CC BY
12
Scientific journal ISSN 2413-158X (online)
PHYSICAL AND MATHEMATICAL EDUCATION ISSN 2413 1571 (Print)
Has been issued since 2013.
Науковий журнал
Ф1ЗИКО-МАТЕМАТИЧНА ОСВ1ТА
Видасться з 2013.
http://fmo-journal.fizmatsspu.sumy.ua/
Страх О.П., Лукашова Т.Д. Мiждисциплiнарнi зв'язки при eue4eHHi деяких тем дискретноÏ математики та диферен^альнихр'внянь. Ф'!зико-математична осв'та. 2021. Випуск 3(29). С. 112-118.
Strakh O., Lukashova T. Interdisciplinary connections in the study of some topics of discrete mathematics and differential equations. Physical and Mathematical Education. 2021. Issue 3(29). Р. 112-118.
DOI 10.31110/2413-1571-2021-029-3-017 УДК [519.1+517.9](378)
О.П. Страх
Сумський державний педагогiчний ушверситет iменi А.С. Макаренка, Украша
strah_o@ukr.net ORCID: 0000-0002-7680-5716 Т.Д. Лукашова
Сумський державний педагогiчний ушверситет iменi А.С. Макаренка, Укра'ша
tanya.lukashova2015@gmail.com ORCID: 0000-0002-1465-9530
М1ЖДИСЦИПЛ1НАРН1 ЗВ'ЯЗКИ ПРИ ВИВЧЕНН1 ДЕЯКИХ ТЕМ ДИСКРЕТНО1 МАТЕМАТИКИ ТА ДИФЕРЕНЦ1АЛЬНИХ Р1ВНЯНЬ
АНОТАЦ1Я
Найважлив!шим завданням подготовки майбутнiх фахiвцiв у галузi математики е розширення й поглиблення математичних знань з метою ¡х комплексного застосування на практицв майбутнiй науковiй та професiйнiй д'яльност'!. Одним з/' шляхiв реалiзацi'¡'такого завдання е використання м'ждисципл'шарних зв'язшв, якi передбачають перенесення метод'в досл'дження i моделей з одне науково¡' дисциплiни в ншу.
Формулювання проблеми. У данй статт'1 розглядаеться можливсть реалiзацi'¡' м'ждисципл'шарних зв'язшв дискретно¡' математики та диферен^альних рiвнянь на прикладi вивчення тем «Лiнiйнi рекурентнi сп'юв'дношення зi сталими коеф'щ'ентами» та «Лiнiйнi диференцiальнi рвняння зi сталими коеф'щ'ентами».
Матер/'али / методи. Авторами використовувались наступнi методи досл'джень: системний анал'в науково'(, навчально'( та методично¡' лтератури; порвняння та синтез теоретичних положень, розкритих в науковiй та навчальнiй л'тератур'!; узагальнення власного педагогЫного досв'ду та досв'ду колег з iнших закладв вищо'( освти. Окр'т того, були використанi деяш загально математичт та спецiальнi методи теорй диферен^альних рiвнянь, дискретно¡' математики та р 'зницевого числення.
Результати. Одним з'! способiв розв'язування лiнiйних однор'дних рекурентних сп'вв'дношень зi сталими коеф'щ'ентами е складання характеристичного рвняння i запис загального розв'язку вих'дного сп'вв'дношення залежно в'д значень знайдених характеристичних коренв. Аналог'чний алгоритм використовуеться й для знаходження загального розв'язку лiнiйних однор 'дних диферен^альних рiвнянь з '! сталими коеф'щ'ентами. У статт '1 встановлено зв'язок мж розв'язками рекурентних сп'юв'дношень та диферен^альних рiвнянь, якi в'дпов'дають одному р'вницевому рiвнянню.
Висновки. Встановлення зв'язшв мж моделями i методами досл'дження, якi використовуються при вивченн рiзних математичних дисциплiн, що входять у програму пдготовки майбутн'х фах'юц'ю-математишв, дозволяе сформувати у студент 'в цiлiсне уявлення про математичн об'екти, алгоритми /' теорИ, /' як насл'док, робить ¡х знання системними /' практично б'1льш значущими. Це сприяе /'нтелектуальному розвитку студентв, формуванню в них системних математичних знань, пдвищенню рiвня математично'( грамотност '! та нтересу до предмету.
КЛЮЧОВ1 СЛОВА: м1ждисципл1нарн1 зв'язки, дискретна математика, диференц1альн1 р1вняння, рекурентн1 сп'1вв'дношення, р 'зницеве числення.
ВСТУП
Постановка проблеми. У наш час одним iз завдань вищо''' освiти е формування у студенпв вмшня виршувати склады завдання iз використанням системного тдходу. Дiевим засобом реалiзацií такого завдання е використання мiждисциплiнарних (або мiжпредметних) зв'язшв, як передбачають перенесення методiв дослщження i моделей з одые'|' науково''' дисциплши в шшу (Батечко&Титаренко, 2016). Таю зв'язки мiж рiзними дисциплшами професшно''' тдготовки студенпв у ЗВО е конкретним виразом штеграцмних процеав, що вщбуваються сьогодн в науц та сустльствГ Вони
© О.П. Страх, Т.Д. Лукашова, 2021.
сприяють розв'язанню iснуючих суперечностей /^ж розрiзненими знаннями студентiв з рiзних дисциплiн та необхiднiстю IX подальшого синтезу та комплексного застосування на практик, в майбутнiй науковiй та професшый дiяльностi. За допомогою мiждисциплiнарних зв'язкiв не лише вирiшуються завдання навчання, розвитку i виховання студенев, але й закладаеться фундамент для комплексного бачення й оволодшня прийомами виршення складних проблем реально! дшсносп (Козлов& Томашевська & Кузнецов, 2018).
Слщ зазначити, що встановлення мiждисциплiнарних зв'язкiв е досить складною задачею навпъ у межах однiеí спещальносп, оскiльки передбачае не лише перегляд змкту програм вiдповiдних навчальних дисциплш, а й узгодження методики роботи рiзних викладачiв. При цьому необхщысть встановлення зв'язкiв мiж рiзними математичними дисциплшами у вищiй школi диктуеться як дидактичними цiлями навчання, так i необхiднiстю пiдготувати студентiв до професшно( та науково! дiяльностi, де одним з умшь е здатысть вирiшувати завдання комплексно.
У данш статтi розглядаеться можливiсть реалiзацií мiждисциплiнарних зв'язкiв дискретно! математики та теорп диференцiальних рiвнянь, що входять у цикл профеайно' пiдготовки майбутнiх вчт^в математики.
Аналiз актуальних дослiджень. Проблемi реалiзацií мiждисциплiнарних зв'язкiв у вищш школi присвячена цiла низка як втизняних, так i закордонних робп- (Ананченко&Воронiна&Скороходова, 2020; Бевз, 2003; Вась^вська, 2017; Волобуева, 2015; Козлов& Томашевська&Кузнецов, 2018; Колот, 2014; Коржова 2017; ФЫпенко, 2017; Шкура, 2020; Styron Ronald, 2013), що пiдтверджуе актуальысть та значущiсть означено! проблеми в системi освiти.
Незважаючи на значну кшьшсть подiбних дослiджень, проблема реалiзацií мiжпредметних зв'язкiв мiж рiзними математичними дисциплшами фактично залишаеться не вивченою, за виключенням перенесення окремих методiв i моделей з математичного аналiзу у методи обчислень, з лЫжно!' алгебри у математичне програмування, з теорiеí ймовiрностей у математичну статистику. В той же час там зв'язки можна встановити мiж змктом окремих тем цтого ряду шших, на перший погляд, далеких одна вщ одноí дисциплiн, зокрема, мiж дискретною математикою та теорiею диферен^альних рiвнянь.
Дискретна математика (у захщних джерелах дискретний аналiз) - це роздт математики, пов'язаний iз дослщженнями рiзних об'ектiв та структур, заданих на скшченних множинах. Специфiка дискретноí математики полягае у вiдмовi вщ основних понять класичноí («неперервноí») математики - границ та неперервностi. Тому для задач дискретноí математики звичайн засоби класичного аналiзу е допомiжними. Але дискретна та класична («неперервна») математики взаемно доповнюють одна одну, а в окремих випадках мають схожий апарат дослщження, що робить можливим побудову зв'язкiв мiж вщповщними теорiями.
Традицiйно до дискретноí математики вщносять рiзницеве числення, що е дискретним аналогом диферен^ального та штегрального числення, i яке вiдiграе важливу роль в теорп числових послщовностей, комбшаторному аналiзi та теорп графiв. Одним зi способiв розв'язування окремих видiв рiзницевих рiвнянь е складання характеристичного рiвняння i запис загального розв'язку вихщного рiвняння залежно вщ значень знайдених характеристичних коренiв. Аналопчний алгоритм використовуеться й для знаходження загального розв'язку лшмних однорiдних рекурентних стввщношень та лiнiйних однорiдних диферен^альних рiвнянь зi сталими коефiцiентами. Рiзною е лише форма запису вщповд що пояснюеться рiзними множинами визначення шуканих функцiй (у першому випадку ця множина е дискретною, у другому - неперервною). Таким чином, виникае задача знаходження зв'яз^в мiж характеристичними рiвняннями i коренями цих рiвнянь в дискретному i неперервному випадках.
Метою статп е встановлення мiждисциплiнарних зв'язкiв дискретноí математики та диференщальних рiвнянь на прикладi вивчення тем «Лшшы рекурентнi спiввiдношення зi сталими коефiцiентами» та «Лiнiйнi диферен^альы рiвняння зi сталими коефiцiентами».
МЕТОДИ ДОСЛ1ДЖЕННЯ
У статтi використано наступи теоретичнi та емпiричнi методи дослщжень: системний аналiз науковоí, навчальноí та методично( лiтератури; порiвняння та синтез теоретичних положень, розкритих в науковш та навчальый лiтературi; узагальнення власного педагопчного досвiду та досвiду колег з шших закладiв вищоí освти. Окрiм того, були використанi деяк загально математичнi та спецiальнi методи теорп диференщальних рiвнянь, дискретноí математики та рiзницевого числення.
РЕЗУЛЬТАТИ ДОСЛ1ДЖЕННЯ
Тема «Рекурентн спiввiдношення» е самостiйною темою дискретноí математики i не потребуе знань шших тем ще дисциплши (окрiм, можливо, теми «Твiрнi функцп», де розглядаеться один з методiв розв'язування рекурентних спiввiдношень iз застосуванням генератрис). Виявляеться, що для вщшукання розв'яз^в лiнiйного рекурентного спiввiдношення ^вняння) зi сталими коефiцiентами може бути використаний той же алгоритм, що i для знаходження розв'язюв лшшного диференцiального рiвняння зi сталими коефщентами.
Розглянемо лiнiйне однорiдне рекурентне стввщношення степеня к зi сталими коефщентами:
ака„+к + «k-ia„+k-i+... +«ian+i + «о^п = 0, (1)
де (ап)п€щ - деяка послiдовнiсть, а - заданi коефщенти (i = 1 ,к). Для того, щоб розв'язати рекурентне
стввщношення (1), необхiдно скласти i розв'язати вщповщне характеристичне рiвняння:
акХк + ак-12к-1+...+а12. + а0 = 0, (2)
що мае т ж коефiцiенти (Гельфонд, 1959).
Зрозумто, що розв'язками цiлого алгебра^чного рiвняння (2) з дiйсними коефщентами можуть бути як рiзнi так i однаковi дiйснi чи комплексы числа. Нехай A1,A2,...,AS - корен характеристичного рiвняння (2) з вщповщною кратнiстю к1,к2,... ,ks. Тодi загальний розв'язок рiвняння (1) матиме вигляд:
an = XI (q(1) + c(2)n+... +c[kl)nki-1) + ЗЩ (c(1) + c(2)n+... +...+
+Ä? (c((1) + c(2)n+... +c(ks)nk—), (3)
де c(-1 - довтьы дшсш (або комплексы) сталi.
Якщо проаналiзувати структуру розв'язку (3), то Bei доданки, що до нього входять е лiнiйно незалежними функ^ями.
Розглянемо тепер лЫмне однорiдне диференцiальне рiвняння порядку к зi сталими коефщентами
aky(k) + ak-1y(k-1)+... +а1у' + а0у = 0, (4)
де У = у(х) - шукана функщя, а al Е R-задан коефщенти (i = 1,к).
Як вщомо (Шкть&Лейфура&Самусенко, 2003), розв'язок такого рiвняння мае вигляд
у(х) = eÄlX (c(1) + c(2)x+... +c(kl)xki-1) + eÄ2X (c(1) + c(2)x+... +c(k2)xk2-1) +...+
+(cs(1) + c(2)x+... +c(ks)xk<-1
). (5)
де А1,А2,...,А1! - коренi характеристичного рiвняння (2), а к1,к2,... ,к5 -''х кратност вiдповiдно.
Формули (3) та (5) i методи знаходження розв'язкiв рекурентного стввщношення (1) та диференцiального рiвняння (4) мають багато спiльного. Вщтак, виникае природне питання: чи не можна записати розв'язки (3) i (5) рекурентного стввщношення (2) i диференцiального рiвняння (4) вiдповiдно якоюсь загальною формулою? Вiдповiдь на це питання позитивна, проте потребуе застосування поняття так званого рiзницевого рiвняння.
Рiзницевi рiвняння е аналогом рекурентних стввщношень в теорГ'' диференцiальних рiвнянь. 1х можна отримати з вщповщного лiнiйного диференцiального рiвняння шляхом замши похщних функцГ'' у(х)
У' (х),у" (х),...у(к-1) (х), у(к)(х) на значення рiзницевого оператора Ау(х) (Андерсон, 2004), а саме:
Ау(х): = у(х + 1) — у(х), Л2у(х): = А(Ау(х)) = Л(у(х + 1) — у(х)) = у(х + 2) — 2у(х + 1) + у(х) ,....,
A(k)y(x): = £(-l)lclky(x + k — i)
к у
1=0
вщповщного порядку (тут коефщенти Ск - це добре вiдомi у кожному з роздЫв математики бiномiальнi коефщенти, якi визначаються як комбiнацií без повторень з к елеменпв по /').
Таким чином, рiзницеве рiвняння, яке вiдповiдае диференцiальному рiвнянню (4), матиме вигляд:
а,к Т1к=о(—1УСку(х + к — 1) + <Хк-1Та=о(—1У Ск-1у(х + к — 1 — 1)+... +а^у(х + 1) — у(х)) + аоу = 0,
або
ак(—1)оС0у(х + к) + (ак(—1УС1 + ак-1(—1)оС0-1)у(х + к — 1)+...+
+ Т.к-о1а1+1(—1УС>+1у(х + 1)+£к=оа1(—1УС}у(х) = 0. (6)
При цьому, якщо аргумент х шукано' функцп у(х) е натуральним числом, то рiвнiсть(6) езаписом деякого лшмного рекурентного стввщношення.
Покажемо, що розв'язки характеристичного рiвняння (2) рекурентного стввщношення (1) безпосередньо пов'язан з розв'язками характеристичного рiвняння для рiзницевого рiвняння (6), тобто розв'язками рiвняння:
ак(—1)0фк + {ак(—1УС1 +ак-1(—1)0С°-1)Ак-1+...+
+ 1к-1а1+1(—-01С1+1Л+£к=оа1(—№1 = 0. (7)
Покажемо, якщо деяке число А е розв'язком рiвняння (7), то число (А — 1) е розв'язком рiвняння (2). Дмсно, скориставшись розкладом бiнома Ньютона, маемо:
к
ак(1 — 1)к+ак-1(1 — 1)к-1+...+а1(1 — 1)+ао = ак^(—1)1С1с^к-1 +
1=о
к-1 2 +ак-1 ^(—1)1СиАк-1-1 +... +а2 ^(—1)1Ф2-1 + а1(А — 1)+ ао =
1=о
= ak(-l)°c°Xk + (ak(-l)1cl+ak-1(-l)0c0-1)Xk-1+...+
k
(-îycL. + ^aii-iyci l=0
+ £ al+2(-l)lci+2 al+1(-Dlci+1 X + £ at(-i)lcH
тобто отримуемо лiву частину рiвняння (7).
Отже, знаючи розв'язки рiвняння (2), можна легко отримати розв'язки рiвняння (6), яке у свою чергу можна записати через введення до розгляду рiзницевого оператора A, i навпаки.
Маючи отриманий вище результат, вид розв'язку (5) диференщального рiвняння (4) можна пов'язати з загальним виглядом розв'язку (7) рекурентного стввщношення (6) за допомогою функцп:
(г.якщо h = 0,
= l^nCL + zh) .якщо h> 0, (8)
де ш = Ln(t) - натуральний логарифм комплексного числа t, який визначаеться з рiвностi еш = t.
Якщо за h позначити вщстань мiж елементами областi визначення M шуканоУ функцп y(x), то для представлення загального розв'язку i диференщального рiвняння (4) i рекурентного стввщношення (6) можна визначити функцю
гг \ _ (г,якщо т^ е М,б > х} = х, $(2,х) = {¿п(1 + г) ,якщо inf{s е м,б > х} = х+1. З формули (9) для х е N одержимо ех^(л,х^ = ех1п(1+Х) = (1 + Л)х \ тому сптьний вигляд розв'язюв р1внянь (4) \ (6) буде наступним:
у(х) = ех^(л1-х) (С((1) + С(2)х+... +С[к1)хк1-1) + ех^(Л2'х) (с(1) + С(2)х+... +с(кг)хк2-1) +...+
+ех^(л^х) (с(1) + с(2)х+... +с(к')хк^-1), (10)
де Л1,Л2,...,Л5 зновуе коренями характеристичного р1вняння (2), а к1,к2,...,к5 — Ух кратност вщповщно. Протюструемо отриманий вище результат на приклад1. Приклад 1. За даним диференц1альним р1внянням
у(4) + у- 15у" + 23у' — 10у = 0 (11)
побудувати вщповщне рекурентне стввщношення та отримати розв'язки кожного з них. Розв'язання
Для заданого р1вняння (11) запишемо вщповщне характеристичне р1вняння та розв'яжемо його:
2.4 +2.3 — 15X2 + 232 — 10 = 0. (12)
Скориставшись схемою Горнера, знайдемо рацюнальы корен р1вняння (12):
1 1 -15 23 -10
Х = —1 1 0 -15 38 —48 ф 0 не е коренем
Л = 1 1 2 -13 10 0 е коренем
Л = 1 1 3 -10 0 е коренем
тобто Л = 1 е двократним коренем р1вняння (12). 1ншМ ж 2 корен знайдемо з отриманого за схемою Горнера квадратного р1вняння Л2 + 3Л — 10 = 0. За теоремою В1ета маемо А3 = —5 \ Х4 = 2.
За формулою (5) загальний розв'язок даного диференц1ального р1вняння (11) мае вигляд:
у(х) = ех (С((1) + С(2)х) + С2е-5х + С3е2х. Запишемо тепер р1зницеве р1вняння, ув1вши заметь похщних вщповщний порядок р1зницевого оператора:
Л4у(х) + Л3у(х) — 15Л2у(х) + 23Лу(х) — 10у(х) = 0. Скориставшись виразом у л1вш частин р1вняння (6), одержимо наступне рекурентне стввщношення
у(х + 4) + (—С1 + С0)у(х + 3) + (С£ — С1 — 15С0)у(х + 2) + (- С33 + С% + 15С% + 23С0)у(х + 1) +
+(1 — 1 — 15 — 23 — 10)у(х) = 0,
або
(13)
у(х + 4) — 3у(х + 3) — 12у(х + 2) + 52у(х + 1) — 48у(х) = 0.
Його характеристичне р1вняння мае вигляд:
Я4- 323 — 12Я2 + 522. — 48 = 0, а коренями е числа Л12 = 2,А3 = —4,Х4 = 3. У вщповщност з (3), загальний розв'язок рекурентного стввщношення (13) е наступним:
у(х) = 2х (с1(1) + с(2)х) + С2(—4)х + С33х.
З шшого боку, за формулою (10) розв'язок рекурентного стввщношення (13) можна знайти, виходячи з корешв характеристичного р1вняння (12) вихщного диференц1ального р1вняння (11):
у(х) = (1 + 1)х (с1(1) + С^х) + С2(—5 + 1)х + С3(2 + 1)х = 2х (с1(1) + С^х) + С2(—4)х + С33х.
Як бачимо, розв'язок отримано правильно.
Наведений вище пщхщ демонструе ткний зв'язок м1ж коренями характеристичних р1внянь лЫшних однорщних рекурентних стввщношень та лшмних однорщних диференц1альних р1внянь з1 сталими коефщентами, що мають досить схож1 алгоритми розв'язування \ вивчаються в курсах дискретно! математики та диференц1альних р1внянь.
ОБГОВОРЕННЯ
Слщ зазначити, що на сьогодншый день ¡снуе теор1я, яка дозволяе розглядати об'екти у неперервно-дискретному за часом режимк Це так звана теор1я динам1чних р1внянь на часовм шкал1. Вона була запропонована пор1вняно недавно (у 1988 роцО ымецьким математиком Стефаном Хтьгером та Грунтуеться на понятт часовоУ шкали як довтьноУ непорожньо! та замкненоУ (з погляду теорп множин) пщмножини множини дмсних чисел. Ця теор1я детально описана в робот1 (Bohner&Peterson, 2001). Тод1 ж виб1р функц1У ^(2), подано! у (8), не е випадковим.
Функц1я ^(г) визначае деяке цилшдричне перетворення комплексно! площини та визначае так звану експоненц1альну функц1ю на довтьы часов1й шкал1:
ерт( г, , (14)
де ц.(Ь) - функц1я в1дстан1 м1ж елементами часовоУ шкали (називають також зерниспстю часовоУ шкали), а Лт -А -диференц1ал зм1нноУ, який визначае звичайний диференц1ал йт, коли часова шкала е неперервним вщр1зком, або дор1внюе к, коли часова шкала е дискретним вщр1зком ¡з кроком к (Bohner&Peterson, 2001). Диференц1ал Л також пов'язаний з1 знаходженням А-пох1дно! функцм уА(х), яка е звичайною пох1дною у'(х) у випадку д1йсного вщр1зка, або визначае р1зницевий оператор Лу(х) = у(х + 1) — у(х) у випадкудискретного вщр1зка на множин1 цтих чисел.
Зазначена експоненц1альна функц1я (14) узагальнюе поняття розв'язку нел1н1йного однорщного диференц1ального чи р1зницевого р1вняння першого порядку. Так, розглядаючи так зване динам1чне р1вняння першого порядку на часовм шкал1
yä(x) = p(x)y(x),
отримуемо розв'язок виду:
У(х) = Cepm(t,to).
Тод1 розв'язок вщповщного диференц1ального р1вняння y'(x) = p(x)y(x) буде мати вигляд
y(x) = CeÎP(x)dx,
тод1 як розв'язком вщповщного р1зницевого р1вняння Ay(x) = p(x)y(x) буде:
y(x) = Ce^*=x<>Ln(l+p(t) = CeLnn*=x°(l+p(t) = C Wt=Xo{l + P(t)). (15)
Розглянемо приклад застосування зазначено!' теорп до розв'язування нелЫйних рекурентних стввщношень.
Приклад 2. Розв'язати рекурентне стввщношення an+1 — (п + 1)an = 0.
Розв'язання
Запишемо спочатку задане рекурентне стввщношення у вигляд1 р1зницевого р1вняння:
an+1 — an— пап = Аа(п) — па(п) = 0,
або
Аа(п) = па(п).
Тод1, скориставшись виглядом розв'язку (15), одержимо:
а(п) = Cnn=1(1 + k) = Cri..
Отже, розв'язками заданого рекурентного стввщношення е послщовносп виду а,1 = Cn!.
ВИСНОВКИ ТА ПЕРСПЕКТИВИ ПОДАЛЬШОГО ДОСЛ1ДЖЕННЯ
Пщводячи пщсумки, зазначимо, що встановлення зв'язк1в м1ж р1зними математичними дисциплшами допомагае
сформувати в студенев цЫсне уявлення про математичн об'екти, алгоритми i теорп, i як наслщок, робить знання
системними i практично бтьш значущими. Виявлення таких зв'язк1в сприяе ¡нтелектуальному розвитку студенев,
формуванню в них системних математичних знань, пщвищенню р1вня математично!' грамотност та ¡нтересу до навчання.
Список використаних джерел
1. Ананченко Ю.М., Воронша Н.К., Скороходова Л.1. Бшарне заняття як форма реал1зацп м1ждисципл1нарних зв'язюв у процеа пщготовки студенев в умовах закладу фахово'1' передвищоУ осв1ти: з досвщу машинобуд1вного коледжу Сумського державного уыверситету. Ф'!зико-математична oceima, 2020. Випуск 3(25). Частина 1. С. 19-24.
2. Андерсон Дж. А. Дискретная математика и комбинаторика. М.: Изд. дом «Вильямс», 2004. 960 с.
3. Батечко Н., Титаренко I. Розвиток мапстратури в Укра'н на засадах м1ждисципл1нарносп. Неперервна профеайна oceima: mеoрiя i практика. Серiя: педaгoгiчнi науки, 2016. №3. С. 17-22.
4. Бевз В. М1жпредметн1 зв'язки як необхщний елемент предметно! системи навчання. Математика в школ'1, 2003. №6. С. 6-11.
5. Васьк1вська Г.О. Дидактичн аспекти реал1зацп м1ждисциплшарних зв'язюв у процеа фахово'1' пщготовки студенев вищих педагопчних навчальних заклад1в. ТенденцИ'розвитку сучасноïoceimu, 2017. №3-4. С. 137-149.
6. Волобуева О.Ф. М1ждисципл1нарн1 (м1жпредметн1) зв'язки пщ час пщготовки майбутнього фах1вця: психолопчний аспект. Збiрник наукових праць На^онально}' академп ДержавноÏ прикордонноÏ служби Украни. Сер1я: Психолопчы науки, 2015. № 1. С. 26-42.
7. Гельфонд А .О. Исчисление конечных разностей. М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит-ры., 1959. 400 с.
8. Кобильник Т.П. Використання м1жпредметних зв'язюв при навчанн математично! ¡нформатики у педагопчному уыверситетк Науковий часопис НПУ ¡мен1 М.П. Драгоманова. Сер1я 2. Комп'ютерно-ор1ентован1 системи навчання, 2010. Випуск 8(15). С.143-148.
9. Козлов В.В., Томашевська Т.В., Кузнецов M.I., Використання м1ждисциплшарних зв'язюв при пщготовц майбутых фах1вц1в з1 статистики. Статистика Укра/ни, 2018. № 1. С. 52-60.
10. Колот А.М. М1ждисципл1нарний пщхщ як домшанта розвитку економ1чно'|' науки та осв1тньо'|' д1яльност1. Социальная экономика, 2014. № 1-2. С. 76-83.
11. Коржова О.В. Теоретичн аспекти м1жпредметних зв'язюв математичних дисциплЫ з дисциплшами циклу професшно'!' пщготовки майбутых фах1вц1в ¡з оргаызацп ¡нформац1йно'|' безпеки. Ф'!зико-математичнаосв'та, 2017. Випуск 2(12). С. 89-93.
12. ФЫпенко А. С. М1ждисципл1нарна методолопя: базов1 принципи. «М1ждисципл1нарн1 дискусп», 2017. URL: http://www.iir.edu.ua/uploads/files/tezi%20ceminar%20synthesis%205%2012% 202017%20final%20(1).pdf.
13. Шкть M.I., Лейфура В.М., Самусенко Л.М. Диференц1альн1 р1вняння: навчальний поабник для студенев математичних спец1альностей вищих навч. закл. К.: Технта, 2003. 386 с.
14. Шкура I. Заруб1жний досвщ упровадження м1ждисципл1нарних освп>лх програм та можливост його застосування в Украшк Нaукoвi записки БДПУ. Сер1я: Педагопчы науки, 2020. Випуск 2. С. 114-127.
15. Bohner M., Peterson A. Dynamic equations on time scales. An introduction with applications. Birkhäuser Boston Inc., Boston, MA, 2001. 360 p.
16. Styron Ronald A., Jr. (2013). Interdisciplinary Education: A Reflection of the Real World. Systemics, cybernetics and informatics, 2013. №9(11). Р. 47-52.
References
1. Аnanchenko, Yu., Voronina, N. & Skorokhodova, L. (2020). Binarne zaniattia yak forma realizatsii mizhdystsyplinarnykh zviazkiv u protsesi pidhotovky studentiv v umovakh zakladu fakhovoi peredvyshchoi osvity: z dosvidu mashynobudivnoho koledzhu Sumskoho derzhavnoho universytetu [Binary lesson as a form of implementation of interdisciplinary relations in the
training of students in the conditions of the institution of professional preliminary education: from the experience of mechanical engineering college]. Fizyko-matematychna osvita - Physical and Mathematical Education, 3(25), Part 1, 19-24 [in Ukrainian].
2. Anderson, J. A. (2004) Discrete Mathematics with Combinatorics [Diskretnaia matematika y kombinatorika]. Moskow: Ed. house "Williams". [in Russian]
3. Batechko, N. & Tytarenko, I. (2016). Rozvytok reyestratsiyi v Ukrayini na zasadakh mizhdystsyplinarnosti [Development of registration in Ukraine on the basis of interdisciplinarity], Neperevna profesiyna osvita: teoriya i praktyka (Seriya: pedahohichni nauky) - Continuing professional education: theory and practice. Series: pedagogical sciences, 3, 17-22 [in Ukrainian].
4. Bevz, V. (2003) Interdisciplinary links as a necessary element of the subject system of education [Mizhpredmetni zviazky yak neobkhidnyi element predmetnoi systemy navchannia. [terdisciplinary links as a necessary element of the subject system of education]. Matematyka v shkoli - Mathematics at school, 6, 6-11 [in Ukraine].
5. Vas'kivs'ka, H. (2017). Dydaktychni aspekty realizatsiyi mizhdystsyplinarnykh zv"yazkiv u protsesi fakhovoyi pidhotovky studentiv vyshchykh pedahohichnykh navchal'nykh zakladiv [Didactic aspects of realization of interdisciplinary connections in the process of professional training of students of higher pedagogical educational establishments], Tendentsiyi rozvytku suchasnoyi osvity - Trends in the development of modern education, 3-4, 137-149 [in Ukrainian].
6. Volobuyeva, O. (2015). Mizhdystsyplinarni (mizhpredmetni) zv'yazky pid chas pidhotovky maybutn'oho fakhivtsya: psykholohichnyy aspekt [Interdisciplinary (interdisciplinary) connections during the preparation of the future specialist: psychological aspect], Zbirnyk naukovykh prats' Natsional'noyi akademiyi Derzhavnoyi prykordonnoyi sluzhby Ukrayiny. Seriya: Psykholohichni nauky - Proceedings of the National Academy of State Border Service of Ukraine. Series: Psychological Sciences, 1, 26-42 [in Ukrainian].
7. Gelfond, A.O. (1959). Ischislenie konechnyh raznostej [Finite Difference Calculus]. M.: State Publishing House of Phys.-Math. Literature [in Russian].
8. Kobylnyk, T.P. (2010) Vykorystannia mizhpredmetnykh zviazkiv pry navchanni matematychnoi informatyky u pedahohichnomu universytet [The use of interdisciplinary links in the teaching of mathematical computer science at the Pedagogical University]. Naukovyi chasopys NPU imeni M.P. Drahomanova. Seriia 2. Kompiuterno-oriientovani systemy navchannia - Scientific journal of NPU named after M.P. Dragomanov. Series 2. Computer-based learning systems, 8 (15), 143-148 [in Ukrainian].
9. Kozlov, V.V., Tomashevska, T.V. & Kuznietsov, M.I. (2018) Vykorystannia mizhdystsyplinarnykh zviazkiv pry pidhotovtsi maibutnikh fakhivtsiv zi statystyky [Use of Interdisciplinary Links in the Training of Future Specialists in Statistics]. Statystyka Ukrainy - Statistics of Ukraine, 1, 52-60 [in Ukrainian].
10. Kolot, A.M. (2014). Mizhdystsyplinarnyi pidkhid yak dominanta rozvytku ekonomichnoi nauky ta osvitnoi diialnosti [Interdisciplinary approach as a dominant development of economic science and educational activities]. Sotsialna ekonomika - Social economy, № 1-2, 76-83 [in Ukrainian].
11. Korzhova, O.V. (2017). Teoretychni aspekty mizhpredmetnykh zviazkiv matematychnykh dystsyplin z dystsyplinamy tsyklu profesiinoi pidhotovky maibutnikh fakhivtsiv iz orhanizatsii informatsiinoi bezpeky [Theoretical Aspects Of Interdisciplinary Communications Between Mathematical Disciplines And Disciplines Of Professional Training Of Future Specialists In Organization Of Information Security]. Fizyko-matematychna osvita - Physical and Mathematical Education, 2(12), 89 - 93 [in Ukrainian].
12. Filipenko A. (2017). Mizhdystsyplinarna metodolohiya: bazovi pryntsypy [Interdisciplinary methodology: basic principles], Mizhdystsyplinarni dyskusiyi, Retrieved from: http://www.iir.edu.ua/uploads/files/tezi%20ceminar %20synthesis%205%2012% 202017%20final%20(1).pdf [in Ukrainian].
13. Shkil, M.I., Leifura, V.M. & Samusenko, L.M. (2003). Dyferentsialni rivniannia: navchalnyi posibnyk dlia studentiv matematychnykh spetsialnostei vyshchykh navch. zakl. [Differential equations: a textbook for students of mathematical specialties of higher educational instit.]. Kyiv: Tekhnolohiia. [in Ukrainian].
14. Shkura, I.S. (2020). Zarubizhnyi dosvid uprovadzhennia mizhdystsyplinarnykh osvitnikh prohram ta mozhlyvosti yoho zastosuvannia v Ukraini [Foreign experience in implementing interdisciplinary educational programs and opportunities for its application in Ukraine]. Naukovi zapysky BDPU. Seriia: Pedahohichni nauky - Scientific notes of BSPU. Series: Pedagogical sciences, 2, 114-127 [in Ukrainian].
15. Bohner, M. & Peterson, A. (2001). Dynamic equations on time scales. An introduction with applica- tions. Birkhäuser Boston Inc., Boston, MA.
16. Styron Ronald A., Jr. (2013). Interdisciplinary Education: A Reflection of the Real World. Systemics, cybernetics and informatics, 9(11), 47-52.
INTERDISCIPLINARY CONNECTIONS IN THE STUDY OF SOME TOPICS OF DISCRETE MATHEMATICS
AND DIFFERENTIAL EQUATIONS O. P. Strakh, T D. Lukashova
Makarenko Sumy State Pedagogical University, Ukraine
Abstract. One of the important tasks in the training of future specialists in the branch of mathematics is the expansion and deepening of mathematical knowledge in order to apply them comprehensively in practice, in future scientific and professional activities. One way to implement this task is to use interdisciplinary connections that involve the transfer of research methods and research models from one scientific discipline to another.
Formulation of the problem. This article considers the possibility of implementing interdisciplinary connections of discrete mathematics with differential equations on the example of studying the topics «Linear recurrence relations with constant coefficients» and «Linear differential equations with constant coefficients».
Materials and methods. The authors used the following research methods: systematic analysis of scientific, educational and methodological literature; comparison and synthesis of theoretical positions disclosed in scientific and educational literature; generalization of own pedagogical experience and experience of colleagues from other institutions of higher education. In addition, some general mathematical and special methods of the theory of differential equations, discrete mathematics and difference calculus were used.
Results. One of the ways to solve linear homogeneous recurrence relations with constant coefficients is to compile a characteristic equation and write the general solution of a given relation depending on the values of the found characteristic roots. A similar algorithm is used to find the general solution of linear homogeneous differential equations with constant coefficients. The article establishes a connection between the solutions of recurrence relations and differential equations, the characteristic equation of which has the same form.
Conclusions. Establishing connections between models and research methods used in the study of various mathematical disciplines included in the training program for future mathematicians, allows students to form a holistic view of mathematical objects, algorithms and theories, and as a consequence, makes their knowledge is systematic and practically more meaningful. This contributes to the intellectual development of students, the formation of their systematic mathematical knowledge; increase the level of mathematical literacy and interest in studying the discipline.
Keywords: interdisciplinary connections, discrete mathematics, differential equations, recurrence relations, difference calculus.
This work is licensed under Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License.
