CC BY
61
УДК 519.2 (072.3) ТЕРЕХОВА Л.А.
кандидат педагогических наук, доцент, кафедра математического и информационного анализа экономических процессов, Орловский государственный университет имени И.С. Тургенева E-mail: [email protected]
UDC 519.2 (072.3) TEREKHOVA L.A.
Candidate of Pedagogics, Associate Professor, Department of mathematics and information analysis of economic processes, Orel State University named after IS. Turgenev
E-mail: [email protected]
ПРИМЕНЕНИЕ СТОХАСТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ПРИ ИЗУЧЕНИИ УРАВНЕНИЙ И ИХ СИСТЕМ
В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ
THE USE OF STOCHASTIC PROBLEMS IN THE STUDY OF EQUATIONS AND THEIR SYSTEMS
IN A SCHOOL COURSE OF MATHEMATICS
/>' статье рассмотрены стохастические задачи, решение которых направлено на укрепление внутрипред-метных связей школьного курса математики с такими понятиями, как уравнение и системы уравнений. Представленные задачи позволяют не только разнообразить изучение «традиционного» материала, но и повторить ранее изученный материал. Они расширяют представление школьников о вероятности и возможности использования этого понятия в их повседневной жизни.
Ключевые слова: элементы стохастики, классическое определение вероятности, когерентно-интегративный подход.
The article describes the stochastic problem, the solution of which is aimed at strengthening intrasubject of ties school mathematics with concepts such as equations and systems. Presented problems wilt not only diversify the study of «traditional» materials, but also to revise previously learned material. They expand students" view about probability and possibility of using th is concept in their daily lives.
Keywords: stochastic elements, classical definition of probability, coherently integrated approach.
Современное математическое образование находится в тесной взаимосвязи с научно-техническими и культурными достояниями человеческой цивилизации. Оно не может и не должно оставаться в стороне от очевидных на сегодняшний день процессов интеграции различных сфер общественной жизни, ускорения темпов накопления и обмена информацией. Математика является универсальным языком и фундаментом современной науки, и, как следствие, краеугольным камнем научно-технического прогресса. Поэтому каждый грамотный член современного общества обязан обладать высоким уровнем математической подготовки, для того чтобы стать специалистом в той или иной сфере производственной деятельности или общественной жизни.
Поскольку формирование хорошего специалиста начинается с первых дней его обучения в школе, то на школьной математике лежит большая ответственность за подготовку человека к будущей жизни в высоко технологическом и быстро развивающемся обществе. В сложившихся на сегодняшний день условиях многие методические приемы и подходы к обучению математики быстро устаревают и утрачивают свою актуальность, на их место необходимо вводить новые и более прогрессивные методические разработки, отвечающие условиям современной жизни.
Именно с этой целью в систему современного
школьного математического образования были введены элементы стохастики, направленные на формирование у школьников базовых вероятностно-статистических представлений [2]. Это позволяет развить у учащихся гибкое нелинейное мышление, ориентированное на самостоятельный поиск оптимальных и часто нестандартных решений каждой конкретной проблемы.
Однако непосредственное введение элементов теории вероятностей в школьный курс математики сопряжено со значительными трудностями, преодолеть которые можно, вовлекая стохастику непосредственно в круг задач, решаемых на каждом конкретном уроке [1, 3]. В этом отношении элементы стохастики обладают неисчерпаемым потенциалом, поскольку, будучи основанным на анализе различных игровых ситуаций, возникающих в реальной жизни, вносят в каждодневную, рутинную работу на уроке математике элемент увлекательности и занимательности.
Проиллюстрируем вышесказанное на ряде примеров. отражающих взаимосвязь стохастических представлений и темы «Уравнения», изучаемой на различных ступенях школьной программы.
В пятом классе ученики знакомятся с методикой решения простейших уравнений на основе представлений о натуральных числах и числовой прямой.
Поэтому при постепенном ознакомлении учащих-
© Терехова JI.А. © Terekhova L.A.
ся со стохастическим материалом целесообразно предложить задачу, соединяющую в себе такие школьные понятия, как «натуральное число», представление натуральных чисел на «координатном луче». Здесь же вполне уместно воспользоваться и представлением статистических данных в виде круговой диаграммы.
Задача 1: На уроке математики учитель предложил каждому ученику задумать натуральное число и зашифровать его на координатном луче.
Ученики изобразили следующие рисунки (рис. 1): V 74
Петя
Ваня
Саша
80
172
0 86
261
Руслан
0 20
3р
100
2т
100
Игорь
Определите задуманные учениками числа из рисунков.
Представьте найденный результат в виде круговой диаграммы (рис. 2).
Определите среднее значение задуманных чисел.
Рис. 2.
В шестом классе ученики уже знакомы с такими стохастическими понятиями, как представление статистических данных в виде таблиц и частота наступления события. Поэтому целесообразно рассмотреть задачу, на примере которой вводится фундаментальная для стохастики связь частоты и вероятности
Частота - эмпирический прообраз вероятности.
Задача 2: Оксана достала шкатулку, в которой мама хранит пуговицы. В ней она обнаружила пуговицы белого и черного цветов, которых, по словам мамы, должно быть 75 штук. Оксана решила подсчитать, сколько пуговиц каждого цвета лежит в шкатулке. Чтобы облегчить задачу, она вынула только 10 пуговиц и составила таблицу 1.
Таблица 1.
Частота появления пуговиц
и
U.
10
S &
я 'А
3 I
0 3
1 Ю
О С
СЗ
Е-
о
Определите отсутствующие в таблице значения частоты появления белых и черных пуговиц и вычислите общее количество пуговиц каждого цвета.
Комментарий: при решении задачи, вначале необходимо определить частоты появления белых и чёрных пуговиц как отношения числа пуговиц соответствующе-
4 ' 4
го цвета к оощему числу пуговиц = — . т = -- - 10 ыр 10
Рассмотреть ситуацию, сложившуюся в шкатулке, после того как Оксана вынула 9 пуговиц. Подсчитать вероятность вынуть десятую белую пуговицу из шкатулки. Вероятность будет определяться как отношение числа всех оставшихся белых пуговиц к общему числу оставшихся пуговиц в шкатулке, т.е. ——-. Она равна частоте.
65
которую девочка вычислила, проведя эксперимент.
Тогда составив и решив уравнение - —, можно
65 10
найти число белых пуговиц в шкатулке.
В седьмом классе, когда ученики от понятия частоты переходят к понятию вероятности наступления события, их вниманию предлагается следующая стохастическая задача на составление уравнений.
Задача 3: У Антона в кошельке находятся монеты номиналом в 1 и 2 рубля, причем рублевых монет в 3 раза больше. Определите количество рублевых монет, если вероятность случайно вынуть такую монету из кошелька в 16 раз меньше общего числа монет.
Комментарий: данную задачу можно решать как текстовую. Пусть х - количество монет номиналом 2 рубля, тогда Зи - количество монет номиналом 1 рубль. Тогда вероятность вынуть рублевую монету равна
^х . - —. По условию задачи, эта вероятность в 16 раз
х + Ъх 4
меньше общего числа монет. Составим и решим уравне-
х ~ь Зх 3
ние --- = —. Решая данное уравнение, получим, что в
16 4
кошельке находится 3 монеты номиналом 2 рубля и 9 монет номиналом 1 рубль.
Решение следующей задачи состоит из нескольких этапов. На первом этапе происходит описание реальной жизненной ситуации на языке математики, на втором этапе осуществляется решение сформулированной математической проблемы, а на заключительном этапе проводится интерпретация полученного математического результата, таким образом, осуществляется переход от математической модели к интересующей нас ситуации.
Задача иллюстрирует стохастический материал с помощью графа - стохастическго дерева, двигаясь по ветвям которого составляется ряд уравнений. При решении задачи используется последовательный переход от представления статистических данных в виде таблицы к определению вероятности наступления благоприятного события.
Задача 4: Четыре рыбака поспорили, кто из них первым поймает выбранную рыбу. Иван утверждает, что он раньше всех поймает карася. Олег говорит, что первым поймает окуня. Михаил хочет первым поймать карпа, а Вероника рассчитывает на пойманного пескаря. Чтобы результат соревнования был честным, они договорились ловить на одном и том же месте, в порядке очереди, по одной рыбе, пока кто-то не выудит выбранную рыбу. Кто из них имеет большую возможность победить в состязании, если в прошлый раз они рыбачили на этом же пруду и улов каждого представлен в таблице 2 в порядке их участия в сегодняшней рыбалке?
Таблица 2.
Улов рыбаков
Карась Окунь Карп Пескарь
Олег 3 8 3 6
Иван 9 3 4 5
Михаил 6 2 10 4
Вероника 5 4 3 12
Комментарий: при решении задачи следует рассмотреть четыре события: О = {победит Олег}, II = {победит Иван}, М= {победит Михаил}. В = {победит Вероника}.
Для начала необходимо оценить вероятности наступления каждого из них в отдельности. Используя результат предыдущей рыбалки, нужно определить частоту улова выбранных рыб для каждого участника. Поскольку частота - эмпирический прообраз вероятности, тогда получим:
8 , ч 9 3
V > 20 5 21 7
Л/) — —• а(В) = — = - Для наглядности реше-v ' 22 11 v ' 24 2 ние задачи следует проиллюстрировать с помощью сто-
хастического дерева (рис. 3). Это позволит построить математическую модель реальной жизненной ситуации.
Рис. 3.
При этом соревнование рыбаков можно истолковать как случайное блуждание фишки по графу, на ребрах которого указаны частоты наступления благоприятных и неблагоприятных исходов для каждого игрока (рис. 3). В этом случае стохастическое дерево будет представлять собой игровое поле. Событие О наступит тогда и только тогда, когда фишка попадет в вершину о, событие И - когда она попадет в вершину и, событие М -когда она попадет в вершину м. событие В - когда она попадет в вершину е. Пусть:
х - вероятность того, что фишка попадет в вершину о, у - вероятность того, что фишка попадет в вершину и, z - вероятность того, что фишка попадет в вершину м. t - вероятность того, что фишка попадет в вершину е. Тогда получаем, что % = Р(О), у = Р(П), z = Р(М) и t = Р(В). Из графа на рисунке 3 получим:
X - — + — ■ — ■ — ■ — • х • решая это уравнение, мы получаем 5 5 7 11 2
л - - = 0.44: 349
_ 3 3 4 _6_ ~5'7 ТП
11 А А
5 7 11 11
•V
4 ' 1
а значит v-
. а значит z -.
99
349 ~ 60
0,28:
349
>0,17:
^И.ААД.И^.азначкг^.оль
5 7 11 2 2 5 7 11 349
Получаем, что Р(О) = 0,44, Р(П) = 0,28, Р(М) =0,17 и Р(В) = 0,11. Таким образом, вероятнее всего, что победит Олег.
При изучении темы «Решение квадратных уравнений» на уроке можно рассмотреть следующую стохастическую задачу, которая вносит недостающий в современном математическом образовании элемент занимательности и тем самым активизирует работоспособность учащихся.
Задача 5: У Даши в корзине находятся 2 зелёных и несколько красных яблок. Она подсчитала, что вероятность вынуть из мешка 2 зелёных яблока подряд равна
I. Определите количество красных яблок в корзине. 6
Комментарий: пусть х - количество красных яблок в корзине.
По условию задачи х>0, т.к. х - натуральное число.
С помощью фрагмента стохастического дерева найдем, чему равна вероятность вынуть из корзины два зелёных яблока подряд.
2
Рис. 4.
Таким образом, математическая модель задачи при-9 1 1
мет вид: —1----- Решая данное рациональное
2 + х 1 + х 6
уравнение, получим, что в корзине было 2 красных яблока.
Стохастический метод можно применить и для составления задач, приводящих к решению систем линейных уравнений. Примером может служить следующая задача.
Задача 6: Ваня разложил свои игрушки по двум коробкам. При этом солдатиков во второй коробке оказалось на треть больше, чем в первой, а машинок в первой коробке на 2 больше, чем во второй. Сколько солдатиков и машинок в каждой коробке, если вероятность вынуть
3 3
солдатика из первой коробки равна _, а из второй _ ?
5 4
Комментарий: при решении данной задачи используются те же действия, что при решении задачи 5. Пусть х - число солдатиков в первой коробке, у - число машинок во второй коробке.
Тогда (у'+ 2) - число машинок в первой коробке, а
| х | - — % - число солдатиков во второй коробке.
I 3 ) 3
С помощью фрагмента стохастического дерева, иллюстрирующего условие задачи (рис.5), найдем, чему равна вероятность вынуть солдатика из первой и из второй коробки.
1 -я коробка 2-я коробка
< С
Рис. 5.
Математическая модель задачи примет вид:
__ 3
х + у + 2 5 Ах _ 3 _ Ах + Зу А'
Согласно условию задачи х п г натуральные числа. Решая систему уравнений, получим, что число солдатиков в первой коробке равно 9, а число машинок во второй коробке равно 4. Во второй коробке будет 6 машинок и 12 солдатиков.
Применение на уроках математики задач со сто-
хастическим содержанием позволяет не только акцентировать внимание учащихся на изучаемой теме, но и ненавязчиво организовать повторение ранее изученного материала. Например, нижеследующая задача сочетает решение системы линейных уравнений и повторение темы «Проценты».
Задача 7: Трехглавый дракон, ворвавшись в библиотеку замка, принялся читать попавшиеся книги. К моменту, когда прибежавшая стража выгнала его из замка, он успел прочитать 45 книг. Сколько книг прочитала каждая голова, если вероятность левой головы прочитать книгу на 25% больше, чем правой, а центральной голова в 1,5 раза больше, чем у всех остальных голов?
Комментарий: Пусть х - количество книг, прочитанных правой головой,
у - количество книг, прочитанных центральной головой,
г - количество книг, прочитанных левой головой.
— - вероятность правой головы дракона прочитать 45
книгу, Л - вероятность центральной головы дракона 45
прочитать книгу, — - вероятность левой головы драко-45
на прочитать книгу. Тогда согласно условию задачи всего он прочитал (х + у + 7) - 45. вероятность прочесть
книгу левой головы — + — . — , а вероятность цен-45 45 4 45
тральной головы Л - 2 (Л. + Л. |.
45 2И5 45 Составим систему уравнений:
х + у + г = 45, г х I х 45 45 4 45 у 3 ( х z 45 ~2\45 ' 45
Решая систему уравнений, получим Е- 8 у - 27, г = Ш. Таким образом, правая голова дракона прочитала 8 книг, центральная - 27, а левая - 10.
В заключение отметим, что в данной статье нами рассмотрена лишь малая часть из всей палитры стохастических задач, иллюстрирующих тесную связь «традиционного» курса математики с элементами стохастики. Использование приведенных задач на уроках математики направлено не только на формирование у учащихся вероятностных понятий и представлений, но и на закрепление и повторение ранее изученного материала. Логика развития современного математического образования, направленная на развитие у учащихся вероятностного стиля мышления, умения анализировать окружающую их информацию с помощью математического аппарата и принимать обоснованные решения, свидетельствует о необходимости включения приведенных выше задач и аналогичных им в школьную программу.
Библиографический список
1. Селютин В.Д., Терехова, Л.А. Стохастика в канве школьной математики [Текст]: учебно-методическое пособие. Орёл: изд-во ООИУУ, 2007. - 106 с.
2. Селютин В.Д. Методика формирования первоначальных статистических представлений учащихся при обучении математике. Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических наук / НИИ содержания и методов обучения АПН СССР. - Москва, 1985. 18 с.
3. С&цютин В.Д. О подготовке учителей к обучению школьников стохастике // Математика в школе. 2003. № 4. С.63-67.
References
1. Seljutin V.D., Terekhova, LA. Stochastics in canvas school mathematics [Text]: a teaching aid / VD Seljutin, LA Terekhova. Orel: Publishing House OOIUU, 2007. 106 p.
2. Seljutin VD. Methodology of the initial statistical representations of pupils at studying of mathematics. Abstract of dissertation for the degree of candidate of pedagogical sciences / Research Institute of content and teaching methods of the USSR APN. Moscow, 1985. 18 p.
3. Seljutin VD. On the preparation of teachers for teaching students stochastics // Mathematics at school. 2003. № 4. Pp. 63-67.
