Метод многокритериального выбора вариантов на основе генетического алгоритма Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

МЕТОД МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОГО ВЫБОРА ВАРИАНТОВ НА ОСНОВЕ ГЕНЕТИЧЕСКОГО АЛГОРИТМА

В.А. ДОРОШЕНКО, проф. каф. управления автоматизированными производствами лесопромышленного комплекса МГУЛ, д-р техн. наук,

Л.В. ДРУК, доц. каф. управления автоматизированными производствами лесопромышленного комплекса МГУЛ, канд. техн. наук,

М.С. УСАЧЕВ, асп. каф. управления автоматизированными производствами лесопромышленного комплекса МГУЛ

[email protected]

В настоящее время используется новая парадигма решений оптимизационных задач на основе генетических алгоритмов и их различных модификаций. Генетические алгоритмы осуществляют поиск решений на основе «выживания сильнейших альтернативных решений» в неопределенных и нечетких условиях. Основные отличия генетических алгоритмов от других поисковых методов состоят в следующем [1-3]:

- работают в основном не с параметрами задачи, а с закодированным множеством параметров;

- осуществляют поиск не путем одного решения, а путем использования сразу нескольких альтернатив на заданном множестве решений;

- используют целевую функцию, а не ее различные производные для оценки качества принятия решений.

В отличие от других методов оптимизации генетические алгоритмы, как

правило, анализируют различные области пространства решений одновременно, и поэтому они более приспособлены к нахождению новых областей с лучшими значениями целевой функции. Базовая структура [1-3] генетического алгоритма представлена на рис. 1.

На первом этапе получают подмножество решений на основе случайного, направленного или комбинированного метода. Для каждой решаемой задачи формируется целевая функция, на основе которой выполняется сортировка популяции решений. Применяя различные методы селекции (репродукции) [1-3], в популяции хромосом выделяют хромосомы (варианты решений) для выполнения генетических операторов (скрещивание, мутация). В результате получается новое подмножество решений. Используя значения целевой функции, выполняют анализ нового подмножества решений, выделяют рациональные варианты (новая популяция) и далее

Рис. 1. Базовая структура генетического алгоритма

160

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 3/2012

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Таблица

Значения показателей эффективности (хромосом) для выбора вариантов компоновки технологических линий

Вариант линии Удельные приведенные затраты, руб./ед. продукции, ЗПу^-К1 Удельная установленная мощность, кВт/тыс. м3, Му^К2 Показатель избыточности, КИ^К3

В1 6 (0110) 9 (1001) 3 (0011)

В2 7 (0111) 9 (1001) 2 (0010)

В3 7 (0111) 10 (1010) 4 (0100)

В4 8 (1000) 10 (1010) 3 (0011)

В5 8 (1000) 12 (1100) 4 (0100)

В6 8 (1000) 11 (1011) 4 (0100)

В7 6 (0110) 9 (1001) 2 (0010)

В8 6 (0110) 9 (1001) 3 (0011)

Исходные варианты и множество значений показателей эффективности (хромосом)

1 г 1 Г 1 Г

Множество значений Множество значений Множество значений

показателя показателя показателя

эффективности К1 эффективности К2 эффективности Кт

(популяция 1) (популяция 2) (популяция m)

1

Селекция вариантов Селекция вариантов Селекция вариантов

(хромосом) (хромосом) • •• (хромосом)

1

Сортировка вариантов Сортировка вариантов Сортировка вариантов

(хромосом) по (хромосом) по (хромосом) по

значениям показателя значениям показателя

эффективности К1 эффективности К2 эффективности Кт

I 1 1

Формирование Формирование Формирование

матрицы показателя матрицы показателя • •• матрицы показателя

эффективности К1 эффективности К1 эффективности Кт

1 Г 1 1 1 Г

Целевая функция

Генетические операторы

Целевая функция

Г енетические операторы

Рациональные варианты (хромосомы) новая популяция

I

Сортировка и формирование Сортировка и формирование Сортировка и формирование

матрицы показателя эффективности К1 матрицы показателя эффективности К2 матрицы показателя эффективности К3

Целевая функция для выделения оптимального варианта

Г енетические операторы

I

Оптимальный вариант (хромосома)

Рис. 2. Структурная модель выбора вариантов на основе генетического алгоритма

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 3/2012

161

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

процесс может повторяться на основе блока эволюционной адаптации до получения оптимального варианта (оптимальной хромосомы).

В работе предлагается метод многокритериального выбора вариантов на основе генетического алгоритма с применением целевых функций для селекции и оператора скрещивания на основе бинарных отношений между множествами [4]. Структурная модель выбора вариантов представлена на рис. 2.

Непосредственно многокритериальный выбор вариантов (на примере выбора варианта технологического оборудования) начинается с формирования множества значений показателей эффективности (популяций) K1,K2,.,Km. Исходные варианты и множество значений для всех показателей эффективности (хромосом) представлены в таблице.

В данном случае сформирована исходная популяция с заданным количеством хромосом, представленных двоичными последовательностями дискретной длины. Исходная популяция разбивается на три популяции, каждая из которых соответствует множеству значений (хромосом) показателей эффективности K1, K2, K3. Для выполнения операции селекции хромосом (вариантов) необходимо сформировать матрицу допустимых хромосом Ag = |агу|, строки матрицы соответствуют исходным вариантам МиСх={81 , В2 ^. BN1 К i= 1Д . а

столбцы - требуемым значениям показателей эффективности (хромосом), j2=кl,■■■,

jm =К”. Для данного примера

7l=^<8(1000> j2=K2<U(mi),

7з = К3Т< 4(0100).

Элементы матрицы определяются в соответствии с выражением [4]

\\,если B.e.(K\vKl,v..>/K™)

av=n

[О,в противном случае

для данного примера

_{\,если B^{klTwk2Twkl)\

4 [О,в противном случае \

В результате сформированная матрица выглядит следующим образом, при этом

к2^^, к3Т^>4

И] ATl А/ Ат3

В1 0110 1001 0011

В2 0111 1001 0010

Вз 0111 1010 0100

В4 1000 1010 0011

В5 1000 0000 0100

В6 1000 1011 0100

В7 0110 1001 0010

В8 0110 1001 0011

Выделение допустимых вариантов (хромосом) осуществляется в соответствии с выражениями

Ag =А1тлА^,л...лА”,

Х^Х\аХ2та...аХ^ (1)

для данного примера

Ае=А1тлА2лА3т, Хе=ХгглХ2лХ3, где ХТ,ХТ,ХТ - множества, элементами которых являются варианты, которым в столбцах матрицы Ag соответствуют допустимые значения показателей эффективности (хромосом). В соответствии с (1) допустимые варианты выделяются пересечением множеств

Xg = {В1 ,В2 ,В3 ,В4 ,В5 ,В6 ,В7 ,В8 }Л

л В ,В2 ,Вз ,ВА ,Вб Д ,В8 }Л л{В^2 ,Вз ,ВА ,В5 Вб ,В7 ,В8} =

= {В1 ,В2 ,В3 ,В4 ,В6 ,В7 Л}

В результате выделения (селекции) допустимых вариантов получена популяция хромосом, соответствующая требуемым значениям показателей эффективности ^

. Из исходной популяции исключены хромосомы варианта В5, т.к. хромосома имеет нулевое значение в матрице допустимых вариантов, то есть не удовлетворяет требуемому значению АТ.

Для выполнения генетического оператора скрещивания (кроссинговера) необходимо выполнить операцию сортировки вариантов по значениям показателей эффективности (хромосом). В данном случае сортировка заключается в формировании упорядоченного ряда значений по возрастанию (при минимизации показателей эффективности).

К1К2К3

^=6(0110)^ Л Л

К2 =9(1001)-Д ,В2 ,В7 ,BS

kf =2(0010)—Д ,в2

162

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 3/2012

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

К\ =7(0111)—»-#2 ,ВЪ

£22=10(1010)->я3А

к1=Ъ{Ш\)^Вх,ВА,Вц К\=ЩШ)^>В4,В6 kl=\ 1(1011)->Я6 £33=4(0100)->Я3А . (2)

В результате сортировки получили упорядоченные ряды хромосом по их значениям для трех популяций.

По упорядоченным рядам формируются матрицы для каждого показателя эффективности [4"

AK = /

AK2 П/2 AKm \aijm\

строки матриц соответствуют допустимым вариантам М^=^ , BNi }={ВД,

i= 1,2,...,#исх , столбцы - значениям упорядоченных рядов показателей эффективности (2), при этом

y1=£;д;,...д;I,

к1

• _тУ2 тУ2 • _тУт тУт тУ

Jl~^\ Д2»"-Дм , ’• • •’ Jm Д2 >"-Д

М

где М, ,М , ,...,М rrm - число значений (хромоК К К

сом) упорядоченных рядов.

Первые столбцы матриц соответствуют первым значениям упорядоченных рядов. Столбцы матриц можно обозначить

к1 к1

k^Al,k22^4,-,K2M^Al

K?^A?,K^AZ,KZ ->4

хм

Элементы матриц A ,, Av,

K K

, A,

оп-

ределяются в соответствии с условиями

\1,если B. e(A11 vA, v...vAM )|

10,e противном случае

am =

ai/2=

11,если B e(A,2 vA,2v...vAM )

K2 '

0,в противном случае

(3)

m

a=

ijm

1,если B.g(A? vA2mv...vA_Mm )|

i 1 2 M K1

0,в противном случае

В соответствии с (2,3) для данного примера сформированы матрицы

A 1=

ak

1Ч А/ А21 А31

в 0110

В2 0111

В3 0111

В4 1000

В6 1000

В7 0110

В8 0110

A 2= ak

щ А12 А22 А32

В1 1001

В2 1001

В3

В4 1010

В6 1010 1011

В7 1001

В8 1001

A з= ak

щ А13 А23 А33

В1

В2 0010

В3 0100

В4 0011

В6 0100

В7 0010

В8 0011

(4)

Сформированные матрицы являются исходными данными для реализации генетического алгоритма (оператора скрещивания хромосом) на основе целевой функции с применением метода рабочих характеристик [4" и выделения рациональных вариантов (нехудших вариантов). Для этого необходимо выполнить логическое умножение

A” = AJj лА3, л...лA” , (5)

где n=2,3,.,m;

A1. . ,A2. ,..,A?. - столбцы матриц пока-

j1 j2 j1 j3 j1 jm

зателей эффективности;

А2,А3 ^ ,..,A? - логическое умножение

j1 j2 j1 j3

матриц AK1,AK2 ,..,AK? .

A2 * =( -А)! л А2 )=

=(А1мЛ A2 )v (A;i л A22 )v...v (A;i л A2 2)

AJ3 = (А1 л А3з )= К

=(А1мл A3 )v( А1 л А2 )v...v (А1 л А3 3)

А?} =( А1 л А? )=

J\Jm J1 Jm

=(АМлA?)v(A'1 лА2”)v...v(А1-1 лAm^). (6) Столбцы матрицы A 1 логически умножается на каждый столбец матриц AK 2, AK3,•••,AKm до получения единственного решения.

В результате выполнения операций (4,5) выделяется множество точек вариантов в координатах рабочих характеристик показателей эффективности К1 = f (К2) , К1 = f (К3)

, " , К1 = f (Кm ) в соответствии с условием

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 3/2012

163

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Xl и = Xl, v J v-v Xh (7)

где X2h ,X3 h ,...,X”. - множество вариантов

h J2 J\ J3 hJm A

(в частном случае один вариант), полученные в результате логического умножения матриц AK1,AK2 ,••■,AKm ; Х1,Х2,...,Xm - множество вариантов, которым в столбцах матриц соответствуют единичные значения.

(Х)лХ1)=(Х)лХ^

v(JJaI22)v...v(I;aI^)

(X\aXD=(X)aX^v

v{X)AXl)v...v{X\AXlKi)

{X\aX”)={X\aX”)w v(I'aI;)v...v(4aI^). (8)

Нехудшими вариантами в координатах рабочих характеристик являются варианты, соответствующие точкам левой границы, при минимизации показателей эффективности - точкам правой границы - при максимизации показателей эффективности. Множество нехудших (рациональных) вариантов, соответствующее множеству показателей эффективности Kl,K2,.,Km , определяется в соответствии с условием

Mнх =M1,2 vM1,3 v-vM1,m . (9)

Выделение рациональных вариантов (хромосом) на основе метода рабочих характеристик выполняется с помощью одноточечного генетического оператора скрещивания. Оператор выполняется в три этапа [1]. На первом этапе две хромосомы и A=a1 ,a2,..., aL и B=a11 a,...,a[ выбираются случайно из текущей популяции. На втором этапе перед началом работы генетического оператора скрещивания определяется точка оператора скрещивания, или разрезающая точка оператора. Эта точка определяет место в двух хромосомах, где они должны быть «разрезаны». Число lk выбирается из {1,2,.. ,,L-1} случайно, где L - длина хромосомы; lk - точка оператора скрещивания (номер, значение или код гена, после которого выполняется разрез хромосомы). На третьем этапе новые хромосомы формируются из А и В путем перестановки элементов согласно правилу

Al =ai ,a2 ,...,aK ,aK+1 .-,aL ,

B = ai,a2 ,...,aK ,aK+i,...,aL

После применения оператора скрещивания получены две исходные хромосомы и две новые хромосомы. Схематически оператор скрещивания показывает преобразование двух хромосом и частичный обмен информацией между ними, использующий точку разрыва случайно.

Для данного примера хромосомы для скрещивания выбираются в соответствии с (49) и матриц показателей эффективности (4). Для показателей К1,К2

(Х1А Х22 )=( Х1 А Х12 )v (ХА Х2 )v (Х1А Х32) Х\ АХ2 =(Х1 АХ2)v(Х1 АХ2 )v(Х3 /VХ2)

(Х1 А Х12 ) = (B1,B7 ,B8 )а(В1 ,B2 ,B7 ,B8 ) = {B1,B7 ,B8} ,

что соответствует хромосомам A11 =0110, A12 =1001 (2). Для непосредственного скрещивания выбирается точка скрещивания lk=1.

[ A11:0110]| скрещивание[ A111:0001—>1]

[ A12:1001]J

—

[ A121:1110]—141

15

- суммарное значение хромосом (показателей эффективности К1,К2).

Х1 А Х 2 = (Х11 А Х 2) v (Х1А Х 2) v (Х1А Х 2) (Х11 А Х 2) = (B1, B7, B8) А (B3, в^ )=0

- решение пустое;

( х 1 а х 2) = (в2, B3) а (B3, вл) = {B3},

что соответствует хромосомам (2)

A1 = 0111, A22 = 1010

[ A{ :0111] j скрещивание[ A1:0010—— 2]

[ A22:1010]J — [ A221:1111]—15

Х) аХ32 =(Х\ аХ32)v(Х1 аХ32 )v(Х3 аХ32)

1 (Х1 а Х32 )=(B1,B7 ,B8 )а(В6 )=0;

( Х1 а Х32 )=( B2 ,B3 )а( Вб )=0;

(Х1 а Х32 )=(В4 ,Вб )а( Вб )={Вб}, что соответствует хромосомам (2)

A3 =1000, A32 =1011

[ A3:1000]| скрещивание[ A31:1011——11]

[ A32:1011]J — [ A321:1000]—8

В результате операции скрещивания хромосом показателей эффективности К1,К2 получены суммарные значения хромосом для этих показателей M12 ={15,17,19} . Рациональные варианты соответствуют минимальному значению, то есть Ml2 ={Bj,B7,B8} . Аналогично, в соответствии с (4-9) определяем

164

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 3/2012

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

суммарные значения хромосом для показателей К',К3 Ml 3 ={8,9,11}, что соответствует рациональному варианту В7, то есть M13 ={B7} .

В целом нехудшими (рациональными) вариантами в соответствии с (9) являются Мнх ={Bj ,B7 ,B8}, что соответствует хромосомам: В1:0110,1001,0011; В7:0110,1001,0010; В8:0110,1001,0011.

В итоге выделена новая популяция хромосом. Для выбора оптимальной хромосомы (варианта) необходимо в соответствии со структурной моделью (рис.1) выполнить операцию сортировки и формирование матриц для новых популяций, соответствующих показателям эффективности K1,K2,K3 , и на основе предложенной целевой функции и генетического оператора выделить оптимальный вариант.

Сортировка в виде формирования упорядоченного ряда по возрастанию значений показателей эффективности для выбранных нехудших вариантов В1 , В7, В8 на основе таблицы предложена в следующем виде ^1=6(0110 )^>В„В7А; ^ =9(1001)^-5, Д,58;

Kf =2(0010)—>1?7; К32 =3(0011)-^ Д.

Матрицы для показателей эффективности A 1,A 2,...,A m в соответствии с (3)

K1 ’ K 2 ’ ’ Km v '

A 1= ak

i/j A11

В1 0110

В7 0110

В8 0110

A 2=

AK

A12

В1 1001

В7 1001

В8 1001

A 3=

AK

i/j A13 A23

В1 0011

В7 0010

В8 0011

(10)

Целевая функция для выделения оптимального варианта предложена на основе лексиграфического метода [4] с жестким ранжированием показателей эффективности

K1,K2,K3.

А0т=МЕХлА10лА2л...лА^,

Х0т=МихлХ01лХ02л...лХ0т. (11)

На первом шаге используется первый по рангу показатель эффективности

А^=М^А\Х=М^Х). (12)

Если множество X0 включает один вариант (единственное решение), то на этом выбор прекращается, а выбранный вариант является оптимальным.

Если X0 =0 (решений нет), то выбор продолжается в соответствии с условием X0 = X0 л X2, то есть используется следующий столбец A 1 и так до выделения единственного варианта. Если единственного решения нет, то вводится следующий показатель эффективности X02 = X0 лX2 . Цикл выделения повторяется с введением последующих показателей эффективности до получения оптимального варианта в соответствии с (10,11). Применение предложенной целевой функции для приведенного примера дает следующий результат, в соответствии с (10,11,12):

Хо =МВК аХ\={В1,В7,В%}а

а {В1 ,В2 ,В7 Д}={^ ,В7 Д}

- решение не единственное, поэтому вводится следующий показатель эффективности (К2)

Х1=Х\лХ2х={Вх,В7,ВМ

а{В1 ,В2 ,В7 ,Bg }={2?j ,В7 ,В%}

- решение также не единственное, вводится показатель К3

XI =Х\ лХд лХ3 = {В, д Л } А

аД >В2 ,в7 Д} А {В7 }={В7}

- что соответствует оптимальному варианту с хромосомами В7:0110(6),1001(9),0010(2).

Предложенный метод применим для структурного синтеза, для выбора элементов и устройств, технологических и технических структур систем управления.

Библиографический список

1. Гладков, Л.А. Генетические алгоритмы / Л.А. Гладков, В.В. Курейчик, В.М. Курейчик. - М.: Физматлит, 2010. - 368 с.

2. Рутковская, Д. Нейронные сети, генетические алгоритмы и нечеткие системы / Д. Рутковская, М. Пилиньский, Л. Рутковский. - М.: Горячая линия. - Телеком, 2008. - 452 с.

3. Емельянов, В.В. Теория и практика эволюционного моделирования / В.В. Емельянов, В.В. Курейчик, В.М. Курейчик. - М.: Физматлит, 2003. - 432 с.

4. Дорошенко, В.А. Метод выбора компьютерных средств автоматизации для распределенных систем управления / В.А. Дорошенко, Л.В. Друк, А.А. Назаренко // Вестник МГУЛ - Лесной вестник. - 2004. - № 1. - С. 121-125.

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 3/2012

165