МЕТОД ВIДНОВЛЕННЯ ВНУТРIШНЬОї СТРУКТУРИ ТРИВИМIРНОГО ТIЛА З ВИКОРИСТАННЯМ ТОМОГРАМ ТА МIШАНОї АПРОКСИМАЦIї Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.876.5

МЕТОД В1ДНОВЛЕННЯ ВНУТРШШЬСЛ СТРУКТУРИ ТРИВИМ1РНОГО TIJ1A 3 ВИКОРИСТАННЯМ ТОМОГРАМ ТА

MIIHAHOI АПРОКСИМАЦП

(с) Литвин О.М., Першина Ю.1.

УКРАШСЬКА 1НЖБНБРНО-ПБДАГОГ1ЧНА АКАДБМ1Я

ВУЛ. Уншерситетська, 16, м. Xapkib, 61003, Украша e-mail: academ@kharkov.ua

Abstract. In work the spatial problem of a computer tomography with use of tomograms which lay on system of mutually perpendicular planes with use blending approximations is solved. The offered method allows to smooth experimental data (tomograms) and has rather high accuracy. In article computing experiment for restoration of internal structure of a brain of the person with the help of operators blending approximations by Bernstein's polynoms is shown.

ВСТУП

Розглядаеться задача вщновлення внутршшьоТ стурктури (щшьносп, коефщен-Т8 иоглин8ння або послабления) тривиьпрного тша за допомогою шформацп про неТ у вигляд1 томограм, що задаш на доя к Hi систем! площин, яы перетинають об'ект досл 1дження« х _1,Я 38 Л 84 8 ВИНИК86 Н8 Пр8КТИЦ1 В ТИХ ВИИ8ДК8Х. КОЛИ СбрбД ИЛ ОТ ДИН ? як! входять в експериментальш дат, немае площини, що складаеться з того чи innio-го набору точок, яы щкавлять дослщника. Наприкад, Т8К8 38Д8Ч8 МО^Кб BTTH8KHVTTT теля того, як пащент пройшов дослщження на медичному томограф!. I теля аналь зу отриманих томограм, внннкае необхщттсь знайти за Тх допомогою ще одну чи

Д6К1ЛЬК8 Т0М0Гр8М В ПЛОЩИН8Х7 5ТК1 ПбрбТИН8ЮТЬ Т1ЛО Т8 HG СП1ВП8Д8ЮТЬ HI 3 }КОД~ НОЮ 13 38Д8НИХ ПЛОЩИН. В шнуючих томографах ця задача розв'язуеться тшьки у виадках, коли отрпман1 томограмп лежать на систем! паралельних площин. Такий же по, юл ¡к мають виоли пакети 3D i рафпш. иаприклад, 3D Мах.

Загальпий розв'язок задач1 вщповленпя виутртпьоТ структури тривим1рного тала за допомогою шформацп про неТ у вигляд1 томограм, заданих на систем! трьох груп перетинних площин, в кожнш з яких площини паралельш, був дан в роботах [1, 2]. Ця задача була розв'язана з використанням оператор1в штерфлетацп функ-i ц и трьох зм1нних Удивись визначення 1нтерфлетацп нижче) Треба вили пп п. що опе-ратори 1птерфлетащТ фупкщй е природп1м узагальиепиям оператор1в штерполяцп фупкщй трьох злиппих. Тому, як i у випадку inюрпо. iMiiiV. похибки в експеримен-ГИЛ 1)11ИХ Д8НИХ (в Д8Н0МУ ВИ1 ¡нлку. в томограмах) привносяться також i в оператори штерфлетацп. В математищ icnye альтернатива операторам 1нтерполящТ - оператори апроксимащТ. Це оператори, що побудоваш шляхом згладжуваипя екмперимеиталь-пих даних за допомогою полшом1в, ращоиальпих фупкщй, оплатив, тригонометрич-иих пол1ном1в, вейвлетав.

В ,ianiii стати пропонуеться новий метод вщновлення впуipinini.oV структури тривим1рного тша. В .мою, и проводиться згладжуваипя експериментальних даних

Метод вгдиовлеиия внутргшнъог структуры тривимгрного тгла

19

Рис, 1. Представления томограм Тк{х.у) у виглящ функтцй (де f(x,y,z) ттцльтсть або коефпцент поглинання чи послабления все-редит вказаного тривим1рного т1ла). Томограма Тк{х.у) IX С ДЗ^С Т? а* 13 Л & собою функтцю двох змшних слщ функтш f(x.y.z) на ттло-щиш U>k(x) = О

у вигляд1 тоомграм, заданих на систем! взаемно перпендикулярних ттлощин, за до-помогою оператор1в миттаноТ апроксиматш [3, 5|. Нижче наведет основт теоретичт положения методу, а та кож анал1зуються результата його реал1затцТ з використанням MimaHoT апроксиматш полшомами Бернтптейна.

1. OCHOBHI ВИЗНАЧЕННЯ

Нехай функтця f(x,y,z) трьох змшних представляв собою Щ1льн1сть три В И-MipHoro тша (чи коефпцент ПОЛИНяння. послабления) Та Задана система ПЛО-тдин Щ : u>k(x, у, z) = О, А: = 1. п.

Означення 1. Слщом функтш f(x, у, z) на ттлотцит Щ : Шк(х, у, z) = 0 будемо нази-вати функтцю двох змшних ¡fk(x,y) чи ¡fk(y,z), чи ¡fk(x,z), яка в кожтй точтц ixieY плотдини приймае таю ж значения, тдо й функтця f(x, у, z), тобто

/\ик = ,Ыик,к=Т^п. (1)

Означення 2. 1нтерфлетатцею функтш f(x.y.z) називаеться вущовлення (можли-во, наближене) функтш f\x.y.z) в точках \йж плотцинами Щ : u>k(x,y,z) = 0 за допомогою TT сльтдв (1) на них плотцинах.

Означення 3. Томограмою (рис. 1) на плотцит uJk{x) = 0 будемо називати одну з трьох функтцй:

(f{xk{y,z),y,z) i{x,y)

f(x, Ук{х, z), z) ; xk = < {x, z) f{x,y,zk{x,y)) 1(у,г)

2. ОПЕРАТОРИ АПРОКСИМАЦН 3 ВИКОРИСТАННЯМ ТОМОГРАМ

Нехай задаш три системи томограм на взаемно перпендкулярних площнах, яы отримаш за допомогою комп'ютерного томографу. Не зменшуючи загальпоста будемо вважати, що щ три групи площин паралельш кроординатним площинам, тобто маемо так! томограми:

1. Т1 = 1(хк,У,%), к = 1,п - томограми що лежать на площинах, перпен-дикулярних В1С1 Ох;

2. Т2/(.г. £) = /(ж, у1, £), I = 1, т - томограми що лежать на площинах, перпенди-КуЛЯрНИХ В1С1 Оу

3. ТЗр(х, у) = ¡{х, у, гр), р = 1, з - томограми що лежать на площинах, перпенди-КуЛЯрНИХ В1С1 О/.

Форму, ш для оператор1в апроксимацп по кожнш 1з шппшх будемо представляти у виглядн

L1 nf(x, y,z)=J2 glk(x) ■ T1 k(y, z)

m,

L2 mf(x, y,z) = -T2H-г.:-)

1=1

s

L3 sf(x,y,z) =^g3p(z) y),

P=1

де glk(x), g2i(y), g3p(z) - базисш апроксимацшш функцп

(узагальнеш пол!поми, ал™

гебршчш та тригонометричш сплайпи).

Оператори L1 „/, L2т/, L3sf д1ють на функщю f(x,y,z) за змшними х, у, £

В1ДПОВ1ДНО •

Оператор Minianoï апроксимацп будемо будувати у виглядн

О/^У;-2) = (Lln + L2m + L3S — LlnL2m — LlnL3s — L2mL3s + LlnL2mL3s)/(x, y, z) (2)

Теорема 1. Для похибки наближення Rf(x,y,z) = (J — 0)f(x,y,z) справедлива операторна р1вшсть:

Rf{x, у, z) = rlnr2mr3sf(x, y, z),

Д6 T\n — J T1^ f12— I T j25 Т'З^ — I T1^ I ТОТОЖН1И OllGpâTOp•

Теорема 2. Для оцшки похибки наближення функцп f(x,y,z) оператором Of(x,y,z) виконуеться нер1вшсть:

II/ - 0/||c[Q,ip = 0(е 1,е2, г3),£к ->• 0, к = 1,3, = Ш ~ Lln/)||c[o,i]3,

£2 = IK-f - L2m/)||C[0,1]3, е3 = ||(J - L3s/)||C[o,I]8-

Метод вгдновлення внутргшнъог структуры тривимгрного тгла

21

3. ОПЕРАТОРИ MIIHAHOl АПРОКСИМАЦН ПОЛ ГНОМАМИ БЕРНШТЕЙНА

Розглянемо вище викладену Teopiro на ириклад1 мшано'Т апроксимащТ за допо-

МОГОЮ ПОЛ1НОМ1В

Означення 4. Полшомами Бернштейна (або операторами степеня п

для функцп g(t) е С[0,1] одше'Т змшно'Т називаеться:

п ,

Bng(t) = J2ckJk(i-t)n-kg(-), (3)

к=О

п = к\{п-к)\

Означення 5. Операторами мшано'Т апроксимащТ полшомами Бернштейна

н азы в а,-

ються операторн вигляду:

Of(x,y,z) = (Bln+B2m+B3s—BlnB2m—B2mB3s—BlnB3s+BlnB2mB3s)/(:r, у, z), (4)

^ n

Bln = J2Cknxk(l-x)n-kTlk(y,z),

k=0 m

B2m = ^^ Clmy\l — y)m^lT2i(x, z),

1=0 ■s

p=0

n,m,s - кшыасть томограм, що розташоваш на площинах, яы перпендикулярш Bi-сям Ох, Оу, Oz вщповщно.

Теорема 3. Нехай Rlnf(x, у, z) = (I-Bln)f(x,y,z)1R2mf(x,y,z) = (I-B2m)f(x,y,z)1 R3sf(x,y,z) = (I — B3s)f(x,y,z) - похибки наблпження операторами Blnf(x,y,z), В2mf(x,y,z), ВЗsf(x,y,z) вщповщно. Тод1 похибка Rf(x,y,z) = (I — 0)f(x,y,z) на-ближення функцп f(x,y,z) оператором Of(x,y,z) визначаеться сшввщношенням:

Rf(x, у, z) = RlnR2mR3sf(x, у, z)

Прпчому оператор Of(x, у, z), впзначеннй р1вшстю (4) та побудованнй

на заданш стт-

стем1 томограм наблнжуе кожну функщю f(x,y,z) G С2,2,2(Е3), Е = [0,1] з похпбкою

Wf-Of^Odnms)-1).

Таким чином, теоретично при використаиш оператора мшано'Т апроксимащТ поль помами для в1дновлення внутр1шньо1 структурн трпвнмфного тша з

таею ж якстю достатньо меныно'Т кшькоста томограм, зроблених в систем! взаемно перпендикулярних площин.

В робота [4] для вщговлення тривим1рно'Т моде, ii головн людини при використаиш техшки в1зуал1зацп isosurface було використано 167 томограм, що лежать на площинах, паралельних однш координатнш площиш (рис. 2)

Рис. 2. Одна з 167 томограм, використаних в [4|

Рис. 3. Приклад зр1з1в головного мозку плотдинами: а) х = 0.5; б) х = 0.6; в) х = 0.8; г) х = 0.9.

Одним з недолтв методу, описаного в [4|, е те, тдо вш використовуе тшьки зр1зи в плотдинах, паралельних одтй плотдит. Вщмттмо, тдо хоч в [4| маються томограми в трьох система взаемно перпендикулярних плотдин, але для д1агностики використо-вуеться литпе одна з них систем.

Яктдо ж 1нформащя про внутриттнню структуру тривим1рного тьта задана на трьох взаемно перпендикулярних плотдинах, то техтка в1зуал1затш гзозиг/асе не може Тх використати.

4. ТЕСТОВИЙ ПРИКЛАД В1ДНОВЛЕННЯ ВНУТР1ШНЬ(Н СТРУКТУРИ ТРИВИМ1РНОГО Т1ЛА

Авторами був проведений обчислювальний 6КСП6рИМ6НТ ДЛЯ В1ДНОВЛ6ННЯ ВН~ туриттньоТ структури тривим1рного тьта за заданими томограмами з використанням запропонованого методу. В якост1 експериментальних да них були взят1 30 томограм, тдо лежать на систем! взаемно перепендикулярних плотдин (по 10 в кожтй) (рис. 3-5)

Припустимо, тдо тьто повтстю лежить в единичному куб1 [0.1]3 . Результата роботи обчислювального експерименту представлен! рис. 6-7.

3 рис. 7 ВИДНО, ЩО М ШПОНОК в ) бьтьттт 1нформативний, НХ-^К* ХНП1Х, ЩО XX1ДТВО виклэдвну вищв творхю.

Метод в1дновлення виугпрпииып структуры тривим1рного тма 23

Рис. 4. Приклад 3pi3ÎB головного б)у = 0.6; в) у = 0.8; г) х = 0.9.

в) г)

мозку плотдинами: а) у = 0.3;

а) б) в) г)

Рис. 5. Приклад 3pi3ÎB головного мозку плотдинами: а) г = 0.2; б)z = 0.3; в) г = 0.8; г) х = 0.9.

а)х = 0.52

3(1 1Û SO 3Ù ÏÛQ o)z = 0.86

Рис. 6. Результата вщновлення пцлъност1 f(x, у, z) запропонованим методом в плотдинах: (а) х = 0.52 м1ж томограмами, тдо розтатттоват в плотдинах х = 0.5, х = 0.6 (дивись рис. 3); (б) г = 0.86 м1ж томограмами, тдо розтатттоват в плотдинах г = 0.8, г = 0.9 (дивись рис. 5)

Висновки

Таким чином, в робот1 викладений новий метод вщновлення внтурнттньо1' структу-ри тривим1рного тьта за вщомими томограмами, тдо лежать на взаемно перпендику-лярних плотдинах, з використанням MimaHOÏ апроксимацп. Цей метод рекомендуеться

використовувати в тих випадках, коли експериментальт дат (характеристики томо-грам геометричт параметри плотдини, на яклй лежитъ томограма, а та кож зобра-ж6ння на томограмамх) зада Hi з похибкою, i коли класичт оператори штерполятш та штерфлеттш HG ЗГЛаДЖУЮТЬ ДаН17 8 ПОВТОрЮЮТЬ ВС1 похибки в експерименталъ-них даних. Запропонований метод мае високу точтсть, як i метод, тдо використовуе штерфлетащю функщй.

Автори вважають, тдо теля створення вьдповьдного програмного забезпечення, узгодженого з програмним забезпеченням на комп'ютерних томографах, тдо дштъ, викладет витде твердження може бути використана в медичтй практищ, а також при неруйтвному контрол1 на митницях, тотдо.

Список ЛИТЕРАТУРЫ

1. Литвин О.М., Першина ЮЛ. Математична модель вщновлення внутршшьоУ структури триви-MipHoro об'екта за вщомими його томограмами з використанням штерфлетапдУ функщй /'/ До-повуц НАНУ. - 2005. - №1. - С. 20-24.

2. Литвин О.М., Першина ЮЛ. Математична модель вщновлення тривим1рних об'екл1в за Ух томограмами на систем! трьох груи перер1заних млощин з використанням штерфлетапдУ функпдУ /'/ Доповуц НАНУ. - 2005. - №8. - С. 67-71.

3. Литвин О.М. 1нтерлшапдя функщй та деяю ТТ застосування. - X.: Основа, 2002. - 544 с.

4. Anders Backman. Visualisation of Positron Emission Tomography (PET) scan data. A Master thesis, Department of Computing Science - Umea University, Sweden, Aug 1998. - 37 p.

5. Oleg N. Lytvyn Interlineation and interflatation functions of many variable (blending function interpolation) and economical algorithms in the approximation theory. In Book. Computational methods. Part 2. (G.R.Liu, V.B.C. Tan, X Han-editors) pp. 1105-1110.

Рис. 7. Результата вьдновлення ттцльност! /(x, у, z) запропонованим методом в плотдит х + у + 10 z = 0: (а) яктдо задат томограми, тдо лежать на плотдинах, паралельних тшьки Bici Оу\ (б) яктдо задат томограми, що лежать на площинах, паралельних т1льки bici Oz>\} ^в^ якщо задан! томограми, тдо лежать на взаемно перпендикулярних плотдинах.

Статья поступила в редакцию 19.04-2008