Про алгоритмічний підхід до розв’язання рівнянь та нерівностей (з однією змінною) другого степеня з параметром Текст научной статьи по специальности «Математика»

Scientific journal PHYSICAL AND MATHEMATICAL EDUCATION

Has been issued since 2013.

Науковий журнал Ф1ЗИКО-МАТЕМАТИЧНА ОСВ1ТА

Видасться з 2013.

http://fmo-journal.fizmatsspu.sumy.ua/

Бесед'н Б.Б., Кадубовський О.А. Про алгоритм'!чний nidxid до розв'язання р'юнянь та нер'юностей (з одшею зм'нною) другого степеня з параметром. Ф'зико-математична осв'та. 2018. Випуск 2(16). С. 18-22.

Besedin B., Kadubovskyi O. On The Algorithmic Approach To Solving Of The Second-Degree Equations And Inequalities (With One Variable) With The Parameter. Physical and Mathematical Education. 2018. Issue 2(16). Р. 18-22.

УДК 37.016:512.13

Б.Б. Беседш1, О.А. Кадубовський2

ДВНЗ «Донбаський державний педагогiчний ун'юерситет», Украна

1besedin_boris@ukr.net,2kadubovs@ukr.net DOI 10.31110/2413-1571-2018-016-2-003

ПРО АЛГОРИТМ1ЧНИЙ П1ДХ1Д ДО РОЗВ'ЯЗАННЯ Р1ВНЯНЬ ТА НЕР1ВНОСТЕЙ (З ОДН16Ю ЗМ1ННОЮ) ДРУГОГО степеня з параметром

Анотаця. Помилково було б вважати, що важлив'сть задач з параметром обумовлена лише Ыдготовкою учшв до усЫшного проходження державноi Ыдсумковоi атестацП (у класах з поглибленим вивченням математики) i зовшшнього незалежного о^нювання i тому доцльно починати вчитись розв'язувати задач'1 з параметром безпосередньо на завершальному етапi до ix п/'дготовки. Але ж загально визнано, що саме задачi з параметром е досить потужним засобом систематизацП знань учн'ю, актив/'зацп ix Ызнавальноi активност'1. Вони сприяють т'двищенню рiвня математичноi культури учнiв. Саме тому задачi з параметрами е важливою складовою шкльного курсу математики поглибленого рiвня. 1м присвячеш окремi пункти Ыдручник'ю, значна юльтсть задачного матер'юлу.

При розв'язуванш нав'ть цлих рацюнальних р'юнянь та нер'юностей (вiдносно незалежно)' зм'шноi x) з параметром a, не дивлячись на поради-застереження щодо «необх'дностi врахування област'1 допустимих значень параметра a », досить поширеними помилками серед учн'ю та майбутшх вчител'ю математики е: «сприймання» вираз'ю, що виступають «коефiцiентами» многочлену стандартного вигляду (у лiвiй частиш рiвняння /нерiвностi) як незалежниходна вiд iншоi «величин-параметр'ю» та в'дсутшсть анал'!зу на предмет област'1 ¡'хвизначення.

В статт'1 висвтлюеться авторський досвiд застосування алгоритм'чного п'дходу Ыд час навчання методам розв'язання р'юнянь та нер'юностей (з одшею зм'шною) другого степеня з параметром. В терм'шах, що не виходять за меж'1 програмного зм'стового модуля «Множини та операцИ над ними» для учнiв 8 класу з поглибленим вивченням математики, в статт'1 запропоновано двi граф-схеми та два алгоритми до розв'язання р'юнянь та нер'юностей другого степеня з параметром.

Маемо над'ю, що наведен в роботi алгоритми не призведуть до «формал'зму» Ыд час розв'язування р'юнянь та нер'юностей другого степеня з параметром, а навпаки - доповнять граф-схеми добре в'домих в'дпов'дних алгоритм'ю супров'дним типом задач та забезпечуватимуть дотримання належного рiвня математичноiстрогост'1.

Ключов! слова: рiвняння та нерiвностi другого степеня з параметром, алгоритми розв'язання.

Постановка проблеми. Формування вмЫь та навичок розв'язання задач з параметром передбачаеться програмою курсу алгебри для клаав з поглибленим вивченням математики [1], [2]. Учн Ыших клаав, в кращому випадку, знайомляться

з такими задачами у випускному клас з метою пщготовки до незалежного оцЫювання. Таким чином, залишаеться нереалiзованим той мщний потен^ал для формування i розвитку лопчного мислення i математично! культури учыв, що м^ять задачi з параметром. Включення '¡х в систему задач, запропоновану авторами пщручнимв, на етат узагальнення та систематизацп знань дае вчителю можливкть пщняти математичну пщготовку учыв на ямсно вищий рiвень. Учы, ям вмють розв'язувати задачi з параметрами, пщ час розв'язання Ыших задач мислять не формально, за шаблоном, а намагаються виявити лопчы зв'язки мiж структурними елементами задачi i, тому, справляються з нею устшно.

Серед шших задач з параметрами одне з найважливших мкць посщають квадраты рiвняння i нерiвностi. Це обумовлено застосуванням пщ час розв'язування iррацiональних, тригонометричних, показникових та логарифмiчних рiвнянь, нерiвностей i ¡х систем методу замЫи змЫно' i переходу до квадратних рiвнянь та нерiвностей. Тому вмЫня та навички розв'язання i дослщження квадратних рiвнянь та нерiвностей важко переоцшити. Одним iз шляхiв вдосконалення згаданих навичок е застосування алгоритмiчного пщходу до розв'язання таких задач.

Аналiз актуальних дослщжень. Особливостям розв'язання задач з параметрами, розгляду методiв та прийомiв, ям можуть бути застосован при цьому, присвячена велика кшькоъ публтацм. В бтьшосп робгт математишв та методиспв [3], [57], в шкiльних пщручниках [1, 2] методи розв'язування вправ з параметром розподтяються на графiчнi та аналгтичнк

ISSN 2413-158X (online) ISSN 2413-1571 (print)

Автори статп вважають доцтьним та можливим залучення задач з параметром до формування i розвинення алгорип^чно''' культури учнiв. Представлена стаття е логiчним продовженням роботи авторiв [3], присвячено!' застосуванню алгоритмiчного пiдходу пщ час навчання методам розв'язання лшмних рiвнянь та нерiвностей з параметром. Проте вщразу мусимо наголосити, що алгоритми не е самоцiллю та не повинн стати зазубреним керiвництвом до розв'язання рiвнянь та нерiвностей з параметром. Навпаки, вони повинн бути результатом переосмислення вiдповiдних граф-схем та покликан наштовхнути на розумЫня необхiдностi виконання вiдповiдних крокiв, пов'язаних зi знаходженням необхiдних значень параметра.

З огляду на це метою статп е розробка алгорил^в розв'язання рiвнянь та нерiвностей другого степеня з параметром iз застосуванням понять та символiв теорГ'' множин.

Для досягнення зазначено! мети було використано там методи дослiдження як: узагальнення та систематизащя задачного матерiалу; застосування аналогш в дослiдженнях лiнiйних та квадратних рiвнянь i нерiвностей з параметром; порiвняльний аналiз розв'язання квадратних рiвнянь та квадратних нерiвностей. Виклад основного матерiалу.

Означення 1. ([6], [7]) Нехай /(а), g(а) i к(а) - аналiтично заданi функцп параметра а , х - змшна. Тодi

рiвнянням другого степеня iз параметром будемо називати рiвняння виду

к (а)-х2 + /(а)-х + g (а) = 0 , (1)

нерiвнiстю другого степеня iз параметром - нерiвнiсть виду

к (а)-х2 + / (а)-х + g (а)* 0 , (2)

де * - один iз чотирьох зна^в порiвняння: > , > , < , < .

Зауваження 1. Наведене означення, на вщмшу в^д класичного, передбачае можлив^ь умови к(а) = 0 .

Пщ час роботи з рiвняннями виду (1) та нерiвностями (2) учням доцтьно запропонувати наступнi граф-схеми алгорип^в !х розв'язання:

У-х2-Н -х + А = 0

V = 0

И-х + А = 0

С □

□ = 0 С* 0

1 1

0 - х = -А х _ А

и и

А = 0 А* 0

х е Я 0

V* 0

Рис. 1. Граф-схема алгоритму розв'язання р 'вняння 2-го степеня з параметром

V-х2 +Щх + А> 0

I

V = 0 V> 0 V< 0

Щ-х > -А р =Щ -4-V-А р =Щ -4 - V-А

□ с □ □ □ С

Щ= 0 Щ> 0 Щ< 0 Б < 0 Б = 0 Б > 0 Б < 0 Б = 0 Б > 0

0 - х > -А

х > -

-А

□

А < 0 А > 0

0 х е Я

х < -

-А

х е Я

Р = "

2-V

-щ-Тб

2-V 0

-Щ+лр

2-V

0

_ -Ш-л/р ~ 2-V

' 2-V

еЯ \ { р}

е Я \ [т; и]

е (и; т)

Рис. 2. Граф-схема алгоритму розв'язання (строгоТ) нерiвностi 2-го степеня з параметром

т

Очевидно, що для рiвняння (1) та нерiвностi (2) областю допустимих значень (ОДЗ) змшно'' х е вся числова вiсь, тобто х е(-да; . Проте, осктьки (за визначенням) / = / (а), § = § (а) i к = к (а), тобто / , § i к е функциями в^д

параметра (змiнного) а, то в загальному випадку, та навгть для лЫшних рiвнянь i нерiвностей, необхiдно розглядати область допустимих значень параметра а [3].

Означення 2. Областю В/(г А(а) допустимих значень параметра а рiвняння (1) (нерiвностi (2)) будемо називати

перетин областей визначення В7 (а), (а) i Вк (а) функцiй /(а), §(а) та к(а) вщповщно, тобто

Д «) = И П Ч И П А И ■

Зауваження 2. ([3]) Якщо ввести позначення для множин А = {а | /(а) = 0} , В = {а | /(а) <0}, С = {а | /(а) > 0} i В = {а | /(а) некнуе} , то доповнення А множини А до «прямо' параметра» (як «уыверсально' множини») становить

- Г /(«) = 0

А = В и С и В .Тому значения параметра а , яни е розв'язками системи { доцтьно штерпретувати, як елементи

множини В(а)П{а|/(а) = 0} \ {а|§(а) = 0} .

Заради зручностi та подальшого використання введемо (iнтуíтивно зрозумiлi) позначення для наступних множин:

Д/г(а)=£)/(а)ПОг(й), А> = П\В/г>1{а) , В{а) = /2 (а) - 4 • 8(а) ■ к{а);

В = {а | / (а)< 0}, ^ = {а | / (а) = 0}, В+={а | / (а)> 0};

0-={а | § (а)< 0} , = {а | § (а) = 0}, 0+={а | § (а) > 0} ;

Н- = {а | к(а) < 0}, Н0 ={а | к (а) = 0} , Н+={а

I § (а) > 0};

В ={а | В(а) < 0}, В ={а I В(а) = 0}, В+ ={а I В(а) > 0} .

Алгоритм 1. До розв'язання рiвняння 2-го степеня з параметром

к (а )• х2 + / (а )• х + § (а ) = 0 . (3)

Га е В/ (а)

1) Нехай к (а) = 0 . Тодi при всiх а, що задовольняють умови •! ' рiвняння (3) набувае вид

[к (а ) = 0,

/ (а )• х = -§ (а) , (4)

яке слщ розглядати як лшшне рiвняння з параметром.

З урахуванням Алгоритму 1 до розв'язання рiвняння /(а)• х = §(а), викладеного в [3], для (розв'язання рiвняння (4)) формулювання вщповщ (у випадку к(а) = 0 ), введемо наступи множини:

42 = (в»Пя0Пв0)\о0, 4з=#0П^0ГЮ0.

| а е В, к (а)

2) Нехай тепер к(а0 . Тодi при всiх а, що задовольняють умови ■! ' ' рiвняння (3) можна

^ ; [к (а0,

розв'язувати за допомогою дискримiнанта В (а ) = /2 (а)-4 • к (а )• § (а) з урахуванням вщповщних, добре знайомих пщвипад^в, властивих квадратним рiвнянням: В(а) < 0 , В(а) = 0 i В(а) > 0 . Для зручност введемо наступи позначення:

-4 -(в^ИПв )\я0, , -4,-(в/,/1(«)Пв+)\я0.

2.1) Якщо а е А21, то дане рiвняння немае (дшсних) кореыв.

/ («)

2.2) Якщо a е А22, то дане рiвняння мае два рiвних (дiйсних) KopeHi x = x2 = -

2 • к (a

„ -f (a)- JВ (a) -f (a ) + Jd (a) 2.3) Якщо a е A23, то дане рiвняння мае два pi3Hi (дiйснi) корен x =- —" , x =- —"

2 • к (a) 2 • к (a)

Вщповщь: якщо a е А , то рiвняння немае сенсу;

якщо а е Ап U Ai' то Дане Р'вняння немае (дмсних) корен1в;

л ■ « g(а)

якщо a е Ап , то р1вняння мае единий кор1нь x =--;

f (a)

якщо a е А2, то дане рiвняння мае два рiвних кореы x = x

f (a

2 • к (a

, ■ ...... -f (a) + у1Щ

якщо a e A,,, то дане ртняння мае два рвних (Д1исних) корент х,. =-s-

23 1,2 2 • к (a)

якщо a е Аз, то x е R .

Зауваження 2. Якщо одна iз зазначених вище множин Д. е порожньою множиною ( 0 ), то вщповщну складову у вщпов^ писати не потрiбно.

Алгоритм 2. До розв'язання «нестрого!» нерiвностi 2-го степеня з параметром

к (а )• х2 + / (а )• х + м (а )> 0 . (5)

|а е П, (а)

1) Нехай к (а) = 0 . Тодi при вах а, що задовольняють умови Г ' нерiвнiсть (5) набувае вид

|к (а ) = О,

/ (а )• х >-м (а) ,

(6)

яку слщ розглядати як нестрогу лiнiину нерiвнiсть з параметром.

З урахуванням Алгоритму 3 до розв'язання нерiвностi /(а)• х > g(а), викладеного в [3], для (розв'язання

нерiвностi (6)) формулювання вiдповiдi (у випадку к(а) = 0 ) введемо наступи множини:

Д2 ; А13 = Н0 П (С+ и О0) , Д4=#0П^0ПО_.

ГаеП, (а)

2) Нехай тепер к(а)> 0 . Тодi при вах а, що задовольняють умови •! ' нерiвнiсть (5) можна

|к (а )> 0,

розв'язувати за допомогою дискримiнанта П (а ) = /2 (а)-4 • к (а )• g (а) з урахуванням вщповщних, добре знайомих пщвипадюв, властивих нерiвностям 2-го степеня: П(а) < 0 , П(а) = 0 i П(а) > 0 . Для зручност введемо наступи позначення:

2.1) Якщо а е Д1, то х е (-ж; +ж) .

2.2) Якщо а е Д2, то х е (-ж; +ж) .

2.3) Якщо а е Д3, то вщповщне рiвняння к (а )• х2 + / (а)-х + g (а ) = 0 мае два рiзних (дiйсних) корен

_- / ( а )-П (а ) _- / (а ) + П ( а )

2 • к (а

х2

2 • к (а

(причому х1 < х2), а розв'язками нерiвностi (5) будуть

-/ (а)-П (а) ' 2•к(а)

2-к(а) '

Га е П, (а)

3) Нехай тепер к (а )< 0 . Тодi при вах а, що задовольняють умови •! ' нерiвнiсть (5) можна

|к (а )< 0,

розв'язувати за аналопею iз випадком к(а) > 0 . Для зручност введемо наступи позначення:

41 =£>/г(а)ГШ_П£>_, 4^Д/г(а)ПЯ_ПО0, Д3 = е (а) П Н_ П £>+ . 3.1) Якщо а е Д1, то дана нерiвнiсть немае розв'язкiв.

/ (а)

3.2) Якщо а е Л31, то дана нерiвнiсть мае единий розв'язок

2 • к (а)

3.3) Якщо а е Д3, то вщповщне рiвняння к (а )• х2 + / («)• х + g (а ) = 0 мае два рiзних (дiйсних) корен

"-/( а )+ П ( а ) -/( а )-П ( а )"

-/ (а )-П (а ) -/ (а ) + П (а ), , ,

х =--, х =-(х > х2), а розв'язками (5) будуть х е

2•к(а) 2•к(а)

Вiдповiдь: якщо а е Д , то нерiвнiсть не мае сенсу;

2•к(а) 2•к(а)

якщо а е Д , то розв'язками дано! нерiвностi е х е

; +ж I;

якщо а е Л2, то розв'язками дано! нерiвностi е х е| -ж;-

£(а) / (а)

якщо а е Д3, то розв'язками дано! нерiвностi е

якщо а е Дг, то дана нерiвнiсть мае единий розв'язок х = -

якщо а е Д3, то розв'язками дано! нерiвностi е х е

2-/;(я) '

/И.

якщо а е Д3 1М21 Ы Д2 >то л'е ;

якщо а е Аи и*431, то дана нер1вн1сть немае розв'язюв;

-/ (а)- П (а)" ' 2 • /г(а)

/ (а) .

2 • к (а) ;

'-/(а)+ П(а) -/(а)-П(а)" 2•к(а) 2•к(а)

Висновки. Вважаемо, що запропонований матерiал може використовуватися не ттьки на уроках математики, а i вчителями Ыформатики з метою формування в учыв навичок побудови алгоритмiв та !х реалiзацi!. Навiть поверхневе

х е I —ж

ознайомлення з поабником [5] дозволяе припустити, що досить цтавими та цтком досяжними можуть бути подальшм розвiдки щодо перенесення запропонованого тдходу до виокремлення та розв'язування «найбтьш типових» дробово-рацiональних нерiвностей з параметром, що мiстять iррацiональнi, логарифмiчнi або показниковi вирази, за допомогою узагальненого методу iнтервалiв [4].

Список використаних джерел

1. Мерзляк А. Г., Полонський В. Б., Я^р М. С. Алгебра для загальноосвт-лх навчальних закладiв з поглибленим вивченням математики : тдручник для 8 кл. загальноосвт-лх навчальних закладiв. Харкiв : Гiмназiя, 2016. 384 с.

2. Мерзляк А. Г., Полонський В. Б., Я^р М. С. Алгебра для загальноосвiтнix навчальних закладiв з поглибленим вивченням математики : тдручник для 9 кл. загальноосвт-лх навчальних закладiв. Хар^в : Гiмназiя, 2017. 416 с.

3. БеседЫ Б. Б., Кадубовський О. А., Фролов К. П. Про алгорт^чний тдхщ до розв'язування лшмних рiвнянь та нерiвностей (з одыею змiнною) з параметром. Збiрник наукових праць фiзико-математичного факультету ДДПУ. 2018. № 8. С. 122-133.

4. Голубев В. И., Тарасов В. И. Эффективные пути решения неравенств : пособие по математике для учителей средней школы и абитуриентов. Львов : Квантор, 1991. 94 с.

5. Голубев В. И. Решение сложных и нестандартных задач по математике. Москва : ИЛЕКСА, 2007. 252 с.

6. Прус А. В., Швець В. О. Задачi з параметрами в шктьному кура математики основно!' школи. Частина 1. Харюв : Основа, 2016. 107 с.

7. Прус А. В., Швець В. О. Задачi з параметрами в шктьному кура математики основно! школи. Частина 2. Харюв : Основа, 2016. 137 с.

References

1. Merzliak A. H., Polonskyi V. B., Yakir M. S. Alhebra dlia zahalnoosvitnikh navchalnykh zakladiv z pohlyblenym vyvchenniam matematyky : pidruchnyk dlia 8 kl. zahalnoosvitnikh navchalnykh zakladiv. Kharkiv : Himnaziia, 2016. 384 s. (in Ukrainian)

2. Merzliak A. H., Polonskyi V. B., Yakir M. S. Alhebra dlia zahalnoosvitnikh navchalnykh zakladiv z pohlyblenym vyvchenniam matematyky : pidruchnyk dlia 9 kl. zahalnoosvitnikh navchalnykh zakladiv. Kharkiv : Himnaziia, 2017.416 s. (in Ukrainian)

3. Besedin B. B., Kadubovskyi O. A., Frolov K. P. On the algorithmic approach to solving linear equations and inequalities (with one variable) with a parameter. Zbirnik naukovih prac' fiziko-matematicnogo fakul'tetu DDPU. 2018. № 8. P. 122-133. (in Ukrainian)

4. Golubev V. I., Tarasov V. I. Jeffektivnye puti reshenija neravenstv : posobie po matematike dlja uchitelej srednej shkoly i abiturientov. L'vov : Kvantor, 1991. 94 s. (in Russian)

5. Golubev V. I. Reshenie slozhnyh i nestandartnyh zadach po matematike. Moskva : ILEKSA, 2007. 252 s. (in Russian)

6. Prus A. V., Shvets V. O. Zadachi z parametramy v shkilnomu kursi matematyky osnovnoi shkoly. Chastyna 1. Kharkiv : Osnova, 2016. 107 s. (in Ukrainian)

7. Prus A. V., Shvets V. O. Zadachi z parametramy v shkilnomu kursi matematyky osnovnoi shkoly. Chastyna 2. Kharkiv : Osnova, 2016. 137 s. (in Ukrainian)

ON THE ALGORITHMIC APPROACH TO SOLVING OF THE SECOND-DEGREE EQUATIONS AND INEQUALITIES

(WITH ONE VARIABLE) WITH THE PARAMETER Boris Besedin, Oleksandr Kadubovskyi

State Higher Educational Institution «Donbas state pedagogical university», Slovyansk, Ukraine.

Abstract. It is a mistake to assume that the importance of a sum with a parameter is determined just by the preparation of schoolchildren for the successful passing of final certification (in classes with intensive study of mathematics) and external testing; therefore it is reasonable to begin learning of solving sums with a parameter directly in the final stage of their preparation. But it is generally recognized that sums with a parameter is rather a powerful tool for systematization of knowledge of schoolchildren and activization of their cognitive activity. They contribute to promote the level of mathematical culture of schoolchildren. That is why tasks with parameters are the important part of the advanced school math course. Separate items of textbooks, a significant amount of the didactic material are devoted to them.

When solving even of entire rational equations and inequalities (relatively to a independent variable x) with the parameter a, despite the advice and warnings about the "need of incorporatation of permissible area of values a ", quite a common mistakes among schoolchildren and future teachers of mathematics is a "perception" of expressions which are "coefficients" of a standard polynomial form (in the left side of the equation / inequality) as independent from each other "values-parameters" and the lack of analysis on the subject area of their definition.

The article covers the author's experience in applying of the algorithmic approach during learning of methods for solving equations and inequalities of the second degree with the parameter. In terms which are beyond the scope of the program content module "Sets and operations on them" for the schoolchildren of the 8th form with advanced study of mathematics; two graph schemes and two algorithms for the solution of equations and inequalities of the second degree with the parameter are proposed.

We hope that the algorithms given in the work will not lead to "formalism" when solving the equations and inequalities of the second degree with the parameter, on the contrary, the algorithms will broaden graph schemes of well-known corresponding algorithms with the accompanying type of tasks and will ensure the required level of mathematical rigor.

Key words: equations and inequalities of the second degree with the parameter, solution algorithm.