

р + А + — Р1У

С

ер_ -

7 В

р2 + А + —

Р2,

Л

,Р2 _

.

х0 „=1 У„ (Р1 - Р2)

Тут ^ (х) - функщя Бесселя т-го порядку; а = к~Да1 , Ь = куёа1 , а = ёа (к + к V^ ,

йа = аАх + (1 -а)А2, А = А + А, В = В + В . А = а[(А + А>2 + БУп + к + к2] , А2 =о1А2(52 + у„2) + йак252, В = (1 -о)[( + + + к, + к2] ,

В2 =-аА1(/ + У„2) + йак/; 5 = л/52+^7АБ , ¿к = кА + кА,0 = а(А/ + к!)-(1-а)к,

а2=акг - (1-а)(А252 + к), 0=а , а2 = 1 -о; р , р2 - розв'язки рiвняння р2 + 7р + % = 0

з коефщентами 7 = (Б1 + Б2)(я2 + у„2) + к1 + к2, 7 =[АБ2^2 + У„) + ^ ] (/ + у„2).

Розглянемо також частковi, проте практично важлив^ модельнi випадки. У цилшд-ричнш системi координат моделi дифузп у середовищi з пастками набудуть вигляду

до,

дг

1 = А

Г1

~ дг ^ дг ) дг2

к101 + к02 ,

д02 дг

к101 к2С2 .

(33)

Для дано'1 задачi крайовi умови (29)-(31) мають вигляд

0\(_,г,г) _ = о2(_,г,г) _ = 0, о1(_,г,г) = 0, о1(_,г,г)|^ <К <ад,

Ol(t, г г) I=0 ={0,

оo, г < гo,

г > г0-

(34)

У результатi застосування тих самих перетворень до задачi (33), (34) отримаемо такi розв'язки:

о1 (_, г, г)

- — I

* [ 5г0 г0 У„(р1 - р2)

8Ш У„г

0'0

( А' ^

р + А' + А р1

ер1_ -

А'

— ,1' А2 р2 + = р2

,р2_

.

С2(г, г, г) С0г0

ад

| ^(П) 5) J 0(г5)

к1 бЬ 5(г0 - г) 2

к9 бЬ 5гп

+ ■

к1Б11 У„^1Пу„г

ТГ р1 - р2

„=1

1 ер_ -ер

А р2

^:

сумарну концентрацiю домшково!' речовини о = о1 + о:

о(г, г, _) ад7. к. 1 бЬ 5(г0 - г)

с0г0

V к2 У

бЬ 5г„

2

вт у„г

г0 1 У„ (р1 - р2)

р1 + А^ —

р1 У

ер1 _ -

Л

- В'

р2 + А1+ —

, р2 У

.

Тут А[= Б^ + к + к, А = Ак25 , В' = А^ - АкУ2, р12 - розв'язки рiвняння

р2 + 771 р+ъ = 0, де Л1 = АО2+У„2)+к+к, ^2 = АкС*2+У„).

Рiвняння дифузii у середовищi з ефективними характеристиками в цилiндричнiй си-стемi координат мае вигляд

ад

ад

г

0

0

0

ад

dcef (t, r, z) dt

= D

f

1 d Г dCeL ^

dr

r dr

d 2c

ef

dz2

(35)

Крайовi умови для цього модельного випадку е^валентш задачi дифузп в тiлi з пастками (34). Розв'язки задач (33)-(34) i (35) також знайденi з застосуванням штеграль-них перетворень, а саме:

cf(r, zt)

C0r0

:/./Лs) J о(Г^) \ ShS^ - 2 Е

sh szn

Упsin ynzc-Df (s2+y„2)t

z0 ~ s 2 + Уп2

ds

Зазначимо, що знаходження анал^ичних розв'язкiв для концентрацп розпадних до-мiшкових речовин дозволяе отримати вщповщш вирази для вiдповiдних потоюв маси.

4. Числовий аналп iviirpauii домiшок з розподiленого джерела на noBepxHi шару

На основi отриманих розв'язюв для сформульованих крайових задач розроблено програм-не забезпечення та проведено комп'ютерне моделювання для встановлення основних зако-номiрностей гетеродифузп частинок забруднення та часткових модельних варiантiв. При цьому використовувався метод чисельного штегрування Ньютона-Котеса замкненого типу за 7-ма вузлами та для контролю точносп обрахункiв використовувався той самий метод за 10-ма вузлами. При нествпадшш результатiв у межах задано! точносп (s = 10-9) промiжок iнтегрування дiлився на 10 вiдрiзкiв, така необхiднiсть виникала для малих чаав. Числовi розрахунки проводилися в таких безрозмiрних змiнних: т = k2t, z = (к2/Дz,

r' = (K/D)^2r . При цьому приймались таю базовi значення параметрiв: d = D2/Dl =0,01, a = k/k2 =50, z'0 = 10, rj = 1 в момент часу т = 100 .

На рис. 3 та 4 наведено порiвняльнi розподши сумарно! концентрацп для рiзних модельних випадкiв. Тут 1 (суцiльнi лшп) описують розв'язки задачi гетеродифузп (1)-(4), 2 (штриховi лшп) - задачi дифузп у тiлi з пастками (29)-(30), кривi 3 (штрих-пунктирш лшп) - задачi дифузп в середовищi з ефективними характеристиками (32)-(34).

о ö

3,75

2,5

1,25

' 2 r'= 0.5

К*

\t \ч / \ s 1 \ % 1 А \ *

- - „ ^

О Ö

2,25

1,5

0,75

i z ' =

* •

1c \ 2 % \ t

1h \ \ *

3

* \\ » * * %

1a

0,4

0,8

1,2

1,6

Рис. 3. Пор1вняльш розподши сумарно! концентраци для р1зних модельних випадюв при таких значениях параметра поверхневого розподшу: а = 0 (крив1 а), 0,5 (крив1 b), 1 (крив1 с)

0

3

5

0

0

0

1

2

3

4

0

Phc. 4. Пopiвняльнi poзпoдiли cyмapнoï кoнцeнтpaцiï для piзниx мoдeльниx випaдкiв npH k/k2 = 20 (кpивi a), 50 (Rp^i b), 70 (Rprai c)

Зayвaжимo, щй нa пoвeдiнкy кoнцeнтpaцiï дoмiшкoвoï peчoвини, визнaчeнoï зa мo-дeллю гeтepoдифyзiï двoмa шляxaми (1)-(4), cyттeвo впливae кoeфiцieнт пoвepxнeвoгo po-зпoдiлy а, тoдi як кoнцeнтpaцiï, пopaxoвaнi зa чacткoвими мoдeльними вapiaнтaми (29)-(30) тa (32)-(34), нe зaлeжaть вiд цьoгo пapaмeтpa (pиc. 3). Iншi xapaктepиcтики cepeдoви-щa мaють icтoтний вплив та poзпoдiли cyмapнoï кoнцeнтpaцiï чacтинoк дoмiшки, знaйдeнi з мoдeлeй гeтepoдифyзiï тa дифузп y cepeдoвищi з пacткaми (pиc. 4 нaвeдeнo для piзниx знaчeнь вiднoшeння кoeфiцieнтiв iнтeнcивнocтi пepexoдy мiж cтaнaми), тoдi як для мoдeлi дифузп чacтинoк y cepeдoвищi з eфeктивними xapaктepиcтикaми змiнa знaчeнь k/k2 i D/D (вiд ниx зaлeжить "eфeктивний" кoeфiцieнт дифузп) пpaктичнo нe впливae нa зта-чeння кoнцeнтpaцiï. Зayвaжимo тaкoж, щo cyмapнa кoнцeнтpaцiя дoмiшoк, пopaxoвaнa зa мoдeллю дифузп в тiлi з пacткaми, зaвжди бiльшa зa cyмapнy кoнцeнтpaцiю дoмiшoк y тiлi з двoмa шляxaми мiгpaцiï, якщo нa пoвepxнi дie poзпoдiлeнe кpyгoвe джepeлo зaбpyднeння.

5. Висновки

Тaким чинoм, y crani пoкaзaнo, щo для aдeквaтнoгo мaтeмaтичнoгo oпиcy мacoпepeнeceн-ня зaбpyднeнь y rpyнтi нeoбxiднo вpaxoвyвaти piзнi шляxи мiгpaцiï чacтинoк дoмiшкoвoï peчoвини, мiж якими вiдбyвaeтьcя мacooбмiн ^po^OT типу copбцiï-дecopбцiï). Зaпpoпo-нoвaнo piзнi мoдeльнi вapiaнти, oтpимaнi нa ocнoвi фiзичниx пpипyщeнь, щoдo кoeфiцieн-тв мoдeлi тa миrтeвoгo пepepoзпoдiлy чacтинoк дoмiшки мiж cтaнaми.

Poзглянyтo пpaктичнo вaжливi кpaйoвi зaдaчi гeтepoдифyзiï дoмiшoк, пoдaнi y двo-вимipниx пocтaнoвкax, зoкpeмa, пpи дп poзпoдiлeнoгo (кpyгoвoгo) джepeлa мacи нa пo-вepxнi. Ha ocнoвi знaйдeниx тoчниx poзв'язкiв кpaйoвиx зaдaч гeтepoдифyзiï poзpoблeнo пpoгpaмнe зaбeзпeчeння i дocлiджeнo вплив фiзичниx xapaктepиcтик тiлa нa poзпoдiли cy-мapниx кoнцeнтpaцiй дoмiшoк для гeтepoдифyзнoгo пepeнocy, дифузй y cepeдoвищi з пacткaми тa в cepeдoвищi з eфeктивними xapaктepиcтикaми, зpoблeнo пopiвняльний aнaлiз вiдпoвiдниx poзпoдiлiв для циx мoдeльниx випaдкiв. Зoкpeмa, пoкaзaнo, щo пapaмeтp, який нaйбiльшe впливae як та якюш, тaк i нa кшькюш poзпoдiли cyмapнoï кoнцeнтpaцiï в дpiб-нoдиcпepcнoмy cepeдoвищi, e чacткa дoмiшкoвoï peчoвини, якa з пoвepxнi пocтyпae нa швидкий шляx дифyзiï.

СПИСОК Л1ТЕРАТУРИ

1. Математичш моделi та експериментальш данi про пошерення радюнукладв у грунтах /

B.C. Гончарук, Г.Т. Лянце, С.Я.Чапля, О.Ю. Чернуха. - Львiв: Растр-7, 2014. - 244 с.

2. Бурак Я.Й. Вихщш положення математично! моделi гетеродифузного переносу радюнукладв у приповерхневих шарах Землi / Я.Й. Бурак, С.Я. Чапля // Доповiдi НАН Укра!ни. - 1995. - № 10. -

C. 34 - 37.

3. Прохоров В.М. Миграция радиоактивных загрязнений в почвах / Прохоров В.М. - М.: Энергоа-томиздат, 1981. - 798 с.

4. Чапля С.Я. Фiзико-математичне моделювання гетеродифузного масопереносу / С.Я. Чапля, О.Ю. Чернуха. - Львiв: СПОЛОМ, 2003. - 128 с.

5. Математичне моделювання дифузп домшкових компонент за !х каскадного розпаду / Ю. Бшущак, В. Гончарук, С. Чапля [та ш.] // Математичш машини i системи. - 2015. - № 1. -С.146 - 155.

6. Подстригач Я.С. Диффузионная теория деформации сплошной среды / Я.С. Подстригач // Вопросы механики реального твердого тела. - 1964. - Вып. 4. - С. 71 - 99.

7. Мюнстер А. Химическая термодинамша / Мюнстер А. - М.: Мир, 1971. - 295 с.

8. Прудников А.П. Интегралы и ряды / Прудников А.П., Брычков Ю.А., Марычев О.И. - М.: Наука, 1981. - 797 с.

9. Подстригач Я.С. Модели тепловлагопереноса в почве и задачи идентификации их параметров по наземным измерениям и дистанционным данным в ИК-диапазоне / Подстригач Я.С., Карасев А.В., Гера Б.В., Жук П.А., Чапля Е.Я. - Львов, 1988. - 53 с. (Препринт / АН УССР, Институт прикладных проблем механики и математики, № 19).

10. Купряжкин А.Я. Механизмы диффузии неона в хлориде калия / А.Я. Купряжкин, П.В. Волобу-ев, П.Е. Суетин // Журнал технической физики. - 1975. - Т. 45, № 2. - С. 431 - 432.

Стаття над1йшла до редакцп 30.06.2017