CC BY
53
ный» трактуется как «взаимно связанный, непременно сопровождаемый чем-нибудь» [5, с. 650].
В такой интерпретации данное понятие весьма успешно используется в курсах физики, химии и биологии. Так, например, в курсе физики, в разделе «Оптика» вводится понятие «сопряженные точки». Это «две точки, которые по отношению к оптической системе являются объектом и его изображением. Вследствие обратимости световых лучей объект и изображение могут взаимно меняться местами. Понятие «сопряженные точки» строго применимо только к идеальным оптическим системам» [7, с. 1239].
В курсе химии существует понятие «сопряженные реакции». Это «химические реакции, которые протекают только при наличии хотя бы одного общего реагента, причем одна из реакций возбуждает или ускоряет другую [7].
Используя метод молекулярных орбиталей для изучения распределения электронной плотности и роли п-электронов у важнейших биологически активных веществ, Б. Пюльман и А. Пюльман пришли к заключению, что почти все высокомолекулярные соединения содержат сопряженные системы п-электронов. Они представляют собой длинную цепь (кольцо) с многократно чередующимися а- и п-связями. В результате эффекта сопряжения образуется общее электронное облако, которое охватывает одновременно большое число атомов, и молекула или часть ее действуют в ряде реакций (окисления, гидролиза) как одно целое. К таким веществам относятся NAD, FAD (ко-ферменты оксидоредуктаз), гемм и его производные, пуриновые и пиримидиновые основания, входящие в состав нуклеотидов DNK, RNK, АТР и др. [6]. Эти важнейшие биологические соединения играют ключевую роль в превращении вещества, энергии и информации во всех типах клеток, существующих на Земле.
Природа, таким образом, широко использует сопряжение как принцип эволюции вещества. Действие этого принципа имеет место во всех природных формах движения материи: физической, химической и биологической. Особенно важен этот принцип при возникновении новой формы движения материи, у которой возникает абсолютно новое качество. Именно эта характеристика «сопряжения» является отличительной чертой по отношению к родовому понятию «взаимодействие», которое отражает процесс взаимного влияния тел друг на друга путем переноса материи и движения, универсальную форму изменения состояний тел.
Подтверждением всеобщей значимости принципа сопряжения как организующего начала на самом высоком уровне является сама история «рождения» материалистической диалектики. И диалектика и материализм сами по себе являлись методологиями познания, однако их логическое сопряжение в единую методологическую систему позволило создать универсальный метод познания природы, общества и мышления.
Вышесказанное дает основание для утверждения, что понятие «сопряжение» может использоваться не только при характе-
ристике конкретных физических, химических и биологических явлений (в узком смысле), но и как категория, отражающая общий принцип организации материального мира.
Фундаментальное положение Ф. Энгельса о том, что «... законы мышления и законы природы необходимо согласуются между собой.» [10, с. 193], позволяет спроецировать «сопряжение» как фундаментальный принцип организации и развития материи в образовательную область и рассматривать его как важнейшую методологию формирования и развития естественнонаучных понятий.
Осмысление и понимание сущности сопряжения как важнейшей стороны взаимодействия дает основание для предположения, что данная категория может быть обоснована как важнейший дидактический принцип обучения и воспитания. Дидактические принципы, как правило, являются проекцией общих законов природы и тех философских категорий, через которые они выражаются. Например, такие дидактические принципы, как преемственность, системность, принцип развивающего обучения и др., выведены из философских законов и категорий, которые выражают универсальные формы человеческого мышления.
В процессе обучения необходимо сопрягать чувственные и интеллектуальные эмоции, чувственное и рациональное познание, эмпирическое и теоретическое, абстрактное и конкретное, содержание и форму, сущность и явление и т.д. Только в этом случае можно говорить о формировании диалектического стиля мышления и научного мировоззрения у учащихся и студентов в процессе изучения предметов естественно-научного цикла.
Литература
1. Арсеньев А.С. Анализ развивающегося понятия / А.С. Ар-сеньев, В.С. Библер, Б.М. Кедров. - М.: Наука, 1967.
2. Введение в философию: учеб. для вузов. - в 2 ч. / И.Т. Фролов, Э.А. Араб-Оглы, Г.С. Арефьева и др. - М.: Политиздат, 1989. - Ч. 2.
3. Копнин П.В. Диалектика, логика, наука. - М.: Наука, 1973.
4. Ленин В.И. Материализм и эмпириокритицизм / Полн. собр. соч. - 5-е изд. - М.: Политиздат, 1980. - Т. 18.
5. Ожегов С.И. Словарь русского языка /под. ред. Н.Ю. Шведовой. - 18-е изд. - М.: Рус. яз., 1986.
6. Пюльман Б. Квантовая биохимия / Б. Пюльман, А. Пюльман. - М.: Мир, 1965.
7. Советский энциклопедический словарь / гл. ред. А.М. Прохоров. - 3-е изд. - М.: Сов. энцикл., 1985.
8. Усова. А.В. Формирование у школьников научных понятий в процессе обучения. 2- изд., испр. - М.: Изд-во Ун-та РАО, 2007.
9. Философский словарь / под ред. И.Т. Фролова. - 5-е изд. -М.: Политиздат, 1986.
10. Энгельс Ф. Диалектика природы / Ф. Энгельс. - М.: Политиздат, 1987.
УДК 373.1.02:372.8 ББК 22.1 Р20
ОСОБЕННОСТИ РЕАЛИЗАЦИИ ПРОФЕССИОНАЛЬНО-ПРИКЛАДНОЙ НАПРАВЛЕННОСТИ ОБУЧЕНИЯ СТОХАСТИКЕ В УСЛОВИЯХ ПРОФИЛИЗАЦИИ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ШКОЛЫ С.В. Щербатых, кандидат педагогических наук, доцент кафедры математического анализа и элементарной математики Елецкого государственного университета им. И.А. Бунина, 8(47467) 4-50-63, [email protected]
В статье изложены особенности реализации профессионально-прикладной направленности обучения стохастике, состоящие во включении в курс математики профильных классов профессионально-прикладных стохастических задач, обучении использованию метода математического моделирования при их решении.
Ключевые слова: стохастика, профессионально-прикладная направленность, профессионально-прикладная задача, математическое моделирование.
THE PECULIARITIES OF REALIZING PROFESSIONALLY-APPLIED TENDENCY OF TEACHING STOCHASTICS IN THE
CONDITIONS OF VARIOUS TYPES OF SECONDARY SCHOOLS
Shcherbatyh S.V.
The peculiarities of realizing professionally-applied tendency of teaching stochastics are described in article which presuppose introducing professionally-applied stochastic problems teaching the usage of the method of math modeling while solving them in the course of mathematics in classes of various types.
Keywords: stochastics, professionally-applied tendency, professionally-applied problem, math modeling.
Стохастика (комбинаторика, теория вероятностей, математическая статистика и теория случайных процессов) в последнее время превратилась в одну из самых быстро развивающихся математических наук. Новые теоретические результаты открывают новые возможности для естественно-научного и практического использования методов стохастики. Более тонкое, более детальное изучение явлений природы, а также производственных, технических, экономических и иных процессов толкает в то же время науку о случайном на изыскание новых методов, новых закономерностей, которые порождаются случаем.
Так, ещё в начале XX в. математик и педагог П.А. Некрасов считал, что наука о случайном оказывает благотворное влияние на развитие мыслительных способностей и логических умений учащихся. «Это развивающее значение кроется в том обстоятельстве, что теория вероятностей как интуитивная функция сознания, называемая здравым смыслом, неразрывно связана своими сомнениями и воззрениями с самим субъектом... Математическая теория вероятностей перебрасывает среди всех сомнений надлежащий мост от объекта через частный и общечеловеческий опыт к внешней реальности. При этом теория вероятностей интенсивно упражняет учеников в индуктивной логике, параллельной априори обдуманному опыту...» [3, с. 132-133]. Недаром в настоящее время заговорили о включении данного раздела в школьный курс математики.
Как известно, одним из приоритетных направлений деятельности общеобразовательной школы является подготовка обучающихся к осознанному выбору профессионального и жизненного пути. Условием достижения этой задачи является последовательная индивидуализация обучения, профильная подготовка на завершающем этапе обучения в школе.
В настоящий момент практика обучения на старшей ступени школы элементам стохастики носит накопительный характер, вопрос создания конкретной теории и методики преподавания новой содержательной линии в классах различных профилей пока остаётся открытым.
В тематическом планировании стохастического материала на старшей ступени общеобразовательной школы закладывается идея обучения по принципу «винтовой лестницы» (обучение по «спирали») [2], расширяющейся кверху, в которой над каждой «точкой» изучаемого содержательного пространства учащиеся проходят многократно, поскольку часть стохастических понятий и методов не могут быть восприняты ими сразу (например, с понятием случайной величины учащиеся знакомятся в основной школе, но систематически изучают его лишь на старшей ступени общеобразовательной школы). Школьники каждый раз смотрят на них с другой высоты и под иным углом зрения, что позволяет лучше осмыслить пройденное. Обучение, построенное на этом принципе - это постоянное повторение на новом уровне знаний. Систематическое возвращение к фундаментальным стохастическим понятиям позволяет школьникам постепенно переходить от наблюдений и экспериментов к точным формулировкам и доказательствам. Всё время идёт работа с фундаментальными понятиями, основными методами решений, доказательств и сравнений, что само по себе приводит к хорошему результату, который за счёт методики преподавания может быть лишь только улучшен.
Несмотря на явные достижения, полученные отечественной методической мыслью, надо признать наличие ряда проблем в современном преподавании стохастики в школе. Одной из таких проблем является слабое отражение её профессионально-прикладного потенциала. Это влечёт упущение возможности формирования практических умений учащихся, связанных с решением познавательных задач, раскрывающих связь с жизнью, с другими школьными предметами естественно-научного и гуманитарного циклов, с будущей профессиональной деятельностью старшеклассников [7].
Под профессионально-прикладной направленностью обучения стохастике будем понимать целенаправленный отбор и
рациональное использование в процессе обучения содержания материала, ориентированного на показ применимости науки о случайном к описанию процессов реальной действительности, в дальнейшей профессиональной деятельности старшеклассников, а также выбор адекватных методов, форм и средств обучения для передачи и усвоения учащимися отобранной системы знаний.
Стоит отметить, что большая часть стохастики является абстрактной, поэтому её изучение в школе не должно строиться только в виде логических правил, а должно показывать методы познания в качестве приёма решения задач практики. Первые занятия требуют практических примеров, привлечения конкретных фактов из естественнонаучных и гуманитарных дисциплин. На уроках математики нужно показывать учащимся, что стохастика, отражая формы и отношения материального мира, является наукой о математических моделях реальной действительности. Понятия вероятности, совместности, независимости, случайности, случайной величины отражают многообразие процессов реальной действительности. Таким образом, знакомство учащихся с элементами стохастики открывает широкие возможности для иллюстрации значимости математики в решении профессионально-прикладных задач.
Под профессионально-прикладной задачей будем понимать задачу, возникшую в реальной жизненной ситуации, а также в профессиональной деятельности (иногда содержащей математические термины), для решения которой необходимо привлечение математического (в данном случае стохастического) аппарата.
Профессионально-прикладная направленность обучения в школе требует, чтобы в процессе обучения элементам стохастики обеспечивалось органическое единство изложения теории и практики, развивающее у учащихся умения применять теорию для решения профессионально-прикладных задач и выполнять различные практические и лабораторные работы. Изучая элементы комбинаторики, теории вероятностей и статистики, учащиеся должны усвоить и оценить их профессионально-прикладные возможности и получить основные навыки в применении элементов стохастики при решении практических задач. Через задачи можно показать применение стохастических знаний для познания реального мира, познакомить учащихся с методами решения задач в науке и практической деятельности. Таким образом, при решении профессионально-прикладных задач формируются первые профессиональные интересы школьников, так как при этом учащиеся знакомятся с применением стохастических знаний в экономике, естествознании, технике, производстве, сельском хозяйстве и т.д.
Осуществление профессионально-прикладной направленности школьного курса стохастики связано с применением математического моделирования.
Использование моделирования в обучении имеет два аспекта. Во-первых, моделирование является тем особым содержанием, которое должно быть усвоено в результате обучения методом познания, и, во-вторых, моделирование является тем учебным действием и средством, без которого невозможно полноценное обучение [6].
Однако, как показывает практика, при решении задач с практическим содержанием старшеклассникам довольно сложно уяснить отношения между величинами в них, установить зависимость между данными и искомыми.
В основе решения таких задач как раз и лежит математическое моделирование, поэтому для реализации профессионально-прикладной направленности обучения стохастике необходимо организовать обучение элементам моделирования.
Специфика стохастики состоит в том, что она более других математических разделов связана с действительностью, т.е. границы реальных объектов и их моделей весьма размыты. Поэтому, с одной стороны, мы должны акцентировать внимание учащихся на данном обстоятельстве. С другой стороны, обучение должно быть построено так, чтобы учащиеся умели отли-
чать реальные объекты от их моделей.
Процесс обучения стохастике должен в какой-то мере имитировать описанный процесс исследования в самой математике, раскрывать её связи с реальным миром, с другими областями знаний, в которых она находит всё новые и новые приложения.
Математическое (стохастическое) моделирование состоит из следующих этапов [4, 5]:
- этап перехода от ситуации, которую необходимо разрешить, к формальной математической модели этой ситуации, к четко поставленной математической задаче - этап формализации;
- решение поставленной математической задачи методами, развитыми в самой математике для задач данного типа, составляет содержание второго этапа - этапа решения задачи внутри построенной математической модели;
- третий этап сводится к интерпретации полученного решения математической задачи, применению этого решения к исходной ситуации и сопоставлению его с ней.
Коротко эти три этапа можно назвать:
1) построение математической модели;
2) получение математических результатов;
3) принятие решения (выводы в реальном мире).
Недооценка каждого из рассмотренных этапов приводит к
значительным затруднениям в использовании метода математического моделирования при решении профессионально-прикладной стохастической задачи.
Для реализации описанного содержания процесса моделирования необходимо [1, с. 215-216]:
- знать некоторые объекты, отношения и факты определённой области деятельности;
- уметь в рассматриваемой ситуации отбросить несущественное и выделить основное;
- создать на полученной основе схему ситуации (явления);
- выбрать «язык», на котором будет рассматриваться полученная схема;
- получить из схемы требуемые выводы, т.е. решить задачу на выбранном «языке».
При обучении математическому моделированию можно отметить несколько уровней обучения в порядке нарастающей сложности [1, с. 216]:
1) обучение «языку», на котором будет вестись моделирование; сюда относится изучение теории и решение системы упражнений, непосредственно направленных на её закрепление;
2) обучение «переводу» реальной ситуации на данный математический язык;
3) обучение выбору существенных переменных и построение схемы их взаимосвязей;
4) обучение составлению математических выражений, реально существующих отношений и связей, в частности, составление уравнений по условию задачи;
5) обучение решению математически выраженных отношений и связей, истолкованию полученного ответа;
6) обучение исследованию полученного решения, в частности, простейшим навыкам самоконтроля.
Хорошими примерами, иллюстрирующими сказанное, являются следующие задачи.
Задача 1. Два школьных друга условились встретиться в определённом месте между двумя часами и половиной третьего дня. Пришедший первым ждёт другого в течение 20 минут, после чего уходит. Найти вероятность того, что встреча друзей состоится, если каждый из них наудачу выбирает момент своего прихода (в промежутке от двух часов до половины третьего) и моменты прихода обоих независимы.
1. Математическая модель. Пусть С={встреча друзей состоится}. Как видно, аксиоматическим, статистическим и классическим определениями вероятностей воспользоваться нельзя, тогда необходимо прибегнуть к геометрическому, но для этого надо задать меры.
Поступим следующим образом.
Обозначим момент прихода одного из друзей через х минут, а момент прихода другого через у минут. Для того чтобы встреча произошла, необходимо и достаточно, чтобы выпол-
нялось условие |х — у| < 20 .
Будем изображать х и у как декартовы координаты точек плоскости, в качестве единицы масштаба выберем минуты.
У
Т
10 20 30 х
Все возможные исходы испытания изображаются точками фигуры, ограниченной квадратом, сторона которого равна 30;
площадь этого квадрата 8о = ¡(О) = 302 .
Неравенство |х — у| < 20 равносильно системе нера-
Г х — у < 20, венств: \
|X — у > —20. Исходы испытания, благоприятствующие событию А,
удовлетворяют системе неравенств:
х — у < 20, х — у > —20, 0 < х < 30,
0 < у < 30.
Решениями этой системы неравенств являются координаты всех точек плоскости, расположенных на рисунке в заштрихованной области, т.е. между граничными прямыми: X — у = 20; X — у = —20; X = 0; х = 30; у = 0; у = 30 и на самих граничных прямых. Точки плоскости, принадлежащие заштрихованной области, характеризуют исходы испытания, благоприятствующие событию А. Площадь заштрихованной фжуры равна ^ =м(я) = 302 — 2 • 2(30 — 20)2 .
результаты.
2. Математические Р(А) = ^ = 302 —ш2 = 8, или р(А) « 89%.
о
30
2
9
3. Реальный мир. При переводе результата, полученного в ходе математических вычислений, заключаем, что вероятность встречи друзей в назначенное время равна 89%.
Задача 2. Всхожесть клубнелуковиц гладиолуса равна 80%. Сколько нужно посадить клубнелуковиц, чтобы наиве-роятнейшее число взошедших из них было равно 100?
1. Математическая модель. Пусть А={посаженная клубнелуковица гладиолуса прорастёт}.
Тогда по условию р = р(А) = 0,8, q = 1 — p = 0,2 и
m = 100 . Воспользуемся
*
пр — д < т < пр + p.
2. Математические
0,8п — 0,2 < 100 < 0,8п + 0,8,
0,8п — 0,2 < 100, |0,8и < 100,2,
о^ о
0,8п + 0,8 > 100 |0,8п > 99,2
неравенством
результаты.
или
124 < п < 125,25,
сл., п = 124 или п = 125.
3. Реальный мир. При переводе результата, полученного в ходе математических вычислений, заключаем, что необходимо посадить 124 или 125 клубнелуковиц гладиолуса, чтобы наивероятнейшее число взошедших из них равнялось 100.
Задача 3. В литературоведении существует способ определения подлинности произведения по отношению к какому-либо автору. Основан он на соотношении частотности появления отдельных слов в тексте. Для этого анализируются два произведения: подлинное и то, подлинность которого необходимо установить. Если частоты слов совпадают, то тексты принадлежат одному автору, а если нет, то различным. Предположим, что мы имеем два текста, при этом среди 800 слов текста подлинника (контрольная выборка) слово «колокол» встречается 23 раза, а среди 1270 слов проверяемого текста (экспериментальная выборка) - 50 раз. Принадлежат ли эти тексты одному автору?
1. Математическая модель.
Выдвигаем гипотезы:
Н о = {два текста принадлежат одному автору};
Н1 ={тексты принадлежат разным авторам}.
Найдём процентные доли (относительные частоты) появления слова «колокол» в текстах:
для текста-подлинника - 23 q Q29 или 2,9%;
800 ~ ,
для проверяемого текста -
5Q
; q Q39 или 3,9%.
1270
Казалось бы, проценты различны и поэтому уже можно сделать вывод о различных авторах, но останавливаться на
этом не будем и рассчитаем значение статистики с помощью *
« ■ П2 «1 + П2
критерия (р - Фишера: ^ = р р ^
тематическая модель рассматриваемой ситуации.
2. Математические результаты. С помощью статистических таблиц вычислим значения (i и (2 , помня при
этом, что всегда соответствует большей процентной доле.
Тогда ( = 0,398 (для 3,9%), р2 = 0,342 (для 2,9%), п1 = 1270, п2 = 800.
Рассчитаем эмпирическое значение критерия:
срэмп = (0,398 - 0,342) ■
Строим «ось значимости:
127Q■8QQ 1270 + 800
> 1,24.
Зона неопределенности
Зона незначимости
0,05
0,01
Зона значимости
Р,м„ =1,24 №р,05 = 1,64 Ъром = 2.28
В нашем случае (рэмп = 1,24 попало в зону незначимости. В соответствии с правилом принятия решения, мы оставляем гипотезу Н 0 и отвергаем Н1.
3. Реальный мир. При переводе результата, полученного в ходе математических вычислений, заключаем, что данные два текста принадлежат одному автору.
Процесс обучения решению профессионально-прикладных стохастических задач является наиболее эффективным и часто незаменимым средством усвоения учащимися понятий и методов школьного курса стохастики. Стохастическая задача является важным средством обучения математике, её решение формирует навыки самостоятельной работы, приёмы умственной деятельности, учит методам поиска, способствует развитию критичности мышления и творческих способностей, открывает новые факты.
Реальные задачи с профессионально-прикладным содержанием в школьной математике встречаются очень редко. Связано это с тем, что этап построения математической модели внематемати-ческой ситуации требует больших знаний и математической культуры. В связи с этим возникла проблема подбора и разработки задач профессионально-прикладного характера, которые могут использоваться в обучении стохастике. Материал для составления профессионально-прикладных задач можно заимствовать из различных отраслей народного хозяйства в результате знакомства с современной технической литературой, различными справочниками.
С помощью некоторой модификации целый ряд традиционных задач стохастики, сформулированных на языке внематема-тических терминов, мог бы стать задачами профессионально-прикладного характера. Расширение круга таких задач в обучении математике положительно повлияло бы на отношение учащихся (и общества) к математике, повысилась бы мотивация к обучению. Участие стохастической проблематики в математиче-
ском и общем образовании стало бы более разносторонним.
Резюмируя вышесказанное, следует ещё раз подчеркнуть, что аппарат стохастики является важным компонентом в формировании общеинтеллектуальной и профессиональной культуры современного человека, для мотивации овладения которым необходим постоянный показ практической важности данного раздела математики.
Литература
1. Виленкин Н.Я. Воспитание мыслительных способностей учащихся в процессе обучения математике / А.Я. Блох, Н.Я. Виленкин, Р.К. Таварткиладзе // Современные проблемы методики преподавания математики: сб. статей. Учеб. пособие для студентов мат. и физ.-мат. спец. пед. ин-тов; сост. Н.С. Антонов, В.А. Гусев. - М.: Просвещение, 1985.
2. Козлов С.Д. Математика в школе. Какой ей быть? // Математика в школе, 2001. - № 3.
3. Некрасов П.А. Об учебных особенностях двух направлений математического курса средней школы // Математическое образование. - 1914. - № 3.
4. Плоцки А. Стохастика в школе как математика в стадии созидания и как новый элемент математического и общего образования: дис. ... докт. пед. наук в форме научного доклада: 13.00.02. - СПб., 1992.
5. Плоцки А. Стохастические задачи и прикладная направленность в обучении математике // Математика в школе. - 1991.
- № 3.
6. Фридман Л.М. Сюжетные задачи по математике. История, теория, методика: учеб. пос. для учителей и студентов педвузов и колледжей. - М.: Школьная пресса, 2002.
7. Щербатых С.В. Научно-методические особенности реализации прикладной направленности обучения стохастике в профильных классах общеобразовательной школы: монография.
- Елец: ЕГУ им. И.А. Бунина, 2008.
