CC BY
2ISSN 0136-4545 !Ж!урнал теоретической и прикладной механики.
№1 (86) / 2024.
УДК 539.3:534.1
doi:10.24412/0136-4545-2024-1-51-60 EDN:PSXXPV
©2024. А.А. Глухов1, В.И. Сторожев2, С.В. Сторожев3,
МЕТОДИКА АНАЛИЗА ПРОБЛЕМЫ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВОЛН СДВИГА В АНИЗОТРОПНОМ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ГРАДИЕНТНОМ СЛОЕ С РАЗЛИЧНЫМИ ЗАКОНАМИ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЙ НЕОДНОРОДНОСТИ ДЛЯ КАЖДОЙ ФИЗИКО-МЕХАНИЧЕСКОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Предложен численно-аналитический алгоритм интегрирования уравнения относительно амплитудной составляющей нормальной сдвиговой волны в неоднородном по толщине транс-версально-изотропном слое, каждый из физико-механических параметров которого характеризуется своей, отличающейся от остальных, экспоненциальной функцией изменения по поперечной координате. С использованием полученных базисных решений сформулированы дисперсионные уравнения для сдвиговых нормальных волн в рассматриваемом слое применительно к ряду случаев задания граничных условий на его плоских гранях. Представлены результаты численных исследований некоторых вариантов рассматриваемой задачи. Ключевые слова: трансверсально-изотропный функционально-градиентный слой, трехфакторная поперечная экспоненциальная неоднородность, нормальные горизонтально-поляризованные сдвиговые волны, методика интегрирования волновых уравнений, базисные частные решения, дисперсионные соотношения, расчетный анализ дисперсионных спектров.
Введение и цели исследования. Проблемы распространения волн напряжений в упругих волноводах при достаточно длительном периоде изучения
1 Глухов Антон Александрович - аспирант каф. теории упругости и вычислительной математики им. акад. А.С. Космодамианского ф-та матем. и информ. технологий ДонГУ, Донецк, e-mail: [email protected].
Glukhov Anton Alexandrovich - Postgraduate, Donetsk State University, Donetsk, Faculty of Mathematics and Information Technologies, Chair of Theory of Elasticity and Computational Mathematics named after Academician A.S. Kosmodamiansky.
2 Сторожев Валерий Иванович - доктор техн. наук, проф., зав. каф. теории упругости и вычислительной математики им. акад. А.С. Космодамианского ф-та матем. и информ. технологий ДонГУ, Донецк, e-mail: [email protected].
Storozhev Valeriy Ivanovich - Doctor of Technical Sciences, Professor, Head of Department, Donetsk State University, Donetsk, Faculty of Mathematics and Information Technologies, Chair of Theory of Elasticity and Computational Mathematics named after Academician A.S. Kosmodamiansky.
3 Сторожев Сергей Валериевич - доктор техн. наук, проф. каф. специализированных информационных технологий и систем строительного ф-та ДонНАСА, Макеевка, e-mail: [email protected].
Storozhev Sergey Valerievich - Doctor of Technical Sciences, Professor, Donbas National Academy of Civil Engineering and Architecture, Makeevka, Faculty of Civil Engineering, Chair of Specialized Information Technologies and Systems.
остаются крайне актуальной областью перспективных исследования в механике деформируемого твердого тела [1]. При этом, к числу наиболее современных в теоретическом и прикладном отношении аспектов этой проблемы относятся вопросы анализа закономерностей распространения нормальных и локализованных упругих волн в непрерывно-неоднородных по физико-механическим свойствам упругих телах [2-5] в рамках моделей динамического деформирования массивов анизотропных горных пород и функционально-градиентных анизотропных материалов, создаваемых на базе применения новейших аддитивных технологий [6, 7]. Исследования в этой области в преимущественной степени основываются на нескольких детально обосновываемых моделях описания законов изменения физико-механических свойств функционально-градиентных сред и геоматериалов вдоль некоторых линейных направлений, к числу которых относятся модели экспоненциальных координатных зависимостей характеристик деформационных свойств, плотности и генерирования сопряженных полей [6, 7]. В обширном числе работ, посвященных численно-аналитическому исследованию задач статического и динамического деформирования экспоненциально-неоднородных тел, принимается концепция единого экспоненциального закона неоднородности для всех физико-механических характеристик модели [8-15], и уравнение относительно амплитудной составляющей сдвиговых волновых перемещений в нормальных сдвиговых волнах для волновода в виде плоскопараллельного неоднородного по толщине трансверсально-изотропного слоя с поперечно ориентированной осью изотропии в этом случае является обыкновенным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами, интегрируемым методом Эйлера [16].
В работах [16-18] концепция экспоненциального описания законов изменения физико-механических характеристик распространена на случаи введения двух различных видов таких зависимостей в представлениях физико-механических характеристик материалов для моделей распространения сдвиговых упругих волн в поперечно-неоднородном слое - различных законов неоднородности для параметра плотности материала и для совокупности всех остальных механических характеристик [17]; различных законов неоднородности для одной из характеристик упругих свойств трансверсально-изотропного слоя и для пары остальных параметров - второго модуля упругости и параметра плотности [16]; различных законов неоднородности для всех параметров упругих свойств и плотности, а также для совокупности характеристик электрических свойств в случае задачи о сдвиговых электропругих нормальных волнах в слое функционально-градиентной пьезокерамики [18]. В этих случаях задачи численно-аналитического интегрирования уравнений относительно амплитудных составляющих волновых перемещений в нормальных сдвиговых волнах для волновода в виде неоднородного слоя решены применительно к изотропному слою путем приведения соответствующего уравнения к уравнению Бесселя [17], а для анизотропного упругого и пьезокерамического слоя - с применением предложенных скалярных и матрично-векторных итерационных алгоритмов [16, 18].
Целью данного исследования является разработка численно-аналитического алгоритма интегрирования уравнения относительно амплитудной составляющей нормальной сдвиговой волны в неоднородном трансверсально-изотропном слое, каждый из физико-механических параметров которого характеризуется своей, отличающейся от остальных, экспоненциальной функцией изменения по толщине, а также получение и анализ дисперсионных соотношений для волн рассматриваемого типа при задании на гранях слоя условий свободных от напряжений поверхностей.
1. Алгоритм интегрирования амплитудного волнового уравнения. Без ограничения общности рассматривается распространение волны БИ-типа с циклической частотой ш и волновым числом к вдоль координатного направления Ох\ в отнесенном к прямоугольным безразмерным координатам Ох 1X2X3 с нормирующим параметром Н* [м] трансверсально-изотропном функционально-градиентном слое V = {(х1 ,х2) е Е2, 0 < хз < Н} с направлением неоднородности и осью изотропии, коллинеарными Охз. Исследуемое волновое движение описывается уравнением
д д
д1(свбд1и2) + <Эз(с44<Эз-и2) - рд?и2 = 0, д^ = —, дг = (1)
в котором физико-механические характеристики материала имеют вид
С44 = С440 ехр(Л44хз), С66 = С660 ехр(Абб хз), р = Ро ехр^хз), (2)
а комплексная функция волновых упругих перемещений щ(х1,хз,Ь) задается в форме
«2(х1,хз,^ = и20(хз)ехр(-г(ш£ - кх1)). (3)
После подстановки представлений (2) и (3) в (1) записывается задача интегрирования уравнения относительно амплитудной функции и2о(хз)
С440 ехр(Л44 хз)пП20 + Л44С440 ехр(Л44хз)и'20 + (рош2 ехр(Л^хз) (4)
-к2 С660 ехр(Л66 хз))и20 = 0.
В рамках формирования алгоритма численно-аналитического интегрирования (4) вводятся в рассмотрение следующие представления в виде степенных рядов:
и20(хз) = ^ апх%, и20(хз) = ^ (п + 1)ага+1хп, (5)
п=0 п=0
те
и" 20(хз) = ^(п + 2)(п + 1)ап+2хП,
п=0
те Лт те Лт
ехр(Л44^з) = -^Х?, ехр(\66хз) = -Цх?, (6)
ж Дт
ехр(ЛрЖэ) = ^
т=0
При формальной подстановке (5) и (6) в уравнение (4) оно принимает форму
р т
т! 3
т=0
Ж Дт хт Ж Ж Дт Ж
С440 ^ -^р- ^ (п + 2)(п + 1)ага+2ж? + Л44С440 ^ -^у^ ^ (п + 1)ап+1х%+
т=0 п=0 т=0 п=0
(7)
ж Дт ж Дт ж
+(р0^2 V " к2сто Т -Цх?) V = О,
—/ т! 3 ^—' т! 3 ^—' 3
т! т!
т=0 т=0 п=0
и далее может быть преобразовано к виду
ж
'У ^ Апрх3 = О, р=0
где
р
Апр = ^2((п + !)(п + 2)С440Л44П((Р - п)!)"1а„+2+ (9
±пр
п=0
+(п + 1)с440ЛР-п+1((р - п)!)-1ап+1 + (р0^2Лр-п - ебтк2Лр6-п)((р - п)!)-1ап).
Следствием приравнивания нулю коэффициентов Апр в представлении (8) при варьировании п = 0, оо является серия соотношений, позволяющих последовательно получить значения ап для базисных решений дифференциального уравнения (4). В случае п = 0 соотношение связи искомых коэффициентов А00 = 0 приводится к виду
2С440а2 + С440а1 + (р0Ш2 - Сбб0к2)а0 = 0
или
а2 = -(1/2)а1 - (р0Ш2 - Сбб0к2)(2с440)-1а0. (10)
Соотношение (10) при альтернативном выборе а0 = 1, а1 = 0 либо а0 = 0, а1 = 1 и последующем использовании рекуррентных формул
ар+2 = -((р + 1)(р + 2)С440)-1((р + 1)С440Л44ар+1 + (Р0ш2 - С660к2)ар+ (11) р-1
+ [((п - р)!)-1 ((п + 1)(п + 2)С440Лр-пап+2 + (п + 1)С440Лр-п+1ап+1 +
п=0
+(рои2\р~п - севок2Х^п)ап}) (р = Т^ЪБ),
соответственно приводит к двум последовательностям {а-}^, (3 = 1, 2), которые определяют два базисных частных решения Ф-(хз,ш,к) уравнения (4) с представлениями
те
Ф,- (хз ,ш,к) = £ а^хП;, (12)
п=0
которые при использовании в численных исследованиях редуцируются на оговариваемом уровне точности расчетов. С их введением при исследовании рассматриваемых волновых процессов используется выражение
«2(х1,хз,£) = (С\Ф\(хз,ш, к) + С2Ф2(хз,ш, к)) ехр(-г(шЬ - кх\)). (13) Уместно указать, что
Ф,-(0,ш, к) = а<-), (63Ф,-(хз,ш,к))Хз=о = а-). (14)
2. Формулировка дисперсионных соотношений для сдвиговых волн в функционально-градиентном слое с трехфакторной неоднородностью экспоненциального типа. Полученные представления для базисных решений уравнения вида (4) позволяют представить формулировки дисперсионных соотношений Е(ш,к) = 0, описывающих закономерности распространения нормальных и локализованных горизонтально-поляризованных сдвиговых волн в некоторых типах волноводов с элементами в виде рассматриваемого трансверсально-изотропного функционально-градиентного слоя.
В частности, для нормальных горизонтально-поляризованных сдвиговых волн в волноводе в виде слоя V = {(х1,х2) € К2, 0 < хз < Н} с закрепленными граничными плоскостями
Е(ш, к) = а01)Ф2(Н,ш,к) - а02)Ф1(Н, ш, к) = 0; (15)
для слоя V со свободными граничными плоскостями
Е(ш, к) = а(11)Ф/2(Н,ш,к) - а^ Ф\(Н,ш,к) = 0; (16)
для локализованных волн Лява в структуре «трансверсально-изотропный функционально-градиентный слой V из материала с трехфакторной экспоненциальной неоднородностью на однородном изотропном полупространстве хз € (-то, 0) с модулем сдвига / и плотностью р»
Е(ш, к) = (С440а11) + ^а01))Ф/2(Н,ш,к) - ^а^ + Ц,2^ 1(Н,ш,к) = 0, (17)
# = (ш2р// - к2)1/2.
3. Результаты вычислительных экспериментов. В процессе численной реализации представленной методики отдельно рассмотрен вопрос верификации запрограммированного алгоритма расчета базисных решений вида (12). С
этой целью рассматривались частные случаи однофакторной неоднородности А44 =Абб =Ар = Л, и с использованием базисных частных решений амплитудных уравнений для этого случая в экспоненциальной форме [16]
те те
ехр(£1Жз) = V ехр(^з) = V (18)
' т! 3 ' т! 3
т=0 т=0
6д = -А/2 + (-1)9+1((А/2)2 - Х)1/2, х = (Ро^2 - с66ок2)/в440, конструировались соответствующие представления базисных решений в рядах
те
^ апхП с а0 = 0, а1 = 1, либо а0 = 1, а1 = 0, которые соответственно имеют
п=0
следующий вид
(ехр^хз) - ехр^хз))/(¿1 - ¿2) = (19)
те ¿т те ¿т
= (Е ~ Е - *2) = 0 • + (¿1 - 62)х13/(1\(61 - 62)) +
т=0 т=0
(¿2 ехр^хз) - ¿1 ехр^жз))/(¿2 - ¿1) = (20)
те ¿т те ¿т
№ Е Е ^хг)/(Ь-б1) = 1-х°3 + (6261 -6162)х1/(11(62-6!)) + ....
т=0 т=0
Контрольные расчеты осуществлялись для анализа совпадения в частном случае однофакторной неоднородности результатов вычислений Ф1(х3,к,к), Ф2(х3,к,к) с данными расчетов по формулам (19) и (20).
На базе разработанной методики для ряда вариантов варьируемого задания параметров трехфакторной неоднородности физико-механических свойств слоя со свободными от напряжений плоскими гранями реализован расчетный анализ поведения низшей моды дисперсионного спектра, а также рассчитаны фрагменты диаграмм дисперсионных кривых для отдельных случаев задания существенно увеличенных значений констант неоднородности.
Значения физико-механических и геометрических параметров рассматриваемого волновода выбирались в следующем виде. Вводились два варианта задания физико-механических параметров 440, с660, р0: вариант 1 - с440 = 2с*, с660 = с*, р0 = р*, вариант 2 - с440 = с*, 660 = 2с*, р0 = р*, где с*[Па] и р0[кг/м3] - соответствующие нормирующие параметры. Параметр толщины слоя задавался в виде Н = 0.5Н*. Для параметров неоднородности Л44, А66, Ар рассматривались вариации значений А44,А66 = {А*, 2А*, 4А*}, А* [Н"1] - параметр нормировки.
Результаты расчетов траекторий низшей моды спектра на диаграммах дисперсионных кривых исследуемых нормальных волн в зависимости от задаваемых величин показателей неоднородности А44, А66, Ар для варианта 1 задания параметров с440, р0 представлены на рисунках 1-3, а для варианта 2 - на рисунках 4-6. На этих рисунках к = кН* - приведенное нормированное волновое число, к = (р0к2Н2/с*) - приведенный безразмерный частотный параметр. На
всех графиках сплошные линии отвечают минимальным значениям варьируемого параметра, точечные - средним по величине значениям и пунктирные -максимальным значениям. Рисунки 1 и 4 описывают поведение низшей моды спектра при задании параметров неоднородности Л44, Абб, Ар в виде Л44 = Н*, Лбб = {Н*, 2Н*, 4Н*}, Лр = 0.5р*; рисунки 2 и 5 отвечает варианту задания параметров Л44 = Н*, Лбб = 2Н*, Лр = {0.5р*, р*, 2р*}; рисунки 3 и 6 - варианту задания параметров Л44 = 2Н*, Абб = Н*, Лр = {0.5р*, р*, 2р*}.
Рис. 1.
Рис. 2.
В качестве эффектов варьирования параметров неоднородности можно указать на увеличение фазовых скоростей бегущих нормальных волн низшей моды при росте значений параметра неоднородности Лбб и уменьшение фазовых скоростей этих волн при росте значений параметра неоднородности Лр для обоих вариантов задания характеристик с440, сбб0, р0.
Наконец, на рисунках 7 и 8 соответственно представлены фрагменты диа-
грамм дисперсионных спектров исследуемых волн для вариантов задания параметров с440 = 2с*, сбб0 = 0.96с*, р0 = р*, Л44 = 0.001Н*, Лбб = 5Н*, Лр = 5р* и с440 = 2с*, бб0 = 0.96с*, р0 = р*, Л44 = 0.001Н*, Лбб = 0.001Н*, Лр = 5р*.
Рис. 5. Рис. 6.
Выводы. Итогом представленных в работе исследований является разработка численно-аналитического алгоритма интегрирования обыкновенного дифференциального уравнения с переменными коэффициентами относительно амплитудной составляющей нормальной сдвиговой волны в функционально-градиентном трансверсально-изотропном слое с различными экспоненциальными законами изменения каждой из физико-механических характеристик материала по толщине. Базисные решения уравнения рассматриваемого уравнения получены в виде степенных рядов с коэффициентами, определяемыми из последовательности рекуррентных соотношений. С использованием полученных базисных ре-
шений сформулированы дисперсионные уравнения для сдвиговых нормальных волн в рассматриваемом слое применительно к ряду случаев задания граничных условий на его плоских гранях.
Реализован расчетный анализ траекторий низшей моды спектра на диаграммах дисперсионных кривых исследуемых нормальных волн в слое со свободными от напряжений плоскими гранями для ряда вариантов варьируемого задания параметров трехфакторной неоднородности физико-механических свойств.
Исследования проводились в ФГБОУ ВО «ДонГУ» в рамках государственного задания (№ госрегистрации 124012400354-0).
1. Мелешко В.В. Упругие волноводы: история и современность / В.В. Мелешко, А.А. Бон-даренко, С.А. Довгий, А.Н. Трофимчук, Г.Я. ван Хейст // Математические методы и физико-механические поля. - 2008. - Т. 51, № 2. - С. 86-104.
2. Бирюков С.В. Поверхностные акустические волны в неоднородных средах / С.В. Бирюков, Ю.В. Гуляев, В.В. Крылов, В.П. Плесский - М.: Наука, 1991. - 414 с.
3. Datta S.K. Elastic Waves in Composite Media and Structures: With Applications to Ultrasonic Nondestructive Evaluation, in Mechanical Engineering Series / S.K. Datta, A.H. Sha. - Boca Raton: CRC Press, 2008. - 336 p.
4. Жаворонок С.И. Задачи о дисперсии волн в неоднородных волноводах: методы решения (обзор). Часть I / С.И. Жаворонок // Механика композиционных материалов и конструкций. - 2021. - Т: 27, № 2. - С. 227-260. - D0I:10.33113/mkmk.ras.2021.27.02.227260.06.
5. Жаворонок С.И. Задачи о дисперсии волн в неоднородных волноводах: методы решения (обзор). Часть II / С.И. Жаворонок // Механика композиционных материалов и конструкций. - 2022. - Т: 28, № 1. - С. 36-86. - DOI:10.33113/mkmk.ras.2022.28.01.036086.03.
6. Miyamoto Y. FGM: Design, processing and applications / Y. Miyamoto, W.A. Kaysser, B.H. Rabin et al. - Dordrecht: Kluwer Academic, 1999. - 434 p.
7. Birman V. Modeling and Analysis of Functionally Graded Materials and Structures / V. Birman, L.W. Byrd // Appl. Mech. Rev. - 2007. - Vol. 60, N 5. - P. 195-216.
8. Meguid S.A. On the dynamic propagation of a finite crack in functionally graded materials / S. A. Meguid, X. D. Wang, L. Y. Jiang // Engineering Fracture Mechanics. - 2002. - V. 69, No 14-16. - P. 1753-1768. - doi:10.1016/S0013-7944(02)00046-2.
9. Chen J. Transient internal crack problem for a nonhomogeneous orthotropic strip (Mode I) / J. Chen, Z. Liu, Z. Zou // International Journal of Engineering Science. - 2002. - V. 40, No 15.
- doi:10.1016/S0020-7225(02)00038-1.
10. Chen J. Electromechanical impact of a crack in a functionally graded piezoelectric medium / J. Chen, Z. Liu, Z. Zou // Theoretical and Applied Fracture Mechanics. - 2003. - V. 39, No 1.
- P. 47-60. - doi:10.1016/S0167-8442(02)00137-4.
11. Chen J. Dynamic response of a crack in a functionally graded interface of two dissimilar piezoelectric half-planes/ J. Chen, Z. Liu, Z. Zou // Archive of Applied Mechanics. - 2003. -V. 72, No 9. - P. 686-696. - doi:10.1007/s00419-002-0238-5.
12. Zhou Z. G. Investigation of the dynamic behavior of a finite crack in the functionally graded materials by use of the Schmidt method / Z. G. Zhou, B. Wang, Y. G. Sun // Wave Motion.
- 2004. - V. 39, No 3. - P. 213-225. - doi:10.1016/j.wavemoti.2003.09.001.
13. Ma L. Dynamic behavior of a finite crack in the functionally graded materials / L. Ma, L. Z. Wu, L. C. Guo, Z. G. Zhou // Mechanics of Materials. - 2005. - V. 37, No 11. - P. 1153-1165.
- doi:10.1016/j.mechmat.2005.05.004.
14. Ding S. Mode-I crack problem for functionally graded layered structures / S. Ding, X. Li // International Journal of Fracture. - 2011. - V. 168, No 2. - P. 209-226. - doi:10.1007/s10704-010-9575-5.
15. Yang Y. H. Non-destructive detection of a circular cavity in a finite functionally graded material layer using anti-plane shear waves / Y. H. Yang, L.-Z. Wu, X.-Q. Fang. //J. Nondestructive
Eval. - 2010. - V. 29. - P. 233-240. - doi:10.1007/s10921-010-0081-5.
16. Сторожев В.И. Дисперсия нормальных сдвиговых волн в функционально-градиентном трансверсально-изотропном слое / В.И. Сторожев, А.А. Глухов // Вестник Донецкого национального университета. Серия А. Естественные науки. - 2024. - No 1. - C. 58-64. -doi:10.5281/zenodo.12531960. - EDN:GCZGRS
17. Majhi S. Propagation of SH waves in a visco-elastic layer overlying an inhomogeneous isotropic half-space / S. Majhi, P.S. Pal, S. Kumar // Ain Shams Engineering Journal. - 2018. - Vol. 9, No. 4. - P. 675-680. - doi:10.1016/j.asej.2016.03.011.
18. Карасев Д. С. Сдвиговые электроупругие волны в функционально-градиентном пьезоке-рамическом слое с разнотипной экспоненциальной неоднородностью механических и электрических свойств / Д.С. Карасев, С.В. Сторожев, В.А. Шалдырван // Журнал теоретической и прикладной механики. - 2023. - № 4(85). - С. 23-30. - doi:10.24412/0136-4545-2023-4-23-30. - EDN: YFWFOO.
A.A. Glukhov, V.I. Storozhev, S.V. Storozhev
Analysis method of the problem of shear wave propagation in an anisotropic functional gradient layer with different laws of exponential heterogeneity for each physical and mechanical characteristic.
A numerical-analytical algorithm for integrating the equation with respect to the amplitude component of a normal shear wave in a inhomogeneous in thickness transversely isotropic layer, each of whose physical and mechanical parameters is characterized by its own exponential function of change along the transverse coordinate, which differs from the others, is proposed. Using the obtained basic solutions dispersion equations for shear normal waves in the layer under consideration as applied to a number of cases of specifying boundary conditions on its flat faces are formulated. The results of numerical studies of a number of variants of the problem under consideration are presented. Keywords: transversely isotropic functionally gradient layer, three-factor transverse exponential inhomogeneity, normal horizontally polarized shear waves, wave equation integration technique, basic partial solutions, dispersion relations, computational analysis of dispersion spectra.
Статья поступила в редакцию 23.08.2024; доработана 10.09.2024; рекомендована к печати 20.09.2024.
