CC BY
10
Scientific journal ISSN 2413-158X (online)
PHYSICAL AND MATHEMATICAL EDUCATION ISSN 2413 1571 (Print)
Has been issued since 2013.
Науковий журнал
Ф1ЗИКО-МАТЕМАТИЧНА ОСВ1ТА
Видасться з 2013.
https://fmo-journal.org/
Лукашова Т.Д., Страх О.П. 1нтегрований nidxid щодо визначення noxidHoi функцй, заданих на неперервних та дискретнихмножинах. Ф'зико-математичнаосв'та. 2021. Випуск4(30). С. 76-81.
Lukashova T., Strakh O. Integrated approach to definition of derivative of functions, which is defined on continuous and discrete sets. Physical and Mathematical Education. 2021. Issue 4(30). Р. 76-81.
DOI 10.31110/2413-1571-2021-030-4-011 УДК [517.2+519.1+517.9+519.6](378)
Т.Д. Лукашова
Сумський державний педагoгiчний ушверситет iменi А.С. Макаренка, Украна
tanya.lukashova2015@gmail.com ORCID: https://orcid.org/0000-0002-1465-9530
О.П. Страх
Сумський державний педагoгiчний ушверситет iменi А.С. Макаренка, Украна
strah_o@ukr.net ORCID: https://orcid.org/0000-0002-7680-5716
1НТЕГРОВАНИЙ П1ДХ1Д ЩОДО ВИЗНАЧЕННЯ ПОХ1ДНО1 ФУНКЦ1Й, ЗАДАНИХ НА НЕПЕРЕРВНИХ ТА ДИСКРЕТНИХ МНОЖИНАХ
АНОТАЦ1Я
Важливим елементом у nideomoebfi майбутнього фахiвця у галузi математики е набуття ним комплексних знань шляхом вивчення узагальнюючих теорiй та методе, за допомогою яких визначаються основы! фундаментальна поняття. На сьогодн iснуе цлий ряд таких теорй' i ¡х використання виокремлюеться навiть у самостшт науковi напрямки. Застосування елемент'в узагальнення та пор'вняння об'ектiв вивчення рiзних математичних дисциплiн у навчальному процеа також вiдiграе важливу роль в побудовi м'ждисципл'нарних зв'язшв, якi у свою чергу сприяють всебiчному розвитку майбутнього спецiалiста, реалiзацi'¡' його потен^алу у науковiй та професiйнiй д'яльностi.
Формулювання проблеми. Анал'зуючи основн положення диферен^ального та р'вницевого числень, неважко помтити значну схожсть м'ж властивостями пох/'дно¡' та р'зницевого оператора, що е ключовими характеристиками функ^й, якi визначет на неперервних та дискретних множинах в'дпов'дно. Виявляеться, що ця схожсть не випадкова, i вказан поняття е частинними випадками поняття дельта-пох'дно¡'функцй'.
Матер/'али i методи. Авторами використовувались наступнi методи: системний анал'в науково'(, навчально'( та методично¡' лтератури; пор'юняння та синтез теоретичних положень; спостереження за ходом педагог'чного процесу; узагальнення власного педагог'чного досв'ду та досв'ду колег з iнших заклад'в вищо'( освти. Окр'т того, були використанi деяш загально математичн та спецiальнi методи диферен^ального та р'вницевого числень i теорй' часових шкал.
Результати. У статт '1 розглянуто загальний п'дх'д до вивчення двох фундаментальних математичних понять - поняття пох/'дно¡'та р 'вницевого оператора з точки зору спец 'юльно'(теорй'часових шкал, а також шляхи використання такого пдходу щодо встановлення зв'язшв м'ж р'!зними математичними теор'ями з метою формування у студент'в цлсного уявлення про математичн об'екти, ¡х властивостi та застосування.
Висновки. Встановлення зв'язшв м'ж моделями i методами досл'дження, якi використовуються при вивченн рiзних математичних дисциплiн, що входять у програму пдготовки майбутн'х фах'тц'т-математишв, дозволяе сформувати у студент 'в цiлiсне уявлення про математичн об'екти, алгоритми та теорй, i як насл':док, робить ¡х знання системними i практично б'1льш значущими. Це сприяе нтелектуальному розвитку студент'в, формуванню в них системних математичних знань, пдвищенню рiвня математично\ грамотностi та нтересу до предмету.
КЛЮЧОВ1 СЛОВА: пох'дна функцй, р/'зницевий оператор, дельта-пох/'дна, диферен^альне числення, рiзницеве числення, неперервна множина, дискретна множина.
ВСТУП
Постановка проблеми. Одним iз завдань вищо''' освiти е формування у студенев умшь комплексного бачення проблеми, II аналiзу та системного виршення. Реалiзацií цього завдання значною мiрою сприяе штегра^я знань студенев з рiзних дисциплш, '|'х подальший синтез та комплексне застосування на практик та в майбутнш науковш та професшый
© Т.Д. Лукашова, О.П. Страх, 2021.
дiяльностi. Яскравим прикладом тако'' Ытеграцп може слугувати вивчення поняття дельта-похщно'' функцГ'', яке узагальнюе поняття похщно'' та рiзницевого оператора, що е ключовими характеристиками функцiй, заданих на неперервних та дискретних множинах вщповщно.
У данш статтi розглядаеться можливкть впровадження загального пiдходу до вивчення вказаних понять та його використання для встановлення мiждисциплiнарних зв'яз^в дискретно'' математики, математичного аналiзу (диференцiального числення) та теорГ'' диференцiальних рiвнянь, що входять у цикл профеайно' пщготовки майбутнiх вчителiв математики, а також формування цЫсного уявлення про вказан математичнi об'екти, 'х властивостi та застосування. Окремi шляхи встановлення таких зв'язюв мiж курсами дискретно' математики та диференцГальних рiвнянь були розглянут авторами в роботi (Страх&Лукашова, 2021).
Аналiз актуальних дослiджень. Донедавна панiвне положення в математицi займало вивчення неперервних функцй що було основою вах застосувань математики у фiзицi та технiцi. Проте, з середини ХХ столггтя у зв'язку з бурхливим розвитком електронно-обчислювально'' технiки, ядерно'' фiзики, квантово'' механiки, теорГ'' програмування та генно'' iнженерií перед математикою постали якiсно новi задачi, розв'язати ям засобами класичного аналiзу виявилося неможливо або занадто складно. Почалося вщродження Ытересу до дискретно'' математики, яка оперуе дискретними (в тому числГ й скГнченними) множинами та функцГями, визначеними на таких множинах. Сучасна обчислювальна технiка i накопичений досвщ дозволяють за допомогою так званих рiзницевих схем наближено розв'язувати достатньо складнi завдання, що погано пщдаються дослiдженню iншими методами.
Як вщомо, ключове мiсце в диференцГальному численнi вiдiграе поняття похiдноí функцГ''. Похiдна як базова характеристика функцй заданих на неперервних множинах, мае числены застосування не лише в математик, а й у рядi ¡нших дисциплiн. Для дискретно заданих функцм аналогом похiдноí виступае так званий рiзницевий оператор або сюнченна рiзниця (Андерсон, 2004; Гельфонд, 1959; Ядренко, 2004). Скшчены рiзницi широко використовуються при iнтерполяцií в математичних таблицях, при пщсумовуваны числових рядiв, у наближених обчисленнях iнтегралiв та знаходженн розв'язкiв диференцiальних рiвнянь, а також у будь-якм ситуацй, де треба описати поведЫку об'екта, характеристики якого дискретно змГнюються пiд впливом певних факторiв (у часi чи простор^. Наприклад, для термостата потрiбен певний час, щоб вiдреагувати на змЫу температури, тому вiн реагуе не на поточну температуру, а на ту, що була хвилину назад.
Враховуючи, що диференцГальне числення займаеться вивченням границь вщношень рiзниць, а рiзницеве числення - самими рiзницями, то природно, що мiж цими двома теорiями iснуе багато паралелей. Вщповщна теорiя була побудована наприкшц ХХ столiття нiмецьким математиком Стефаном ХГльгером. Ним було уведено поняття Д-похщно'', що об'еднуе в собi поняття похiдноí та рiзницевого оператора, i оперуе функцiями, заданими на неперервно-дискретних часових штервалах (множинах) (Bohner&Peterson, 2001; Kelley&Peterson, 2001).
Метою статп е огляд iнтегрованого пiдходу до вивчення похiдноí та рiзницевого оператора з точки зору теорп часових шкал, а також дослщження можливостей використання цього пщходу щодо встановлення зв'язкiв мiж рiзними математичними курсами з метою формування цЫсного уявлення про математичн об'екти та теорп.
МЕТОДИ ДОСЛ1ДЖЕННЯ
У статтi використано наступнi теоретичнi та емтричы методи дослiджень: системний аналiз науково', навчально'' та методично'' лiтератури; порiвняння та синтез теоретичних положень, розкритих в науковм та навчальнiй лтератур^ спостереження за ходом педагогiчного процесу; узагальнення власного педагогiчного досвiду та досвщу колег з iнших закладiв вищо'' освiти. Окрiм того, були використан деякi загально математичнi та спе^альы методи диференцiального та рiзницевого числень i теорй часових шкал.
РЕЗУЛЬТАТИ ДОСЛ1ДЖЕННЯ
Одним з основних понять диференцГального числення, яке як шструмент дослiдження широко використовуеться не лише у математичному аналiзi, а й у цГлому рядi iнших дисциплЫ (зокрема, в алгебрi й теори чисел, теорГ' диференцiальних рГвнянь, чисельних методах, варТацмному численнi, математичному програмуванн та фГзицГ), е поняття похщно'' функцГ'. В математичному аналiзi в основу визначення похщно'' функцГ'' дшсного (комплексного) аргументу покладено поняття границ (див., наприклад, Фiхтенгольц, 1967).
Означення 1. Пох'дною функцп /(х) в задана точцГ х = хо з областi и визначення (та неперервносп) називаеться
число
/'(хо) = lim /(*0+Д*)-/(*о), (1)
' у 0J Дж^о Д* v '
що е границею вщношення приросту функцГ' до приросту Дх аргумента за умови, що величина Дх прямуе до нуля (i вказана границя ¡снуе).
Означення 1 можна переформулювати, застосовуючи визначення границ (наприклад, за О. Кошл). ТодГ похщну функцГ' в точц можна визначити наступним чином.
Означення 2. Число /'(х0) називаеться пох'дною задано' функцГ' /(х) в заданш точц х = х0 з област и визначення тодГ i тГльки тодГ, коли
V£>0 35(£):|x-Xol <5(£)^|/(х)-/(Хо)-/'(Хо)^(х-Хо)| <£|х-Хо|. (2)
З ¡ншого боку, поняття границ можна ввести не у кожному полГ або ктьцк Зокрема, воно не застосовне в полГ рацюнальних чисел (бо не кожна послщовысть рацiональних чисел мае границею рацюнальне число) та й узагалi в уах скiнченних кГльцях та полях. У цих випадках виникае потреба означити похщну функцГ' без використання поняття границГ Так, у кура алгебри i теорГ' чисел поняття похщно''' многочлена вводиться наступним чином (Завало, 1985).
Означення 3. Пох'дною многочлена /(х) = апхп + — а^х + ао з коефщентами з ктьця К називають многочлен
/'(х) = nanxn-1 + — 2а2х +
Вважають також, що похщна в^д многочлена нульового степеня та нуль-многочлена дорiвнюe нулю, тобто якщо /(х) = const, то /'(х) = 0.
Отже, в алгебрi поняття похiдноí многочлена над довтьним кiльцем (полем) вводиться за домовлеыстю (як многочлен певного виду). Зрозумто, що при такому пiдходi за певних обмежень збер^аються й основы правила диферен^ювання (для знаходження похщно' в^д суми, добутку, частки многочлеыв).
В курсi дискретно' математики (у роздЫ <^зницеве числення») для функцй заданих на множинi натуральних чисел, розглядаеться поняття р'1зницевого оператора, яке фактично е дискретним аналогом поняття похщно' у класичному розумiннi (Андерсон, 2004).
Означення 4. Нехай область визначення функцп /(х) разом з точкою х мiстить точку (х + 1). Р i зницевим оператором (оператором спадноipi3HUц або р'зницею першого порядку) функцп у = /(х) називаеться вираз виду
Д/(х) =/(х + 1)-/(х). (3)
Приклад 1. Знайти значення рiзницевого оператора вщ функцм /(х) = х, р(х) = 2х, g(x) = х2, й(х) = х!. Виходячи з означення 4, маемо: Дх = (х + 1) - х = 1; Д2* = 2(*+1) - 2х = 2*(2- 1) = 2х; Дх2 = (х + 1)2 - х2 = 2х + 1, Дх! = (х + 1)! - х! = (х + 1 - 1) • х! = х • х!.
Значення рiзницевого оператора в^д деяких елементарних функцш наведено у Таблицi 1.
Таблиця 1
Значення рiзницевого оператора вщ основних елементарних функцiй
/(*) Д/(*) /(*) Д/(*)
й£М 0 1 X 1 x(x + 1)
ах + b а а* a* (a - 1)
X2 2х + 1 loga* x + 1 l0ga r
X3 3х2 + 3х + 1 sinx / 1\ 1 2 cos I x + — ) sin—
хп ) C£xn-fc cosx -2sin(x+1)sin1
Запишемо формулу (3) у виглядi:
дд^^+^/М (4)
Тодi означення рiзницевого оператора стае певною мiрою подiбним до означення похщно''' (при цьому Дх ^ 0 слщ замiнити на Дх = 1 i прибрати символ границi). Неважко переконатися, що й властивост рiзницевого оператора Д аналопчы властивостям похiдноí. В довщнику (Корн&Корн, 1973) наводиться операторна формула, що пов'язуе рiзницевий оператор з оператором диферен^ювання.
Наведемо правила знаходження рiзницевого оператора (та для порiвняння правила знаходження похiдноí) для добутку на число, суми, рiзницi, добутку та частки двох функцш (Таблиця 2).
Таблиця 2
Властивост рiзницевого оператора та похщноТ
/(*) Д/(ж) /'(*)
5(x) ± ft(x) Д^(х) ± Дй(х) 5'(х) ± Л'(ж)
Cg(x), де С = const СД5(х) С^(х)
^(x) • ft(x) Д^(х)й(х) + ^(х + 1)Дй(х), або ^(х)Дй(х) + Д^(х)й(х + 1) ^(x)ft(x) + ^(х)й'(х)
Д^(х)й(х) -^(х)Дй(х) 0,(хЖх) -
ft(x) ft(x)ft(x + 1) (й(х))2
Приклад 2. Обчислити значення рiзницевого оператора вщ функцiй: 1) /(х) = 2х2 + 2х; 2) д(х) = 2х2 • 2х.
1) Д(2х2 + 2х) = 2 • (2х + 1) + 2х,
2) д(2х2 • 2х) = 2х22* + 2(2х + 1)2*+1 = 2*+1(х2 + 4х + 2).
Таким чином, рiзницевий оператор та похщна мають дуже схожi властивостi. Зрештою, ця схожiсть е закономiрною з огляду на те, що у деяких випадках, зокрема, при наближеному знаходженн розв'язюв диференщальних рiвнянь, похщну замiняють рiзницевим оператором. Вiдтак, можна розглянути можливiсть узагальнення понять похщно''' та рiзницевого оператора та 'х вiдповiдних характеристик.
Таке узагальнення було запропоноване у 1988 роц ымецьким математиком Стефаном Хтьгером та фунтуеться на понятт часово! шкали як довiльноï непорожньо! та замкнено! (з погляду теорй множин) пщмножини множини дiйсних чисел. Вщповщна теорiя дозволяе розглядати об'екти як на неперервних, так i на дискретних чи, навпъ, на неперервно-дискретних штервалах. Ключовим поняттям (яке як раз i об'еднуе в œ6i поняття похiдноï та рiзницевого оператора) у цiй теорй е поняття так звано!' A-noxiÔHo'i (дельта-похщно!).
Перш нiж перейти до означення Д-похщно!, розглянемо двi функцй, як визначають вид кожного елемента задано!' часово! шкали.
Означення 5. (Bohner&Peterson, 2001) На заданiй часовш шкалi Т функцiя а(х) = inf(t £T:t>x) називаеться функщею стрибка вперед, функ^я р(х) = sup(t £T:t<x) називаеться функ^ею стрибка назад, а функщя ^(х) = ff(x) — х називаеться функ^еюзернистост'1 задано!' часово! шкали.
Таким чином, ус точки задано!' часово! шкали класифтуються вiдносно значень зазначених вище функцш у такий спосiб (Bohner&Peterson, 2001):
1) якщо х < ff(x), то х - справа розсiяна точка;
2) якщо х = ff(x), то х - справа щтьна точка;
3) якщо х > р(х), то х - злiва розсiяна точка;
4) якщо х = р(х), то х - злiва щтьна точка;
5) якщо р(х) < х < а(х), то х - iзольована точка;
6) якщо р(х) = х = а(х), то х - щтьна точка.
Тепер можемо дати означення Д-похщно! функцй /(х), задано! на довтьый часовiй шкалi Т (додатково будемо вважати, що у випадку supT ф œ, значення функцй p(maxT)=maxT).
Означення 5. (Bohner&Peterson, 2001) Нехай T - задана часова шкала. Д-пох'дною задано! функцй /(х): T —> R в довтьнш точц х0 £ T називаеться функцiя /Д(х0), яка задовольняетакуумову:
V£ > 0 Э5(е): |х —хо1 < 5 ^ |/(<х(х)) — /(хо) — /Д(хо) • (<т(х) — хо)| < е|<т(х) — хо|. (5)
Очевидно, умова (5) узагальнюе умову (2) означення звичайно! похiдноï. 4-похщна /Д(х) функцй е звичайною похщною /(х) у випадку дiйсного вiдрiзка або визначае рiзницевий оператор 4/(х) =/(х + 1) —/(х) у випадку дискретного вiдрiзка (зокрема, на множинi цiлих чисел). Бтьш того, мае мiсце наступне твердження.
Теорема. (Bohner&Peterson, 2001) Мають м'сце наступи! твердження:
1) якщо функц/я /(х) е диференц/йовною у точц x у звичайному сена, то вона в ц/'й точц е неперервною;
2) якщо x есправарозсяною точкою часовоÏшкали, але в дiйснiй област'1 функц/я /(х) енеперервною в цш точц/, то Д-похдна функцй /(х) в цш точц мае значення
/Д(х) /(<Т(х))— /(х); (х) = *"(х) -
3) якщо x е справа щльною точкою часовоÏ шкали, то функц'т /(х) е диференц/йовною в цш точц/', тод'1 i тльки тод'1, коли iснуе ск'шченна границя
/( х) — /( )
lim-.
t^x х — t
Значення ц/'е'/ границ i е заченням Д-похдна функцй /(х) в цш точц
/Д(х) = Ит/(х) —/(t).
' W t^c х — t
Проiлюструемо застосування останньо! теореми для обчислення Д-похiдноï на прикладк
Приклад 3. Обчислимо значення Д-похщно! функцй /(х) = cos ах, задано! на часовiй шкалi T = [о-1] U {1,2,3} U [4-+œ).
Використовуючи попередню теорему, будемо мати:
1) якщо х £ [0;1) U [4-+œ), то х - справа щтьна точка i тому (cos ах)Д = (cos ах)' = —а sinаx;
2/
,, 1 , ^Д /(а(2))-/(2) /(1)-/(2) ni а\
2) якщо х = -, то (cos ах)Д = ——^-=-= 2 • (cos а - cos-);
, . _ „_______„ ,,, ± _ I cos а — cos- ,
2 К2) 1 (
3) якщо х £ {1,2,3}, то х - справа розаяна точка i
(cos ах)Д = = /(х + 1) — /(х) = cos а(х + 1) — cos ах.
ОБГОВОРЕННЯ
З викладеного вище випливае, що вивчення елеменпв теорй часових шкал, зокрема, Д-похщно! функцй та !"i властивостей дае можливкть узагальнити знання студентiв з математичного аналiзу i дискретно! математики та комплексно пщмти до розв'язування низки прикладних задач. Вiдповiдне завдання було реалiзоване одним iз авторiв статтi в рамках спецкурсу «Вибран питання сучасно! математики», який тривалий час викладався для студен^в-мапстратчв спецiальностi «Математика» у Сумському державному педагопчному унiверситетi iменi А.С.Макаренка.
Виходячи з того, що на вказаному освтньому рiвнi студенти добре волод^ть основними поняттями та iнструментами диферен^ального числення, а деякi з них знайомi з рiзницевим численням, вивчення Д-похщно! з одного боку дозволяе узагальнити !'х знання щодо похщно! функцй неперервного аргументу та рiзницевого оператора, сформувати цiлiсне уявлення про ц два поняття та чггко розумiти межi !'х використання, а з Ышого - провести певн паралелi мiж !'х властивостями та застосуваннями, i, як наслщок, - встановити зв'язки мiж рiзницевим та диференщальним численням. Наявнiсть вiдповiдних знань у майбутых вчителiв математики важко переоцЫити, бо вони не лише в^грають певну роль у фундаментальна математичнiй пiдготовцi, формуваннi певного рiвня математично! культури та наукового
свггогляду, а й сприяють бтьш глибокому розумЫню сутностi прикладно'' i практично'' спрямованост математики та оволодiнню ii методами.
ВИСНОВКИ ТА ПЕРСПЕКТИВИ ПОДАЛЬШОГО ДОСЛ1ДЖЕННЯ
Встановлення зв'язкiв мiж моделями i методами дослiдження, якi використовуються при вивченн рiзних математичних дисциплiн, що входять у програму пщготовки майбутых фахiвцiв-математикiв, дозволяе сформувати у студенев цiлiсне уявлення про математичнi об'екти, алгоритми i теорГ', i як наслщок, робить 'х знання системними i практично бiльш значущими. Це сприяе Ытелектуальному розвитку студентiв, формуванню в них системних математичних знань, пщвищенню рГвня математично'' грамотностi та Ытересу до предмету.
Зазначимо також, що спещальна теорiя часових шкал дае можливкть поширити iнтегрований пщхщ щодо вивчення похщно'' та рТзницевого оператора на вивчення обернених перетворень та вщповщних понять - первкно'' (iнтеграла) та антирiзницевого оператора, що е дискретним аналогом оператора штегрування.
Список використаних джерел
1. Андерсон Дж. А. Дискретная математика и комбинаторика. М.: Изд. дом «Вильямс», 2004. 960 с.
2. Гельфонд А .О. Исчисление конечных разностей. М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит-ры, 1959. 400 с.
3. Завало С.Т. Курс алгебри. К.: Вища школа, 1985. 503 с.
4. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). М.: Наука, 1973. 832 с.
5. Страх О.П., Лукашова Т.Д. Мiждисциплiнарнi зв'язки при вивченн деяких тем дискретно' математики та диферещальних рТвнянь. Фiзико-математична освп^а, 2021. Вип. 3 (29). С. 112-118.
6. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Т.1. М.: Наука, 1968. 440 с.
7. Ядренко М.Й. Дискретна математика: Навчальний поабник. К.: "ТВГМС", 2004. 245 с.
8. Bohner M., Peterson A. Dynamic equations on time scales. An introduction with applications. Birkhauser Boston Inc., Boston, MA, 2001. 360 p.
9. Kelley W., Peterson A. Difference Equations: An Introduction with Applications (Second edition). Academic Press, 2001. 403 p.
References
1. Anderson, J.A. (2004). Discrete Mathematics with Combinatorics [Diskretnaja matematika i kombinatorika]. Мoskow: Ed. house "Williams" [in Russian]
2. Gelfond, A.O. (1959). Finite Difference Calculus [Ischislenie konechnyh raznostej]. M.: State. publishing house physical-mat. lit-ry [in Russian]
3. Zavalo, S.T. (1985). Course of Algebra [Kurs alhebry]. K.: High school [in Ukrainian].
4. Korn, G. & Korn, T. (1973). Handbook of mathematics (for scientists and engineers) [Spravochnik po matematike (dlja nauchnyh rabotnikov i inzhenerov)]. M.: Science [in Russian]
5. Strakh, O. & Lukashova, T. (2021). Mizhdystsyplinarni zviazky pry vyvchenni deiakykh tem dyskretnoi matematyky ta dyferetsialnykh rivnian [Interdisciplinary connections in the study of some topics of discrete mathematics and differential equations]. Fizyko-matematychna osvita - Physical and Mathematical Education, 3 (29), 112-118 [in Ukrainian].
6. Fikhtengolts, G.M. (1968). Fundamentals of mathematical analysis [Osnovy matematicheskogo analiza]. V.1. М.: Science [in Russian].
7. Yadrenko, M.Y. (2004). Discrete Mathematics: A Textbook [Dyskretna matematyka: Navchalnyi posibnyk]. K.: "TViMS" [in Ukrainian].
8. Bohner, M. & Peterson, A. (2001). Dynamic equations on time scales. An introduction with applica- tions. Birkhauser Boston Inc., Boston, MA.
9. Kelley, W. & Peterson, A. (2001). Difference Equations: An Introduction with Applications (Second edition). Academic Press.
INTEGRATED APPROACH TO DEFINITION OF DERIVATIVE OF FUNCTIONS, WHICH IS DEFINED ON CONTINUOUS AND DISCRETE SETS T.D. Lukashova, O.P. Strakh
Makarenko Sumy State Pedagogical University, Ukraine
Abstract. The acquisition by a student of complex knowledge by studying generalizing theories and methods, the basic fundamental concepts are defined through which, is an important element in his training as a future specialist, in particular in the field of mathematics. Today there are a number of such theories, and their using is singled out even as methods of independent scientific directions. Applying elements of generalization and comparison of objects of study of different mathematical disciplines in the educational process, we also significantly contribute to the construction of interdisciplinary connections, which in turn have a positive impact on the comprehensive development of the future specialist and the realization of his potential in scientific and professional activities. Formulation of the problem. Analysis of the main provisions of differential and difference calculus leads to the conclusion that there are significant similarities between the properties of the derivative and the difference operator, which are based characteristics of functions that are defined on continuous and discrete sets, respectively. It turns out that this similarity is not accidental, and these concepts are partial cases of the concept of delta derivative of function. Materials and methods. The authors used the following research methods: systematic analysis of scientific, educational and methodological literature; comparison and synthesis of theoretical positions; monitoring the course of the pedagogical process; generalization of own pedagogical experience and experience of colleagues from other institutions of higher education. In addition, some general mathematical and special methods of differential and difference calculus and time scale theory were used. Results. This article considers a general approach to the study of two fundamental mathematical concepts - the concept of derivative and difference operator, as well as ways to use this approach to establish connections between different mathematical theories in order to form a holistic view of mathematical objects, their properties and application.
Conclusions. Establishing connections between models and research methods used in the study of various mathematical disciplines included in the training program for future specialists in mathematics, allows students to form a holistic view of mathematical objects, algorithms and theories, and as a consequence, makes them knowledge is systematic and practically more significant. This contributes to the intellectual development of students, the formation of their systematic mathematical knowledge, increasing the level of mathematical literacy and interest in mathematics.
Keywords: derivative, difference operator, delta derivative, differential calculus, difference calculus, continuous set, discrete set.
This work is licensed under Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License.
