CC BY
70
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ КОМПОНОВКИ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ С ОЦЕНКОЙ СТРУКТУРНОЙ ИЗБЫТОЧНОСТИ и сложности
М.С. УСАЧЕВ, асп. каф. управления автоматизированными производствами лесопромышленного комплекса МГУЛ,
В.А. ДОРОШЕНКО, проф. каф. управления автоматизированными производствами лесопро-
мышленного комплекса МГУЛ, д-р техн. наук
Распределенную по уровням систему управления как объект многокритериального синтеза, как объект компоновки технической структуры можно представить в виде отношений между множествами, соответствующих уровням распределенной системы [1]. При этом одним из перспективных способов задания таких отношений являются ори-
usachev@mgul.ac.ru ентированные графы, гиперграфы [2, 3], в которых вершины соответствуют техническим устройствам уровней системы, а ребра (дуги) - связям между устройствами, соответствующих уровней. Графы, сохраняя наглядность связей между устройствами уровней, позволяют с помощью формальных алгоритмов преобразований перейти к своим матричным
Рис. 1. Структурная модель распределенной по уровням системы управления
196
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 3/2013
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
эквивалентам в виде матриц смежности, ин-циденций, в виде композиций матриц гиперг-рафов, что в итоге дает возможность перехода к различным количественным оценкам вариантов компоновки на основе вычислительных процедур над матрицами с широким применением компьютерных технологий. Каждый вариант компоновки имеет различные технико-экономические показатели, показатели избыточности и сложности. В работе предложено математическое описание компоновки в виде ориентированных графов и гипергра-фов и способов количественной структурной избыточности и сложности с целью на ранней стадии компоновки оценить качество структуры системы с позиции системного подхода.
Структурная модель распределенной системы управления [1] представлена в виде подсистем, соответствующих уровням (рис.1), начиная с уровня датчиков и исполнительных устройств и кончая уровнем управления производством с выходом на интегрированную систему управления предприятием (ERP-система), которая объединяет информационное пространство подсистем с целью повышения эффективности управления предприятия в целом. Каждая подсистема включает структуру, состав элементов (устройств) и связи, горизонтальные и вертикальные.
Представленную структурную модель можно описать в виде графа (рис. 2), где 1, 3 -датчики; 2, 4 - исполнительные устройства; 5, 6 - контроллеры; 7, 8 - операторские станции; 9, 10 - локальные вычислительные сети (ЛВС); 11 - ERP. Представленный граф показывает все возможные связи между устройствами на каждом уровне, горизонтальные связи в виде смежных вершин графа (5-10) и вертикальные связи между устройствами уровней в виде ребер графа. Одной из оценок эффективности структуры распределенной системы управления на ранней стадии ее компоновки является структурная избыточность, которая основана на связности устройств ориентированных графов и оценивает число связей в структуре и дает косвенную оценку экономичности и надежности синтезируемых систем, позволяет выбрать вариант с максимально необходимыми связями между устройствами.
Связность устройств в структуре систем определяется матрицей смежности ориентированного графа Ac = ||a..||nxm, n - число строк и столбцов, элементы матрицы
1 ,если вершинаXt соединена\ с вершиной j ребром >. (1)
0,в противном случае J
Матрица смежности для мультиграфа
g,ecnu вершина Xt соединена с вершиной Xj g ребрами \. (2)
0,в противном случае
а9=<
а,=<
10
11
Уровень управления предприятием _________(например, ERP)
Уровень управления производством
--------- (уровень локальных вычислительных
систем - ЛВС)
Уровень управления участками, цехами, технологическими процессами (уровень операторских станций)
Уровень низовой автоматизации (уровень контроллеров)
Уровень датчиков и исполнительных устройств
12 3 4
Рис. 2. Исходная структура распределенной системы управления в виде графа
9
7
5
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 3/2013
197
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
Показатель избыточности ориентированного графа определяется на основе матрицы смежности (1, 2)
f
К
и
\
12л
V <=i м
п- 1
-1.
(3)
Для количественной оценки структурной избыточности (параметрическая избыточность рассмотрена в работе [4]) исходный граф (рис. 2) преобразован в ориентированный граф с преобразованными смежными вершинами (рис. 3) [5].
Матрица смежности АС1 для такого варианта ориентированного графа (варианта компоновки) с числом связей между верши-
11
Рис. 3. Ориентированный граф с преобразованными смежными вершинами: 5’,6’,7’,8’,9’,10’
11
Рис. 4. Ориентированный граф без смежных вершин (без горизонтальных связей между устройствами)
2
4
3
4
нами (устройствами) определяет 30 связей, при этом показатель избыточности в соответствии с (3) равен 0,875.
Для варианта структуры распределенной системы без горизонтальных связей между устройствами на каждом уровне, без смежных вершин, ориентированный граф представлен на рис. 4.
Матрица смежности для ориентированного графа без смежных вершин (рис.4)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 2
2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
3 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 2
4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
5 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 4
6 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 4
7 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 2
8 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 2
9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1
10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1
11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Число связей между вершинами равно 18, показатель избыточности в соответствии с(3) равен 0,8.
Ориентированный граф для варианта компоновки структуры без смежных вершин и перекрестных связей между вершинами (ус-
198
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 3/2013
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
тройствами) представлен на рис. 5, что соответствует автономно работающим каналам устройств распределенных систем управления.
Число связей между вершинами матрицы - АС3 равно 10, показатель избыточности, в соответствии с (3), равен 0. Вариант структуры является безизбыточным, т.е. оптимальным с точки зрения данного показателя, в реальных условиях выбор вариантов является многокритериальным, в данном случае необходимо сделать количественную оценку по показателю структурной сложности.
Матрица смежности для ориентированного графа (рис. 5)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1
2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
3 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1
4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
5 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2
6 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 2
7 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1
8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1
9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1
10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1
11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Для этого необходимо ориентированный граф на рис. 3 преобразовать в ориентированный граф (рис. 6) с фиксированными вершинами для преобразования смежных вершин (5’,6’,7’,8’,9’,10) и фиктивными вершинами для формирования уровней (К;-К5) ориентированного графа распределенной системы управления. Количественная оценка структурной сложности определяется исходя из числа связей прохождения информации от устройств первого уровня (от висячих вершин 1, 3 ориентированного графа) до устройств уровня управления производством и предприятием (тупиковые вершины 2, 11, 4 ориентированного графа). Показатель сложности определяется в соответствии с выражением [1, 6]
Щ т2
кс =
т,
ЁЁР и~\(4)
т2 ;=i у=1
где тх - число висячих вершин; т2 - число тупиковых вершин;
р.. - число путей, ведущих от /-ой висячей вершины в j-ю тупиковую вершину.
Вычислительная процедура в соответствии с (4) заключается в следующем:
1. На основе ориентированного графа (рис. 6) формируется композиция гипергра-фов для уровней графа
Г1={К1,К2}, К ={1,3}, К ={5,6}
Г ={К2,Кз}, К2={5,6}, К3={5’,6’,12,17} Г3={К3,К4}, Кз={5’,6’,12,17}, К4={7,8,13,18} Г4={К4,К5},К4={7,8,13,18}, ^={7,8,14,19} Г5={К5,К6},К5={7’,8’,14,19}, К6={9,10,15,20} Г6={К6,К7},К6={9,10,15,20}, ^={9,10,16,21} Г7={К7,К8},К7={9’,Ш’,16,21},К8={2,4,П}
2. Формируются матрицы инцидентности МГ= |aj для гиперграфов Г1-Г7 в соответствии с выражением
а Jl,если XfeX*+1 1
iJ [О,в противном случае]
где к - уровни ориентированного графа
(рис. 6).
5 6
МГ1=\К{ХК2\ =1 1 1,
3 1 1
Мг2=\К2хК3\=5 5' 6' 12 17
1 1 1 1 ,
6 1 1 1 1
7 8 13 18
5' 1 1 0 0
Мгз=1К3хК41=б' 1 1 0 0’
12 0 0 1 0
17 0 0 0 1
7’ 8' 14 19
7 1 1 0 0
Мг4=\К4хК5\=8 1 1 0 0’
13 0 0 1 0
18 0 0 0 1
11
Рис. 5. Ориентированный граф без смежных вершин и перекрестных связей между вершинами
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 3/2013
199
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
11
21
20
19
18
17
2
Рис. 6. Преобразованный ориентированный граф распределенной системы управления: 5’,6’,7’,8’,9’,10’ - фиктивные вершины для преобразования смежных вершин 5^10; 12-21 - фиктивные вершины для формирования уровней ориентированного графа К^К8
11
К,
Кд
К,
К2
Ki
Рис. 7. Преобразованный ориентированный граф без смежных вершин, с фиктивными вершинами (12-15) для формирования уровней графа
200
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 3/2013
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
9 10 15 20
7' 1 1 0 0
Mr5=\K5xK6\=s' 1 1 0 0’
14 0 0 1 0
19 0 0 0 1
9' 10' 16 21
9 1 1 0 0
МГ6=^6хЯ7|=Ю 1 1 0 0 ’
15 0 0 1 0
20 0 0 0 1
2 4 11
9' 0 0 1
Mri=\K7xKs\= =10' 0 0 1
16 0 1 0
21 1 0 0
Выполняется умножение матриц инцидентности гиперграфов
Мг =Мп хМг2 хМгъ хМгл хМГ5 х 2 4 11 xMrAxMrt=1 2 2 12
где р1,2 2; р1,4 2; Р1,п 12; р3,2 2; р3,4 2;
р311 = 12; т1 = ' 2; т2 = 3.’
В соответствии с (4) показатель сложности такого варианта структуры распределенной системы равен Кс = 1/6(2 + 2 + 12 + 2 + 2 + 12) - 1 = 4,33 Ориентированный граф без смежных вершин 5’,6’,7’,8’,9’,10’ для распределенной системы без горизонтальных связей между устройствами внутри уровней представлен на рис.7.
Композиция гиперграфов для ориентированного графа на рис.7.
Г1=[К1,К2], К = {1,3}, К ={5,6}; Г2=(К2,Кз), К={5,6}, Кз={7,8,12,14}; Гз=(Кз,К4}, Кз={7,8,12,14}, К4={9,10,13,15}; Г={К4,К5}, К4={9,10,13,15}, К5={2,4,11}. Матрицы гиперграфов
5 6
Мг1=\К1хК2\ =1 1 ь
3 1 1
7 8 12 14
МГ2=\К2хК3\=5 1 1 1 1 >
6 1 1 1 1
9 10 13 15
7 1 1 0 0
Мгз=\К3хК4 = 8 1 1 0 0,
12 0 0 1 0
14 0 0 0 1
2 4 11 9 0 0 1
МГ4=\К4хК5\=Ю 0 0 1.
M'
13 0 1 о
„ 15 1 0 0 ..
Результат умножения матриц МГ1
2 4 11
Мг = Мп х Мг2 х Мгъ х Мг4 = 12 2 6
3 2 2 6
Р1,2 2; Р1,4 2; Р1,11 6; Р3,2 2; Р3,4 2;
Р3,11 = 6; т1 = 2; т2 = з
Показатель сложности в соответствии с (4) равен Кс = 2,3.
Если между каналами распределенной системы управления нет горизонтальных перекрестных связей (рис. 5), то показатель сложности будет меньше нуля. Физически это означает что два канала подсистем системы (рис. 1) функционируют параллельно с замыканием на систему ERP. Под каналом понимается структура, включающая датчики, исполнительные устройства, контроллер, операторскую станцию, локальную вычислительную сеть, с отдельным подключением к системе ERP.
Автономная структура канала (рис. 8) характеризуется показателем сложности равным нулю (К = 0).
Композиция гиперграфов
Г^К;}, К={1}, К2={5}; Г2={К2,Кз},
К2={5}, Кз={7,14};
Гз={Кз,К4}, Кз={7,14}, К4={9,15}; ^{К^}, К4={9,15}, К5={2,11}.
11
9
7
5
1
К
5
К
4
К
3
К2
Ki
Рис. 8. Ориентированный граф автономной структуры канала распределенной системы управления
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 3/2013
201
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
Матрицы гиперграфов
МГ1=^({Х-К^=^ J j МГ2=\К2*К3\=^ ^ J 5
9 15 2 11
Мп=\К3хК4\=1 1 0 , Мг4=\К4хК5\=9 0 114 0 1 15 1 О
Произведение матриц
2 11
Мг = МГ1 х МГ2 х Мгъ х МГ4 =
р 1,2 = 1 Р1,11 = 1 mi = 1 m2 = 3 Kc=0 С точки зрения оценки показателя
сложности этот вариант является оптимальным. Следует отметить, что и показатель избыточности для такого варианта (рис.8) равен нулю.
Предложенный метод описания структуры компоновки распределенной системы управления и способы количественной оценки структурной избыточности и сложности в комплексе с технико-экономическими показателями эффективности используются для многокритериального синтеза систем.
Библиографический список
1. Дорошенко, В.А. Анализ методов выбора вариантов для структурного синтеза распределенных систем управления / В.А. Дорошенко, Л.В. Друк, М.С. Усачев // сб. науч. тр. - Вып. 353. - М.: МГУЛ, 2011 - С. 106-116.
2. Курейчик, В.М. Дискретная математика. Ч. 3. Оптимизационные задачи на графах / В.М. Курейчик. - Таганрог: ТРТУ, 1998. - 352 с.
3. Гладков, Л.А. Генетические алгоритмы / Л.А. Гладков, В.В. Курейчик, В.М. Курейчик. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2010. - 368 с.
4. Усачев, М.С. Количественная оценка избыточности структур распределенных систем управления / М.С. Усачев, В.А. Дорошенко // Технология и оборудование для переработки древесины. Сб. науч. тр. - Вып. 358 - М.: МГУЛ, 2012. - С. 108-114.
5. Дорошенко, В.А. Математическое описание компоновки технологической структуры первичной обработки древесного сырья / В.А. Дорошенко, Л.В. Друк // Вестник МГУЛ - Лесной вестник, 2010 - №5 (74). - С. 178-185.
6. Дорошенко, В.А. Синтез технологической структуры автоматизированных технологических процессов первичной обработки древесины: Монография / В.А. Дорошенко. - Красноярск: КГТА, 1996. - 299 с.
ОБ ОДНОМ СПОСОБЕ КОНСТРУИРОВАНИЯ
оси динамического трубопровода
ВС. ГОРЯЧЕВСКИЙ, асп. каф. начертательной геометрии черчения МГУЛ
Свойства трубопровода, предназначенного для перемещения сыпучих материалов, жидкости и газа с дозвуковыми скоростями, во многом зависит от свойств его оси. Так, например, наименьшее сопротивление имеют тройники с боковыми ответвлениями в виде плавных обводов [1].
Поэтому обеспечение плавности слияния потоков является основной задачей в конструировании разветвляющихся трубопроводов. Решение этой задачи требует исследования теоретико-конструктивных вопросов проектирования осей трубопроводов как пространственных кривых линий в виде одномерных гладких обводов. Приходится учитывать влияние геометрических характеристик осей на динамику движущихся частиц. Такие же обводы применяются при конструировании автомобильных и железных дорог, спортив-
caf-graph@mgul.ac.ru ных сооружений типа трамплинов, велотреков, санно-бобслейных трасс и т.д.
Для конструирования плавного сопряжения осей трубопровода необходимо использовать такие кривые, которые содержат меньше экстремальных точек и точек перегиба. Лучше всего для этого подходят кривые нулевого жанра - рациональные кривые [2].
Среди рациональных кривых особое внимание следует уделить циркулярным кривым. У циркулярных рациональных кривых по сравнению с рациональными кривыми того же порядка графики изменения первых и вторых производных вдоль кривой будут более монотонными [2], а значит обводы, состоящие из таких кривых, будут более динамичными.
Исходя из решаемой прикладной задачи, необходимо задать ось трубопровода упорядоченным массивом точек A(i = 1,2,3,...,n)
202
ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 3/2013
