CC BY
88
УДК 630.36
Усачев М.С., Дорошенко В.А.
ФГБОУ ВПО «Московский государственный университет леса», Москва, Россия
ГЕНЕТИЧЕСКИЙ АЛГОРИТМ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОГО ВЫБОРА ВАРИАНТОВ НА ОСНОВЕ УСЕЧЕННЫХ МАТРИЦ
В настоящее время используется новая парадигма решений оптимизационных задач на основе генетических алгоритмов и их модификаций. Основные отличия генетических алгоритмов от других поисковых методов состоит в следующем [1,2,5] :
- работа в основном не с параметрами задачи, а с закодированным множеством параметров;
- осуществляется поиск не путем одного решения, а путем использования сразу нескольких альтернатив на заданном множестве решений;
- используют целевую функцию, а не ее различные производные для оценки качества решений.
В отличие от других методов генетические алгоритмы анализируют различные области пространства решений одновременно, и поэтому они более приспособлены к нахождению новых областей с лучшими значениями целевой функции. Формально генетический алгоритм описывается следующим множеством:
ГА=(р0, A, l, s, р, f, t), где р° = (а0,а10,...,а0) - исходная популяция; а0 - решение задачи, представленное в виде хромосомы; A - целое число, размер популяции; l - целое число, длина каждой хромосомы популяции; s - оператор отбора; р - отображение, определяющее рекомбинацию, кроссинговер и мутацию; f - целевая функция; t- критерий остановки. Анализ структур последовательных и параллельных алгоритмов [1,2] показал, что основой являются целевые функции для реализаций операций алгоритмов. В работе предлагается метод многостадийного выбора вариантов на основе генетического алгоритма с применением целевых функций для селекции и оператора скрещивания на основе бинарных отношений между множествами. Структурная модель представлена на рисунке 1. Основой модели является реализация комбинированного метода многокритериального выбора вариантов, включающего на первом этапе объективный выбор с учетом безусловного критерия, то есть формирования множества Парето, с последующим выделением оптимального варианта из множества Парето на основе лексикографического метода, реализующего условный критерий предпочтения.
Существует два подхода при реализации поэтапно комбинированного метода на основе бинарных отношений между множествами [3.4] . Выделение рациональных вариантов (множества Парето) на основе метода рабочих характеристик и метода на основе усеченных матриц [4].
Графики рабочих характеристик показателей эффективности дают полное распределение [3.4] вариантов относительно границы Парето, что очень важно при выборе технических средств систем автоматизации и управления при их синтезе. При этом требуется в полном объеме выполнять логическое умножение матриц показателей эффективности с построением графиков рабочих характеристик с выделением линии Парето. В работе предложена структурная модель генетического алгоритма (рис. 1), отли-
чающаяся тем, что селекция хромосом выполняется на основе выделения усеченных матриц показателей эффективности, а операция скрещивания хромосом выполняется путем логического умножения усеченных матриц с выделением Парето-рациональных точек (вариантов) без построения графиков рабочих характеристик. Для выделения оптимального варианта применяется лексикографический метод [3,4].
Выполнение операций предлагаемого генетического алгоритма заключается в следующем:
1. Формирование популяций (рис.1) выполняется на основе исходных значений показателей эффективности К1, К2,.., К™, m - число показателей эффективности. Популяции с заданным значением хромосом представлены двоичными последовательностями определенной длины.
Рис.1. Структурная модель выбора вариантов на основе генетического алгоритма с выделением множества Парето на основе метода усеченных матриц.
2. Для выделения допустимых вариантов формируется матрица Mg = |ал| , строки матрицы соответствуют исходным вариантам, і = Ві, В2,...,Вп. Столбцы соответствуют требуемым значениям показателей эффективности (значениям хромосом) j = A^,A?,...,AТ . Выделение допустимых вариантов с требуемыми значениями показателей эффективности (хромосом) осуществляется в соответствии с уравнениями [3,4]
Ag = АТ л A2 л ... Л AТ , Xg = Х1Т л хТ л... Л ХТ (1)
где Х1Т, ХТ2,..., ХТ - множества, элементами которых являются варианты, которым в столбцах матрицы Мg соответствуют требуемые значения показателей эффективности.
3. Сортировка допустимых вариантов по значениям показателей эффективности (хромосом) выполняется путем формирования упорядоченных рядов значений показателей эффективности, по возрастанию при минимизации показателей эффективности, при максимизации - по убыванию:
II ^ * 10 !*: ..,Kk), N RRr A
II •KM,.) K М = ^ Km , K2m ,.
где MK1, MK2, MKM - число значений
(2)
4. Формируются матрицы хромосом показателей эффективности на основе упорядоченных рядов (2)
AK1 = |% | - AK2 = \atjl\ , -, AK~ = \aijm I (3)
Строки матрицы соответствуют допустимым вариантам, столбцы значениям упорядоченных рядов (2). Элементы матриц (3) определяются в соответствии с условиями
(і, если B Є (К V К V ... V К]м )(
aj = І к1 I
[0, в противном случае J
uij2 '
(і, если ВіЄ (Кі V К2 V... V Кгм 2)(
І K I (4)
[0, в противном случае
(1, если Ві є (KJ V КМ V... V КМ m )( aijm = | K I
[0, в противном случае J
где і = 1,2,...,n ; ji = 1,2,...,MK1 ; j = 1,2,...,MK2 ,-, jm = 1,2,...,MKm .
5. На основе матриц (3,4) формируются усеченные матрицы (выполняется операция селекции хромосом) . Для этого определяется число столбцов матрицы A 1 относительно матриц A 2, A3,к, A^ в соответствии с уравнениями целевой функции операции селекции j = (Aj лA12) = (A11 лA12) V (A1 лA12) V... V (AlM 1 лA12)
J1 к1
У3 = (Aj л A13) = (A11 л A3) V (A л A13) V... V (AM 1 л A3)
",1 К1
M (5)
71й = (A1 л AJ) = (A1 л A™) V (A1 л A™) V... v (AM 1 л A)
ЛЪ Am
Ah ,-- A ,
В результате формируются усеченные матрицы
j
где у2 = 1,2,...,МІ1 , j3 = 1,2,...,М^1 ,-, jJ = 1,2,...,ММ ; M^ , М^ ,-, MJ1 - число столбцов усеченных матриц. Выделение столбцов усеченных матриц (5) выполняется до получения первого решения в результате логического умножения столбцов матрицы на первые столбцы матриц (3).
6. Операция скрещивания - это языковая конструкция, позволяющая на основе преобразования (скрещивания) хромосом родителей создавать хромосомы потомков. Существует целый ряд операторов скрещивания [1,2]. В предлагаемой работе применяется одноточечный оператор кроссинговера. Оператор скрещивания выполняется в три этапа [2]. На первом этапе две хромосомы выбираются из популяции, полученной в результате селекции:
A = a1,a2,...,aL , B = a1,a^,...,aL (6)
На втором этапе выбирается точка оператора скрещивания. Эта точка определяет место в двух хромосомах, где они должны «разрезаны». Число 1К выбирается из {1,2,..,L-1} случайно, L - длина хромосомы, 1к - точка оператора скрещивания. На третьем этапе новые хромосомы формируются из хромо-
сом (6) путем перетасовки элементов согласно правилу
A = a1, a2,. .., aK , aK+1,. .., aL
B' = a1, a2,. ..,aK ,aK +1,. .., aL
ния усеченных матриц. В качестве целевой функции предложены уравнения
Am
-М уМ
j1 Jm
Ann n = A2,л A33 3 л... л Amm m (8)
J1 Jn
n
.2 .2 J1 j
3 3
J1 Уз
2
j2j2 J1 J2
'3 33 л... л XJmm
j13 j33 J1 Jm
2 •3
J2 , j33 , ., j
число столбцов усеченных матриц. В результате выполнения логического умножения усеченных матриц (6) выделяются рациональные варианты (хромосомы). При этом:
A2 .2 = (Al.2 л A2 ) = (A^. 21 л A\) V (Al.22 л A2 ) V ... V (A1 л AM 2 ) (10)
j1 j2 j1 j2 j1 j1 MV2
• 21 .2 .22 _ -21 л -23 -21 0 ,
где .1 = .1 , .1 = .1 — 1 , .1 = .1 — 2 , то есть на каждом шаге логического умножения (10) число
столбцов уменьшается на единицу, и так до значения j1 =1 ,
то есть до
A . Анало
гично для логиче-
ского умножения
л3 /Л. л3
A33.3 = (A13 л A33) = (AH л A13) v (AH л A|) v ... v (A/ л A3 ) Ш)
j1 j3 j1 j3 j1 h M r
K
K
Скрещивание хромосом по показателям К1, К2; К1, К3; —, К1,Кт выполняется путем логического умноже
j1 Jn
A”
= (A\m л Am) = (A\ml A A”) v (A\m2 A A”) v... v (Д л A”
h
m
h
h
Mm
(12)
Km
Логическое умножение столбцов матриц выполняется до получения первого решения.
В результате выполнения операций (6-10) выделяются рациональные варианты (хромосомы), принадлежащие точкам левой границе Парето (при минимизации) или правой границе (при максимизации), в соответствии с уравнениями
XУ2 = (X^ лX22) = (X121 aXi2) v (X122 лX2) v... v (X1 лX2 2 )
h J 2 h h h h Mr 2
X3
h h 3
= (X1 A X3 ) = (X1 A Xi3) v (X1 A X23) v... v (Xi A X3 3 )
)
Xm
= (X \m A Xmm ) = (X 'mi A Xi” ) v (X 'm2 A X2“) v ... v (Xi A X”
1 m 1 1 M
)
m
(13)
В итоге выполнения операций (13) выделено множество Парето без построения рабочих характеристик, то есть получена новая популяция в виде рациональных вариантов.
7. Для выделения оптимального варианта, доведения решения задачи до единственного решения в структуре предлагаемого генетического алгоритма (рисунок 1) предложена процедура скрещивания хромосом новой популяции на основе лексикографического метода, при котором все показатели эффективности строго упорядочены по важности [3.4]. Для непосредственного решения задачи скрещивания выполняется распределение хромосом новой популяции по значениям показателей эффективности. На следующем шаге выполняется операция сортировки хромосом (вариантов) с помощью формирования упорядоченных рядов значений хромосом (2). На основе упорядоченных рядов формируются матрицы хромосом
для каждого показателя эффективности (3,4) А^, А^,---, А. Строки матриц соответствуют рациональным вариантам, выделенным в результате (8-13). Скрещивание хромосом выполняется на основе сформированных матриц с целевой функцией в виде уравнений лексикографического критерия [3.4]
Am=a л a a ... a Am-1 л amm
(14)
xnm = x1 a Xn2 a... a xm-1 a x”
(15)
В соответствии с условием лексикографического метода на первом шаге выделяется оптимальный вариант с учетом матрицы первого по важности показателя эффективности путем логического умножения
множества рациональных вариантов (Мр) (множество Парето) на столбцы матрицы А^х , начиная с первого столбца матрицы
А0 = M нх a А1, X1 = M нх a X1 (16)
Если при этом множество
x 1
включает один вариант
то на этом выбор оптимального варианта пре-
кращается, а выбранный вариант является оптимальным. Если множество Xn пустое (решения нет), то выбор вариантов продолжается в соответствии с условием
АП = Мнх AАфX0 = Mнх AX1 (17)
Процедура логического умножения (17) выполняется с последующими столбцами матрицы первого по важности показателя эффективности до получения единственного решения. Если в результате выполнения (17) Xn включает более одного варианта, то для выделения оптимального варианта вводится матрица второго показателя эффективности и выбор осуществляется в соответствии с условиями
А2 = АП A A2, Xn2 = X1 A X22 (18)
До выделения единственного варианта. Если решение не единственное, то вводится матрица третьего показателя эффективности А^з
А3 = АП a а2 л АК
, X о2 = X1 л X 02 л x К
(19)
Процедура выделения оптимального варианта выполняется до получения единственного решения путем введения матриц последующих показателей эффективности (14,15).
Предложенный генетический алгоритм апробирован при выборе технических средств для синтеза распределенных систем управления [3].
Предложенный генетический алгоритм может найти широкое применение при выборе вариантов технических средств систем управления, технологического оборудования при проектировании технологических процессов, при технологической подготовке производства [6,7] .
ЛИТЕРАТУРА
1. Гладков Л.А., Курейчик В.В., Курейчик В.М. Генетические алгоритмы./ Под ред. В.М. Курейчи-ка. - М.: Физматлит, 2010. - 368 с.
2. Рутковская Д., Пилиньский М., Рутковский Л. Нейронные сети, генетические алгоритмы и нечеткие системы. - М.: Горячая линия. - Телеком, 2008. - 452 с.
3. Дорошенко В.А., Друк Л.В., Усачев М.С. Метод многокритериального выбора вариантов на основе генетического алгоритма/ Вестник МГУЛ - Лесной вестник. - 2012 №3 (86). - с. 136-141.
4. Дорошенко В.А., Друк Л.В. Проектирование распределенных систем управления: учебное пособие. - М.: ФГБОУ ВПО МГУЛ, 2012. - 595 с.
5. Лапин А. С. Проблемы в автоматизации технологических и транспортных машин ЛПК/ труды международного симпозиума «Надежность и качество». - 2013 том 2. - с. 161-162.
6. Прохоров В.Ю. Пути реализации эффекта безызносности шарнирных сопряжений / труды международного симпозиума «Надежность и качество». - 2013 том 1. - с. 43-46.
7. Тесовский А.Ю. Применение CALS-технологий при технической эксплуатацией лесозаготовительных и лесохозяйственных машин/ труды международного симпозиума «Надежность и качество». - 2013 том 1. - с. 296-298.
