Методика изучения понятия «Геометрическая вероятность» в структуре «Традиционного» школьного курса математики Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.212.3

UDC 519.212.3

Л.А. ТЕРЕХОВА

кандидат педагогических наук, доцент, кафедра математического и информационного анализа экономических процессов, Орловский государственный университет имени И.С. Тургенева E-mail: [email protected]

L.A. TEREKHOVA

Candidate of Pedagogics, Associate Professor, Department of mathematics and information analysis of economic processes, Orel State University named after I.S. Turgenev

E-mail: [email protected]

МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ ПОНЯТИЯ «ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ» В СТРУКТУРЕ «ТРАДИЦИОННОГО» ШКОЛЬНОГО КУРСА МАТЕМАТИКИ

METHODS OF STUDYING THE CONCEPT OF "GEOMETRIC PROBABILITY" IN THE STRUCTURE OF THE "TRADITIONAL" SCHOOL MATHEMATICS

В статье показано, как изучение стохастического понятия «геометрическая вероятность» способствует укреплению внутрипредметных и межпредметных связей школьного курса математики, усилению его прикладной направленности и значимости для современного человека. Приведенные примеры реализуют принцип наглядности, расширяют представления школьников о вероятности случайных событий, знакомят их с парадоксами теории вероятностей.

Ключевые слова: элементы стохастики, геометрическая вероятность, внутрипредметные связи школьного курса математики, когерентно-интегративный подход.

The article shows how the study of stochastic concept of «geometric probability» promotes intrasubject and interdisciplinary connections of school mathematics course, strengthens its applied orientation and importance for the modern man. These examples implement the principle of visibility, expand the representation of schoolchildren about the probability of random events, introduce them to the paradoxes ofprobability theory.

Keywords: stochastic elements, geometrical probability, Intra Communication school mathematics, coherently integrated approach.

Введение элементов логики, комбинаторики, статистики и теории вероятностей (элементов стохастики) в школьный курс математики направлены на решение определенных образовательных задач. С одной стороны, на формирование у учащихся: умения извлекать, анализировать и обобщать окружающую их информацию, с другой - на понимание того, что они живут в мире случайностей и закономерностей. Всё это способствует развитию представлений у учащихся о математике как методе научного познания окружающего мира. Умение анализировать и оценивать вероятности наступления тех или иных событий способствует формированию вероятностного стиля мышления и представлению о математическом моделировании и о его роли при анализе окружающего мира. Кроме того, введение элементов стохастики направлено на иллюстрацию прикладной направленности школьного курса математики, что способствует приобщению школьников к поисковой, творческой деятельности и развитию исследовательских способностей [5]. Также введение вероятностно-статистической составляющей в курс математики направлено на повышение интереса учащихся к изучению математики, развитию логического и вероятностно-статистического мышления. Таким образом, введение элементов стохастики в школьный курс

математики направлено не только на формирование у учащихся новых понятий и представлений [8], но и на обогащение «традиционной» математики, укрепление ее внутрипредметных и межпредметных связей, усиление ее прикладной направленности и значимости для современного человека.

В настоящее время сложилось несколько подходов к введению элементов стохастики в школьный курс математики, на основе которых разработаны учебники и учебно-методические комплексы, которые отличаются не только последовательностью изложения материала, но и методикой его подачи. Тем не менее все авторы выделяют общие понятия, которые должны быть сформированы у школьников в процессе обучения. К таким понятиям относятся: элементы комбинаторики, частота и вероятность случайного события, геометрическая вероятность, элементы статистики, моделирование случайных экспериментов, закон распределения случайной величины и нормальное распределение случайной величины, теорема Бернулли и т.д.

Рассмотрим методику введения понятия «геометрическая вероятность» в школьном курсе математики. О значении изучения данной темы в курсе алгебры и начал математического анализа сказано в пособии [6, С. 165]:

- реализуется принцип наглядности в обучении

© Л.А. Терехова © L.A.Terekhova

математике, что особенно важно для учащихся с доминантой наглядно-образного мышления;

- расширяются представления школьников о вероятности случайных событий;

- осуществляется интеграция курсов планиметрии и теории вероятностей и математической статистики, что ведет к более глубокому пониманию изучаемого материала и реализации внутрипредметных связей курса математики в целом;

- классическая, статистическая и геометрическая вероятности обобщаются до аксиоматической вероятности.

Анализ различных учебников и учебно -

методические комплексов показал, что разные авторы

предлагают вводить это понятие в 8, 9 или в 11 классе.

Соответственно, по-разному подходят они и к методике

введения понятия. Во многих учебных пособиях не приводится определение данного понятия, а дается лишь

описательное определение на основе анализа примеров. Такой подход объясняется тем, что при проведении экспериментов, учащиеся сталкиваются с ситуациями, которые имеют бесконечное число исходов. В этом случае использование классического определения вероятности недопустимо. Поэтому, чтобы преодолеть недостаток классического определения вероятности, вводят геометрические вероятности - вероятности попадания точки в область, отрезок, часть плоскости и т.д.

Рассмотрим методику введения данного понятия с точки зрения когерентно-интегративного подхода [7], основным средством которого является решение задач. Геометрическая линия школьного курса основана на решении задач трёх основных видов - на вычисление, на построение и на доказательство. Однако в практике обучения задачи на доказательство используются реже, чем остальные. Это объясняется тем, что задачи на вычисление являются в большей части задачами алгебры, основанными на геометрическом материале. Задачи на построение отражают специфическую особенность курса геометрии. Задачи на доказательство являются интегративными по своей природе и способствуют усилению внутрипредметных связей.

Покажем на конкретных примерах, что геометрический подход к вероятности события не зависит от геометрического пространства: отрезок, часть плоскости и т.д. Классическим примером введения понятия геометрической вероятности является опыт с рулеткой. Данная задача также является иллюстрацией принципа наглядности при обучении математике.

Пример 1. Проводится опыт с рулеткой радиусом г=4 см., разделенной на 12 равных секторов, два из которых заштрихованы (рисунок 1). В центре рулетки закреплена стрелка, которая раскручивается и останавливается в случайном положении. Найдите вероятность того, что Дима, вращая её, попадёт в заштрихованный сектор. Имеет ли значение, как заштрихованы сектора рулетки?

Рис. 1. Рис. 2.

Решение. Данную задачу, можно решать несколькими способами. Всего рулетка разделена на 12 равных секторов (значит равновозможных), в любой из которых может попасть Дима, но только 2 из них заштрихованы, поэтому вероятность того, что Дима попадёт в заштри-2 1

хованный сектор, равна — = — •

Рассмотрим 12 6 задачи с геометрической

решение этой

точки зрения. Так как площадь круга (рулетки) находится по формуле Л'(Л„ = у IV. то, согласно условию задачи, площадь нашей рулетки равна = 16 V (см.2). Поскольку рулетка разделена на 12 равных секторов, значит их площади равны и поэтому порядок закрашивания секторов рулетки не имеет значения, так как их площади равны. Так как рулетка разделена на 12 равных

- " 5 - ^

частей, то площадь одного сектора - — • V» и со-

12

ставит таким образом 8 а

= ^ \'= 1.1'(см.2). Поскольку

12 3

только 2 сектора заштрихованы, то площадь заштрихованной части будет равна = 2Л'„; . Тогда искомая ве-

роятность будет р =

2

2-я 3 .

16л-

Таким образом, при введении понятия геометрической вероятности, мы не только основывались на понятиях равнозначности и классического определения вероятности, но и привлекли к решению задачи понятия «традиционной» математики: площадь круга, часть числа, действия с дробями, что является примером укрепления внутрипредметных связей школьного курса математики.

Геометрическое решение данной задачи можно усложнить, для этого необходимо изменить вид рулетки, например, как показано на рисунке 2. Если сектора рулетки, на которые поделена вертушка сделать неравными, то такую задачу можно решить только геометрически.

Приведем пример еще одной задачи, решение которой основано на геометрической интерпретации и направлено на реализацию принципа практической значимости в обучении математике.

Пример 2. На соревнованиях по Стендовой стрельбе участники соревнуются в стрельбе по движущейся мишени, которая представляет собой круг R=50см (рис. 3). Мишень движется прямолинейно, проходя

расстояние а=5м. Определить вероятность попадания спортсмена в движущуюся мишень, при условии, что

Рис. 3.

Решение. Используя геометрическое определение вероятности Р , где Л', - площадь мишени, 8 - общая площадь, заметаемая мишенью при движении. Так

2

как площадь мишени находится по формуле ^ = я Я ,

тогда вероятность будет нахо-71К2

Р = -

S=Sn+S, = 2aR + kR

диться

р = -

по

формуле

TtRr+laR

л-0,5

' 0,14 .

тг-0,5 +2-5-0.5 71+ 20

Поскольку понятие геометрической вероятности основано на отношении пространственных величин, то данное понятие может быть введено не только с помощью понятия площади фигур, но и с помощью таких понятий, как график функции на координатной плоскости.

Пример 3. Лиза изобразила на координатной плоскости график функции у=3 и обозначила на нем точки А(-4;3) , В(6;3). Какова вероятность, что точка, наудачу поставленная на отрезке АВ, окажется в I четверти?

Поскольку число исходов в этой задачи бесконечно, то мы не можем подсчитать количество точек, лежащих на прямой АВ и ВС. Поэтому для определения вероятности рассматриваемого события нам необходимо воспользоваться понятием длины отрезка. На координатной плоскости построим график функции у=3 и обозначим на нем точки А(-4;3) , В(6;3) (рисунок 4). Точку пересечения функции у=3 с осью ординат обозначим буквой С.

Вероятность, что точка, наудачу поставленная на отрезок АВ, окажется в I четверти, найдется как отношение длины отрезка СВ к длине отрезка АВ, т.е.

Р = Ь

1АВ

A(-4,3) C B(6,3)

1 1 1 1 1 1 1 1 I 1 1 1 _ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 i >

-4 -1 ' 0 1 1 1 1 4 6

Рис. 4.

Длина отрезка СВ, согласно рисунку, равна 6 ед., а длина отрезка АВ равна 10 ед. Таким образом, вероятность, что точка, наудачу поставленная на отрезок АВ,

окажется в I четверти, равна р = 0,6 .

Рассмотрим, как можно с помощью аналогичной задачи укрепить внутрипредметные связи школьного курса математики с такими понятиями, как: координатная плоскость, теорема Пифагора, понятие иррационального числа.

Пример 4. Маша изобразила на координатной плоскости график функции у = х и обозначила на ней точки А(-2; 2) и В(5; 5). Какова вероятность, что точка, наудачу поставленная на отрезке АВ, окажется в I четверти?

Построим на координатной плоскости график функции у = х и обозначим на нем точки А(-2;-2), В(5;5) (рис. 5).

у

5

Рис. 5.

Вероятность, что точка, наудачу поставленная на отрезок АВ, окажется в I четверти, найдется как отношение длины отрезка ОВ к длине отрезка АВ, т.е.

lAB

Длина отрезка АВ складывается из длин двух отрез-

ков ОВ и OA, т.е. L » = + L,

ЮББ :

. Длину отрезка ОВ най-ОБ = .Job2

- ББ ,'

дем, рассмотрев

ОВ = 725 +25 = 5л/2 .

Длина отрезка ОА находится аналогично и равна ОА = 2^2 . Таким образом,

1АВ = 1ов + 1ОА= 5 л/2 + 2л/2 = l--.fl . Вероятность равна 5^2 _ 5 7л/Г ~~ ~7

Р =

Рассмотрим классическую задачу о встрече, которая демонстрирует связь геометрической линии с элементами стохастики [1, С. 27-28].

Пример 5. Коля и Оля договорились встретиться в центральном парке с 12.00 до 13.00. Пришедший первым ждет другого в течении 30 минут, после чего уходит. Какова вероятность, что они встретятся, если каждый из них с одинаковой вероятностью может прийти в любой момент времени в течение заданного часа?

Решение. Обозначим время прихода в парк Коли через х, а Оли - через у (для удобства будем выражать время в минутах, прошедших после 12 часов). Тогда точка с координатами (х,у) будет случайной точкой в квадрате на плоскости Оху. Каждая точка этого квадрата - это

y

один из возможных исходов. Встреча состоится, если выполняется условие |-х- — < 30 . Множество такихто-чек удовлетворяющих этому условию, лежит на заштрихованной плоскости, представленной на рисунке 6.

30

30

60

Рис. 6.

Площадь заштрихованной части можно найти, вычитая из площади квадрата площади двух равных треугольников: £ =602-2*1_*30*30 = 2700.

*и 2 Искомую вероятность встречи находим как отношение «благоприятной» площади ко всей площади квадрата: р =

3600 4

Мы рассмотрели несколько задач, связывающих классическое определение вероятности и её вычисление с помощью геометрических понятий: координаты точек на плоскости, длина, площадь фигуры и математических понятий: действие с дробями, часть числа, иррациональные числа, приближенные вычисления. Однако геометрическая линия школьного курса математики содержит в себе и понятие угла.

Пример 6. На деревянную поверхность с высоты 1м бросают много гвоздей. Опытным путем установлено, что воткнутся лишь те гвозди, которые соприкоснутся с доской под углом более 60 0 . Определите, сколько нужно бросить гвоздей, чтобы не менее 10 из них воткнулись в поверхность доски. Если падение гвоздей считать случайным событием, а все исходы равновероятными.

положениями гвоздя, вертикальным и горизонтальным, возможны любые варианты углов 0 0 < а < 90 0 . Однако, благоприятными по условию задачи являются углы

30° 1

больше 60 0. Таким образом, Р(а) =—— = —, то есть

90 3

воткнется в доску каждый третий гвоздь. Поэтому, чтобы в доску воткнулось не менее 10 гвоздей, их надо взять в 3 раза больше.

Следует отметить, что взаимодействие элементов стохастики с геометрической линией школьного курса математики не только позволяет решать ряд задач с бесконечным числом исходов, но и познакомить школьников с классическими парадоксами теории вероятно -стей. В качестве примера рассмотрим задачу о длинах случайных хорд [2, С. 50-51]. Этот пример расширяет представления школьников о вероятности случайных событий, осуществляет интеграцию планиметрии и элементов стохастики.

Пример 7. Если хорда выбирается наудачу в заданном круге, то какова вероятность того, что ее длина больше радиуса круга?

Решение. Пока выражение «наудачу» не уточнено, задача не имеет определенного ответа. Рассмотрим несколько вариантов расположения хорды относительно центра окружности (рис. 8).

Пусть радиус круга равен R.

1. Допустим, что расстояние хорды от центра круга равномерно распределено 0 и Я. Поскольку правильный шестиугольник со стороной Я можно вписать в круг, для определения искомой вероятности найдем расстояние d стороны этого шестиугольника от центра и разделим на величину радиуса. Заметим, что d - высота правильного треугольника со стороной R. Из планиметрии известно,

что

V 4 2 Следовательно, искомая вероятность равна отноше-

Лъ

нию длины хорды к радиусу окружности, т.е. % .

2 К 2

2. Пусть середина хорды равномерно распределена во внутренности круга. Из рисунка видно, что хорда длиннее радиуса, когда середина хорды находится на расстоянии, меньшем ^ от центра. Таким образом, все точки круга радиуса ^ концентрического с исходным кругом, являются геометрическим местом точек середины хорд. Площадь этого круга, деленная на площадь ис-_ л л 3

ходного, равна

• V3

п d жЯ2

_jL = _. Следует заметить, что К2 4

эта вероятность равна квадрату выражения, полученного в первом случае.

Рис. 7.

V

60

0

Решение. Пространство случайных событий данной задачи составляют различные углы образуемые гвоздями с поверхностью доски (рисунок 7). Между крайними

d

R R

Рис. 8.

3. Допустим, что хорда определяется двумя точками на окружности исходного круга. Пусть первая точка попала в точку А (рис. 8). Для того чтобы хорда была короче радиуса, вторая точка должна попасть на дугу

ВАС, длина которой есть 1 длины окружности.

3

Следовательно, вероятность того, что хорда длиннее ра-

1 1 2 диуса, равна 1- _= _.

3 3

Таким образом, в зависимости от того, как интерпретировать расположение хорды внутри окружности, мы получаем разные значения вероятностей

л/з I 2 - -^. . —одной и той же задачи.

2 4 3

Рассмотрим еще один пример, показывающий связь геометрического определения вероятности с такими понятиями школьного курса математики, как построение графиков функции, площадь криволинейной трапеции, определенный интеграл.

Пример 8. Некоторое устройство генерирует случайные сигналы, лежащие на координатной плоскости в области, ограниченной кривыми у = 0, у = 3 - 2х - х2. Для эксперимента необходимы сигналы, лежащие в области над прямой у = 1-х . Каковы шансы, что очередной сигнал будет благоприятным?

Решение. Построим график функций (рис.9) и най-

дем абсциссы точек их пересечения: 1- х = 3 - 2х - х2.

Решая это квадратное уравнение, получаем две точки пересечения с абциссами: х = 1 и х = -2 . Так как вероятность попадания в заштрихованную область определяется как отношение площади криволинейной трапеции ADC к площади криволинейной трапеции

EADC, то

Р =

S„

Рис. 9.

1

Так

как

Sr

х-х2)с/х =

32

S,

-3

27

= f (З-2x-x2)cfc =_

3

1 —'

тогда искомая вероят-

< 0,84 .

_ 27

ность равна Р ~ —г

32

Таким образом, мы рассмотрели примеры, позволяющие соединить понятие «геометрическая вероятность» с разнообразными темами школьного курса математики и тем самым укрепить его внутрипредмет-ные связи. Данные задачи отражают практическую значимость математики, реализуют принцип наглядности, расширяют представления школьников о вероятности случайных событий, иллюстрируют межпредметные взаимосвязи курса математики, алгебры, начал анализа и планиметрии.

R

B

R

R

R

A

C

а

3

Библиографический список

1. Бунимович Е.А., БулычевВ.А. Вероятность и статистика в курсе математики общеобразовательной школы: лекции 1-4. М.: Педагогический университет «Первое сентября», 2005. 128 с.

2. Мостеллер Ф. Пятьдесят занимательных вероятностных задач с решениями. М.: Издательство «Наука» главная редакция физико-математической литературы, 1975. 112 с.

3. Ткачева М.В. Элементы статистики и вероятность: учеб. пособие для 7-9 кл. общеобразоват. учреждений / М.В. Ткачева, Н.Е. Федорова. 2-е изд. М.: Просвещение, 2005. 112 с.

4. Бродский И.Л., Мешавкина О.С. Вероятность и статистика. 10-11 классы. Планирование и практикум для учителя. 104 с.

5. Лебедева Е.В., Селютин В.Д. Прогнозирование как способ осуществления прикладной направленности курса теории вероятностей и математической статистики // Ученые записки Орловского государственного университета. Серия: гуманитарные и социальные науки.- 2014. № 1(57). С. 393-399.

6. Егорченко И.В. Методика изучения элементов комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики: учеб. пособие. Саранск, 2011.

7. Селютин В.Д., Терехова, Л.А. Стохастика в канве школьной математики: учебно-методическое пособие. Орёл: изд-во ООИУУ, 2007. 106 с.

8. Селютин В.Д. Методика формирования первоначальных статистических представлений учащихся при обучении математике. Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук / НИИ содержания и методов обучения АПН СССР. Москва, 1985. 18 с.

References

1. Bunimovich E.A., Bulychev V.A Probability and statistics in mathematics courses of secondary school: lectures 1-4. M .: Teaching University «First of September», 2005. 128 p.

2. Mosteller F. Fifty entertaining probabilistic problems with solutions. M.: Publishing house «Science» major revision of physical and mathematical literature, 1975. 112 p.

3. TkachevaM.V. Elements of statistics and probability: Manual for 7-9 grades of a general educational institutions / M.V. Tkacheva,

N.E. Fedorova. 2nd ed. M .: Education, 2005. 112 p.

4. Brodsky I.L., Meshavkin O.S. Probability and statistics. 10-11 grades. Planning workshop for teachers. 104 p.

5. Lebedeva E.V., Seljutin V.D. Anticipation as a way of the applied orientation of a course in probability theory and mathematical statistics // Scientific notes of Orel State University. Series: humanities and social sciences. 2014. № 1 (57). Pp. 393-399.

6. Egorchenko I.V. Methods of studying the elements of combinatorics, probability theory and mathematical statistics: Textbook. Saransk 2011.

7. Seljutin V.D., Terekhova L.A. Stochastics in canvas of school mathematics: a teaching aid. Orel: Publishing House OOIUU, 2007. 106 p.

8. Seljutin V.D. Methodology of the initial statistical representations of pupils at studying of mathematics. Abstract of dissertation for the degree of candidate of pedagogical sciences / Research Institute of content and teaching methods of the USSR APN. Moscow, 1985. 18 p.