CC BY
60
формирование и многокритериальная оценка исходных варинтов технических средств для синтеза распределенных систем управления на основе анализа иерархий
В.А. ДОРОШЕНКО, проф., МГУЛ, д-р техн. наук(1), Л.В. ДРУК, доц., МГУЛ, канд. техн. наук(1), А.Э. ГЕРАСИМОВ, асп., МГУЛ1
alkazarrus@bk. ги
(1)ФГБОУ ВПО «Московский государственный университет леса» 141005, Московская обл., г. Мытищи-5, ул. 1-я институтская, д. 1, МГУЛ
Современные системы управления технологическими процессами и производствами являются распределенными по уровням, начиная с уровня датчиков и исполнительных устройств, уровня промышленных контроллеров и компьютеров и кончая локальными вычислительными сетями с множеством коммуникационных устройств. Компоновка таких систем в процессе структурного и параметрического синтеза осуществляется на множестве вариантов технических средств и показателей эффективности. При этом стоит одна из основных задач - сформировать рациональное исходное множество вариантов, обеспечивающее свободу выбора решений и сведения к минимуму возможности упустить лучший вариант технических средств. Для этого необходимо применение соответствующих методов. В работе представлено математическое описание процесса формирования и многокритериальной оценки исходных вариантов на основе метода иерархий. Исходными являются матрицы парных сравнений для показателей эффективности, определяющих оценку вариантов. Элементы матриц определяются на основе девятибалльной шкалы Саати. Анализ парных сравнений позволяет выделить приоритетные исходные варианты. Для этого выполняется нормализация столбцов матриц парных сравнений путем суммирования значений элементов столбцов матриц. На основе полученных результатов формируются нормализованные матрицы, строки и столбцы которых соответствуют анализируемым вариантам. Сумма элементов строк нормализованных матриц является векторами-столбцами данных матриц, с помощью которых формируются векторы-столбцы приоритетов. По векторам-столбцам приоритетов определяются приоритетные исходные варианты по каждому показателю эффективности. Эффективность выделения приоритетных исходных вариантов в работе предложено оценивать индексом согласованности и коэффициентом отношения согласованности исходных матриц парных сравнений. Для этого в работе использована упрощенная процедура определения максимальных собственных чисел матриц парных сравнений, которые являются основой вычисления индекса согласованности и коэффициента отношения согласованности матриц парных сравнений. Коэффициент отношения согласованности матриц парных сравнений не должен превышать значения 0,1. В работе приведен пример формирования и оценки исходного множества вариантов промышленных контроллеров для уровня низовой автоматизации распределенной системы управления.
Ключевые слова: распределенная система управления, исходное множество вариантов, показатели эффективности, матрицы парных сравнений, векторы-столбцы матриц, индекс согласованности матриц, отношение согласованности матриц, максимальные собственные числа матриц
В традиционной постановке задачи синтеза распределенных систем управления множество исходных вариантов обычно задается с помощью неявного описания либо с помощью явного перечисления исходного множества. Рационально сформированное множество исходных вариантов обладает более широким спектром и обеспечивает необходимую свободу выбора решений и сводит к минимуму возможность упустить лучший вариант. Для выделения рационального исходного множества вариантов, позволяющих создавать системы управления с заданными структурными свойствами при их многокритериальном синтезе необходимо применение соответствующих методов. В работе представлено математическое описание процесса формирования и многокритериальной оценки исходных вариантов на основе анализа метода иерархий. В основе
метода анализа иерархий лежит классическая история матриц, и в частности матриц парных сравнений [1-10]. К таким матрицам предъявляется требование согласованности. Матрица А = \а\ является согласованной, если для элементов матрицы выполняется согласование [1]. Если а = а, то а=1/а, аф-0, 1,]=1,2,...,п.
У У
Матрица размером п*п дает суждение о парах вариантов (парные сравнения вариантов В, В). При этом матрица примет вид
А в2 Вп
В1 1 а 12 а\п
в2 у /«12 1 а2 п
|
В„ у /аХп 1/ / а2п 1
Основные этапы математического описания заключаются в следующем:
1. В соответствии с (1) формируются матрицы А1к1,А^2,...,А™т для показателей эффективности, определяющих оценку вариантов (т - число показателей эффективности). Элементы матриц показывают уровень преимущества варианта В. над вариантом В. по девятибалльной шкале Саати [1]: 1 - если отсутствует преимущество В. над В.; 3 - если имеется слабое преимущество В. над В.; 5 - если имеется существенное преимущество В. над В.; 7 - если есть явное преимущество В. над В.; 9 - если имеется абсолютное преимущество В. над В ; 2, 4, 6, 8 - промежуточные сравнительные оценки; 2 - почти слабое преимущество; 4 - почти существенное преимущество; 6 - почти явное преимущество; 8 - почти абсолютное преимущество. Анализ парных сравнений сформированных матриц позволяет выделить приоритетные варианты.
2. Нормализуются столбцы матриц парных сравнений А^А™„. суммируются значения элементов столбцов матриц
^ = (2) где £=1,2,...,т - число показателей эффективности;
где: Я, ,5",. ......У,. - сумма значений столбцов
матрицы Ак1;
.11,.12,.,.1п - столбцы матрицы А^, соответствующие числу вариантов
ВВ^-В).
Соответственно для столбцов матриц
Л1 А"
i2
5 ={5 х х ,...,5;} (3)
Л 1 У2! Нп' 1т 1 1т\ Лп2 1тп ' 4 '
]и ¿—I Ун' Кг I Чп' ' Ли Ч\п
/=1 /=1 п п п
= 5Х ' = = Еа(/2» (4)
. ¡=1 . 1=1 . /=1
= 54 = Уа, ,...,5™ =Уа;/
Л. ^ Ум1 ' Л, 2 ^ Ут2 ' ' ^ ¿—I Чти 1=1 1=1 г=1
Необходимо разделить значения элементов столбцов матриц А^, А^2 ,...,А™„ на суммарные значения столбцов (3;4)
d = {d\,d2h,...dl,}
jl Г jl rl jl rl »1 jl . .1 jl jl 2 Л * 11 '21r' «1 '12 '22 • «2 r ■ • '"in '"2 n • '"nn /
^A =Kl ¿21 r"^»! ¿12 ¿£ ydllr-'&n An r-dln } (5)
. Jl
lm_j lm im lm lm lm . . ш jm jm l
ajm —\"l 1 '"21 v • 'anl »"12 '"22 '• • n2 »• • • >"ln '"2 и '• • '"ли /
где: ,...,d"1 - значение элементов стол-
л 1 л 2 , m
бцов матриц Ак1,Ак2,...,Акт на суммарные значения (3,4).
Значения элементов матриц Ati,Ak2,...,Ак„ будут равны:
Jl _ flll Jl _ а2\ Jl _ Дп1
S1 S1 '"' 1 ~ S1
Л1 Ji2 Ju
Jl _ aU Jl _ а22 Jl _ Ди2
"12 _ ' 22 ^fl '— >Un2~gl
; h 2 Лг 7i2
i/1 = d1 d1 =
Л» Ли л»
i
¿1
J2 _ flll j2 _ a21 J2 _ Д,1 Ы11 '"21 c2 '•••>"я1
" 7
Л2
2 2 2 ,2 _ j2 _ Д22 J2 _ Дя2
"12 _ ^г '"22 _£2 '•••'"П2_^2
Л2 ,2
Лг ,2
j2 _ J 2 _ *^2д J2 _ ^ии
"in — ' 2n — '"-'"nn —
л»
71»
Л»
jm _ flll im _ Д21 Jт _ an\
~ sm 21 _ sm'"' 1 ~ sm
Jn hi hi
m m m
jm _ "12 ^m _ "22 j2 _ "B2
12 ' 22 ^m ?•••? n2 ^щ
' hi Jn Jn
(6)
a,
а,
*1 n
In дгп _ 2n _ nn
gtm ' 2 и ^fm '*"' nn
Ли Ли Ля
3. На основе элементов (6) формируются матрицы А/^, Мк1,..., М;„, строки и столбцы матриц соответствуют анализируемым вариантам.
К-
м\ =
i\j В, ^2 ... B„
в, d12 ... <
в2 <4 d22 ... dL
• :
Вп d\\ dn2 ... dl
i\j в, B2 ... Bn
Вv dn d\2 ... dln
в2 dli d22 ... dl
; j \ j
вп <2 ... dL
мт =
i\j в, в2 B„
я. im «11 im «12 dl
В2 rm «21 im «22 im 2n
: : :
в„ jm «„1 im «„2 im dnn
(7)
4. Суммы строк матриц М^ ,М2г ,...,М™т (7) являются векторами-столбцами данных матриц
v?m = {s2s2s2}
(8)
j/m _ с г^т rim Ст\
cm ~ V^ >—/
% = i\d\n Si = У,dl,...,,Sl = f,d)
h i—t hh' h ¿j hh' ' b, i—t n i=1 ¿=1 i=1
tf = 5X,> ^ = 5X, >•••> Sf = Yd;
: <=i : <=i : /=1
я * я ' я
nm X 1 Jffl cm X 1 jl cm X ' Jffl
iV =/ a,, = У a,, = > a.
2
Wi
где:
ol rtl r>l . r*2 r»2 o2, Qtn cim ctm
»V^' — '^i»'0/, »0«2
- сумма строк соответственных матриц
5. Необходимо разделить векторы-столбцы матриц (7) на размерность столбцов этих матриц. В результате формируются векторы-столбцы приоритетов
у\ у2 ут
yl _ cm у2 _ ' cm ут _ г с/в (9)
пр 5 л» ? • • • 5 яр * ^ '
п п п
По полученным векторам-столбцам (9) выделяются приоритетные варианты по каждому показателю эффективности.
Эффективность выделения приоритетных вариантов оценивается индексом согласованности матриц A^,A^,...,A^J[1].
1{п-\),...,ИСт где X1 , X2 , ..., Xm - максимальные собс-
max max 3 max
твенные числа матриц ^, А^,..., А™т Для определения максимальных значений (10) необходимо умножить матрицы А^,А22,...,А™ на векторы приоритетов (9). В результате формируются векторы-столбцы данных матриц
(11)
После деления значений векторов (11) на соответствующие значения векторов-при-
оритетов (9) формируются векторы столбцов матриц
у1 V2 V"
у11 = у22 = V""" (12)
г у1 у2 '"' ут ( )
пр пр пр
Усредненные значения векторов-столбцов (12) являются максимальными собственными числами матриц А^,А22,...,А™т. Индексы согласованности определяются по формуле (10). Окончательная оценка эффективности выделения приоритетов вариантов оценивается по отношению согласованности.
ос-^ос-«1
,ОСт =
ИС"
-. (13)
СИ СИ СИ
Случайный индекс (СИ) определяется из порядка матриц А^,А22,...,А™т по таблице [1].
Значение отношения согласованности считается приемлемым равным или меньше 0,1 [0.1].
Формирование и оценка исходных данных рассмотрена на примере промышленных контроллеров по двум показателям эффективности (табл. 1). Парные сравнения вариантов по шкале Саати [1-11] приведены в табл. 2. на основе парных сравнений вариантов в соответствии с (1) сформированы матрицы парных сравнений для показателей эффективности К1, К2.
4 =
i\j Br B2 Вг в4 B5
Bl 1 3 1/ /7 3 1/ /9
B2 1/ /3 1 1/ /9 1 1/ /9
Въ 7 9 1 9 1/ /3
B4 1/ /3 1 1/ /9 1 1/ /9
B5 9 9 3 9 1
Л-
Ay я2 B4
A 1 1/ /9 1/ /9 1/ /9 1/ /3
9 1 1 1 7
9 1 1 1 7
B4 9 1 1 1 7
B5 3 1/ /7 1/ /7 1/ /7 1
Таблица 1
Исходные варианты и показатели эффективности промышленных контроллеров компании ICP DAS (ipc2u.ru) The initial options and performance indicators of industrial controllers of ICP DAS (ipc2u.ru)
Варианты Промышленные контроллеры Значения показателей эффективности
Частота процессора МГц, К1 Объем оперативной памяти, Мб, К2
В1 WP-8141-EH 520 128
В2 XP-8347-CE6 500 1024
В3 XP-8341-Atom 1100 1024
В4 XP-8749-CE6-1500 500 1024
В5 XP-8141-Atom-CE6 1330 512
Таблица 2
Парные сравнения вариантов промышленных контроллеров по шкале Саати [1] Paired comparison of the variants of industrial controllers on a scale of Saaty [1]
Показатель эффективности Экспертные парные сравнения Уровни преимущества
Абсолютное преимущество В5 над В1 9
Абсолютное преимущество В3 над В2 9
Абсолютное преимущество В5 над В2 9
Абсолютное преимущество В5 над В4 9
Абсолютное преимущество В3 над В4 9
К1 Явное преимущество В3 над В1 7
Слабое преимущество В1 над В2 3
Слабое преимущество В1 над В4 3
Слабое преимущество В5 над В3 3
Преимущество отсутствует В2 над В4 1
Преимущество отсутствует В4 над В2 1
Абсолютное преимущество В2 над В1 9
Абсолютное преимущество В3 над В1 9
Абсолютное преимущество В4 над В1 9
Явное преимущество В2 над В5 7
Явное преимущество В3 над В5 7
К2 Явное преимущество В4 над В5 7
Преимущество отсутствует В2 над В3 1
Преимущество отсутствует В2 над В4 1
Преимущество отсутствует В3 над В2 1
Преимущество отсутствует В3 над В4 1
Преимущество отсутствует В4 над В3 1
В результате нормализации столбцов матриц А^,А*2 в соответствии с (2-4) получаем суммарное значение столбцов матриц
(14).
S1. =
л
В1 в2 в3 в4 в5
17,67 23,00 4,37 23,00 1,67
S] =
h
Bi В2 Вз в, в5
31 3,25 3,25 3,25 22,33
(15)
После выполнения вычислительных операций (3-6) сформированы матрицы 4,Mj(7).
К
i\j В, в2 В, В4 в5
В, 0,057 0,130 0,033 0,130 0,067
В2 0,019 0,043 0,025 0,043 0,067
В3 0,396 0,391 0,229 0,391 0,200
В4 0,019 0,043 0,025 0,043 0,067
В5 0,509 0,391 0,687 0,391 0,600
м\ =
i\j А в2 В3 в,, В5
А 0,032 0,034 0,034 0,034 0,015
Вг 0,290 0,307 0,307 0,307 0,313
В3 0,290 0,307 0,307 0,307 0,313
В4 0,290 0,307 0,307 0,307 0,313
В5 0,097 0,044 0,044 0,044 0,045
(16)
Векторы-столбцы матриц (16) определим в соответствии с (8)
VI =
V2 =
cm
В2 въ в, Вs
0,417 0,197 1,607 0,197 2,578
Я, В2 Въ в, в5
0,149 1,524 1,524 1,524 0,274
Векторы-столбцы приоритетов сформированы в соответствии с (9)
Vх =
пр
В! В2 Bs в. в5
0,083 0,040 0,322 0,040 0,516
V1 =
пр
Bi в2 въ в. в5
0,030 0,305 0,305 0,305 0,055
. (17)
По максимальным значениям векторов-столбцов (17) выделены приоритетные варианты по каждому показателю эффективности. В данном случае по показателю К1 (частота процессора) приоритетным вариантом является В5, по показателю К2 (объем оперативной памяти) - варианты В2, В3, В4.
Эффективность выделения приоритетных вариантов В2, В3, В4, В5 по показателям К1, К2 оценивается индексом согласованности (10). Для определения максимальных собственных чисел матриц (14) выполнено умножение матриц А^, А22 на векторы-приоритеты (17). В результате формируются векторы-столбцы матриц (14).
у1 =
к1
А В2 Вз в. в5
0,424 0,200 1,790 0,200 2,944
V2
в, в2 в, в. В5
0,150 1,567 1,567 1,567 0,275
(18)
После деления значений векторов (18) на соответствующее значение векторов-приоритетов (17) сформированы векторы-столбцы матриц (14)
Vй =
в, в2 в3 в4 в5
5,088 5,052 5,565 5,052 5,706
v22 =
А в2 Въ в4 в5
5,008 5,136 5,136 5,136 5,036
. (19)
Усредненные значения векторов-столбцов (19) являются максимальными собственными числами матриц (14). В данном случае X1 = 5,293; X2 = 5,293. Индекс со-
J max max
гласованности матриц (14) в соответствии с (10) равны ИС1 = 0,073; ИС = 0,023. Окончательная оценка эффективности выделенных приоритетных вариантов оценивается по отношению согласованности (13). Случайный индекс в (13) определяется из порядка матриц (14) по таблице [1]. В данном случае при n = 5 случайный индекс равен 1,12. В результате отношение согласованности для приоритетных вариантов равны ИС1 = 0,08; ИС2 = 0,03. Приемлемым считается значение отношения согласованности меньше или равное 0,1.
Предлагаемое математическое описание процесса формирования и оценки исходных данных вариантов применяется при многокритериальном синтезе распределенных по уровням систем управления техническими объектами.
Библиографический список
1. Саати, Т. Принятие решений, методы анализа иерархий / Т. Саати. - М.: Радиосвязь, 1993. - 278 с.
2. Саати, Т. Принятие решений при зависимостях и обратных связях. Аналитические сети / Т. Саати. - М.: ЛКН, 2008. - 360 с.
3. Черноруцкий, Н.Г. Методы принятия решений / Н.Г. Черноруцкий. - СПб.: БХВ-Петербург, 2005.- 416 с.
4. Блюмин, С.А. Модели и методы принятия решений в условиях неопределенности / С.А. Блюмин, И.А. Шуй-кова. - Липецк: ЛЭГИ, 2001. - 138 с.
5. Подиновская, О.В. Методы анализа иерархий как метод поддержки принятия многокритериальных решений / О.В. Подиновская // Информационные технологии моделирования и управления. - 2010. - № 1 (60). -С. 71-80.
6. Штовба, С.Д. Проектирование нечетких систем средством MATLAB / С.Д. Штовба. - М.: Горячая линия-телеком, 2007. - 288 с.
7. Рутковская, Д. Нейронные сети, генетические алгоритмы и нечеткие системы / Д. Рутковская, М. Пилинь-ский, Л. Рутковский. - М.: Горячая линия-телеком, 2008. - 452 с.
8. Ногин, В.Д. Упрощенный вариант метода анализа иерархий на основе нелинейной свертки критериев
/ В.Д. Ногин // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2004. - Т. 44. - № 7. -С. 1261-1270.
9. Павлов, А.Н. Решение многокритериальных задач методом анализа иерархий: учебное пособие / А.Н. Павлов. - М.: РАГС, 2010. - 166 с.
10. Нечаев, Ю.Б. Формирование и выбор вариантов инфоте-лекоммуникационных систем на основе морфологических и иерархических методов / Ю.Б. Нечаев, А.Г. Кащенко, Г.А. Кащенко и др. // Компьютерные науки и технологии: собрание трудов второй международной технической конференции. - Белгород: ООО «ГиКи», 2011. - С. 288-293.
FORMING AND MULTICRITERIAASSESSMENT OF PARENT VERSIONS IN TECHNICAL MEANS OF DISTRIBUTED CONTROL SYSTEMS BASED ON THE ANALYSIS OF HIERARCHIES
Doroshenko V.A., Prof. MSFU, Dr. Sci. (Tech.) (1); Druk L.V., Assoc. Prof. MSFU, Ph.D. (Tech.) (1); Gerasimov A.E., pg.
MSFU(1)
(1)Moscow Forest State University (MSFU), 1st Institutskaya st., 1, 141005 Mytishchi, Moscow reg., Russia
Modern control systems of technological processes and productions are distributed on a number of levels, starting with the level of sensors and actuation mechanisms, the level of industrial controllers and computers, and finishing with local computer networks with a set of communication devices. Configuration of such systems in the course of structural and parametrical synthesis is carried out on a set of options of technical means and indicators of efficiency. Thus, there is one of the main objectives - to create a rational initial set of options providing a freedom of choice of decisions and minimizing opportunity to miss the best option of technical means. For this purpose application of the corresponding methods is necessary. In this article the mathematical description of the process of formation and multicriteria assessment of initial options based on the method of hierarchies is presented. Matrixes of pair comparisons for the indicators of efficiency defining an assessment of options are initial. Elements of matrixes are defined on the basis of a nine-mark scale of Saati. The analysis of pair comparisons allows to allocate priority initial options. For this purpose normalization of columns of matrixes of pair comparisons by summation of values of elements of columns of matrixes is carried out. On the basis of the received results the normalized matrixes are formed, where lines and columns correspond to the analyzed options. The sum of elements of lines of the normalized matrixes are vectors-columns of these matrixes by means of which vectors columns of priorities are formed. On vectors-columns of priorities each indicator of efficiency determines initial options. It is offered to estimate the efficiency of allocation of priority initial options by an index of coherence and a coefficient of the relation of coherence of initial matrixes of pair comparisons. For this purpose the simplified procedure of definition of the maximum own numbers of matrixes of pair comparisons is used, which are a basis of calculation of an index of coherence and coefficient of the relation of coherence of matrixes of pair comparisons. The coefficient of the relation of coherence of matrixes of pair comparisons shouldn't exceed 0,1. The example of formation and assessment of an initial set of options of industrial controllers for the level of local automation of distributed control system is given.
Keywords: distributed control system, initial set of options, indicators of efficiency, matrix of pair comparisons, vectors-columns of matrixes, index of coherence of matrixes, relation of coherence of matrixes, maximum eigenvalue of matrixes
References
1. Saati T. Prinyatiye resheniy, metody analiza iyerarkhiy [Decision making, the analytic hierarchy process]. Moscow, 1993, 278 p.
2. Saati T. Prinyatiye resheniy pri zavisimostyakh i obratnykh svyazyakh. Analiticheskiye seti [Decision making at dependencies and feedback. The analytic network]. Moscow, 2008, 360 p.
3. Chernorutskiy N.G. Metody prinyatiya resheniy [Making methods solutions.] St. Petersburg, BKHV-Peterburg, 2005, 416 p.
4. Blyumin S.A., Shuykova I.A. Modeli i metody prinyatiya resheniy v usloviyakh neopredelennosti [Models and methods of decision making under uncertainty]. Lipetsk, LEGI, 2001, 138 p.
5. Podinovskaya O.V. Metody analiza iyerarkhiy kak metod podderzhki prinyatiya mnogokriterial'nykh resheniy [The analytic hierarchy process as a method of multicriteria decision making support]. Information Technology Modeling and Control, 2010, № 1 (60), p. 71-80.
6. Shtovba S.D. Proyektirovaniye nechetkikh sistem sredstvom MATLAB [Design of fuzzy systems means MATLAB]. Moscow, Hotline Telecom, 2007, 288 p.
7. Rutkovskaya D., Pilin'skiy M., Rutkovskiy L. Neyronnyye seti, geneticheskiye algoritmy i nechetkiye sistemy [Neural networks, genetic algorithms and fuzzy systems.]. Moscow, Hotline Telecom, 2008, 452 p.
8. Nogin V.D. Uproshchennyy variant metoda analiza iyerarkhiy na osnove nelineynoy svertki kriteriyev. Zhurnal vychislitel'noy matematiki i matematicheskoy fiziki [A simplified version of the analytic hierarchy process based on non-linear convolution of criteria]. Computational Mathematics and Mathematical Physics, 2004, Volume 44, Number 7, pp. 1261-1270.
9. Pavlov A.N. Resheniye mnogokriterial'nykh zadach metody analiza iyerarkhiy [Solution multicriteria problems of the analytic hierarchy]. Moscow, RAGS, 2010, 166 p.
10. Nechayev Y.B., Kashchenko A.G., Kashchenko G.A., Semenov R.V., Nikolayev O.V. Formirovaniye i vybor variantov in fotelekommunikatsionnykh sistem na osnove morfologicheskikh i iyerarkhicheskikh metodov [The formation and selection of options infotelecommunication systems based on morphological and hierarchical methods] Computer Science and Technology: Proceedings of the Second International Meeting of Technical conference. Belgorod, GiKi, 2011. 288-293 p.
