CC BY
47
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
СТРУКТУРНАЯ МОДЕЛЬ СИНТЕЗА ТЕХНОЛОГИЧЕСКОЙ СТРУКТУРЫ РАСПРЕДЕЛЕНННОЙ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ
В.А. ДОРОШЕНКО, проф. каф. управления автоматизированными производствами лесопромышленного комплекса МГУЛ, д-р техн. наук,
Л.В. ДРУК, доц. каф. управления автоматизированными производствами лесопромышленного комплекса МГУЛ, канд. техн. наук,
М.С. УСАЧЕВ, асп. каф. управления автоматизированными производствами лесопромышленного комплекса МГУЛ
При разработке распределенных по уровням систем управления одной из основных задач является синтез технологической структуры объекта управления, начиная с выбора рационального исходного сырья на множестве размерно-качественных параметров, выбора взаимодействующего технологического оборудования, реализующего упорядоченные технологические операции и позволяющего получить множество состояний объекта обработки и кончая состоянием продукции. Задача является многовариантной и многокритериальной. Для ее решения необходима, в первую очередь, разработка модели структурного синтеза, в которую входят: этапы синтеза, критерии, методы решения поэтапного синтеза на основе единого математического описания. В работе предложена структурная модель (рисунок) синтеза технологической структуры обработки древесного сырья при разработке распределенной системы автоматизации лесопромышленных предприятий.
usachevmaksim@mail.ru Исходное древесное сырье и требуемая лесопродукция имеют множество поверхностей, размерно-качественных параметров поверхностей, значений параметров поверхностей. При этом размерно-качественные параметры исходного сырья имеют различные значения для лесосырьевых зон. Номенклатура лесопродукции, значения ее размерно-качественных параметров определяются требованиями потребителей, часто меняющимся спросом на внешнем и внутреннем рынках. Поэтому необходимы методы автоматизированной оценки и выбора рационального исходного сырья на основе требуемой лесопродукции при минимизации отходов. Для этой цели предложен метод, позволяющий определить оптимальное соответствие между множеством размерно-качественных значений параметров требуемой лесопродукции и множеством размерно-качественных параметров исходного сырья на основе выражения (1)
ZP
Zp 6 Z(3t е Г)(ЗР е В)(38 е A)[|PZ пРИ| -» max] л (V* е Г)(3/ 6 L)
• (ЭреЛ')(ЗЕе£')(Э5еА')[|я2РпЯж>|^1пах]л(У?еГ)(Э/еГ) • (Зр е Д")(Эе е Е')( 36 е A*)[|i7zp min]
(1)
где Z = {Zp} - множество исходного древесного сырья; И - множество лесопродукции; T - число поверхностей лесопродукции; А - число поверхностей исходного древесного сырья; L - число параметров лесопродукции; 3 - число параметров исходного сырья; PZ - множество поверхностей исходного сырья; РИ - множество поверхностей лесопродукции; nZP - множество параметров поверхностей исходного сырья; ПИР - множество параметров поверхностей лесопродукции; T7’zp- множество значений параметров исходного сырья; /Я0’ - множество значений параметров лесопродукции; B' - число исходного сырья, имеющего максимальное пересечение поверхностей с поверхностями лесопродукции; Д' - число поверхностей исходного сырья, имеющего максимальное пересечение поверхностей с поверхностями лесопродукции T'; E' - число параметров поверхностей исходного сырья, имеющего максимальное пересечение с параметрами лесопродукции L'; B'' - число исходного сырья, имеющего максимальное пересечение значений параметров поверхностей со значениями параметров лесопродукции L'; Д'' - число поверхностей исходного сырья, имеющего максимальное пересечение значений параметров со значениями параметров лесопродукции T.
180
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2012
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
Рисунок. Структурная модель синтеза технологической структуры
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2012
181
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
Выбор рационального сырья производится в три этапа [1]. На первом этапе выполняется выбор исходного сырья по максимальному пересечению (совпадению) множества поверхностей исходного сырья и лесопродукции на основе решения задачи о покрытии множеств. Исходным является граф поверхностей исходного сырья и лесопродукции с переходом к матрице инциденций. На втором этапе производится выбор сырья по признаку максимального пересечения множества параметров сырья, выбранного на первом этапе, и лесопродукции. Исходным является граф связей между сырьем и лесопродукцией. Выбор осуществляется также на основе решения задачи о покрытии множеств путем операций с матрицей инциденций. На третьем этапе выполняется выбор исходного сырья по минимальной разности между значениями параметров поверхностей сырья, выбранного на втором этапе и значениями параметров лесопродукции. Процедура выбора решена на основе задачи о покрытии множеств и функции расстояния между множествами. В результате осуществляется выбор рационального исходного сырья.
Выбор допустимых вариантов проходит в два этапа. Вначале выбираются варианты, удовлетворяющие множеству размерно-качественных значений параметров лесопродукции на основе решения задачи о покрытии множеств и матрицы соответствия, с количественной оценкой сложности и избыточности с применением гиперграфов, матриц инциденций и матриц соответствий [2, 5]. Окончательный выбор допустимых вариантов осуществляется на множестве технико-экономических показателей (производительность, приведенные затраты, эксплуатационные расходы, капитальные вложения и т.д.) и показателей сложности и избыточности. Выбор осуществляется на основе матрицы [3], строки которой соответствуют допустимым вариантам, выбранным на первом этапе, столбцы - требуемым значениям показателей эффективности. Выделение допустимых вариантов осуществляется путем логического умножения столбцов матрицы Ag = A1 л A2л ... л An и пересечения множеств XS = XA л XA л... л XA , элементами кото-
S A1 a2 An 7
рых являются варианты, которым в столбцах матрицы соответствуют единичные значения.
Для выбора нехудших (рациональных) вариантов при четких исходных условиях применяются методы на основе четких множеств, при нечетких исходных условиях - методы на основе нечетких множеств. Для выбора оптимального варианта на основе четких множеств предложен многостадийный метод, на первом этапе которого используется безусловный критерий предпочтения [2, 4] при равноважных показателях эффективности, позволяющий объективно выделить из допустимых вариантов рациональные варианты с использованием абсолютного критерия, метода рабочих характеристик, метода усеченных матриц. Исходными для выбора нехудших вариантов являются матрицы для каждого показателя эффективности [2, 4], которые формируются по упорядоченным рядам значений показателей эффективности. Упорядоченные ряды формируются по возрастанию при минимизации показателей эффективности, по убыванию - при максимизации показателей эффективности. Строки соответствуют допустимым вариантам, столбцы - значениям показателей эффективности, в соответствии с упорядоченными рядами. Выбор нехудших вариантов по абсолютному критерию позволяет выбрать варианты с минимальными (максимальными) значениями всех показателей эффективности путем логического умножения первых столбцов матриц показателей эффективности AHX = A11 л A12 л ... л A1m, 1,т - число показателей эффективности. В процессе логического умножения выделяются нехудшие варианты в соответствии с выражением XHX = X11 л X12 л ... л X1m, где X11, X12, ..., X^ - множества, элементами которых являются все варианты, имеющие в первых столбцах матриц единичные значения. В вырожденном случае может быть выделен один вариант, который и будет оптимальным. При отсутствии решения необходимо сделать переход к выбору нехудших вариантов на основе метода рабочих характеристик [3]. Для этого необходимо выполнить процедуру логического умножения матриц показателей эффективности в соответствии с условиями
АНХ = А2,- л А* л... л Ат ,
НХ JlJ2 Лъ Лт
182
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2012
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
где А1, А2,..., А™ - столбцы матриц показателей эффективности Ак,, Ак2,..., Ак„ .
Каждый столбец матрицы А ) логически умножается на столбцы матриц А 2, А 3,..., А _ до получения решения - совпадения хотя бы одного из элементов столбцов. В результате, в соответствии с условием
ХНХ = X j, л X3, л... л X" ,
в координатах показателей эффективности k = fk2) , k = fk3), ..., k1 = fk”) выделено множество точек, соответствующих множеству вариантов X^ ^ M12,
ХJ ^ M1,3,^^^, ХJ ^ Mlm . НеХудшими
являются варианты, соответствующие левой границе множеств (при минимизации показателей эффективности), выделенных в координатах показателей эффективности M1,2 V M 3 V... v M1m . Достоинством метода рабочих характеристик является полная картина распределения вариантов в координатах показателя эффективности. Ускорить процесс выделения нехудших вариантов и одновременно исключить вычислительные операции по определению левых границ множеств в координатах показателей эффективности возможно на основе метода усеченных матриц, при котором на первом шаге определяется число столбцов усеченных матриц в соответствии с условиями [1, 2], jJ = A)) A A1, j3 = Aj л A)... j" = A) л A" . Логическое умножение выполняется до получения решения. Непосредственно выделение нехудших вариантов осуществляется путем логического умножения усеченных матриц, аналогичного методу рабочих характеристик. В результате выделяются только варианты, соответствующие левой границе MHX = M12 v M13 v ... v M1 m. В целом методы выделения нехудших вариантов не дают возможности получения единственного решения, т.е. выделения оптимального варианта. Поэтому на следующей стадии применяются методы на основе условных критериев предпочтения при разноважных показателях эффективности (рис. 1).
В соответствии с условием лексикографического метода - строгое ранжирование показателей эффективности - на первом шаге выделяется вариант с минимальным значением (при минимизации) первого показателя эф-
фективности путем логического умножения выделенного множества нехудших вариантов на столбцы матрицы первого показателя эффективности до получения единственного решения. А) = МнХ л Aj, Х0 = Мш л Х) , если Х0 1 включает более одного варианта, то вводится матрица следующего по важности показателя эффективности А0 = МНХ л Aj , А = Х0 л Хj и так до получения единственного решения в соответствии с усло-в и я м и А"" = МНХ л А) л А л А л... л Ат , X" = MНХ л X) л Xj л X) л... л X™ . Если в процессе выбора единственного решения нет, то необходимо сделать переход от строгого лексикографического ранжирования показателей эффективности к ранжированию с уступками. Предложенный метод уступок отличается от существующего тем, что уступки для всех показателей эффективности [1, 2] определяются одновременно, что в итоге сокращает вычислительную процедуру выбора, особенно при увеличении числа показателей эффективности. Исходными являются матрицы для показателя эффективности. На первом шаге определяются значения уступок для всех показателей эффективности, кроме последнего в соответствии с условиями: AK)K = K2K
- K K AKK = K K - K K AKK = KK - KK где k = 1, m - показатели эффективности; MK - число значений показателей эффективности. На втором шаге накладываются ограничения на все показатели, кроме последнего. На основе уступок осуществляется выбор допустимых вариантов в соответствии с условием ад = А))+)л Ан+)л ... л a^Ai ; X Д = Xj + л X j + л... л X m . На основе ограничений осуществляется выбор оптимального варианта
Ао = Мнх лАдл А1 >Х0 = Мш л Ад лХ”.
В результате выбран вариант, имеющий оптимальные технико-экономические показатели, показатели сложности и избыточности. ТС = {ТОП, ТО, Т, R}, где ТОП - упорядоченные технологические операции; ТО
- технологическое оборудование; Т - составляющая структуры, определяющая соответствие между технологическим оборудованием и технологическими операциями при автоматизированном синтезе; R - отношение поряд-
ЛЕСНОИ ВЕСТНИК 2/2012
183
