Научная статья на тему 'Особенности реализации профессионально-прикладной направленности обучения стохастике в условиях профилизации общеобразовательной школы'

Особенности реализации профессионально-прикладной направленности обучения стохастике в условиях профилизации общеобразовательной школы Текст научной статьи по специальности «Науки об образовании»

CC BY
234
51
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Журнал
Наука и школа
ВАК
Область наук
Ключевые слова
СТОХАСТИКА / STOCHASTICS / PROFESSIONALLY-APPLIED TENDENCY / PROFESSIONALLY-APPLIED PROBLEM / МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ / MATH MODELING / ПРОФЕССИОНАЛЬНО-ПРИКЛАДНАЯ НАПРАВЛЕННОСТЬ / ПРОФЕССИОНАЛЬНО-ПРИКЛАДНАЯ ЗАДАЧА

Аннотация научной статьи по наукам об образовании, автор научной работы — Щербатых С. В.

В статье изложены особенности реализации профессионально-прикладной направленности обучения стохастике, состоящие во включении в курс математики профильных классов профессионально-прикладных стохастических задач, обучении использованию метода математического моделирования при их решении.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по наукам об образовании , автор научной работы — Щербатых С. В.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

THE PECULIARITIES OF REALIZING PROFESSIONALLY-APPLIED TENDENCY OF TEACHING STOCHASTICS IN THE CONDITIONS OF VARIOUS TYPES OF SECONDARY SCHOOLS

The peculiarities of realizing professionally-applied tendency of teaching stochastics are described in article which presuppose introducing professionally-applied stochastic problems teaching the usage of the method of math modeling while solving them in the course of mathematics in classes of various types.

Текст научной работы на тему «Особенности реализации профессионально-прикладной направленности обучения стохастике в условиях профилизации общеобразовательной школы»

ный» трактуется как «взаимно связанный, непременно сопровождаемый чем-нибудь» [5, с. 650].

В такой интерпретации данное понятие весьма успешно используется в курсах физики, химии и биологии. Так, например, в курсе физики, в разделе «Оптика» вводится понятие «сопряженные точки». Это «две точки, которые по отношению к оптической системе являются объектом и его изображением. Вследствие обратимости световых лучей объект и изображение могут взаимно меняться местами. Понятие «сопряженные точки» строго применимо только к идеальным оптическим системам» [7, с. 1239].

В курсе химии существует понятие «сопряженные реакции». Это «химические реакции, которые протекают только при наличии хотя бы одного общего реагента, причем одна из реакций возбуждает или ускоряет другую [7].

Используя метод молекулярных орбиталей для изучения распределения электронной плотности и роли п-электронов у важнейших биологически активных веществ, Б. Пюльман и А. Пюльман пришли к заключению, что почти все высокомолекулярные соединения содержат сопряженные системы п-электронов. Они представляют собой длинную цепь (кольцо) с многократно чередующимися а- и п-связями. В результате эффекта сопряжения образуется общее электронное облако, которое охватывает одновременно большое число атомов, и молекула или часть ее действуют в ряде реакций (окисления, гидролиза) как одно целое. К таким веществам относятся NAD, FAD (ко-ферменты оксидоредуктаз), гемм и его производные, пуриновые и пиримидиновые основания, входящие в состав нуклеотидов DNK, RNK, АТР и др. [6]. Эти важнейшие биологические соединения играют ключевую роль в превращении вещества, энергии и информации во всех типах клеток, существующих на Земле.

Природа, таким образом, широко использует сопряжение как принцип эволюции вещества. Действие этого принципа имеет место во всех природных формах движения материи: физической, химической и биологической. Особенно важен этот принцип при возникновении новой формы движения материи, у которой возникает абсолютно новое качество. Именно эта характеристика «сопряжения» является отличительной чертой по отношению к родовому понятию «взаимодействие», которое отражает процесс взаимного влияния тел друг на друга путем переноса материи и движения, универсальную форму изменения состояний тел.

Подтверждением всеобщей значимости принципа сопряжения как организующего начала на самом высоком уровне является сама история «рождения» материалистической диалектики. И диалектика и материализм сами по себе являлись методологиями познания, однако их логическое сопряжение в единую методологическую систему позволило создать универсальный метод познания природы, общества и мышления.

Вышесказанное дает основание для утверждения, что понятие «сопряжение» может использоваться не только при характе-

ристике конкретных физических, химических и биологических явлений (в узком смысле), но и как категория, отражающая общий принцип организации материального мира.

Фундаментальное положение Ф. Энгельса о том, что «... законы мышления и законы природы необходимо согласуются между собой.» [10, с. 193], позволяет спроецировать «сопряжение» как фундаментальный принцип организации и развития материи в образовательную область и рассматривать его как важнейшую методологию формирования и развития естественнонаучных понятий.

Осмысление и понимание сущности сопряжения как важнейшей стороны взаимодействия дает основание для предположения, что данная категория может быть обоснована как важнейший дидактический принцип обучения и воспитания. Дидактические принципы, как правило, являются проекцией общих законов природы и тех философских категорий, через которые они выражаются. Например, такие дидактические принципы, как преемственность, системность, принцип развивающего обучения и др., выведены из философских законов и категорий, которые выражают универсальные формы человеческого мышления.

В процессе обучения необходимо сопрягать чувственные и интеллектуальные эмоции, чувственное и рациональное познание, эмпирическое и теоретическое, абстрактное и конкретное, содержание и форму, сущность и явление и т.д. Только в этом случае можно говорить о формировании диалектического стиля мышления и научного мировоззрения у учащихся и студентов в процессе изучения предметов естественно-научного цикла.

Литература

1. Арсеньев А.С. Анализ развивающегося понятия / А.С. Ар-сеньев, В.С. Библер, Б.М. Кедров. - М.: Наука, 1967.

2. Введение в философию: учеб. для вузов. - в 2 ч. / И.Т. Фролов, Э.А. Араб-Оглы, Г.С. Арефьева и др. - М.: Политиздат, 1989. - Ч. 2.

3. Копнин П.В. Диалектика, логика, наука. - М.: Наука, 1973.

4. Ленин В.И. Материализм и эмпириокритицизм / Полн. собр. соч. - 5-е изд. - М.: Политиздат, 1980. - Т. 18.

5. Ожегов С.И. Словарь русского языка /под. ред. Н.Ю. Шведовой. - 18-е изд. - М.: Рус. яз., 1986.

6. Пюльман Б. Квантовая биохимия / Б. Пюльман, А. Пюльман. - М.: Мир, 1965.

7. Советский энциклопедический словарь / гл. ред. А.М. Прохоров. - 3-е изд. - М.: Сов. энцикл., 1985.

8. Усова. А.В. Формирование у школьников научных понятий в процессе обучения. 2- изд., испр. - М.: Изд-во Ун-та РАО, 2007.

9. Философский словарь / под ред. И.Т. Фролова. - 5-е изд. -М.: Политиздат, 1986.

10. Энгельс Ф. Диалектика природы / Ф. Энгельс. - М.: Политиздат, 1987.

УДК 373.1.02:372.8 ББК 22.1 Р20

ОСОБЕННОСТИ РЕАЛИЗАЦИИ ПРОФЕССИОНАЛЬНО-ПРИКЛАДНОЙ НАПРАВЛЕННОСТИ ОБУЧЕНИЯ СТОХАСТИКЕ В УСЛОВИЯХ ПРОФИЛИЗАЦИИ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ШКОЛЫ С.В. Щербатых, кандидат педагогических наук, доцент кафедры математического анализа и элементарной математики Елецкого государственного университета им. И.А. Бунина, 8(47467) 4-50-63, [email protected]

В статье изложены особенности реализации профессионально-прикладной направленности обучения стохастике, состоящие во включении в курс математики профильных классов профессионально-прикладных стохастических задач, обучении использованию метода математического моделирования при их решении.

Ключевые слова: стохастика, профессионально-прикладная направленность, профессионально-прикладная задача, математическое моделирование.

THE PECULIARITIES OF REALIZING PROFESSIONALLY-APPLIED TENDENCY OF TEACHING STOCHASTICS IN THE

CONDITIONS OF VARIOUS TYPES OF SECONDARY SCHOOLS

Shcherbatyh S.V.

The peculiarities of realizing professionally-applied tendency of teaching stochastics are described in article which presuppose introducing professionally-applied stochastic problems teaching the usage of the method of math modeling while solving them in the course of mathematics in classes of various types.

Keywords: stochastics, professionally-applied tendency, professionally-applied problem, math modeling.

Стохастика (комбинаторика, теория вероятностей, математическая статистика и теория случайных процессов) в последнее время превратилась в одну из самых быстро развивающихся математических наук. Новые теоретические результаты открывают новые возможности для естественно-научного и практического использования методов стохастики. Более тонкое, более детальное изучение явлений природы, а также производственных, технических, экономических и иных процессов толкает в то же время науку о случайном на изыскание новых методов, новых закономерностей, которые порождаются случаем.

Так, ещё в начале XX в. математик и педагог П.А. Некрасов считал, что наука о случайном оказывает благотворное влияние на развитие мыслительных способностей и логических умений учащихся. «Это развивающее значение кроется в том обстоятельстве, что теория вероятностей как интуитивная функция сознания, называемая здравым смыслом, неразрывно связана своими сомнениями и воззрениями с самим субъектом... Математическая теория вероятностей перебрасывает среди всех сомнений надлежащий мост от объекта через частный и общечеловеческий опыт к внешней реальности. При этом теория вероятностей интенсивно упражняет учеников в индуктивной логике, параллельной априори обдуманному опыту...» [3, с. 132-133]. Недаром в настоящее время заговорили о включении данного раздела в школьный курс математики.

Как известно, одним из приоритетных направлений деятельности общеобразовательной школы является подготовка обучающихся к осознанному выбору профессионального и жизненного пути. Условием достижения этой задачи является последовательная индивидуализация обучения, профильная подготовка на завершающем этапе обучения в школе.

В настоящий момент практика обучения на старшей ступени школы элементам стохастики носит накопительный характер, вопрос создания конкретной теории и методики преподавания новой содержательной линии в классах различных профилей пока остаётся открытым.

В тематическом планировании стохастического материала на старшей ступени общеобразовательной школы закладывается идея обучения по принципу «винтовой лестницы» (обучение по «спирали») [2], расширяющейся кверху, в которой над каждой «точкой» изучаемого содержательного пространства учащиеся проходят многократно, поскольку часть стохастических понятий и методов не могут быть восприняты ими сразу (например, с понятием случайной величины учащиеся знакомятся в основной школе, но систематически изучают его лишь на старшей ступени общеобразовательной школы). Школьники каждый раз смотрят на них с другой высоты и под иным углом зрения, что позволяет лучше осмыслить пройденное. Обучение, построенное на этом принципе - это постоянное повторение на новом уровне знаний. Систематическое возвращение к фундаментальным стохастическим понятиям позволяет школьникам постепенно переходить от наблюдений и экспериментов к точным формулировкам и доказательствам. Всё время идёт работа с фундаментальными понятиями, основными методами решений, доказательств и сравнений, что само по себе приводит к хорошему результату, который за счёт методики преподавания может быть лишь только улучшен.

Несмотря на явные достижения, полученные отечественной методической мыслью, надо признать наличие ряда проблем в современном преподавании стохастики в школе. Одной из таких проблем является слабое отражение её профессионально-прикладного потенциала. Это влечёт упущение возможности формирования практических умений учащихся, связанных с решением познавательных задач, раскрывающих связь с жизнью, с другими школьными предметами естественно-научного и гуманитарного циклов, с будущей профессиональной деятельностью старшеклассников [7].

Под профессионально-прикладной направленностью обучения стохастике будем понимать целенаправленный отбор и

рациональное использование в процессе обучения содержания материала, ориентированного на показ применимости науки о случайном к описанию процессов реальной действительности, в дальнейшей профессиональной деятельности старшеклассников, а также выбор адекватных методов, форм и средств обучения для передачи и усвоения учащимися отобранной системы знаний.

Стоит отметить, что большая часть стохастики является абстрактной, поэтому её изучение в школе не должно строиться только в виде логических правил, а должно показывать методы познания в качестве приёма решения задач практики. Первые занятия требуют практических примеров, привлечения конкретных фактов из естественнонаучных и гуманитарных дисциплин. На уроках математики нужно показывать учащимся, что стохастика, отражая формы и отношения материального мира, является наукой о математических моделях реальной действительности. Понятия вероятности, совместности, независимости, случайности, случайной величины отражают многообразие процессов реальной действительности. Таким образом, знакомство учащихся с элементами стохастики открывает широкие возможности для иллюстрации значимости математики в решении профессионально-прикладных задач.

Под профессионально-прикладной задачей будем понимать задачу, возникшую в реальной жизненной ситуации, а также в профессиональной деятельности (иногда содержащей математические термины), для решения которой необходимо привлечение математического (в данном случае стохастического) аппарата.

Профессионально-прикладная направленность обучения в школе требует, чтобы в процессе обучения элементам стохастики обеспечивалось органическое единство изложения теории и практики, развивающее у учащихся умения применять теорию для решения профессионально-прикладных задач и выполнять различные практические и лабораторные работы. Изучая элементы комбинаторики, теории вероятностей и статистики, учащиеся должны усвоить и оценить их профессионально-прикладные возможности и получить основные навыки в применении элементов стохастики при решении практических задач. Через задачи можно показать применение стохастических знаний для познания реального мира, познакомить учащихся с методами решения задач в науке и практической деятельности. Таким образом, при решении профессионально-прикладных задач формируются первые профессиональные интересы школьников, так как при этом учащиеся знакомятся с применением стохастических знаний в экономике, естествознании, технике, производстве, сельском хозяйстве и т.д.

Осуществление профессионально-прикладной направленности школьного курса стохастики связано с применением математического моделирования.

Использование моделирования в обучении имеет два аспекта. Во-первых, моделирование является тем особым содержанием, которое должно быть усвоено в результате обучения методом познания, и, во-вторых, моделирование является тем учебным действием и средством, без которого невозможно полноценное обучение [6].

Однако, как показывает практика, при решении задач с практическим содержанием старшеклассникам довольно сложно уяснить отношения между величинами в них, установить зависимость между данными и искомыми.

В основе решения таких задач как раз и лежит математическое моделирование, поэтому для реализации профессионально-прикладной направленности обучения стохастике необходимо организовать обучение элементам моделирования.

Специфика стохастики состоит в том, что она более других математических разделов связана с действительностью, т.е. границы реальных объектов и их моделей весьма размыты. Поэтому, с одной стороны, мы должны акцентировать внимание учащихся на данном обстоятельстве. С другой стороны, обучение должно быть построено так, чтобы учащиеся умели отли-

чать реальные объекты от их моделей.

Процесс обучения стохастике должен в какой-то мере имитировать описанный процесс исследования в самой математике, раскрывать её связи с реальным миром, с другими областями знаний, в которых она находит всё новые и новые приложения.

Математическое (стохастическое) моделирование состоит из следующих этапов [4, 5]:

- этап перехода от ситуации, которую необходимо разрешить, к формальной математической модели этой ситуации, к четко поставленной математической задаче - этап формализации;

- решение поставленной математической задачи методами, развитыми в самой математике для задач данного типа, составляет содержание второго этапа - этапа решения задачи внутри построенной математической модели;

- третий этап сводится к интерпретации полученного решения математической задачи, применению этого решения к исходной ситуации и сопоставлению его с ней.

Коротко эти три этапа можно назвать:

1) построение математической модели;

2) получение математических результатов;

3) принятие решения (выводы в реальном мире).

Недооценка каждого из рассмотренных этапов приводит к

значительным затруднениям в использовании метода математического моделирования при решении профессионально-прикладной стохастической задачи.

Для реализации описанного содержания процесса моделирования необходимо [1, с. 215-216]:

- знать некоторые объекты, отношения и факты определённой области деятельности;

- уметь в рассматриваемой ситуации отбросить несущественное и выделить основное;

- создать на полученной основе схему ситуации (явления);

- выбрать «язык», на котором будет рассматриваться полученная схема;

- получить из схемы требуемые выводы, т.е. решить задачу на выбранном «языке».

При обучении математическому моделированию можно отметить несколько уровней обучения в порядке нарастающей сложности [1, с. 216]:

1) обучение «языку», на котором будет вестись моделирование; сюда относится изучение теории и решение системы упражнений, непосредственно направленных на её закрепление;

2) обучение «переводу» реальной ситуации на данный математический язык;

3) обучение выбору существенных переменных и построение схемы их взаимосвязей;

4) обучение составлению математических выражений, реально существующих отношений и связей, в частности, составление уравнений по условию задачи;

5) обучение решению математически выраженных отношений и связей, истолкованию полученного ответа;

6) обучение исследованию полученного решения, в частности, простейшим навыкам самоконтроля.

Хорошими примерами, иллюстрирующими сказанное, являются следующие задачи.

Задача 1. Два школьных друга условились встретиться в определённом месте между двумя часами и половиной третьего дня. Пришедший первым ждёт другого в течение 20 минут, после чего уходит. Найти вероятность того, что встреча друзей состоится, если каждый из них наудачу выбирает момент своего прихода (в промежутке от двух часов до половины третьего) и моменты прихода обоих независимы.

1. Математическая модель. Пусть С={встреча друзей состоится}. Как видно, аксиоматическим, статистическим и классическим определениями вероятностей воспользоваться нельзя, тогда необходимо прибегнуть к геометрическому, но для этого надо задать меры.

Поступим следующим образом.

Обозначим момент прихода одного из друзей через х минут, а момент прихода другого через у минут. Для того чтобы встреча произошла, необходимо и достаточно, чтобы выпол-

нялось условие |х — у| < 20 .

Будем изображать х и у как декартовы координаты точек плоскости, в качестве единицы масштаба выберем минуты.

У

Т

10 20 30 х

Все возможные исходы испытания изображаются точками фигуры, ограниченной квадратом, сторона которого равна 30;

площадь этого квадрата 8о = ¡(О) = 302 .

Неравенство |х — у| < 20 равносильно системе нера-

Г х — у < 20, венств: \

|X — у > —20. Исходы испытания, благоприятствующие событию А,

удовлетворяют системе неравенств:

х — у < 20, х — у > —20, 0 < х < 30,

0 < у < 30.

Решениями этой системы неравенств являются координаты всех точек плоскости, расположенных на рисунке в заштрихованной области, т.е. между граничными прямыми: X — у = 20; X — у = —20; X = 0; х = 30; у = 0; у = 30 и на самих граничных прямых. Точки плоскости, принадлежащие заштрихованной области, характеризуют исходы испытания, благоприятствующие событию А. Площадь заштрихованной фжуры равна ^ =м(я) = 302 — 2 • 2(30 — 20)2 .

результаты.

2. Математические Р(А) = ^ = 302 —ш2 = 8, или р(А) « 89%.

о

30

2

9

3. Реальный мир. При переводе результата, полученного в ходе математических вычислений, заключаем, что вероятность встречи друзей в назначенное время равна 89%.

Задача 2. Всхожесть клубнелуковиц гладиолуса равна 80%. Сколько нужно посадить клубнелуковиц, чтобы наиве-роятнейшее число взошедших из них было равно 100?

1. Математическая модель. Пусть А={посаженная клубнелуковица гладиолуса прорастёт}.

Тогда по условию р = р(А) = 0,8, q = 1 — p = 0,2 и

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

m = 100 . Воспользуемся

*

пр — д < т < пр + p.

2. Математические

0,8п — 0,2 < 100 < 0,8п + 0,8,

0,8п — 0,2 < 100, |0,8и < 100,2,

о^ о

0,8п + 0,8 > 100 |0,8п > 99,2

неравенством

результаты.

или

124 < п < 125,25,

сл., п = 124 или п = 125.

3. Реальный мир. При переводе результата, полученного в ходе математических вычислений, заключаем, что необходимо посадить 124 или 125 клубнелуковиц гладиолуса, чтобы наивероятнейшее число взошедших из них равнялось 100.

Задача 3. В литературоведении существует способ определения подлинности произведения по отношению к какому-либо автору. Основан он на соотношении частотности появления отдельных слов в тексте. Для этого анализируются два произведения: подлинное и то, подлинность которого необходимо установить. Если частоты слов совпадают, то тексты принадлежат одному автору, а если нет, то различным. Предположим, что мы имеем два текста, при этом среди 800 слов текста подлинника (контрольная выборка) слово «колокол» встречается 23 раза, а среди 1270 слов проверяемого текста (экспериментальная выборка) - 50 раз. Принадлежат ли эти тексты одному автору?

1. Математическая модель.

Выдвигаем гипотезы:

Н о = {два текста принадлежат одному автору};

Н1 ={тексты принадлежат разным авторам}.

Найдём процентные доли (относительные частоты) появления слова «колокол» в текстах:

для текста-подлинника - 23 q Q29 или 2,9%;

800 ~ ,

для проверяемого текста -

5Q

; q Q39 или 3,9%.

1270

Казалось бы, проценты различны и поэтому уже можно сделать вывод о различных авторах, но останавливаться на

этом не будем и рассчитаем значение статистики с помощью *

« ■ П2 «1 + П2

критерия (р - Фишера: ^ = р р ^

тематическая модель рассматриваемой ситуации.

2. Математические результаты. С помощью статистических таблиц вычислим значения (i и (2 , помня при

этом, что всегда соответствует большей процентной доле.

Тогда ( = 0,398 (для 3,9%), р2 = 0,342 (для 2,9%), п1 = 1270, п2 = 800.

Рассчитаем эмпирическое значение критерия:

срэмп = (0,398 - 0,342) ■

Строим «ось значимости:

127Q■8QQ 1270 + 800

> 1,24.

Зона неопределенности

Зона незначимости

0,05

0,01

Зона значимости

Р,м„ =1,24 №р,05 = 1,64 Ъром = 2.28

В нашем случае (рэмп = 1,24 попало в зону незначимости. В соответствии с правилом принятия решения, мы оставляем гипотезу Н 0 и отвергаем Н1.

3. Реальный мир. При переводе результата, полученного в ходе математических вычислений, заключаем, что данные два текста принадлежат одному автору.

Процесс обучения решению профессионально-прикладных стохастических задач является наиболее эффективным и часто незаменимым средством усвоения учащимися понятий и методов школьного курса стохастики. Стохастическая задача является важным средством обучения математике, её решение формирует навыки самостоятельной работы, приёмы умственной деятельности, учит методам поиска, способствует развитию критичности мышления и творческих способностей, открывает новые факты.

Реальные задачи с профессионально-прикладным содержанием в школьной математике встречаются очень редко. Связано это с тем, что этап построения математической модели внематемати-ческой ситуации требует больших знаний и математической культуры. В связи с этим возникла проблема подбора и разработки задач профессионально-прикладного характера, которые могут использоваться в обучении стохастике. Материал для составления профессионально-прикладных задач можно заимствовать из различных отраслей народного хозяйства в результате знакомства с современной технической литературой, различными справочниками.

С помощью некоторой модификации целый ряд традиционных задач стохастики, сформулированных на языке внематема-тических терминов, мог бы стать задачами профессионально-прикладного характера. Расширение круга таких задач в обучении математике положительно повлияло бы на отношение учащихся (и общества) к математике, повысилась бы мотивация к обучению. Участие стохастической проблематики в математиче-

ском и общем образовании стало бы более разносторонним.

Резюмируя вышесказанное, следует ещё раз подчеркнуть, что аппарат стохастики является важным компонентом в формировании общеинтеллектуальной и профессиональной культуры современного человека, для мотивации овладения которым необходим постоянный показ практической важности данного раздела математики.

Литература

1. Виленкин Н.Я. Воспитание мыслительных способностей учащихся в процессе обучения математике / А.Я. Блох, Н.Я. Виленкин, Р.К. Таварткиладзе // Современные проблемы методики преподавания математики: сб. статей. Учеб. пособие для студентов мат. и физ.-мат. спец. пед. ин-тов; сост. Н.С. Антонов, В.А. Гусев. - М.: Просвещение, 1985.

2. Козлов С.Д. Математика в школе. Какой ей быть? // Математика в школе, 2001. - № 3.

3. Некрасов П.А. Об учебных особенностях двух направлений математического курса средней школы // Математическое образование. - 1914. - № 3.

4. Плоцки А. Стохастика в школе как математика в стадии созидания и как новый элемент математического и общего образования: дис. ... докт. пед. наук в форме научного доклада: 13.00.02. - СПб., 1992.

5. Плоцки А. Стохастические задачи и прикладная направленность в обучении математике // Математика в школе. - 1991.

- № 3.

6. Фридман Л.М. Сюжетные задачи по математике. История, теория, методика: учеб. пос. для учителей и студентов педвузов и колледжей. - М.: Школьная пресса, 2002.

7. Щербатых С.В. Научно-методические особенности реализации прикладной направленности обучения стохастике в профильных классах общеобразовательной школы: монография.

- Елец: ЕГУ им. И.А. Бунина, 2008.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.