CC BY
17
УДК 519.62
МЕТОД ДВОБ1ЧНИХ НАБЛИЖЕНЬ РОЗВ'ЯЗАННЯ ПЕРШО1 КРАЙОВО1 ЗАДАЧ1 ДЛЯ НЕЛ1Н1ЙНИХ ЗВИЧАЙНИХ ДИФЕРЕНЦ1АЛЬНИХ Р1ВНЯНЬ НА ОСНОВ1 ВИКОРИСТАННЯ ФУНКЦП ГР1НА
Сидоров М. В. - канд. ф!з.-мат. наук, доцент, доцент кафедри прикладно! математики, Харшвський нацю-нальний ушверситет радюелектрошки, Харшв, Украша.
АНОТАЦ1Я
Актуальнiсть. Розглянуто питания побудови двоб!чного ггерацшного процесу знаходження додатного розв'язку першо! крайово! задач! для звичайного диференщального р!вняння другого порядку на основ! використання метода функц!й Гр!на. Об'ектом дослвдження е перша крайова задача для нелшшного звичайного диференщального р!вняння другого порядку. Мета роботи - користуючись методами теорп нелiиiйних оператор!в у нап!вупорядкованих просторах розробити метод дво-б!чних наближень розв'язання поставлено! задач!.
Метод. За допомогою функцп Грша вихщна нелшшна крайова задача для звичайного диференщального р!вняння замь нюеться екывалентним штегральним р!внянням Гаммерштейна, що розглядаеться у простор! неперервних функц!й, який нап!вупорядковано за допомогою конуса невщ'емних функцш. 1нтегральне р!вняння подаеться у вигляд! нелiиiйного операторного р!вняння з гетеротонним оператором. Для нього знаходиться сильно iиварiантиий конусний в!др!зок, кшщ якого е початковими наближеннями для двох ггерацшних послщовностей, перша з яких, монотонно зростаючи, наближае точний розв'язок задач! знизу, а друга, монотонно спадаючи, - зверху. Наведено дт умови гснування единого додатного розв'язку розглядувано! крайово! задач! та двоб!чно! зб!жност! до нього послвдовних наближень. Також наведено загальш рекоменда-цп з побудови сильно швар!антного конусного в!др!зка. Розроблений метод мае просту обчислювальну реал!защю ! зручну для використання на практищ апостерюрну оц!нку похибки.
Результати. Розроблений метод програмно реал!зовано та досл!джено при розв'язанш тестових задач. Результати обчи-слювального експерименту про!люстровано граф!чною та табличною !нформац!ями.
Висновки. Проведен! експерименти тдтвердили працездаттсть та ефективн!сть розробленого метода ! дозволяють ре-комендувати його для використання на практищ при розв'язання задач математичного моделювання нелшшних процес!в. Перспективи подальших дослвджень можуть полягати у розробленн! двоб!чних метод!в розв'язання задач для р!внянь з час-тинними пох!дними та нестацюнарних задач, використовуючи нап!вдискретт методи (наприклад, метод прямих Роте).
КЛЮЧОВ1 СЛОВА: нелшшна крайова задача для звичайного диференщального р!вняння, додатний розв'язок, сильно швар!антний конусний в!др!зок, гетеротонний оператор, двоб!чн! наближення, функц!я Гр!на.
НОМЕНКЛАТурА - границя послщовносл верхшх наближень;
+<ю
С[-1, 1] - банах!в прост!р неперервних на в!др!зку
[-1, 1] функцш; Г(2) = | - гамма-функщя;
О (х, 5) - функщя Грша крайово! задач!; 0
К+ - конус невщ'емних функцй у С[-1,1]; к > 0 - параметр в ОДДОмшфшму оператор! Ге-
+ - ' ' 1 - ' - ь ' "' 2 К(и0) - множина функцш з К+ таких, що льмгольця и -к и;
6 - нульовий елемент банахового простора; ^ - знак иапiвупорядкованостi у С[-1,1], що
вводиться конусом К+.
аи0 ^ и ^ Ри0 , де а, р > 0 ; Т - гетеротонний оператор;
Т - оператор, супровщний для гетеротонного оператора Т ;
р ВСТУП
и - тотаМ розв'язок крайово! задач!; На сьогодн! у науц! спостер!гаеться п!двищений
= тах |и (х)| - норма у простор! С[-1,1]; штерес до процес!в, що протжають у нелшшних се-
редовищах. Лшшш математичш модел! таких проце-ав завжди е лише певними наближеннями, а тому все бшьше уваги придшжться саме нелшшним матема-тичним моделям ! стае актуальною проблема розроб-< V0, > - сильно швар!антний для гетеротонно- ки нових та вдосконалення юнуючих метод!в !х чисе-го оператора Т конусний в!др!зок; льного ашл!зу.
)} - посл!довн!сть нижн!х наближень; Ш'е^ом дооддешга е шрша кройга задача
и
хе[-1, 1] 1
и0 (х) = | О(х, ; -1
для нел!н!йного звичайного диференц!ального р!в-
V - границя послвдовност! нижшх наближень; няння другого порядку.
)
- посл!довн!сть верхн!х наближень;
е-КЗМ 1607-3274 Радюелектрошка, iнформатика, управлiння. 2019. № 1 р-ШМ 2313-688Х Яа<1ю ЕкСгошсв, Сошр^ег 8с1епсе, Сопгго1. 2019. № 1
Задач1 для таких нелшшних диференщальних р1в-нянь часто виникають при математичному моделю-ванш об'ектш та систем р1зно! природи, зокрема ста-щонарних процес1в, що розглядаються у х1м1чнш ш-нетищ, бюлогл, теори горшня тощо [1-4].
Предметом дослщження е метод двоб1чних на-ближень розв'язання нелшшних крайових задач для звичайних диференщальних р1внянь другого порядку.
В1дом1 р1зш методи чисельного анал1зу нелшшних крайових задач, зокрема, методи сшнченних р1зниць, сшнченних елеменпв [1, 5] або послвдовних набли-жень з двоб1чним характером зб1жност1 [7-10]. При застосування методу двоб1чних наближень будуеться дв1 послвдовносп функцш, як1 з обох бошв (зверху 1 знизу) зб1гаються до точного розв'язку задачу що до-зволяе на кожнш ггерацп мати апостерюрну ощнку похибки, а отже, 1 практично зручний критерш зашн-чення ггерацш. Тому, на нашу думку, саме остання група метод1в е найбшьш привабливою з точки зору обчислювально! математики.
Метою роботи е розробка на основ1 використання функци Грша методу двоб1чних наближень розв'язання першо! крайово! задач1 для нелшшних звичайних диференщальних р1внянь 1 дослвдження його роботи при розв'язанш тестових задач.
1 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ1
У робот розглядаються дв1 нелшшш крайов1 зада-ч1 для звичайних диференщальних р1внянь:
та
-и " = /(X, и), х е (-1, 1); и(х) > 0, х е (-1, 1), и(-1) = 0, и(1) = 0,
-и" + к и = /(х,и), х е (-1, 1). и(х) > 0, х е (-1, 1), и(-1) = 0, и(1) = 0,
(1) (2) (3)
(4)
(5)
(6)
де /(х, и) - неперервна 1 додатна при х е (-1,1), и > 0 функщя.
Оператор и" е одновим1рним випадком оператора 2
Лапласа, а оператор и"-к и е одновим1рним випадком оператора Гельмгольця. Р1вняння вигляду (1), (2) часто зустр1чаються в мехашщ, теорп горшня та теорп масоперенесення з х1м1чними реакц1ями, коли роз-глядуваш нелшшш стащонарш процеси, можуть бути описан функщями одше! незалежно! змшно! [11].
2 ОГЛЯД Л1ТЕРАТУРИ
1сторично першим методом з двоб1чним характером зб1жносп до шуканого розв'язку був метод, за-пропонований у 1919 р. С. О. Чаплипним [12]. Цей метод базуеться на теорем1 про диференщальш нер1в-
ност1 1 дозволяе бувати послщовносп нижшх та верх-шх розв'язк1в до розв'язку задач1 Кош1 для нормально! системи звичайних диференщальних р1внянь. По-дальший розвиток двоб1чних ггерацшних метод1в по-в'язано з використання теорп нелшшних оператор1в у нашвупорядкованих просторах [13].
Ця теор1я була розроблена 1 застосована до з'ясування питань юнування 1 единосп додатного розв'язку операторних р1внянь з 1зотонними 1 гетеро-тонними операторами у роботах [7, 8, 14]. Доведення теорем юнування та единосп базувалося на побудов1 ггерацшних послвдовностей, як1 б двоб1чно зб1галися до нерухомо! точки оператора, але автори розглядали щ ггерацшш процеси як допом1жний зааб при дове-денш теорем 1 обчислювальш застування не було роз-винуто. Деяк1 узагальнення теорп гетеротонних опе-ратор1в та !х застосування до знаходження наближе-них розв'язк1в крайових задач з вшьною межею для нелшшних звичайних диференщальних р1внянь було зроблено у [15]. У [10, 16] розглядаються р1вняння 1 нер1вносл, у яких оператори не мають властивосл монотонносп, 1 для них будуються двоб1чш монотон-т ггерацшш процеси.
Перша крайова задача для р1вняння (1) на в1др1зку [0,1] розглядалася у [7, 8] 1 слугувала для шюстраци розроблено! у цих роботах теори. Р1вняння (1) на ввд-р1зку [0,1] також розглядалося у роботах [17, 18], де було отримано умови юнування единого додатного розв'язку для випадку, коли права частина р1вняння не визначена при и = 0, 1 розглянуто деяк приклади застосування отриманих результапв до досл1дження розв'язносп р1внянь з1 степеневими нелшшностями.
Р1вняння (1) на [0,1] з /(х,и) = Х(ир +и~д) у [19]
було дослвджено на розв'язшсть, з'ясовано, зокрема, що 1снуе единий додатний розв'язок першо! крайово! задач1 при р, q < 1 1 наведено результати побудови
двоб1чних наближень при ц = 1, р = 1, q = -5-. Але у
ц1й робот1 немае дослвдження проблеми побудови початкового наближення. Крайов1 задач1 для р1вняння (4) не розглядалися.
Робота продовжуе дослвдження, розпочат1 у [20] 1 спрямована на !х узагальнення та розповсюдження на р1вняння вигляду (4).
3 МАТЕР1АЛИ ТА МЕТОДИ
Для дослвдження розв'язност1 кожно! з задач (1)-(3) та (4)-(6) 1 чисельного знаходження !х розв'язку побудуемо метод двоб1чних наближень, використо-вуючи методи теори нелшшних оператор1в у нашв-упорядкованих просторах [7, 8, 14].
Кожна з задач (1)-(3), (4)-(6) екв1валентна 1нтег-ральному р1внянню Гаммерштейна (7)
и(х) = | 0(х,/^,,
(7)
дe для зaдaчi (1)-(3) функ^ Гpiнa G (x, s) !ae вигляд
G( x, s) =
(1 + x)(1 - s)
2
(1 + s )(1 - x)
2
-1 < x < s,
s < x < 1,
(8)
a для зaдaчi (4)-(6)
sh к(1 + x) sh к(1 - s)
G( x, s) =
к sh2к sh к(1 + s) sh к(1 - x)
к sh2к
-1 < x < s, s < x < 1.
(9)
1
Uo(x) = J G(x, s)ds . -1
Для зaдaчi (1)-(3) мaeмo
1 2
uo(x) = -(1 - x ) :
a для зaдaчi (4)-(6) 2
(10)
Uo( x) =
к2 ch к
-sh ^I+x) sh
O3Ha4eHM. Poзв'язкoм (yзaгaльнeним) кpaйoвoï за-дaчi (1)-(3) чи (4)-(6) нaзивaтимeмo функцш u* e K+ , яка e poзв'язкoм iнтeгpaльнoгo piвияния (7).
З piвнянням (7) пoв'яжeмo шлшшний шгеграль-ний oпepaтop T , щo дie y C[-1, 1] за пpaвилoм
T(u)(x) = J G(x, s) f (s, u (s))ds .
(12)
Пoзнaчимo u0( x) poзв'язoк зaдaчi (1)-(3) чи (4)-(6) для випадку, кoли f ( x, u) = 1, тoбтo
Piвняння (7) poзглядaтимeмo y бaнaxoвoмy ^oc-тopi C[-1, 1] фyнкцiй, нeпepepвниx на вiдpiзкy [-1,1]. Hop!a y C[-1, 1] ввoдитьcя за пpaвилoм
U = max |u(x). Видiлимo y C[-1, 1] кoнyc xe[-1, 1]
K+ = {u e C[-1, 1] : u (x) > 0, x e [-1, 1]} ^вад^мит функцш. За дoпoмoгoю ra^ca K+ y пpocтopi C[-1, 1] ввeдeмo нaпiвyпopядкoвaнicть за ^aHMo!:
для u, v e C[-1, 1] u ^ v , якщo v - u e K+ ,
тобто
u ^ v, як^ u(x) < v(x) для вcix x e [-1, 1].
Як^ icнye к^ичний poзв'язoк зaдaчi (1)-(3) чи (4)* 2
(6), тoбтo така фyнкцiя u e C" (-1, 1) n C[-1, 1], яка зaдoвoльняe piвияння (1) чи (4) i yмoви (2), (3) чи (5), (6) вiдпoвiднo, то ця функщя тaкoж зaдoвoльняe i irnerpa-льнe piвияння (7). Як^ ж клacичний poзв'язoк вдеут-нiй, тo piвияния (7) мoжнa пoклacти в ocнoвy oзнaчeння yзaгaльнeнoгo poзв'язкy зaдaчi (1)-(3) чи (4)-(6).
© CHAopoß M. В., 2019
DOI 10.15588/1607-3274-2019-1-6
^жна з функцш Tpira (8), (9) e нeпepepвнoю. Опepaтop T вигляду (12) e дoдaтним, тoбтo зали-шae irnapiarn™! кoнyc K+ : T(K+ ) с K+ . Д^ш, кoжиa з фyнкцiй Гpiнa (8), (9) нeпepepвнa i нeвiд'eмнa у квакая -1 < x, s < 1. Toдi для будь-ято1 u e C[-1,1] пiдiнтeгpaльнa функщя у (12) нeпepepвнa i нeвiд'eмнa пpи -1 < x, s < 1, a oтжe, функщя T (u )(x) нeпepepвнa i ^вад^мна на вiдpiзкy [-1, 1], тобто з u e K+ випливae, щo T (u ) e K+.
Oœparop T вигляду (12) тaкoж e Uo -дoдaтним, дe фyнкцiя uo( x) для задач (1)-(3) i (4)-(6) визнaчaeтьcя вiдпoвiднo piвнocтями (10) i (11). Пoзнaчимo чepeз K (uo) мнoжинy фyнкцiй з K+ тaкиx, щo auo < u < ßuo , дe a, ß > 0 . Toдi u00 -дoдатнicть oœpa-тopa T oзнaчae, щo T (u ) e K (uo) для вcix u e K+ \{6}. Ця властивють випливae з oцiнки вигляду
ф^)^ (x) < G(x, s) < у (s)Uo (x), -1 < x, s < 1,
(11) дe ф(s), у(s) - нeвiд'eмнi нeпepepвнi на [-1,1] фун-кцiï, ввдмшш вiд тoтoжнoгo нуля.
Для функци Гpiнa вигляду (8) цi функци дopiвнюють
ф(^) = -2min{s +1, 1 - s}, у (s) = 1,
а для функци Tpira вигляду (9) мaтимeмo
ф(^) =-min{sh к(5 +1), shк(1 - s)},
2sh2 к
к ch^^ ch
у( s) =-Ч-— .
sh к
Toдi для дoвiльнoï u e K+ \{6} oтpимaeмo, щo 1
auo (x) < J G(x, s) f (s, u (s))ds < ßuo (x), -1
дe
a = J ф( s) f (s, u (s))ds > 0 ,
-1
1
Р= /(5, и (5))й?5 > 0.
-1
Отже, Т (и) е К (и0), що 1 означае и0-додатшсть оператора Т вигляду (12).
Ефективне дослвдження р1вняння (7) (а отже, 1 задач (1)-(3), (4)-(6)) 1 побудова двоб1чних наближень до !х додатних розв'язшв стае можливим, якщо функщя / (х, и) мае властивють монотонности
Припустимо, що функщя /(х, и) дозволяе д1аго-нальне подання /(х,и) = /(х,и,и), де неперервна за сукупшстю змшних х, V, V неввд'емна функц1я /(х, V, V) монотонно зростае за V 1 монотонно спадае за V для вс1х х е (-1, 1). Тод1 оператор Т вигляду (12) буде гетеротонним з супроввдним оператором
1
Т^, М>)(х) = | О(х, 5)/(5, v(s), . (13)
-1
Оператори Т { Т е цшком неперервними. Якщо функщя /(х,и) монотонно зростае за и для
вах х е (-1, 1), то можна обрати /(х, V, V) = /(х, V), а для монотонно спадно! за и для вс1х х е (-1,1) функци / (х, и) можна покласти /(х, V, V) = / (х, V).
У конус К+ видшимо сильно швар1антний конус-
ний в1др1зок < V0, V0 > умовами V0) ^ V0 ,
Т(м>®, V0) ^ V0 , яш для оператора Т , що визначаеться р1вшстю (13), набувають вигляду: для вах х е [-1,1]
1
| О(х, 5)/(5, V0 (5), > V0 (х) , (14)
-1 1
| О(х, 5)/(,5, ^0(5), V0 < ^0(х) . (15)
-1
Сформуемо гтерацшний процес за схемою
+1) = ^(к), „(к)), „(к+1) = ^ м,(к), v(k))
, яка у роз-
глядуваному випадку набувае вигляду: 1
V(k+1)( х) = | О (х, 5)/(5, V(k)(s), ^(к)(5))^5 , (16) -1 1
^(к+1)( х) = | О (х, 5)/(5, ^(к )(5), V(k ">(5)^ , (17) -1
к = 0, 1, 2, ...,
¿0) (х) = V0 (х), ^(0) (х) = х). (18)
З огляду на сильну швар1антшсть конусного в1дрь зка < V0, > та гетеротоншсть оператора Т, для якого оператор Т е супроввдним, можна зробити ви-сновок про те, що послвдовшсть ^(к) (х)} не спадае за
конусом К+, а послвдовшсть {^(к)(х)} не зростае за конусом К+ . Осшльки конус К+ у С[-1, 1] е норма-льним (1 навиъ гострим), а оператор Т е щлком непе-рервним, то юнують границ V* (х) 1 м>* (х) цих посль довностей. Отже, справджуеться ланцюг нер1вностей
V0 = v(0) < v(1) < ... < v(к) < ... < V* <
< V* < ... < ^(к) < ... < ^(1) < ^(0) = V0.
Тут можлив1 два випадки: V* < м>* { V* = м>* . У другому випадку и* := V* = м>* - едина на конусному
0 0 гг
в1др1зку < V , V > нерухома точка оператора Т , а
* 0 0 5
отже, и - единий на < V , V > додатний розв язок крайово! задач1 (1)-(3) чи (4)-(6).
Функцп V* (х) 1 V* (х) е розв'язком системи р1в-нянь V = Т(у, V), V = Т(V, V), яка для наших задач мае вигляд:
1
v(х) = | О(х, 5).^(5, v(s), М>(5)№ , (19)
-1 1
М>(х) = | О(х, 5)/(5, ), v(. (20)
-1
Умовою того, що V* = м>*, е вимога, щоб система (19), (20) не мала на < V0, V0 > таких розв'язшв, що
V Ф V .
Отже, справджуеться така теорема. Теорема 1. Нехай < V0, м>0 > - сильно 1нвар1ант-ний конусний в;др1зок для гетеротонного оператора Т вигляду (12) з супроввдним оператором Т вигляду (13) 1 система р1внянь (19), (20) не мае на < V0, > розв'язшв таких, що V Ф V . Тод1 ггерацшний процес (16)-(18) зб1гаеться у норм1 простору С[-1,1] до единого на < V0, V0 > неперервного додатного розв'язку
и* крайово! задач1 (1)-(3) чи (4)-(6), причому мае м1сце ланцюг нер1вностей
V0 = v(0) < V® < ... < v(k) < ... < и ^ ^ ... ^ ^(к) ^ ... ^ ^(1) ^ ^(0) = V0. (21)
Ланцюг нер1вностей (21) як раз 1 характеризуе ггерацшний процес (16)-(18) як двоб1чний.
Умова, щоб система (19), (20) не мала на < V0, V0 > таких розв'язшв, що V ф V , незважаючи на простоту формулювання, е не дуже простою може для перев1рки на практищ.
Умовою, яка забезпечуе те, що система р1внянь (19), (20) не мае на сильно швар1антному конусному
ввдр1зку < V0, w0 > розв'язшв таких, що V ф V , е умова М0 -псевдоувинутосп гетеротонного оператора Т
вигляду (12) з супровщним оператором Т вигляду (13) [8]. Додатний гетеротонний оператор Т назива-еться И0 -псевдоувинутим, якщо Т(V,w) е К(Ы0) для будь-яких V, V е К+ \{6} 1 для будь-яких V, V е К(Ы0) 1 те (0, 1) знайдеться таке п = пС^,V,т) >0 , що
T\ tv, — w j ^ т(1 + n)TT(v,w).
Виконання ще1 нер1вносп забезпечить наступна умова на функцш /(x, w, v) : для будь-яких додатних чисел v , w при будь-якому t е (0, 1)
1 з точшстю е можна вважати, що
u* ( x) « u(k )( x).
Сильно iнварiантний конусний вiдрiзок < v0, w0 > можна розглядати як апрюрну оцiнку невщомого точного розв'язку ы*, але його побудова при практичнш реалiзацiï двобiчних ггерацшних методiв е певною проблемою. Дамо загальш рекомецдацiï з ïï виршення.
Оск1льки T(v, w) e K(ыо) для будь-яких v, w e K+ \ {6}, то шнщ сильно iнварiантного конусного в^^зка < v0, w0 > можна шукати у виглядi
v0 (x) = аыо (x), w0 (x) = Рыо (x), де 0 < а < p . Тодi нерiвностi (14), (15) набувають вигляду: для Bcix x e [-1,1]
1
J G(x, s) f (s, аы0 (s), РЫ0 (s))ds > аы0 (x), (26) -1
1
J G( x, s) f (s, РЫ0 ( s), аы0 (s))ds < РЫ0 ( x). (27)
f j'x, tv, — w | >t/(x, v, w), x е (-1, 1). (22)
Тод1 приходимо до такого результату. Теорема 2. Нехай <v0, w0 >с K(U0) - сильно ш-вар1антний конусний в;др1зок для гетеротонного оператора T вигляду (12) з супровщним оператором T вигляду (13) i мае м1сце умова (22). Тод1 ггерацшний процес (16)-(18) двобiчно збiгаеться у нормi простору
С[-1, 1] до единого на < v0,w0 > неперервного дода-
тного розв'язку и* крайово1 задачi (1)-(3) чи (4)-(6).
За наближений розв'язок крайово1 задачi (1)-(3) чи (4)-(6) на k -й ггераци приймаемо функцiю
u (k )( x) = w(k )( x) + v(k )( x) 2
(23)
З огляду на нерiвностi (21) дiстанемо, що на кож-нiй k -й ггераци ми маемо апостерюрну оцiнку похиб-ки для наближеного розв'язку (23):
Осшльки G(-1, s) = G(1, s) = 0 i и0(-1) = м0(1) = 0, то щ HepiBHOCTi в точках х = -1, х = 1 виконуються як piBHOCTi. KpiM того, точки х = -1, х = 1 е простими нулями для функцш G(х, s) i U0 (х), а отже, для кожного s е [-1,1] юнують скшченш додатнi границi
G(х, s) G(х, s) ^ . , . G(х, s) lim-, lim-. Тодi функцiя-—, дови-
x—-1 U0( x) x—U0( x)
U0( x)
значена при x = -1, x = 1 за неперервшстю, буде не-перервною у квадрал -1 < x, s < 1, а функцй'
1 G(x s) ~
h (x; a, ß) = f--■— /(s, au0 (s), ßu0(s))ds,
-1 u0( x)
1 G(x s) ~
h2( x; a, ß) = f-/( s, ßu0(s ), au0(s))ds
-1 u0( x)
будуть неперервними при x е [-1, 1]. Зввдси випливае, що нерiвностi (26), (27) можна записати у виглядГ
a < min h1 (x; a, ß), ß > max h2 (x; a, ß).
xe[-1, 1]
xe[-1, 1]
(28)
u - u
(k )
<1 max (w(k)(x) - v(k)(x)). (24) 2 xe[-1, 1]
Отже, якщо задана точшсть е > 0, то iтерацiйний процес слад проводити до виконання нерiвностi
max (w(k)(x) - v(k)(x)) < 2е xe[-1, 1]
(25)
Для б№ш швидко! з61жиостГ ггерацш величина
max (w0(x)-v0(x)) = (ß-a)M. xe[-1, 1]
де M = max u0 (x), мае бути якомога меншою, тому xe[-1, 1]
при практичнiй реалiзацiï iтерацiйного процесу (16)-(18) слгд взяти найбiльше a i найменше ß, що задо-вольняють шрГвностГ (28).
4 ЕКСПЕРИМЕНТИ
Обчислювальний експеримент було проведено для задач (1)-(3), (4)-(6) для право! частини
f (x,u) = Xup + \xu q,
(29)
T(u)(x) = J G(x, s)[Xu(s)p + |J.u(s) q]ds , -1
1
T(v, w)(x) = J G(x,s)[Xv(s)p + |aw(s)-q]ds .
де
Y(x) = J [uo(s)]pds,
-1 uo( x)
0(x) = J [uo(s)]-qds . -1 u0( x)
Позначимо
де p, q > 0, X, ц > 0.
Для функцп f ( x, u) вигляду (29) обираемо
f(x,v,w) = Xvp + |aw_q i вадповадш оператори (12), (13) матимуть вигляд
m1 = = min x) = = ^(±1),
xe[-1, 1]
M1 = max Y(x) = Y(0),
xe[-1, 1]
m2 = min ©(x) = ©(0),
xe[-1, 1]
M 2 = max ©(x) : =©(±1).
xe[-1, 1]
Тодi нерiвностi (28) для знаходження а, ß набу-вають вигляду
а < Xm1ap + |om2ß-q , ß>XM1ßp + |oM2a-q . (30)
Ггерацшний процес (16)—(18) у розглядуваному випадку набуде вигляду
де функщя Грша G(x, s) в залежносп ввд типу задач! мае вигляд1 (8) чи (9).
Умова псевдоув1гнутосп (22), записана для функцп f (x,u) вигляду (29), призводить до нер1вност1
Хт(тp-1 - l)vp + |ax(xq-1 - 1)w_q > 0,
яка виконуватиметься для вах те (0, 1), v, w >0, якщо 0 < p < 1, 0 < q < 1.
Кшщ сильно швар1антного конусного в1др1з-
ка < v0, w0 > шукатимемо у вигляд1 v0 (x) = au0 (x),
w0 (x) = Pu0 (x), де 0 < a < p , а функщя U0 (x) в зале-жност1 в1д типу задач1 мае вигляд1 (10) або (11). Дал1 знаходимо
\ (x; a, Р) =
= 1 G(xS) {^[au0( s)]p +|[PU0( s)]-q }ds = -J u0(x)
= Xap¥(x)+ -^©(x),
Pq
^2 (x; a, P) = = J MK(s)]p +|[au0(s)]-qds =
-j u0(x)
= xpp ¥( x) + -1- ©( x),
aq
v(k+1)(x) = J G(x, s) jx[v(k)(s)]p + -
ц
-1 [w(k )( S)]q
v(k+1) (x) = J G(x, s) J X[w(k) (s)]p + Ц
>ds , (31) [ds, (32)
-1
[v(k)(s)]q. к = 0,1, 2, ..., v(0)(x) = au0(x), w(0)(x) = ßu0(x). (33)
Отже, якщо 0 < p < 1, 0 < q < 1, то кожна з задач (1)-(3), (4)-(6), де функщя f (x, u) мае вигляд (29), при будь-яких X, ц > 0 мае единий додатний
розв'язок u*(x), до якого двобiчно збтаеться ггерацшний процес (31)—(33).
Для того, що побудувати наближений розв'язок задачi (1)-(3) чи (4)-(6) треба знайти а, ß (0 <a<ß ) як розв'язок системи нерiвностей (30) (нaйбiльше значення a i найменше значення ß бу-дуть розв'язком вГдповГдно! системи) i взявши деяке е > 0 (точшсть обчислень) реaлiзувaти iтерaцiйний процес (31)—(33) до виконання нерiвностi (25). На-ближений розв'язок зaдaчi дaлi визначиться за формулою (23).
Чисельна реaлiзaцiя процесу (31)—(33) була вико-нана в мовГ PYTHON. Для обчислювальних експери-
ментiв було обрано е = 10-5, iнтегрaли у (31), (32)
-7
обчислювались з точнГстю 10 за адаптивною процедурою на основГ квадратури Гаусса з попереднiм кусково-лшшним iнтерполювaнням з тiею ж точнГстю
функцш v(k)(x), w(k)(x).
5 РЕЗУЛЬТАТИ
Результати розв'язання задач (1)-(3) i (4)-(6) для
1 1
функцп f (x,u) вигляду (29) при p = —, q = 3 i
X = ц = 1 наведено в табл. 1-4 i на рис. 1-4. Для задачГ (1)-(3) знаходимо
П 3п-4
да, =-;= , М1 = -
= 32
Я г( I
632
г' 1
М 2 =
Л г4
34 г
де г( г) - гамма-функщя.
Розв'язок системи (30) для обраних значень пара-метр1в наведено на рис. 1.
5
«а.
0
1
2
3
4
5
а
к 0 1 2 3 4
ч 0,14 -10° 0,55 -10-1 0,22 -10-1 0,91-10-2 0,37 -10-2
к 5 6 7 8 9
ч 0,15 -10-2 0,61-10-3 0,25 -10-3 0,10 -10-3 0,41-10-4
к 10 11
0,17 -10-4 0,68 -10-5
На рис. 2 наведено граф1ки верхшх м>(к)(х) (су-
цшьна лш1я) та нижшх v(k)(х) наближень (штрихована лш1я), к = 0, 1, ..., 11.
-1.0 -0.5 0.5
Рисунок 2 - Графши верхшх ^(к) (х) та нижшх v(k) (х) наближень до розв'язку задач1 (1)-(3)
У табл. 2 наведено значения наближеного розв'язку ы(11)( х) задач1 (1)-(3) на стщ, що склада-еться з вузл1в х, = -1 + 0,1, , = 0, 1, ..., 20 .
Таблиця 2 - Значення наближеного розв'язку ы(11) (х)
Рисунок 1 - Розв'язок системи (30) для задач (1)-(3)
Як бачимо з рис. 1, найб1льше значення а 1 най-менше значення р вщповвдають розв'язку вщповщно! системи р1внянь. Отже, знаходимо
а = 1,77442, р = 2,31997 .
Для досягнення точносп е = 10-5 зроблено 11 ггерацш. У табл. 1 наведено значення оцшки похибки
ек =1 тах (^(к)(х) - v(k)(х)), 2 хе[-1, 1]
де к - номер ггераци.
Таблиця 1 - Значення оцшки похибки &к для задач1 (1)-(3)
х, -1 -0,9 -0,8 -0,7 -0,6 -0,5
ы(11)( х) 0 0,19119 0,35981 0,50828 0,63706 0,74622
х, -0,4 -0,3 -0,2 -0,1 0 0,1
ы(11)( х) 0,83573 0,90547 0,95536 0,98533 0,99532 0,98533
X, 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7
ы(11)( х) 0,95536 0,90547 0,83573 0,74622 0,63706 0,50828
X 0,8 0,9 1
ы(11)( х) 0,35981 0,19119 0
Кожна ггерац1я виконувалась в середньому за 145 с, загальний час роботи програми склав 25,6 хв. Для задач (4)-(6) при к = 1 знаходимо
т1 = 0,45314, М1 = 0,54209,
т2 = 1,52557, М2 = 1,88901.
Розв'язок системи (30) для обраних значень пара-метр1в наведено на рис. 3.
5 И
4 3 2 1
0 к
<23.
0
1234
а
Рисунок 3 - Розв'язок системи (30) для задач1 (4)-(6)
т
2
х
5
Як бачимо з рис. 3, найбГльше значення a i най-менше значення ß вГдповгдають розв'язку вГдповГдно! системи рГвнянь. Отже, обираемо
а = 1,73378, ß = 2,41482.
Для досягнення точносп е = 10-5 зроблено 11 Гге-рацш. У табл. 3 наведено значення ощнки похибки
ек =1 max (w(k)(x) - v(k)(x)), 2 xe[-1, 1]
де к - номер Гтерацп.
Таблиця 3 - Значення оцГнки похибки ек для задачГ (4)-(6)
k 0 1 2 3 4
ek 0,12 -10° 0,46 -10-1 0,18 -10-1 0,72 -10-2 0,28 -10-2
k 5 6 7 8 9
ek 0,11 -10-2 0,45 -10-3 0,18 -10-3 0,70 -10-4 0,28 -10-4
k 10 11
ek 0,11 -10-4 0,43 -10-5
На рис. 4 наведено графГки верхнГх w(k)(x) (су-
цГльна лГнГя) та нижшх v(k)(x) наближень (штрихована лшя), k = 0, 1, ..., 11.
У табл. 4 наведено значення наближеного розв'язку u(11)(x) задачГ (4)-(6) на сГтцГ, що склада-еться з вузлГв xi = -1 + 0,1i, i = 0, 1, ..., 20 .
wk\x), v(k\x)
-1.0
-0.5
0.5
Рисунок 4 - Графгки верхшх w(k) (x) та нижтх v(k) (x) наближень до розв'язку задачГ (1)-(3) Таблиця 4 - Значення наближеного розв'язку u(11)( x)
xi -1 -0,9 -0,8 -0,7 -0,6 -0,5
u(11)( xi ) 0 0,14516 0,26799 0,37268 0,46105 0,53427
xi -0,4 -0,3 -0,2 -0,1 0 0,1
u(11)( xi ) 0,59319 0,63842 0,67041 0,68949 0,69583 0,68949
xi 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7
u(11)( xi ) 0,67041 0,63842 0,59319 0,53427 0,46105 0,37268
xi 0,8 0,9 1
u(11)( xi ) 0,26799 0,14516 0
Кожна ГгерацГя виконувалась в середньому за 150 с, загальний час роботи програми склав 27,7 хв.
6 ОБГОВОРЕННЯ
АналГз результатГв показуе, що метод двобГчних наближень виявляеться ефективним чисельним методом розв'язання крайових задач вигляду (1)-(3) i (4)-(6). Серед його переваг слГд зазначити зручну апосте-рГорну оцГнку похибки вигляду (24) i критерш закш-чення ГтерацГй (25) та простий у реалГзаци алгоритм. АналГзуючи табл. 1 i 3 бачимо, що для тестово! задачГ у наближеному розв'язку встановлюеться вГрний знак тсля коми приблизно за двГ-три ггераци.
ek+1
Розглядаючи вГдношення
даними табл. 1, отримаемо, що
k = 0, 1, ..., 10, за
ek ek+1 ek
: 0,407 , а за да-
ними табл. 3,
ek+1
ek
; 0,396 , що свГдчить про геомет-
ричну швидшсть збГжностГ ггерацшно! послдовносп з вГдповГдним показником. При цьому, переходячи до задачГ (4)-(6), швидшсть збГжностГ збГльшилась.
Рис. 2 i 4 наочно демонструють двобГчний характер збГжносп побудованих ГтерацГйних послщовнос-
тей {v(k )( x)} та {w(k )( x)} вГдповГдно до ланцюга не-рГвностей (21): на кожнш k -й ггераци невГдомий точ-ний розв'язок u* (x) задачГ знаходиться вище набли-ження v(k) (x) i нижче наближення w(k) (x).
ВИСНОВКИ
В роботГ розв'язана задача побудови двобГчних наближень до додатного розв'язку першо! крайово! задачГ для звичайного диференщального рГвняння другого порядку з одновимГрними оператором Лапласа i оператором Гельмгольця.
Наукова новизна отриманих результатГв полягае у тому, що отримав подальший розвиток метод двобГчних наближень розв'язання нелшшних операторних рГвнянь з гетеротонним оператором у частиш його застосування до крайових задач для звичайних дифе-ренщальних рГвнянь, при цьому для рГвнянь з оператором Гельмгольця цей метод застосовуеться вперше. Розроблений метод мае низку переваг, таких як зруч-на апостерюрна оцшка похибки наближеного розв'язку та простий обчислювальний алгоритм. Це видшяе його серед шших чисельних методГв розв'язання нелшшних крайових задач для звичайних диференщальних рГвнянь i робить привабливим для застосування у Гнженернш практищ.
Практична значимкть отриманих результатГв полягае в тому, що запропонований метод добре показ себе при розв'язанш тестових задач, дозволяе швидку програмну реалГзац1ю, що дозволить прово-дити багатошварГантш обчислювальнГ експерименти при розв'язанш практичних задач математичного мо-делювання нелГнГйних процесГв.
Обмежешсть використання методу може бути пов'язана з умовами, накладеними на поведшку функци f (х, u), що викладеш у теоремах 1 i 2, а також з проблемою побудови сильно iнварiантного конусного вiдрiзка < V0, w0 > .
Перспективами подальших дослiджень е розпо-всюдження розробленого у робот методу двобiчних наближень на крайовi задачi для рiвнянь елiптичного типу та на початково-крайовi задачi для параболiчних та гiперболiчних рiвнянь, використовуючи натвдиск-ретнi методи (наприклад, метод прямих Роте).
ПОДЯКИ
Робота виконана на кафедрi прикладно! математики Харшвського нацiонального унiверситету радю-електрошки в межах наукових дослвджень, що прово-дяться кафедрою.
Л1ТЕРАТУРА / ЛИТЕРАТУРА
1. Pao C. V. Nonlinear parabolic and elliptic equations / C. V. Pao. - New York : Plenum Press, 1992. - 794 p. DOI: 10.1007/978-1-4615-3034-3
2. Самарский А. А. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры / А. А. Самарский, А. П. Михайлов. - 2-е изд., испр. - М. : Физматлит, 2001. - 320 с.
3. Мышкис А. Д. Элементы теории математических моделей / А. Д. Мышкис. - 3-е изд., испр. - М. : КомКнига, 2007. -192 с.
4. Франк-Каменецкий Д. А. Основы макрокинетики. Диффузия и теплопередача в химической кинетике / Д. А. Франк-Каменецкий. - М. : Интеллект, 2008. - 408 с.
5. Самарский А. А. Теория разностных схем / А. А. Самарский. - 3-е изд., испр. - М. : Наука, 1989. - 616 с.
6. Chen G. Algorithms and visualization for solutions of nonlinear elliptic equations / G. Chen, J. Zhou, W.-M. Ni // International Journal of Bifurcation and Chaos in Applied Sciences and Engineering. - 2000. - Vol. 10, № 7. - P. 1565-1612. DOI: 10.1142/S0218127400001006
7. Красносельский М. А. Положительные решения операторных уравнений / М. А. Красносельский. - М. : Физматгиз, 1962. - 394 с.
8. Опойцев В. И. Нелинейные операторы в пространствах с конусом / В. И. Опойцев, Т. А. Хуродзе. - Тбилиси : Изд-во Тбилис. ун-та, 1984. - 246 с.
9. Колосов А. И. Конструктивное исследование краевых задач для нелинейных дифференциальных уравнений / А. И. Колосов, С. В. Колосова, М. В. Сидоров // Вюник Запорiзького нацюнального ушверситету. Серiя: фiзико-математичнi науки. - 2012. - № 2. - С. 50-57.
10. Двосторонш наближеш методи / [Б. А. Шувар, М. I. Копач,
C. М. Ментинський, А. Ф. Обшта]. - 1вано-Франковськ : ВДВ Ц1Т, 2007. - 515 с.
11. Зайцев В. Ф. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям / В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин. - М. : Физматлит, 2001 - 576 с.
12. Чаплыгин С. А. Новый метод приближенного интегрирования дифференциальных уравнений / С. А. Чаплыгин. - М. : Гостехиздат, 1950. - 102 с.
13. Вулих Б. З. Введение в теорию полуупорядоченных пространств / Б. З. Вулих. - М. : ГИФМЛ, 1961. - 260 с.
14. Amann H. Fixed Point Equations and Nonlinear Eigenvalue Problems in Ordered Banach Spaces / H. Amann // SIAM Review. - 1976. - Vol. 18, № 4. - P. 620-709. DOI: 10.1137/1018114
15. Колосов А. И. Нелинейные краевые задачи со свободной границей для обыкновенных дифференциальных уравнений математической физики: дис. ... доктора физ.-мат. наук : 01.01.03 / Колосов Анатолий Иванович. - Москва, 1991. -267 с.
16. Курпель Н. С. Двусторонние операторные неравенства и их применение / Н. С. Курпель, Б. А. Шувар. - К. : Наук. думка, 1980. - 268 с.
17. Zhao Z. Uniqueness of positive solutions for singular nonlinear second-order boundary-value problems / Z. Zhao // Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications. - 1994. - Vol. 23, № 6. - P. 755-765. DOI: 10.1016/0362-546X(94)90217-8.
18. O'Regan D. Singular second order boundary value problems /
D. O'Regan // Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications. - 1990. - Vol. 15, № 12. - P. 1097-1109. DOI: 10.1016/0362-546X(90)90046-J.
19. Rus M.-D. The method of monotone iterations for mixed monotone operators : Ph.D. Thesis Summary / M.-D. Rus. - Cluj-Napoca, 2010. - 45 p.
20. Вороненко М. Д. Конструктивне дослщження нелшшний крайових задач для звичайних диференщальних рiвнянь / М. Д. Вороненко, М. В. Сидоров // Радиоэлектроника и информатика. - 2018. - № 1 (80). - С. 48-54.
Received 26.09.2018.
Accepted 20.11.2018.
УДК 519.62
МЕТОД ДВУСТОРОННИХ ПРИБЛИЖЕНИЙ РЕШЕНИЯ ПЕРВОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ НА ОСНОВЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ФУНКЦИИ ГРИНА
Сидоров М. В. - канд. физ.-мат. наук, доцент, доцент кафедры прикладной математики, Харьковский национальный университет радиоэлектроники, Харьков, Украина.
АННОТАЦИЯ
Актуальность. Рассмотрены вопросы построения двустороннего итерационного процесса нахождения положительного решения первой краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка на основе использования метода функций Грина. Объектом исследования является первая краевая задача для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка. Цель работы - пользуясь методами теории нелинейных операторов у полуупорядоченных пространствах разработать метод двусторонних приближений решения поставленной задачи.
Метод. С помощью функции Грина исходная нелинейная краевая задача для обыкновенного дифференциального уравнения заменяется эквивалентным интегральным уравнением, рассматриваемом в пространстве непрерывных функций, полуупорядоченном с помощью конуса неотрицательных функций. Интегральное уравнение представляется в виде нелинейного операторного уравнения с гетеротонным оператором. Для него находится сильно инвариантный конусный отрезок, концы которого служат начальными приближениями для двух итерационных последовательностей, первая из которых, монотонно возрастая, приближает точное решение задачи снизу, а вторая, монотонно убывая, - сверху. Приведены два условия существования единственного положительного решения рассматриваемой краевой задачи и двусторонней сходимости к нему последовательных приближений. Также приведены общие рекомендации по построению сильно инвариантного конусного отрезка. Разработанный метод имеет простую вычислительную реализацию и удобную для использования на практике апостериорную оценку погрешности.
Результаты. Разработанный метод программно реализован и исследован при решении тестовых задач. Результаты вычислительного эксперимента проиллюстрированы графической и табличной информациями.
Выводы. Проведенные эксперименты подтвердили работоспособность и эффективность разработанного метода и позволяют рекомендовать его для использования на практике при решении задач математического моделирования нелинейных процессов. Перспективы дальнейших исследований могут заключаться в разработке двусторонних методов решения задач для уравнений в частных производных и нестационарных задач, используя полудискретные методы (например, метод прямых Роте).
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: нелинейная краевая задача для обыкновенного дифференциального уравнения, положительное решение, сильно инвариантный конусный отрезок, гетеротонный оператор, двусторонние приближения, функция Грина.
UDC 519.62
METHOD OF TWO-SIDED APPROXIMATIONS OF THE SOLUTION OF THE FIRST BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR NONLINEAR ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS BASED ON THE GREEN'S FUNCTION USE
Sidorov M. V. - PhD, Associate Professor, Associate Professor of the Department of Applied Mathematics of Kharkiv National University of Radio Electronics, Kharkiv, Ukraine.
ABSTRACT
Context. The questions of constructing a two-sided iterative process for finding a positive solution of the first boundary value problem for an ordinary second-order differential equation on the basis of the method of Green's functions are considered. The object of the study is the first boundary value problem for an ordinary second-order differential equation The purpose of the paper is to develop a method of two-sided approximations of the problem solution by using the methods of the nonlinear operators theory in semi-ordered spaces.
Method. With the Green's function help the original nonlinear boundary value problem for an ordinary differential equation is replaced by an equivalent integral equation, considered in the space of continuous functions, which is semi-ordered by means of the cone of nonnegative functions. The integral equation is represented as a nonlinear operator equation with a heterotone operator. For this equation a strongly invariant conic segment, the ends of which serve as initial approximations for two iterative sequences, is sought. The first of the sequences, monotonically increasing, approximates the exact solution of the problem from below, and the second one, monotonically decreasing, approximates it from above. Two conditions for the existence of a unique positive solution of the boundary value problem under consideration and two-sided convergence of successive approximations to it are given. General recommendations on the construction of a strongly invariant conic segment are also given. The developed method has a simple computational implementation and a posteriori error estimate, convenient for use in practice.
Results. The developed method was programmed and investigated in solving test problems. The results of the computational experiment are illustrated graphically and with the help of tables.
Conclusions. The conducted experiments have confirmed the efficiency and effectiveness of the developed method and allow to recommend it for use in practice for solving the problems of mathematical modeling of nonlinear processes. The prospects for further research may include the development of two-sided methods for solving problems for partial differential equations and non-stationary problems using semi-discrete methods (for example, the Rothe's method of lines).
KEYWORDS: nonlinear boundary value problem for an ordinary differential equation, positive solution, strongly invariant conical segment, heterotone operator, two-sided approximations, Green's function.
REFERENCES
1. Pao C. V. Nonlinear parabolic and elliptic equations. New York, Plenum Press, 1992, 794 p. DOI: 10.1007/978-1-46153034-3
2. Samarskij A. A., Mihajlov A. P. Matematicheskoe modeliro-vanie: Idei. Metody. Primery. 2-e izd., ispr. Moscow, Fizmatlit, 2001, 320 p.
3. Myshkis A. D. Jelementy teorii matematicheskih modelej. 3-e izd., ispr. Moscow, KomKniga, 2007, 192 p.
4. Frank-Kameneckij D. A. Osnovy makrokinetiki. Diffuzija i teploperedacha v himicheskoj kinetike. Moscow, Intellekt, 2008, 408 p.
5. Samarskij A. A. Teorija raznostnyh shem. 3-e izd., ispr. Moscow, Nauka, 1989, 616 p.
6. Chen G., Zhou J., Ni W.-M. Algorithms and visualization for solutions of nonlinear elliptic equations, International Journal of Bifurcation and Chaos in Applied Sciences and Engineering, 2000, Vol. 10, No. 7, pp. 1565-1612. DOI: 10.1142/S0218127400001006
7. Krasnosel'skij M. A. Polozhitel'nye reshenija operatornyh uravnenij. Moscow, Fiz-matgiz, 1962, 394 p.
8. Opojcev V. I., Hurodze T. A. Nelinejnye operatory v pros-transtvah s konusom. Tbilisi, Izd-vo Tbilis. un-ta, 1984, 246 p.
9. Kolosov A. I., Kolosova S. V., Sidorov M. V. Konstruktivnoe issledovanie kraevyh zadach dlja nelinejnyh differencial'nyh uravnenij, Visnik Zaporiz'kogo nacional'nogo universitetu. Serija: fiziko-matematichni nauki, 2012, No. 2, pp. 50-57.
10. Shuvar B. A., Kopach M. I., Mentins'kij S. M., Obshta A. F Dvostoronni nablizheni metodi. Ivano-Frankovs'k, VDV CIT, 2007, 515 p.
11. Zajcev V. F., Poljanin A. D. Spravochnik po obyknovennym differencial'nym uravnenijam. Moscow, Fizmatlit, 2001, 576 p.
12. Chaplygin S. A. Novyj metod priblizhennogo integrirovanija differencial'nyh uravnenij. Moscow, Gostehizdat, 1950, 102 p.
13. Vulih B. Z. Vvedenie v teoriju poluupoijadochennyh pros-transtv. Moscow, GIFML, 1961, 260 p.
14. Amann H. Fixed Point Equations and Nonlinear Eigenvalue Problems in Ordered Banach Spaces, SIAM Review, 1976, Vol. 18, No. 4, pp. 620-709. DOI: 10.1137/1018114
15. Kolosov A. I. Nelinejnye kraevye zadachi so svobodnoj granicej dlja obyknovennyh differencial'nyh urav-nenij matematicheskoj fiziki: dis. ... doktora fiz.-mat. nauk : 01.01.03 / Kolosov Ana-tolij Ivanovich. Mosow, 1991, 267 p.
16. Kurpel' N. S., Shuvar B. A. Dvustoronnie operatornye neraven-stva i ih primenenie. Kyiv, Nauk. dumka, 1980, 268 p.
17. Zhao Z. Uniqueness of positive solutions for singular nonlinear second-order boundary-value problems, Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications, 1994, Vol. 23, No. 6, pp. 755765. DOI: 10.1016/0362-546X(94)90217-8.
18. O'Regan D. Singular second order boundary value problems, Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications, 1990, Vol. 15, No. 12, pp. 1097-1109. DOI: 10.1016/0362-546X(90)90046-J.
19. Rus M.-D. The method of monotone iterations for mixed monotone operators : Ph.D. Thesis Summary. Cluj-Napoca, 2010, 45 p.
20. Voronenko M. D., Sidorov M. V. Konstruktivne doslidzhennja nelinijnij krajovih zadach dlja zvichajnih diferencial'nih rivnjan', Radiojelektronika i informatika, 2018, No. 1 (80), pp. 48-54.
