CC BY
80
В.Д. СЕЛЮТИН
доктор педагогических наук, профессор, заведующий кафедрой алгебры и математических методов в экономике Орловского государственного университета Е-шаИ: [email protected] Тел. 8 919 267 81 54
Е.И. СОЛОМАТИНА
учитель математики средней общеобразовательной школы №17 г. Орла Е-шаИ: [email protected] Тел. 8 910 300 32 89
МЕТОДИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ВВЕДЕНИЯ ПОНЯТИЯ «ВЕРОЯТНОСТЬ СОБЫТИЯ» ПРИ ИЗУЧЕНИИ ПРОЦЕНТОВ
В статье рассматривается новый методический подход к введению понятия «вероятность события» с использованием знаний о процентах.
Ключевые слова: проценты, статистика, элементы стохастики, событие, вероятность.
Одной из основных в школьной математике 5-6 классов является тема «Проценты». Независимо от многократного реформирования содержания обучения детей математике, она неизменно присутствует в учебниках на протяжении большого исторического периода. Накоплен достаточно богатый опыт обучения процентам, сложились определенные традиции в использовании методических средств.
До появления в школе вероятностно-статистической (стохастической) содержательно-методической линии процент был одним из немногих математических понятий, обладающих скрытыми резервами статистического анализа распространенных жизненных ситуаций. Однако, сложившаяся методика обучения процентам, не опирающаяся на статистический материал при введении этого явно статистического понятия, не способствовала развитию стохастических представлений и формированию умений практического применения математики. Познакомившись с понятием процента на раннем этапе изучения математики, школьники не находили применения ему в других разделах и воспринимали его инородным по отношению к основному содержанию этой дисциплины.
Включение в школьную математику стохастической линии отрывает богатые возможности принципиальной перестройки методики обучения процентам. Процент становится одним из элементов новой линии, ее составной частью. Во взаимодействии с другими элементами стохастики проценты обладают большим потенциалом для формирования у детей целостной картины мира и законов его развития. С другой стороны, усвоение учащимися самого программного материала по теме «Проценты»
© В.Д.Селютин, Е.И.Соломатина
оказывается более успешным, если их изучение построено на основе обработки экспериментальных сведений. Другие разделы обогащаются текстовыми задачами на проценты практической направленности, что позволяет расширить рамки изучения темы «Проценты» до старших классов включительно, укрепляет внутрипредметные и межпредметные связи курса математики.
При изучении процентов в рамках вероятностностатистической содержательной линии становится возможным посмотреть на проценты не как на специфичную «проходящую» тему, изучение которой ограничено фактически рамками учебников 5-6 классов, а как на средство статистического анализа, которое является насущной потребностью наряду с числами. Смена акцента с цели на средство позволяет увидеть их значимость для современной жизни, а, следовательно, расширить рамки применения и глубину изучения. С другой стороны, это позволяет осуществить плавное органическое вхождение стохастического материала в традиционные темы школьного курса математики.
Одним из примеров, демонстрирующим потенциальные возможности процентов, может служить использование их в качестве средства формирования понятия «вероятность события». Ведь в обыденных ситуациях принятия решений люди предпочитают оценивать вероятности событий в процентах, а не в виде обыкновенных или десятичных дробей. Скорее можно услышать, например, о прогнозе 75-ти процентной вероятности дождя, чем это же утверждение, выраженное дробью 3. Более того, представители старшего поколения помнят, что в прошлом встречались люди, не знающие дробей, но
умеющие рассуждать о процентных соотношениях.
Поэтому, как в процессе пропедевтики понятия вероятности события, так и при его введении, целесообразно учитывать факты накопления учащимися житейских знаний и овладения ими соответствующей терминологией.
Подготовительный к изучению процентов этап должен быть связан с задачей формирования представления о сотой части некоторой совокупности объектов. Предлагаемый подход позволяет использовать субъектный опыт учащихся, связанный с решением житейских стохастических проблем.
Формирование представлений о «более возможных», «менее возможных» и «одинаково возможных» событиях целесообразно совместить с подготовкой к усвоению понятия процента.
Пример 1. Никита, Кристина и Даниил собирают марки (таблица 1). Они решили сравнить свои коллекции. Что общего в их коллекциях? В чём различия? Если каждый из них положит свои марки в коробку и будет выбирать наугад одну, то для какого вида марок больше возможности оказаться вынутой: а) Никитой, б) Кристиной, в) Даниилом?
Таблица 1
Таблица 3
Вид марки Живот- Автомо- Космос Цветы Корабли Всего
Никита 24 40 32 3 100
Кристина 48 2 64 80 6 200
Даниил 12 20 16 50
Анализируя данную статистическую таблицу, ученики выявляют, что общим является набор видов марок. Отличаются коллекции количественным составом. Чтобы ответить, какую марку возможно чаще будет извлекать каждый из ребят, находят частоты (таблица 2).
Таблица 2
Вид марки Живот- ные Автомо- били Космос Цветы Корабли Сумма частот
Частота у 24 40 32 3 100 1
Никиты 100 100 100 100 100 100
Частота у 48 2 64 80 6 200
Кристины 200 200 200 200 200 200 1
Частота у 12 20 16 50
Даниила 50 50 50 50 50 50=1
Сравнивать более удобно, если все полученные частоты привести к одинаковому знаменателю. Целесообразно выбрать знаменатель 100 (таблица 3).
Вид марки Живот- ные Автомо- били Космос Цветы Корабли Сумма частот
Частота у 24 40 32 3
Никиты 100 100 100 100 100
Частота у 24 32 40 3
Кристины 100 100 100 100 100
Частота у 24 40 32 2 2
Даниила 100 100 100 100 100
На основании этого ученики выдвигают предположение, что у Никиты и Даниила больше возможности вынуть марку с изображением автомобиля, а у Кристины - марку с цветами.
Так ходе решения различных задач, посвященных анализу статистических сведений, учащиеся получают представления о сотой части совокупности объектов. После того как они узнают определение понятия процента, складываются благоприятные условия для введения понятия «вероятность события», чтобы оно не воспринималось инородным среди других понятий математики.
Пример2. Горошина наудачу бросается на прямоугольный стол (рисунок 1). Какое событие более вероятно: а) горошина попадет в круг I; б) горошина попадет в круг I I; в) горошина попадет в квадрат I I I ?
Рисунок 1
Сопоставляя площади фигур, учащиеся смогут сравнить возможности наступления рассмотренных событий. Различные фигуры могут иметь разные площади. Также и события: одни более возможны, а другие менее возможны. Возможность наступления события можно выразить числом. Такое число, скажет им учитель, называют вероятностью события.
Как же найти это число? Когда мы не знали формулу площади круга, то вычисляли ее приближенно при помощи палетки, то есть экспериментально. Также можно вычислить вероятность события, если провести опыты, наблюдения, измерения и т.д.
Рассказывая далее об опытах Бюффона с подбрасываниями монеты 4040 раз, обращаем внимание, что «герб» и «цифра» выпадали примерно одинаково часто. А вот в 24000 опытах Пирсона различие в частотах этих событий еще меньше: частота выпадения герба равна 50,05 %, а частота выпадения цифры равна 49,95 %.
Обычно люди в такой ситуации говорят, что получен результат «примерно 50 на 50».
Если кто-то отважится провести еще боль-
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ
ше опытов, чем провел К. Пирсон, например 10 миллионов опытов, то можно предположить, что результат «примерно 50 на 50», скорее всего, подтвердится еще лучше.
Конечно, монета должна быть «правильной», недеформированной, чтобы стороны ее были «равноправны». Тогда говорят, что каждое из двух событий «выпал герб» и «выпала цифра» происходят с вероятностью 50%. Эти события имеют одинаковые вероятности, то есть являются равновероятными (равновозможными).
Иначе получается при подбрасываниях канцелярской кнопки. Обсуждая результаты экспериментов с канцелярской кнопкой, приводим к выводу, что при большом числе опытов частота выпадения кнопки острием вверх, как правило, близка к 60%, а вниз - к 40%. Можно считать, что кнопка выпадает острием вверх с вероятностью 60%, а острием вниз
- с вероятностью 40%. Эти события неравновероятные (неравновозможные).
Возвращаясь к приближенным значениям площади фигуры, отмечаем, что они могут быть различными. Но точное значение площади фигуры единственное. Аналогично, частота события получается различной в разных исследованиях. Но при большом числе наблюдений частоты группируются (за редким исключением) около теоретически ожидаемого числа, которое и является вероятностью данного события.
ПримерЗ. В таблице 4 представлены результаты экспериментов с двумя различными монетами. Чему равны вероятности выпадения герба для этих двух монет? Какую монету следует считать «правильной», а исходы равновозможными?
Таблица 4
ем на основе частоты.
Подходя к классическому способу подсчета вероятности, уместно и своевременно обсудить с учениками вопрос о погрешности, допускаемой при оценке вероятности по частоте. Пусть при проведении эксперимента установили, что вероятность некоторого события приближенно равна 57%. Мы не можем найти абсолютную погрешность этого числа, так как не знаем точного значения вероятности.
Другое дело, если бы вероятность была известна до проведения опытов! Оказывается, вероятности многих событий можно находить, не проводя экспериментов. Так, например, если заранее (до опытов) предположить, что монета «правильная», то в ситуации с подбрасыванием монеты вероятности каждого из двух исходов считаются равными 50%. Это хорошо подтверждается в экспериментах с обычной монетой. А вот для канцелярской кнопки это не так.
Во многих распространенных случаях вероятность вычисляют, основываясь на предположении равновозможности исходов испытания.
Например, если площадь журнального стола 80 см х 50 см =4000 см2 , а площадь салфетки 20 см х 20 см =400 см2 (рисунок 2), то вероятность того, что случайно оброненная на стол бусинка попадет на салфетку, считается равной 10%. Ведь салфетка занимает 10% площади этого стола.
Рисунок 2
Число испытаний Число выпадений герба
1-ая монета 2-ая монета
10 4 1
100 47 23
1000 502 191
50000 25019 10170
100000 49997 20007
Здесь надо вычислить частоты и, сравнив их между собой, прийти к выводу о том, что для первой монеты они близки к 50%, а для второй монеты
- близки к 20%. Есть основания считать исходы для первой монеты равновозможными. Вторая монета, скорее всего, «неправильная». Видимо, у нее смещен центр тяжести.
Далее необходимо продолжить серию задач на закрепление, обеспечив переходный период между качественной оценкой вероятности и ее вычислени-
При этом геометрическими размерами бусинки пренебрегаем, считая ее «точкой», и предполагаем, что бусинка попадает в любое место стола с одинаковой вероятностью.
Если в классе 10 мальчиков и 15 девочек, то вероятность того, что наугад будет вызван к доске любой мальчик, считается равной 40%. Такова часть мальчиков в общем составе класса. Эта вероятность найдена исходя из того, что ученики вызываются к доске с одинаковой вероятностью.
Пример4. Семья Олега планирует переехать в другой город. Ему предложили выбрать класс из двух близлежащих к новому месту жительства школ. В одном классе 24 ученика, а в другом - 19 учеников. Для Олега важно, чтобы его меньше вызывали к доске. Какое решение примет Олег и как он его обоснует математически?
Решение. После того, как Олег будет при-
нят в школу, то в классе будет 25 учеников в одном случае, или 20 учеников - в другом. Если вызовы к доске происходят «равноправно», случайным образом, то соответствующие вероятности равны 4% и 5%. Именно такая часть будет приходиться на одного ученика (Олега). Чтобы его реже вызывали к доске, Олег выберет тот класс, где вероятность меньше: 4% < 5%.
Пример5. Прошел месяц после того, как Олег был принят в новый класс. Он заметил, что его чаще других вызывают к доске. По подсчетам, его вызывали к доске 14 раз из общего числа 80 вызовов всех учеников класса. Оправданы ли подозрения Олега?
Решение. Частота вызова Олега к доске равна
0,175 , то есть 17,5%. Вероятность же равна 4%.
14
80
Различие достаточно заметное. Абсолютная погрешность | 17,5%. - 4% | = 13,5% - очень велика, поэтому обеспокоенность Олега вполне оправдана. Объясняется это, по-видимому, необходимостью изучения учителями личности новичка и его возможностей в освоении учебных предметов.
Дальнейшее изложение опирается на представления о частоте как эмпирическом аналоге вероятности, что позволяет заметить схожие свойства.
Проводя различные эксперименты и исследования, обучающиеся замечают, что для достоверного события всегда получается 100-процентная частота, для невозможного события она равна нулю, а для случайного события может получиться любое значение между 0% и 100%.
Перед тем, как сформулировать свойства вероятности, следует напомнить, что частота события находится как отношение числа опытов, в которых оно наблюдалось, к общему числу проведенных опытов. Вспомним также, что вероятность события есть некоторое теоретически ожидаемое число, около которого, как правило, группируются частоты. Поэтому вероятность обладает теми же свойствами, что и частота.
После этого учащимся можно сообщить: так же как и частоту, вероятность события записывают не только с помощью процентов, но и десятичной дробью или в виде обыкновенной дроби.
Таким образом, разработанный подход позволяет изучать проценты на основе стохастических представлений, вводить понятие вероятности на языке процентов и выражать вероятности событий в процентах, приближая обучение к практике.
V.D. SELUTIN, E.I. SOLOMATINA
THE METHODOLOGICAL BASES OF THE INTRODUCTION OF THE NOTION «PROBABILITY OF AN EVENT» DURING THE STUDYING OF THE PERCENTAGE
The new methodological approach to the introduction of the notion «probability of an event» with use of the knowledge about the percentage is considered in this article.
Key words: the percentage, the statistics, the elements of the stochastic, the event, the probability.
