Застосування апроксимаційно-ітеративного методу до розв’язування звичайних диференціальних рівнянь, заданих неявно Текст научной статьи по специальности «Математика»

Scientific journal PHYSICAL AND MATHEMATICAL EDUCATION

Has been issued since 2013.

Науковий журнал Ф1ЗИКО-МАТЕМАТИЧНА ОСВ1ТА

Видасться з 2013.

http://fmo-journal.fizmatsspu.sumy.ua/

Василенко Я.П. Застосування апроксима^йно-теративного методу до розв'язування звичайних диферен^альних р'внянь, заданих неявно // Ф'зико-математична освта: науковий журнал. - 2016. - Випуск 2(8). - С. 35-47.

Vasylenko Y.P. Application approximal-iterative method to the solution of ordinary differential equations defined implicitly // Physics and Mathematics Education : scientific journal. - 2016. - Issue 2(8). - Р. 35-47.

УДК 519.62

Я.П.Василенко

Тернопльський на^ональний педагогчний ушверситет '¡меш Володимира Гнатюка, УкраУна

ЗАСТОСУВАННЯ АПРОКСИМАЦ1ЙНО-1ТЕРАТИВНОГО МЕТОДУ ДО РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ЗВИЧАЙНИХ ДИФЕРЕНЦ1АЛЬНИХ Р1ВНЯНЬ, ЗАДАНИХ НЕЯВНО

Постановка проблеми. В роботах [1, 2, 3] В.К. Дзядиком був запропонований i теоретично обфунтований апроксимацшночтеративний метод (А1-метод) чисельно-анал^ичного наближення розв'язшв задачi Кошi для звичайних диференщальних рiвнянь виду

У' = f(*,У\ УЫ = Уo, х е [xo.xo + h]-Досить часто в прикладних галузях виникае необхiднiсть розв'язувати задачi Кошi, в яких залежшсть похщноТ вiд розв'язку задаеться неявно. На даний час кнують чисельш методи Тх розв'язування [див., напр., 4]. У данш статтi дослщжуються особливостi застосування А1-методу для отримання наближеного аналп"ичного розв'язку задачi Кошi

F (х, y, у') = 0, (1)

У(хо) = Уo, х е[xo,хо + h] (2)

Як вщомо iз теорм звичайних диференцiальних рiвнянь [див., напр., 5], при виконанш наступних умов вiдносно функцГТ F(х,У,у') в околi точки (х0,У0,У0), де У0 — один iз коренiв рiвняння

F(xo,Уo,Уо) = 0 :

- F(х, У, у') неперервна по х i неперервно-диференцiйована по У i У ;

' 8F

- II похiдна по У —г( х, У, у) Ф 0,

8у

в достатньо малому околi точки х0 iснуе единий розв'язок у = (р(х) задачi Кошi (1), (2), для якого

Кх0) = У0 ■

Зауважимо, що вказанi умови iснування розв'язмв задачi Кошi для звичайних диференщальних рiвнянь мають локальний характер.

Мета статл. У данiй статтi пропонуеться бтьш конкретний опис областi кнування розв'язкiв задачi (1), (2) (подiбно до статтi [6] для неявних функцш) i апроксимацiйно-iтеративний алгоритм його знаходження. Наведено оцшки вiдхилень у випадках скшченоТ гладкостi функци F(х,у,у') та ТТ аналiтичностi.

Виклад основного матерiалу■

lтерацiйний процес Пiкара. Нехай функщя F володiе властивостями:

1) F(х, у, у') задана в област D = (х0,у0,у0,h,a,b) :

ISSN 2413-158X (online) ISSN 2413-1571 (print)

x0 < x < x0 + h, \y - y0\ < a, |y' - y0| < b ;

2) F(xo,Уo,y'o) = 0;

3) F(x,y,y') мае частинш похщш до порядку r > 2 включно, HenepepBHi в област D ;

dF л

4) —т Ф 0 в областi D .

ду

Вважаючи, що розв'язок задачi (1), який проходить через точку (^,у0,у0), е вщомим, продиференцiюемо тотожнiсть F(X,у(x),у'(x)) = 0 по X . В результат отримаемо

FX ( x, у( x), у ' (x)) + Fy (x, y( x), у ' (x)) у ' (x) + F'y, (x, y( x), у ' ( x)) у' ( x) = 0. Звiдси будемо мати:

,, Fx (x, y(x), у' (x)) + Fy (x, y(x), у' (x)) у' (x)

у =--;-y-.

Fy,( x y( x\ у'(x)) Шляхом iнтегрування по вiдрiзку [x0, x] (x0 < x < x0 + h) отримаемо:

, x fx (f, y(f), у' (f)) + Fy (f, y(f), у' (f)) у' (£)„ y (x) y0 1 F'„(f, y(f), y'(f)) f (3)

w x f Fx (n, y(n\ у'(лУ) + Fy (n, y(n\ у'(лУ)у'(л), , „

у( x) = у0 + y0(x - x0) -ll--, л V чч-d^df (4)

Fy, (Л, у(п\ у (лУ)

0

xx

Очевидно, що у випадку, коли у0 е фтсованим коренем рiвняння F(x0,у0,у0) = 0, то задача

Кошi (1), (2) е^валентна системi штегральних рiвнянь(3), (4). Далi для компактност викладу введемо позначення:

Р(x):= у(x) ,

\(x, y(xX P(x)) :=

Fx (x, у( x) Р( x)) + Fy (x, y(xX P(x)) P(x)

Fy,( x, y( xX Р( x))

Теорема 1. Якщо функщя F в рiвняннi (1) володiе властивостями 1)-4), то кнуе единий розв'язок у = p(x) задачi (1), (2), визначений на сегмент [x0, x0 + h ], де

h = min{ h,-M := max\\{x,у,p)\, такий Що p(x0) = y'0 . КPiм того, p G +K].

1 14 Mh M d |r y ^

у + — K°l 2

Доведення. Зпдно методу Пiкара (див. напр., [7]) послщовш наближення до розв'язку у(x) системи рiвнянь (3), (4) (а, вщповщно, i до розв'язку задачi (1), (2)) будуються за наступними ^еративними формулами:

у0(x) = Уo, Р0(x) = Уo,

x f

yv+i( x) = у 0 + y0( x - x0) уv Ш pv (v))dvdf (5)

= 0,1, 2,---

Pv+1 (x) = Р0 (x) -\(f, yv (f), pv (f))df, v = 0,1,2,

Для того щоб, перейти вщ ^ераци v +1 до ^ерацп v + 2, необхщно, щоб виконувалися нерiвностi:

|у-у<>\ < a |у'- у0| < b (6)

Нерiвностi (6) будуть виконанi, якщо поставити вимогу, щоб

x f

у0( x - x0) - 11 у v (l\ Pv (v))dvdf < a,

x0 x0

x

л

< ь

або

I Ч Мк ' , , ^ ,

\Уо |+ I < а, \х ~ Л |' М < Ь,

(7)

де М := шах|^(х, у, р)|.

Для доведення збiжностi методу Пiкара i отримання оцшки вiдхилення нам буде зручно скористатися функцieю

5 у (х) := |уу (х) - (х)| +1РУ (х) - (х)| .

К( х y, р)

Якщо покласти в = шах

Р,Х х y, р)

i позначити через А константу Лтшиця для функцГГ

К( х> у, р)

по змiнним у i р , то функцiя \у(х,у,р), буде задовольняти умову Лтшиця по тим самим

ру,( х у, р) змiнним з константою А + В, тобто

ИхУl,р1)-¥(х,у2,р2^ <(А + в)(у1 -у2 | +1А -р2|)

для довтьних у, у2 i р1, р2 iз област V .

дК

Зауважимо, що функцiя К*(х,y,р) задовольняе умову Лiпшиця в силу того, що г > 2 i —г Ф 0

К(х,у, р) ду

в областi V .

1з (5) видно, що

У (х) < (А + В) | ¡5Г + } 5У (£Щ \,

у = 1,2,— ,

5 (х) < а\х - х01 'I 1 + к I,

2

де а = С + В у° , С := шах

Далi маемо

К(х y, р)

ру,(х y, р)

5 (х) <а(А + В11 + к

(\ |3

|2Л

3!

+

2!

5 (х) <а(А + В)211 + к

V 2 (I

<а(А + В)

у

|3 Л

4!

3!

<а(А + В )2

2! + к ', # (1+213,

1 к Г" „У кУ+1 Г к 1 + -1 <а(А + В) -11 + —

У +1)! V 21 4 7 (у +1)! ( 2

5у+1(х) <а(А + В)У Оскмьки, в силу (7) ряди

да да

уо + Е Ьу+1 (х) - УУ (х)], ро + Е р+1 (х) - Ру (х)]

сходяться рiвномiрно на [х0,х0 + к] (бо мажоруються збiжними числовими рядами), то Тх суми

да

у(х) = уо + Е ^у+1 (х) - уу (х)] = ^ у у (х) ,

(8)

у=0

х

V

хп х

х

0 л0

4

г=0

г=0

p(x) = Уо + [pv+!(x) - pv(x)]= limpv(x)

e розв'язками штегральних рiвнянь (3), (4), причому неперервно-диференцшованими на [x0, x0 + —] ■ Отримане y(x) e розв'язком 3aAa4i Кошi (1), (2).

Покажемо, що знайдеш функцп y(x) i p(x) будуть единими в класах неперервно-диференцiйованих та неперервних функцш вiдповiдно. Для цього припустимо, що кнують, крiм того, ще функци y(x) i p(x), якi теж задовольняють рiвнянням (3), (4). Тодi

|У(x) - У(x)\ <(A + B)J J J |y(V) - y(v)| + |p(V) - p(v)|)dVd4 I,

I x0 x0 J

p(x) - p(x)

<

(a + в )j J | y(4) - y(4)\ +1 p(4) - p(4) d4

lx0

Нехай s — достатньо мале число, тодi отримаемо

-2

max

|x-xo| <s

y(x) - y(x) <(A + B)A--, max p(x) - p(x)\ <(A + B)-A — ,

I 2 lx-xol <s 1

де A := max

|x-x„| <s

y(x) - y(x)

+ max

|x-x„| <sl

p( x) - p( x)l

В результатi

A < A(A + B—\1

+ -

або

1 < (A + B)s(1 + , (s< h)

Але остання нерiвнiсть e неможливою, якщо взяти - <

(A + D )| 1 +

к 2

Зауважимо, що умова, з яко'| знаходиться довжина к1 вiдрiзка iснування розв'язку задачi Кошi (1), (2), слщуе iз нерiвностей (7).

1з единост функцiй у(х) i р(х) = у'(х) слiдуe, що вони перетворюють рiвняння (3), (4) в тотожност i, отже, у(х) мае похщш до (г +1) -го порядку включно, неперервнi на [х0,х0 + к]. Наслiдок. 1з (8) легко отримуеться наступна оцшка вiдхилення:

да

|у(х) - уг (х)\ +1р(х) — ру (х)\ < ^ (х) <

де q := (A + B)h1 + -

< а(A + Bj--^- (l + -Г < a(A + B)y (1 + -Г • ^, (Y +1)! \ 2J V ' (y +1)! I 2J

h

(9)

2

Апроксимацшночтеративний алгоритм. Слiдуючи роботi [2], розглянемо штерполяцшний оператор

п

<(/ = Ё / У0(О,

1—0

заданий на вiдрiзку [-1, 1], де для кожного п — 1 = < ^ <... <^п= 1 — екстремальш точки

многочлена Чебишева 1-го роду Тп (^) = С0$(&ГСС0$£), — фундаментальнi многочлени Лагранжа

по вузлах }"=0. Пересадку оператора Л° на сегмент [х0, х0 + к], що нас цтавить, будемо здшснювати за формулами

v=00

s

2

1

j=y

# = -1 + 2 (х - хо):[хо, хо + к] ^ [-1,1],

к

I= I01 + 2(х - хо)| = I(х), х е [хо,хо + к],

п п

<(/ 0;#) = Ё I °(£ Х°(#) = Ё I (х Х- (х) =: Ап (I; х).

1-0 ,-0

де хi = х0 + к +1), ¡г (х) = 10 (-1 + к (х - х0 )|. Звщси, зокрема, видно, що ||А^ = ||А°||.

Систему наближених значень у . ~ у(х .), р ■ ~ Р(Xj) для шуканих функцш у(х) i р(х) (розв'язкiв системи (3), (4)) в точках х ■ = х ■ (п) побудуемо за наступними iтеративними формулами:

уо у := У0, РО у := У0, 1 = 0 П , уу0 := Уo, руО := У0, У = 1, 2, — ,

уу = уо + Уо(ху - хо) - — Ё

к 2 ^ К ( Ъ , уу-1 ,, , ру-1 ,, ) + Ку ( х, , уу-,, , ру-1 )ру-1

4

КУ'(х1, уу-1,1, ру-1,1 )

(10)

к ж^ К (х, уу-1,1, ру-1,) + КУ(х1, уу-1,1, ру-1, К-1

п

х ' У-1,, ' Х" У-1,^ " у ^ У-1,, ' У-1,, /Х" у-1,,

--1;-а,-,

2 , = 0 Куо(х, , уу-1, , ру-1, )

де

а,у = а,у

(п) = | ¡,0(#)^, Ьу = Ьу (п) = - ау ' со8^ + {#' ¡0(#Щ

(11)

Зауважимо, що наведенi в (10) числа е значеннями наступних полiномiв (степешв п + 2 i п +1 вщповщно) в точках х . = х . (п):

уо(п;х) = Уo, ро(п; х) = y0,

х 5

Уу(п;х) = Уо + Уо(х - хо) -11 Ап (¥у-1 (п;'); * уж =

х0 х0

п х 5

= Уо + Уо(х - хо) -Ё^у-1(п;х,) Л ¡'(*У11^ , (12)

, = 0 V V

х0 х0

х п х

ру(п;х) = Уо-1 Ап Оу-1 (п;'); * № = Уо- Ё ^(п;х) / (* ^, у =^ ^ ■ ■ ■,

де для скорочення позначено

(п;х) := К х, у у(п;х), ру(п;х)).

к,

На основi (11), використовуючи замiну * = х0 +— (# +1)о # = -1 +— (* - х0), отри

маемо

2

наступш спiввiдношення:

-1 -1 ху хУ

| ¡г (*) А = / ¡01 -1 + 2 (* - хо )]А = к '/¡0 (№ = ка,у,

/ / /i (*= /(*) / ЖЖ = / (*)(х - *= //г° I -1 + 2 (* - х) |(х - *= (14)

х„ *

к

к2 _ к

/¡0Шу -= — а,у - ' ¡0(№

\ — ь

4 11

, =0

-1

1=0

х

х

о

х

х

х

хп х

х

х

0 л0

0

4

-1

х

Зауважимо, що замiсть оператора Аи можна використовувати iншi пiдходящi суматорнi оператори.

Явна формула для чисел a отримана в робот [2]. Вона мае вигляд

а- =

n

1 - Cj + ^ (1 - c2 j )+Z -yc,y

y=2

cj(y-1) cj(y+1)

Y

v v -1 v +1 v2 -1J

1 1 • 1-Г ■ кж

де so =sn =~, si = 1 i = 1 n - 1 i ck := cos-

2 n

^j

Для знаходження чисел Ъ^ обчислимо iнтеграл J4'tf(4)d4 , скориставшись спiввiдношеннями

(див. [1]),

10(4) = -

1 + 2X (-1)v cos — Tv (4) - (-1)n- Tn (4)

x 1

J Tv (4)d4 = -

Tv+1(x) Tv-1(x)

+ yn, v = 2,3,-, yn = const,

v +1 v -1 Tn(x) = 2x' Tn-1(x)-Tn-2(x), n = 2,3,-■

Отримаемо

4 S 4j

¡4' I0(4)d4 = - J

4 + 2X (-1)v cos—4Tv (4) - (-1)n-i 4Tn (4)

d4 =

-11

n I 2

cos2 ^-1 I + ]T (-1)v cos v—'J (Tv-1 (4) + Tv+1 (4))d4

-1 1 +

n J v=1

--< I —

(-1)n-i 1 "\(Tn-1(4)+Tn+1(4))d4[,

- j1 (cos2-^- 1I-cos—J(To(4) + T2(4))d4 + cos—J(T1(4) + T3(4))d4

vi zL \ n n J n *

n I 4

. 4 i —

■ 4,

2i—

■ +

+ s- \t (-1)v cos v-—'J (Tv-1 (4) + Tv+1 (4))d4 - (-1)n- 1J (Tn-1 (4) + Tn+1 (4))d4

1 2

si I 1 ( 2 j— ) i—

= — j cos —---1 |- cos —

n 41

— I 2i—

+ — < cos-

1 j—) 1( 1 3 j— j— 1

1 - cos — I + —I — cos — + cos — + — 1

n J 2 У 3

n3

- +

n I n s1 f^ (-1)v vi—

+—iZ^T" cos—

n I v=3 2 n

1( 2j— .

-I cos —---1 I +

4 У n J 2

1 ( 4 j— ) 1 ( 2 j—

-I cos —---1 |--j cos —---1

4 У n J 2 У n

+

(-1) v+2 (cos -1] - — (-1)^ (cos (v^— - 1

v + 2 У n J v - 2 У n

si I (-1)n

n 4

1

n + 2

(-1)n+2(cos(n + 2)j— 11 1 ' —

n

- ^ (cos^n-- -1

si I 1 ( 2j— ) i —

■■— cos —--1 I-cos —

2 1 j— 1 3 j— ---cos---cos-

3 2 n 6 n

1 2i—

+ — cos-

8 n

4 j— л

cos—--1

+

2

s

n

n

v=1

0

n

v=1

4

-1

v=3

-1

n

n

n

n

8

+ — I п

1 -п

— Ё 008-

2Ё п

008

(V + 21

008

(V - 2)уя

V + 2

V - 2

+

V2 - 4

4

п

п

8

--— <

(-1),

(

(-1) ^

21ж 2 1ж

008- 008-

п п

п + 2 п - 2

+ -

8, I 11 2уж I ,ж

— •{-! 008 —---1 |- 008-

п 14 V п У п

2 1 уж 13 уж ---008 --- 008-

3 2 п 6 п

п2 - 4

1 2,ж

+ — 008

8 п

41ж 1

008 —---1

п

+

8

+ — I п

1 ^ ViЖ

-Ё8v 008-

2 v=з п

(V + 2) уж (V - 2) уж

008 --008 -.

п п 4

V + 2

+

V - 2 V2 - 4

кж

1з (14) з врахуванням позначення с, := 008- знайдемо, що

Ь,1 =-к • с1 +8 I1 (с21-1)-с,

п

2 1 1

---с1 --с

3 2 1 6

31

+ 1 С2, [С41 - 1] +

+ 1 Ё^

2 у=3

С(у+2) 1 С(у-2)1 1 4 ----1----

V + 2 V - 2 V - 4

}, , = 0,п, ] = 0,п .

^сля того, як будуть обчисленi наближен значення у ., р ., V = 1, 2, •••, 1 = 0,п (див. (10)), полшоми у у (п; х), р (п; х) зпдно (12) знаходяться за формулами

Уу (п; х) = Уо + Уо (х - х0) - Ё х, , Уу-1,, , Рv-1,i )П 2, (х),

,=0 п

ру(п;х) = Уо - Ё х,, Уv-l,i, Рv-l,i)П 1,(х)

,=0

де, як неважко переконатися,

П" (х) = к 8 Г + 1)(1 - 008 - ^+ 1) I + Ё 8v (-1)V

Viж

008-

т;+1(о г^о) 2(-1)v

V + 1 V -1 V -1

П 2, (х) = к

к 8

ОП (х) -- ^ \(С 2 - 1) - 008-

2 п

п

'ио , 0 + 2"

6 2 3

+ ^^(О) -1] +

8 п

Viж

+ ^Ё8v (-1)V 008-

2 v=l п

2

7^0) 7^2(0) 4(-1)*

V + 2 V - 2 V2 - 4 1

0=-1 +7 (х - X0), 80 =8п =- , 8, = 1 , = 1, п - 1 . к 2

Оцшка вiдхилення. Випадок достатньоТ гладкостi К(х, у, у ) .

Якщо функцiя К (х, у, у') володiе властивостями 1) - 4), то е справедливою наступна теорема. Теорема 2. При наближенш розв'язку задачi Кошi (1), (2) i його похщноТ' полiномами

уу (п; х), (п; х) , побудованими за формулами (12), для вах х е [х0, х0 + к2 ], де

4

4

п

> .

п

h2 = min

h

b

1У01+iwoi - KlК

H 2

h - довжина промГжку iснування розв'язку задачi (1), (2), - норма оператора iнтерполювання,

(15)

M := max|w(х,у,p)| , мае мкце оцiнка

( h V и

|у(х) - УУ (п; х)| +1p(х) - pv (п; х)| < h2 + J(1 +1И

+ eg/ ||И° || exp<j (И + B)h

1 v

1 - q 1 - q

■ En (у )C[х0,х0 + h2] +

1 + h2 1 + 1 И0!

+

+ а(И + B)

, v+1 к h2 h 11 + -2

(v +1)!

v+1

(16)

■■ exp J(И + B )h211 + hi

де g := (И + B)h211 + -^НкЦ, а:= C + Цу'А, En (у")c[xo,xo+h2]

2

величина найкращого

наближення функцГТ у"(х) многочленами степенi не вище n в просторГ неперервних на [х0,х0 + h2] функцш, значення величин И, B, C л ж самГ, що i в теоремГ 1.

Зауваження. Вщомо [8], що для оператора ¡нтерполювання И по чебишевських вузлах

= - cos —, г = 0, n n

2

< —■ ln n +1.

ж

Доведення теореми 2. Для скорочення запиав введемо позначення

Av(n;х) := |у(х) - Уv(n;х)| +1p(х) - Pv(n;х)| , W (х) := w(x,Уv(х), pv (х)),

Для здшснення ¡терацшного процесу по формулах (12), необхщно, щоб

у(n;х) - у<>| < a |pv (n;х) - у0| <b ■ у(n;х) - у<\ < Iх - xo (\У01 ЛЦ Mh| К(n;х) - у01 < Iх - xo I ■ ||Л01M ■

Зпдно (12)

Звщси слщуе умова (15).

Оцшимо величину A(n;х) , враховуючи (13):

A v (n; х) =

х

jk (n-1(n;0; t) -yv-x(t )}d

+

x s

\\[Ип (^м(п;0; t) -Wv-1(t )}dtds

j И iwv-1 (n;) - Wv-1 (■); t) + Ип (Vv-1 (■); t) - ^ (t )d

+

+

< h

j j [Ип (wv-1 (n; ■ ) - Wv-1 ( ■ ); t) + Ип (Wv-1 ( ■ ); t) - Wv-1 (t)dtds <

f h

(1 + ■ И0 II(И + B)Av-1 (n; x) + h2 1 + hH ■ И(Л(■); x) - yV (x)|l =

a

у

х

хх

0 Л0

x

x s

( к ^п ,, ,, и

= ЧхКЛпх) + к2 1 + -2 I-Лп(уу();х) — уу(х)| <

V

2

12

( к Л

< д?Ау—2(п;х) + дхк2 1 + кН' IЛп (У1—10;х) — У1—1 (х)1 +

V

'2

+ к

( к

1 + у)-\\Лп(у1 (-);х) — у (х)|Ц < - < к2+ к-J-Ёд1—]\\лп(у](-);х) — у](х)\\^ <

к

< к2 ^+^ J.(l л:| )£дГЕп (у3) с

(17)

Для отримання останньоТ нерiвностi ми скористалися нерiвнiстю Лебега [3]. Звiдси, використовуючи (9) i той факт, що

у1(х) = ¥у—1(х), ; = 1,2 ■■■,

бачимо, що

||у3 (х) — у" (х)|| = \у}—1 (х) — \(х)|| <(Л + 5)(|у7—1 (х) — у(х)|| р]—1 (х) — р(х)||) <

< а ехр < (Л + В )к

1+-г

(л + в )к

г к

1 + 2

V

2

3!

тобто

у') (х) = у (х) + е(х)а ехр|(Л + В)к2 (1 + ||

(Л + В )к2 \ 1 + -

Кх)\ < 1.

Отже,

к

Еп (у3), < Еп (у"), +аехр \(Л + В )к2\ 1 + к-

(л + в)к2 И + к

. 2 ) 3-

^сяя пiдстановки щеТ оцiнки в (17) i з врахуванням того, що е4 —< для довтьних 4 > 0,

отримаемо

АV (п; х) < к2 + ^ - (1 Лп01|) Еп (у •)С11 +а ехр|(Л + В)к2 + ||д; £

} 1 +1 Л" II )|1—^ Еп (у ' ) с, + а ехр <(Л + В)к

3

<

1 + ^ 1-(1 + 1

1 + 2 1+1Л

Л'Л д; I

1з щеТ нерiвностi i (9) слiдуе (16). Теорема 2 доведена. Оцшка вщхилення. Аналiтичний випадок.

У випадку аналiтичностi функци Р(х,у,у') мае мiсце значно краща наближення. Вiдштовхуючись вiд деякого вiдрiзка [х0,х0 +к] i деякого г > 1, слiдуючи роботам [2, 3], побудуемо замкнену область О в комплекснiй площинi, обмежену елтсом Жуковського

г = {( Г, Г 2> Е *^ = хо + 2 + «г со* <. Г2 = Ь, - <. < Е

аг = -(г + г~1), Ьг = к(г — г-l),

К

2

2

—1

я = <

z = zx+iz2 e C :

( h Y

zi - (x0 + J )

z2 V *r у

< 1

При г = 1 множина Q вироджуеться у ввдр1зок [x0,x0 +h] ■

Зам^ь областi D теореми 1 розглянемо замкнену область D = D(x0,y0,y0,h,a,b,г): D = \(z,w.w') e C3 : z e Qr, |w -y0| < a, |w'-y0| < b|

Будемо припускати, що функщя F(z,w, w') e аналiтичною в int D i володie в D властивостями 1) - 4). Тодi для оцшки наближення розв'язку задачi Кошi (1) - (2) справедлива теорема.

Теорема 3. При перерахованих вище умовах полшоми yv (n;x) i pv (n; x) (12) наближають

розв'язок задачi (1) - (2) i його похiдну на вiдрiзку [x0,x0 +h2] (h2 знаходиться i3 умови (15), в якiй M мае той самий зм^) таким чином, що

|y(x) - yv (n;x)l+1 p( x) - pv (n;x)l <.

< 2h

1 +

1 )-i

1 + A

1

1 - qv

1 - q .....cd (r - 1)rn

■ + a

(A + B)

1 eqq

(v +1)!

(18)

де q = (ä + ß)h21 1+—- I, A - константа Лтшиця функцп

... K(x.У,P)

К( X У, P)

в областi D,

B := max

D

K( x, p)

FyXx, P)

a = C + B y0 , C := max

FX( x, P)

Fi,( x, P)

W(x У, P) :=

K( x> у, p) + F'y( x у, p)p Fixx, У, P)

Наслдок. Якщо (A + B)h211 + ^ I < ,то для Bcix x e [x0,x0 + h2]

\у (x) - iv(n;x)l+1 p( x) - Pv(n;x)l < •

< 4,8h

Л h ^ Г 2

Г h ^

v n+1

1 + hL l.l —lnn + 2 |-||w|| _ hL I +a(A + B)-1 e

1 qv+1

h

v 2 J V^ J.....cd V4cJ 4 ' (v +1)!

Де С - радiус круга аналiтичностi по z функцп w(z,w(z),w'(z)) з центром в точц xn +——, тобто

2

С = ^ (г - г 1 )■ 4 v '

Доведення теореми 3. Використовуючи позначення, введет при доведены попередньоТ теореми, маемо

Av (n; x)<

x

j [An (Mv-1 (n;-); *) - Mv-1(n; *) + Wv-(n; *) - Wv-(t

+

+

x s

j j [An (Wv-1 (n;-); *) - Wv-1(n; *) + Wv-1(n; *) - Wv-1(t))dtds

Враховуючи тепер нерiвнiсть Лебега ii теорему Бернштейна (див., наприклад, [2, 3]), отримаемо

r h I А II \ ( h

•h ^^ ^ ^ ^^ч /II .П „I , . „ч , ^ 'h

Av (n; x) < k2 1 + -2 IEn (Wv-i (n; i))

V

2

An0||+1)+ (A+B)h2 Г1+^Wv-1 (n; x) - Wv-1 (x)||C/2 <

+

a

r

x

xx

0 0

<(1 А°|| + ^

1 + К

< 2^

2 ) г -1 х

1 + }(|А01+1)'

+

4\Vv-M,х) -\-х( х)|| с < <

с г -1

1 !■(>

+ 4 +-----+ 4 ) =

1 )=

= 2К

1 + ■

К 2

К" + 1

>Съг -1

1 ] МЫ.

г ) 1 - 4

Звщси i з нерiвностi (9) слщуе справедлив^ь (18). Теорема 3 доведена.

За допомогою викладеного вище апроксимацшночтеративному алгоритму були розв'язанi наступнi приклади, точний розв'язок яких е вщомим. Приклад 1.

21 2 х

ху1(х3у'-!) - у = 0, у(2) = 0 . Шукаемо розв'язок, для якого у 1 (2) = -.

Точний розв'язок: у(х) =1' 1 1 Приклад 2.

(у')2 - у2 = 0, у(0) = 1. Шукаемо розв'язок, для якого у' (0) = -1. Точний розв'язок: у(х) = х. Приклад 3.

+ у2ъП2 х = в2*тх, у(0) = 1.

(у )2

Шукаемо розв'язок, для якого у' (0) = 1. Точний розв'язок: у( х) = еЯ1П х.

Iтерацiйний процес, побудований по формулах (10), продовжувався до тих шр, поки величини

-уу-1,| i --Ру-1./| для всiх ] = 0,п не ставали меншими за 10 11. Похибка отриманих

наближень встановлювалась шляхом порiвняння значень побудованих по формулах (12) полiномiв в 50 точках на кожному iз розглянутих вiдрiзкiв iз точними значеннями.

Результати обчислень наведенi в таблицi. Порожнi кл^инки в таблицi означають, що при великих п точшсть наближення не збтьшуеться через обмеженiсть розрядностi комп'ютера.

п

2

1

съ

1

1

Приклади 1 2 3

3 £у 1,0 2,4-10"5 7,8-10"7 0,1 1,0-10-10 1,0 2,3-10"5 5Д-10-7 0,1 4Д-10-11 1,0 2,0-10-3 1,4-10-5 0,1 2,7-10-11

8,6-10"5 5,4-10"6 3,4-10"9 8,5-10"5 3,5-10"6 1,4-10-9 6,0-10-3 8,5-10-5 4,2-10-10

4 £у 2,5-10"6 4,3-10"8 1,3-10-12 9,3-10"7 8,9-10"9 3,6-10-12 1,0-10-4 1,0-10-6 1,1-10-11

9,8-10"6 3,3-10-7 4,3-Ю"11 3,4-10"6 6,7-10"8 7,2-10-12 3,9-10-4 8,0-10-6 3,6-10-10

5 £у 1,7-10"7 1,6-10-9 1,0-10-12 1,8-10"8 8,8-Ю"11 3,6-10-12 5,3-10-6 1,3-10-8 7,3-10-12

9,0-10"7 1,6-10-8 1,0-10-12 9,3-10"8 9Д.10-10 3,6-10-12 4,5-10-5 1,3-10-7 1,0-10-11

6 £у 1Д-10-8 5,6-Ю"11 3,2-10"10 3,6-10-12 7,2-10-7 8,0-10-10 7,3-10-12

9,0-10"8 9,0-10"10 2,4-10"9 5,3-10-11 7,2-10-6 1,6-10-8 7,3-10-12

7 £у 8,2-10"10 2,4-10"12 7,3-10"12 3,6-10-12 1,0-10-8 4,5-10-11

^У 9,5-10"9 5,4-Ю"11 6,8-Ю"11 2,7-10-12 8,8-10-8 2,0-10-9

8 £у 8,6-Ю"11 1,2-10"12 7,3-10"12 6,6-10-9 7,3-10-12

^У 1Д-10-9 3,4-10"12 6,8-Ю"11 8,4-10-8 1,0-10-11

Приклади 1 2 3

9 sy 1,0 8,2-10"12 1,0-10"12 0,1 1,0 3,2-10"12 0,1 1,0 4,1-10"10 7,3-10"12 0,1

sy 1,2-10"10 1,0-10"12 2,7-10"12 5,9-10"9 1,0-10"n

10 sy 1,0-10"12 3Д-10"11 7,3-10"12

sy 1,2-10"12 5,4-10"10 7,3-10"12

v 13-15 11 7 9-10 7 5 13-16 11-12 8

Позначення:

h - довжина B^pi3Ka, на якому шукалися наближення розв'язку та його похщно';

n - стешнь наближаючих полiномiв;

v - число iтерацiй;

s - фактична точшсть наближення розв'язку;

s , — фактична точнiсть наближення похщноУ.

Як видно i3 таблицу шляхом зменшення довжини вiдрiзка h i збiльшення степенiв наближаючи полiномiв n можна досягти практично довтьно' допустимое' комп'ютерно'' точносл, що узгоджуеться iз отриманими апрiорними оцiнками. Така ж ситуащя спостерiгаeться при розв'язаннi даних прикладiв з подвiйною точнiстю.

Висновки. Таким чином, розроблений апроксимацшночтерацшний алгоритм е цiлком придатним для отримання наближених розв'язмв задач Кошi для звичайних диференщальних рiвнянь, не розв'язних вщносно похщно'. Особливою перевагою А1-методу е можливiсть побудови наближених розв'язшв в аналiтичному виглядi (у виглядi полiномiв). Можливi напрямки наступних дослщжень: застосування AI-методу до розв'язування неявних звичайних диференщальних рiвнянь вищих порядкiв та систем диференцiальних рiвнянь.

Список використаних джерел

1. Дзядык В.К. Аппроксимационно-итеративный метод приближения полиномами решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. - Киев, 1984. - 25 с. - (Препр. / АН УССР. Ин-т математики; 84.27).

2. Дзядык В.К. Аппроксимационно-итеративный метод приближения полиномами решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. // Журн. вычисл. математики и мат. физики. - 1986. - 26, № 3. - С. 357-372.

3. Дзядык В.К. Аппроксимационные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений. -Киев: Наук. думка, 1988. - 304 с.

4. Новиков Е.А., Юматова Л.А. Некоторые методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений, неразрешенных относительно производной // Докл. АН СССР. - 1987. - 295, № 4. -С. 809-812.

5. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. - М: Наука, 1970. -279 с.

6. Зубов В.И. К вопросу существования и приближенного представления неявных функций // Вестн. Ленинград. ун-та. Сер. математики, мехашки и астрономии. - 1956. - № 19, вып.4. - С. 48. - 54.

7. Трикоми Ф. Лекции по уравнениям в частных производных. - М: Изд-во иностр. лит., 1957. - 443 с.

8. Dzjadik V.K., Ivanov V.V. On some asymptotics and estimates for the uniform norms of the Lagrange interpolation polynomials corresponding to Chebyshev nodal points // Analysis Math. - 1983. - № 9. -P. 85-97.

Анотаця. Василенко Я.П. Застосування апроксимац'1йно-1теративного методу до розв'язування звичайних диферен^альних pieHHHb, заданих неявно.

В cmammi розглянуто використання апроксима^йночтеративного методу для наближення розв'язку та його поздно)' задачi Кош'> для рiвняння F(x, y, y') = 0. При звичайних щодо функци F(x, y, y') припущеннях за допомогою iтерацiйного процесу Пiкара описуеться область iснування розв'язку поставлено)'задачi. Наведенi о^нки вiдхилень отриманих за допомогою апроксимацiйно-iтеративного алгоритму наближень вд точного розв'язку та його пох'дно)' в анал>тичному випадку i у випадку сюнчено)' гладкост '1 функци F(x, y, y').

Ключов! слова: задача Кошi для звичайних диферен^альних рiвнянь, нерозв'язних Ыдносно noxidHoi, апроксима^йночтеративний метод, iтерацiйний процес Пiкара, пол'шом'альне наближення, величина найкращого наближення.

Аннотация. Василенко Я.П. Применение аппроксимационно-итеративного метода к решению обыкновенных дифференциальных уравнений, заданных неявно.

В статье рассмотрено использование аппроксимационно-итеративного метода для приближения решения и его производной задачи Коши для уравнения F (x, y, y ') = 0. При обычных относительно функции F (x, y, y') предположениях с помощью итерационного процесса Пикара описывается область существования решения поставленной задачи. Приведены оценки отклонений полученных с помощью аппроксимационно-итеративного алгоритма приближений от точного решения и его производной в аналитическом случае и в случае конечной гладкости функции F (x, y, y ').

Ключевые слова: задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений, неразрешенных относительно производной, аппроксимационно-итеративный метод, итерационный процесс Пикара, полиномиальное приближение, величина наилучшего приближения.

Abstract. Vasylenko Y.P. Application approximal-iterative method to the solution of ordinary differential equations defined implicitly.

The article examines the use approximal-iterative method to approximate the solution and its derivative of the Cauchy problem for the equation F(x, y, y') = 0. Under normal on the function F(x, y, y') assumptions through an iterative process by Picard described region of existence of the solution of the problem. The estimates deviations obtained by approximation-iterative algorithm for the approximation of the exact solution and its derivative in the analytic case and in the case of finite smoothness functions F(x, y, y') presented herein.

Keywords: Cauchy problem for ordinary differential equation unsolved relative to derivative approximal-iterative method, iterative process Picard, polynomial approximation, the value of the best approximation.