Метод выбора компьютерных средств автоматизации для распределенных систем управления Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

На векторе (0032103) невязка равна 0, значит искомый вектор-решение найден.

Естественно, что всевозможные модификации предлагаемого алгоритма должны тем или иным способом вести к уменьшению количества тупиковых точек. Одним из вариантов возможных модификаций является изменение критерия выбора приоритетного направления, то есть изменение способа подсчета невязки.

Экспериментальные исследования подтверждают целесообразность применения градиентного алгоритма, позволяющего для некоторых классов важных прикладных задач значительно снижать трудоемкость решения систем (1).

Библиографический список

1. Анашкина, Н.В. Использование алгоритма Бала-ша для нахождения решения системы линейных ограничений специального вида / Н.В. Анашкина // Вестн. Моск. гос. ун-та леса - Лесной вестник.

- 2005.

2. Анашкина, Н.В. Обзор методов решения систем линейных неравенств / Н.В. Анашкина // Вестн. Моск. гос. ун-та леса - Лесной вестник. - 2004.

- №1 (32).

3. Балакин, Г.В. Методы сведения булевых уравнений к системам пороговых соотношений / Г.В. Балакин, В.Г. Никонов // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 1994. - Т 1. -Вып. 3.

4. Гришухин, В.П. Среднее число итераций в алгоритме Балаша / В.П. Гришухин // Численные методы в линейном программировании: сб. статей.

- М.: Наука, 1973. - С. 31-38.

5. Черников, С.Н. Линейные неравенства / С.Н. Черников. - М.: Наука, 1973.

6. Хачиян, Л.Г. Полиномиальный алгоритм в линейном программировании / Л.Г. Хачиян // Доклады Академии наук. - 1979. - Т 244. - № 5.

7. Balas E. An additive algorithm for solving linear programs with zero-one variables. // Operat.Res.

- 1965.

МЕТОД ВЫБОРА КОМПЬЮТЕРНЫХ СРЕДСТВ АВТОМАТИЗАЦИИ ДЛЯ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

В.А. ДОРОШЕНКО, проф, МГУЛ, д-р техн. наук,

Л.В. ДРУК, доц. МГУЛ, канд. техн. наук,

А.А. НАЗАРЕНКО, асп. МГУЛ

Современные системы управления являются распределенными по уровням и интегрированными по функциям АСУ ТП и АСУП (рисунок). Каждому уровню соответствуют определенные функции, реализуемые соответствующими техническими средствами автоматизации и программным обеспечением. Ядром каждого уровня являются компьютерные средства автоматизации. Основой первого уровня являются оконечные устройства, интеллектуальные микропроцессорные измерительные и исполнительные устройства, расположенные непосредственно на объектах контроля и управления, для подключения которых имеются сенсорные сети. Второй относится к уровню низовой автоматизации. Основными техническими средствами этого уровня являются программируемые про-

мышленные контроллеры и промышленные контроллерные сети. Основная задача третьего уровня - управление технологическими участками и технологическими процессами. Технической основой являются операторские станции, промышленные компьютеры и универсальные промышленные сети, с помощью которых реализуется соответствующий уровень операторского интерфейса для визуального контроля процессов и воздействия на объекты управления. Четвертый относится к уровню управления производством (АСУП) в тесной интеграции в режиме реального времени с предыдущими уровнями системы. Технической основой уровня являются серверы и компьютеры, объединенные в вычислительные сети с соответствующими автоматизированными рабочими местами (АРМ).

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2008

121

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Универсальная

Вычислительная ) сеть

Уровень

управления

производством

Уровень низовой автоматизации

Уровень датчиков и исполнительных устройств

Рисунок. Уровни распределенной системы управления

Одной из основных задач в процессе синтеза таких систем является выбор оптимальных вариантов технических средств и программного обеспечения из исходного множества вариантов, удовлетворяющих заданному множеству показателей эффективности. Постановка задачи заключается в следующем: имеется исходное множество вариантов

Вис, = (В) = В ад. ад

множество показателей эффективности {А*} = (К1, К2,..., Кт), формируемых на основе характеристик исходных вариантов; множество значений показателей эффективности К =(К1 ,К2,...,КМКЬ Мк - числ° значений показателя эффективности. Необходимо найти оптимальное соответствие между этими множествами. Задача является многовариантной, многокритериальной, для решения которой необходимо математическое описание процесса выбора на основе бинарных отношений между множествами. Модель

для решения задачи многокритериального выбора вариантов можно представить в виде множества

М = ( ТЗ, В, кк, L, с, ад

где ТЗ - тип многокритериальной задачи;

В - множество исходных вариантов;

Кк - множество показателей эффективности;

L - множество отображений, устанавливающих соответствие между вариантами и числовыми значениями каждого показателя эффективности;

С - система предпочтений лица, принимающего решение (ЛИР) на множестве вариантов;

РП - решающее правило, задающее на множестве вариантов отношения предпочтения.

Анализ работ по многокритериальному синтезу [1-6] показал, что существует три основные многокритериальные задачи и

122

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2008

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

соответствующие им способы решения. Задачи на основе частичного упорядочения сравниваемых вариантов с помощью отношения нестрогого порядка при отношении толерантности относительно упорядочения показателей эффективности по важности (при равноважных показателях эффективности), что соответствует безусловному критерию предпочтения [1, 5, 6]

B1RB2 о (VK)[Kk(B1) <

< Кад - (3K)[KK(Bj) < KK(B2)], (1)

B1RB2 о (VK)[KK(B1) >

> KK(i?2)] л (3K)[KK(Bj) > KK(B2)], (2)

т.е. если (VK) для двух производных вариантов В В2 выполняется одно из неравенств (1, 2) и существует (ЭК) и хотя бы одно из неравенств строгое, то вариант В1 безусловно лучше, чем вариант В2 (1), или безусловно хуже (2), при этом показатели эффективности являются равноважными. Уравнение (1) применяется при минимизации показателей эффективности, уравнение (2) - при максимизации. Основным достоинством безусловного критерия предпочтения является его объективность при выделении нехудших вариантов и отсеве худших без введения дополнительных условий, но при этом задача определения оптимального варианта (единственного варианта) не решена до конца, кроме вырожденного случая. Во многих случаях выделение нехудших вариантов является удовлетворительным, но чаще всего, особенно при автоматизированном выборе, существует потребность выделения оптимального варианта. Для этого необходимо ввести дополнительные условия и решить вторую многокритериальную задачу, которая сводится к строгому упорядочению сравнительных вариантов и показателей эффективности на основе отношения (R)

BRB2 о [K1(B1) < K'(B2) v K1(B1) =

= К^ - [KB < K(B2) v K2^) =

= K2(B2)] - ... [Km-1(B1) < Km-1(B2) v Km-1(B1) =

= Km-1(B2)\ - [Km(B1) < Km(B2)\ (3)

B1RB2 о [jK1(B1) > K1(B2) v K1(B1) =

= Kl(B0\ - [К^) > k2^) v k2(B1) =

= K2(B2)\ - ... [Km-1(B1) > Km-1(B2) v Km-1(B1) =

= Km-1(B2)\ - [jK”(B1) > Km(B2)\, (4)

Уравнение (3) применяется при минимизации показателей эффективности,

уравнение (4) - при максимизации. Решение задачи сводится к лексикографическому отношению предпочтения, при котором все показатели эффективности строго упорядочены по важности. В процессе сравнения вариантов в первую очередь используется первый по важности показатель за счет потерь по остальным показателям. При равенстве значений первого показателя для двух или более вариантов используется второй показатель эффективности и так до показателя Кт. Третья многокритериальная задача построена на основе комбинированного метода, включающего безусловный и условный критерии, при этом на первом этапе применяется безусловный критерий, который исключает потери полезной информации в виде нехудших вариантов и дает гарантию, что в процессе выбора на втором этапе на основе условного критерия будет выделен оптимальный вариант из множества нехудших вариантов.

В работе предложено математическое описание процесса выбора нехуших вариантов, реализующее первый этап комбинированного метода. Для объективного выбора множества нехудших вариантов необходимо осуществить замыкание исходного множества вариантов, т.е. выделить допустимое множество. Исходным является: множество исходных вариантов Мисх = {B.} = = {B1, B2,..., BN}, i = 1, 2, ..., N; множество показателей эффективности {К*} = {А1, К2,..., Кт}, к = 1, 2, ..., m; множество значений показателей эффективности

К ={К ,К2,...,Кмк Ь МК - числ° значений показателей эффективности, к = 1, 2, ..., т. Для выделения допустимых вариантов необходимо ввести ограничения на значения пока-

„ ^К ^1 .—2 —т

зателей эффективности Кт ={Кт ,Кт,...,Кт }. На основе Мисх и К формируется матрица для выделения допустимых вариантов А = |al|, строки матрицы соответствуют исходным вариантам, столбцы - требуемым значениям показателей эффективности. Элементы матрицы определяются в соответствии с выражением

а, =

1 2 т

1, если В е(Кт vКт v...vКт ) 0, в противном случае

(5)

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2008

123

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Непосредственно выделение допустимых вариантов осуществляется путем логического умножения столбцов матрицы

А = А. л А2 л . л А ,

g 12 m’

где

^1 .— 2

А, ^ Kt , А ^ Kt .

, А ^ Kt

(6)

Множество допустимых вариантов выбирается на основе пересечения множеств

М = А л х л .л х, (7)

где А, X,., Х - множества, элементами которых являются варианты, которым в столбцах матрицы А соответствует единица.

Выделение нехудших вариантов осуществляется на основе построения рабочих характеристик показателей эффективности [1, 2]. Исходными являются: множество допустимых вариантовMg = {B*} = {B;, B2, ...,BN }, I = 1, 2, ., N; множество показателей эффективности Кк = {К1, К2, ..., К”}, к = 1, 2, ..., m; множество значений показателей эффективности К ={Ki ,K2,...,Kmk}, MK - число значений показателей эффективности. Для выбора нехудших (рациональных) вариантов необходимо выполнить:

1. Формирование упорядоченного ряда значений показателей эффективности

—K ^К ^К —K ^1 ^1 ^1 ^1

К ={К , КС 2,..., КмК }, КС ={К1,К2,..., Кмк 1},

.— 2 ^-2^-2 ■—2

КС ={К ,К2,...,КмК2}, ...,

-"V.т ^т ^т ^т

КС = {Kl,К2 ,...,Кмкт }, (8)

где МК1, Мк\ МКт - число значений показателей эффективности.

Упорядоченные ряды (8) по возрастанию формируются при минимизации показателей эффективности в процессе выбора вариантов, при максимизации упорядоченные ряды формируются по убыванию.

2. Формирование матриц для показателей эффективности на основе упорядоченных значений показателей эффективности (8)

А , =| а |, А 2 =| а |, ..., А т =| а |. (9)

Строки матриц соответствуют допустимым вариантам, i = 1, 2, ..., Ng; столбцы -значениям упорядоченных рядов показателей

^еКТИиГОСТи j1 =, j2 = К2,К 2 , КМк 2 ., jm

= К1 ,К2 ,...,Кмкт . Первые столбцы матриц (9)

соответствуют первым значениям упорядоченных рядов (8), при этом столбцы матриц можно обозначить

1 1 К ^ A , К 2 ^ Кмк1 ^ 4мК 1 ;

К ^ А ,К ^ A2,...,Kmk 2 ^ АК 2 , ...,

-"V.т ^т -^т

К ^ А”1, К2 ^ А” ,..., КМкт ^ Аткт . (10) Элементы матриц Ак1 , А^2, ., АК„ определяются в соответствии с условиями:

а [l, если Де(А v^v.-.v^,)

',| [О, в противном случае

|Х если Ble(4vA^v...vAl4 )

^=п * (11)

10, в противном случае

а Jl, еслиВМ^’У4’v...vA^kJ У| [О, в противном случае

3. Для выделения множества нехудших вариантов необходимо выполнить логическое умножение матриц (9) в соответствии с условием

А” = А^ лА2 л...лАт , (12)

где n = 2, 3, ., т; А1.,А22,...,Атт - столбцы мат-

риц показателей эффективности (9);

4 = {41, А21,..., аДк 1}, 4 = {A12, А22,..., a2k 2},

Ат = {A т Ат Ат }•

..., Ajin {A1 , А2 ,..., aMkт };

^2 .<3 лт

А12,А13,...,А; т - логическое умножение

(9)j

п2’* У Г'"': У т матриц

АК , Ак2 ; Ак', Ак3 ; .; 4с1, АКт А2 2 = (А! л А2Д=

jj

jj

=(А[ л А) v (А. л А2) v...v (А. л АМ )

1 1 1 К2

А 3 = (А) л А33)=

=(А\ л Д> (А\ л 4) v...v (А1! л АМ 3)

j j j К3

А'1^ = (А) л Атт ) =

=(А1 л Ат) v (А1 л Ат) v...v (А1 л а”” ). (13)

J J J К"1

Столбцы матрицы А 1 логически умножаются на каждый столбец матриц А 2 , А 3 , ., АКт до получения решения (совпадения хотя бы одного из единичных элементов столбцов).

Для матриц Ак1 , Ак2

(А}л A12) = (A11 л A12) v (A21 л A12) v ... v (AMK 1лА12) (АЦл А22) = (А11 л А22) v (А21 л А22) v ... v (AMK 1лА22)

(а;, л aMk2) = (А11 л Ак2) v v (А21 л а2 к 2) v ... v ( Ак i л а2 к 2). (14)

124

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2008

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Для матриц А ;, А

(Л,,- A,3) = (Л/ - Л,3) V а - Л,3) V ... v (AkДА) A- ад=(А - А) V (А - А) V ... v (Ak ,-а3)

v (а; л

(a;, - Akз) = (А - A*2) v

.2 A3k 3) V ... V (A^K; - A^K 3). (15)

Для матриц Ак; , АК»

(Л,- л,»)=(л,; - a,m) v (А - ад) v ... v (AK ДА)

(a,;- А2») = (Л,1 - а») V (А - а») V ... V (AKДА)

( л;, - ам»)=(л,; - am» ) V

V (А - AMKm ) V ... V ( , - AMKm ). (,6)

В результате выполнения операций (,2-,6) выделено множество точек вариантов в координатах рабочих характеристик показателей эффективности К1 К2, К1 К3, ..., К1 К» в соответствии с условием

Х, = Х2 2 VХ,3 V...VХ

3 3 3

, т 1

(,7)

3 3 3 3

гдеХ2,2,Х3,3,...,Хт1т - множества вариантов

3 3 / 3 3 3 3 ч

(в частном случае один вариант), полученные в результате логического умножения матриц (,2);

A,X22,...,Xmm - множества вариантов, которым в столбцах матриц (9) соответствуют единичные значения: Х2, 2 соответствует рабочей характеристике К, = f (К2);

Х3,3 - рабочей характеристике К, = f (К3);

Х1, т - рабочей характеристике К, = f (К ),

x;, = {x,;, ад.., xiMk ,}, x;, = {X,2, ад...,

у2 \ y; — Г у m V m Ym \

XMK 2 }, ..., X {x; , A2 ,..., XMkm }

Для множеств матриц A, А 2

(x;,- x22 )=(x;, - x,;) v (x; - хд v ... v \x)-x2Mk 2)

( X,- X,2) = (X;; - X,2) V ^ - X,2) V ... V ^ ^ ^

(x;,- X22)=a - X22) v (X2 - X22) v ... v (xm ,- X22)

(X,,- x2Mk 2) = (x,; - XMK 2) v V х - XA) v ... v (XA-xM 2). (18)

Для множеств матриц А ;, А

(X-X3) = (X,; - X,3) V (X1, - X23) V ... V (X;-XMk 3)

1 А М3Ч

Чл у3

2 •

(X,,- X,3)=(X,1 - X,3) v (X2 - X,3) V ... v (XMk 1- X,3)

(X,,- X23) = (X,1 - X23) v (X21 - X23) v ... v (XMk 1- X23)

3

^ л У3Ч

( x;,- хмк 3) = (X,1 - хмк 3) v

v (X21 - XMK 3) v ... v ( XMK1-XMK 3). (19) Для множеств матриц А,, АК

к»

3

3

(х)-хр = (X,, - X,m) V (X,, - X2m) v ... v (X/XMkJ (х;,- X,m) = (X,1 - X,m) v (X21 - X,m) v ... v (XMK1- X,m) (X,,- X2m) = (X,1 - X2m) v (X21 - X2m) v ... v (XMK,- X2m)

( X,,- XMKm ) = (X,1 - XMKm ) V V (X21 - хмкт ) V ... v ( XMZ1-xm» ). (20) Нехудшими вариантами в координатах рабочих характеристик К1К2, К1К3, ..., К1Кт являются варианты, соответствующие точкам левой границы, при минимизации показателей эффективности, точкам правой границы - при максимизации показателей эффективности. Множество нехудших вариантов, соответствующее множеству показателей эффективности К = {К1, К2, ., К»}, определяется в соответствии с условием МНХ = М ,2 v М;,з v ... v где М М 3, М - варианты, выделенные в координатах рабочих характеристик.

На основе изложенного математического описания процесса выбора вариантов разработан алгоритм и программное обеспечение для выбора рациональных вариантов компьютерных средств автоматизации.

Предложенный метод может применяться для многокритериального выбора вариантов промышленных сетей, топологии вычислительных сетей и программного обеспечения на основе SCADA-систем для распределенных систем управления.

Библиографический список

1. Дорошенко, В.А. Метод выбора вариантов компоновки технологических потоков обработки древесного сырья / В.А. Дорошенко, Л.В. Леонов, Л.В. Друк // Технология и оборудование для переработки древесины: сб. науч. тр. - Вып. 324. - М.: МГУЛ, 2004. - С. 68-81.

2. Дорошенко, В.А. Синтез технологической структуры автоматизированных технологических процессов первичной обработки древесины: монография / В.А. Дорошенко. - Красноярск: КГТА, 1996. - 299 с.

3. Загоруйко, Н.Г. Проблема выбора в задачах анализа данных и управления / Н.Г. Загоруйко, Г. С. Лбов. // Сибирский журнал индустриальной математики.

- 2000. - Т. 3. - С. 101-109.

4. Перегудов, Ф.И. Основы системного анализа / Ф.И. Перегудов. - Томск, 1997. - 396 с.

5. Дубов, Ю.А. Многокритериальные модели формулирования и выбора вариантов систем / Ю.А. Дубов, С.Н. Травкин. - М.: Наука, 1986. - 296 с.

6. Черноруцкий, И.Г. Методы принятия решений / И.Г. Черноруцкий. - СПб.: БХВ - Петербург, 2005.

- 416 с.

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2008

125