Построение кусочно-биленейных сплайнов для приближения функций с разрывами первого рода в узлах ректангуляции двумерной области Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.6

ПОБУДОВА КУСКОВО-Б1Л1Н1ЙНИХ СПЛАЙН1В ДЛЯ НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦ1Й 3 РОЗРИВАМИ ПЕРШОГО РОДУ У ВУЗЛАХ РЕКТАНГУЛЯЦП ДВ0ВИМ1РН01 ОБЛАСТ1

© Литвин О. М., Першина Ю. I.

украшська 1нжбнбрно-пбдагог1чна акадбм1я бул. уншерситетська, 16, м. харкш, 61003, украша e-mail: academ@kharkov.ua

Abstract. In the paper the general method of construction of piece-bilinear inerpolational splines which can have ruptures of the first sort on borders between rectangular elements with the parties parallel to axes of co-ordinates is offered. These results are offered to be used for approach of explosive functions from two variables, which too can have (and can and not have) ruptures of the first sort on the specified lines.

Вступ

Загальнсшдомими e результата Teopi'i наближення функцш полшомами або сплайнами, яю е неперервними або диференцшовними до деякого порядку включ-но ([1]-[4]). В той же час практика вимагае умшня створювати математичш модел1 внутр1шньо1 структури 3D ти в заданих площинах за умови, що функщя f (x,y), яка описуе цю внутршню структуру у точках площин мае розриви першого роду на деякш систем! лшш. Наприклад, в методах комп'ютерно!' томограф!!' на даний час нще не впкорпстовуеться шформащя про внутринню структуру тша людпнп (шлу-нок мае одну форму i вщповщну щшьшсть його тканин, печшка мае шшу форму та iiiniy щшьшсть його тканин, шдшлункова залоза мае свою форму та щшьшсть ТКШ1ИН, хребет мае свою щшьнкть тощо).

Весь розвпток обчислювально!' та прикладно!' математики говорить про те, що використання кожно!' додатково!' 1нформащ1 про дослщжуваний об'ект може привести до бшын точного i яюсного вщновлення цього об'екту. 1чpi м того, наведемо наступний приклад. В мехашщ твердого тша одшею i ; складнпх задач е задача до-слщження трщин у BHyTpiniHix точках тша, тобто таких включень у внутршшх точках тша , в яких вщсутнш ма rcpia. 1. з якого складаеться тшо. Можна сказати, що таке тшо мае щшьнкть, яка е розривною: за межами трицини одна щшьнкть, в областа, обмеженою стшками трицини - шша щшьшсть.

Тобто актуальною е розробка та дослщження Teopi'i наближення розривних функцш за допомогою розривних функцш.

В роботах [5, 6] авторами був розроблений метод наближення розривних функцш одше! змшно1 розривними сплайнами, що використовуе метод мшмакса. Робота [7] присвячена узагальненню результате попередшх po6iT на випадок наближення ро-зрпвно! функцй двох змшних за допомогою розривних штерлшацшнпх сплайшв двох змшнпх для випадку, коли розриви першого роду наближувано! функцй' та розриви першого роду наближуючих сплайшв розмицеш в точках прямих, паралельних осям координат.

В данш робота вперше пропонуеться загальних пщхщ до побудови кусково-бшшшних сплайшв, яю можуть мати розриви першого роду на границях м1ж пря-мокутнпмп елементами 3i сторонами, паралельними осям координат. Щ результати пропонуеться використовувати для наближення розривних функцш В1Д ДВОХ ЗМ1Н-них, яю теж можуть мати (а можуть i не мати) розриви першого роду на вказа-них .пшях. Будемо вважатп, що область наближення iioisnicпо розмицена в квадрата D = [0,1] х [0,1].

Постановка задачг. Нехай в областа D задана розривна функ-щя f (x,y) та задане деяке розбиття на елементи (прямокутни-ки) nij} = [xi, Xi+i] х [yj ,yj+x], 0 = Xo <xi < ... <xm = 1, 0 = yo < yi < ... < yn = 1. Вважаемо, що на кожному з вщр1зюв, яю е спшьними для двох сусщшх прямо-кутнишв ni;j та ni;j+i або ni+ij, або ni+lj+l функщя f(x,y) може мати розриви першого роду, причому в кожнш точщ (xi,yj) може бути задано чотири р1зних значения наближувано!' функцй':

C++ = lim lim f (x,y),C—+ = lim lim f (x,y),

x—xi+0 y—^yj +0 x—xi-0 y—^yj +0

C+- = lim lim f (x, y), C-- = lim lim f (x, y)

'J x—xi+0 y—yj—0 'J x—xi-0 y—yj—0

IIoTpiÖHO побудувати наближуючий розривний кусково-лшшний сплайн для задано!' розривно! функцй f (x,y).

1. Опис методу наближення

Побудуемо за допомогою вказано! шформацп в кожному з елементав П^- штер-поляцшний бшшшний полшом у вигляд1

Pj (x,y) = C++ ^^ ^^ + C+j + (1)

xi — xi+i yj — yj+i xi+i — xi yj — yj+i

"y+- x ~ xi+i y ~ yj , Г1----x ~ xi y — yj ■ 1- • 1-

4j+i--+ Ci+l,j + i--,г = 1,m,J = 1,П

xi — xi+i yj+i — yj xi+i — xi yj+i — yj

Лема. Функцгя в(х,у) = р— (х,у), (х,у) Е Пг— С Бе розривною функщею бглгнгйною в кожному з елеменгтв розбиття з наступними властивостями:

Ит 8(х,у)= р— (х+ ,у), Ит 8(х,у)= р— (хг,у),

х—ух ■1+1 —и х—хг+о

Ит 8(х,у)= р— (х,у—+1)' Ит 8(х,у)= р— (х,у—).

У—У]+1 —О У—У] +0

Доведения очевидным чином витакае з представления функгщ в(х,у) = р—(х,у).

Означенна. Функщю в(х,у) будемо називати розривним бшшшним сплайном на прямокутнш сищ.

Зауваження. Якщо С++ = С——+ ,С++1 = С~~+11 то та лш1 х = хг сплайн в(х,у) е неперервною функщею для кожного у, у— < у < у—+1. Якщо ж для вс1х точок (хг,у— виконуються р1вноста С++ = С——+ = С+- = С—-, то в(х,у) Е С (Б) 1 буде класичним бшшшним сплайном на вказанш сищ вузл1в.

Теорема 1. Якщо f (х,у) мае розрпвп першого роду у деякпх точках (хг,у—) та f (х, у) Е Сг'г{Пг—= = 1,п,г = 1, 2 то з^пшок наближення функгщ f (х,у)

бшшшним иолшомом

2 2

Б(х,у) = ^ (хг' у— )кг(х)к— (у)'

г=1 —=1

/V» _ /V» /V» _ /V»

, ( = х Х.+ 1 ь ( _ х хг И1(х) — -,112(х)

хг хг+1 хг+1 хг

в кожному прямокутнику буде мати вигляд:

Хг+1 У] + 1

ЯБ(х,у)= I У f(г'г)(С'<п)С1(х,0С2(у'<пнЛП' (х,у) Е Пг—, (2)

хг у]

С ( С) I (х) ^¡——{у. 1 ,хг < С < х < хг+1

С1(х'?) = ^ ,(х- + 1- ¿)Г-1 '

-Ых) ¡++г—1),— ,хг < х < С < хг+1 , (у] —п)г

г, ( , I ^1(у) 1—1), ' у— < П < у < у—+1

(г

-^(у),у— < у < п < у—+1

Доведения. Скористаемося формулою, ЯКс1 ВИВ6Д6Нс1 в робот1 [7]

2 2

rx

RS (x,y) = f (x,y) - S (x,y) = f {x,y) - fx,yj )hi(x)hj (y)

i=1 j=1

2 2 x у

£ £ hi(x)hj (y) / / ¡г^е^Ч

Оскшьки ми маемо справу з прямокутним елементом П ,j , то ця формула запишеться у вигляд1 формули (2) i3 врахуванням властивоста штеграла

x X i+1

I fr,(e,4){x\;°1)")de = - J f^(ev^-0^de

i+1 x

Xi+1 x

i f,r'r,(e,v){x)-^T1 de = if,r'r,(e,v){x:-e

x

та

(r - 1)! s J J " (r - 1)!

x

i+1

(r,r,(t (xi e)( 1

-J f[r'r ^vV (r -1)! de

x

Теорема 1 доведена. □

Теорема 2. Якщо f (x,y) e C,r<r) (П , j) l мае розриви першого роду у деяких точках у BClx) (x+, yj) у ТО 1СНуЮТЬ TcXKl ЗНсХЧвННЯ C+j у C'i-+-i jy C+j+1, C-+i j+ij що

(x,y) - s(x,y)\\a,D, = 0(Д; + A2),

Ai = max (x++i - x+), Д2 = max (yj+i - yj)

0<i<m 0<j<n

Vf (x,y) e C,r'r,(nij), Vn+j С D,r = 1, 2 Доведения. Покладемо у формул! (1)

C+j+ = f (x+ + 0,yj + 0),C-++ij = f (x++i - 0,yj + 0)

C+j-+i = f (xi + 0 yj+i - 0) c-ij+i = f (xi+i - 0,yj+i - 0)

Звертаемо увагу, що оператор p+j(x,y) можна зобразити в цьому випадку у вигляд1

Pij (x,y) = Pij f (x,y) = E1+E 2j f (x,y), x - xi+i x - xi

E 1if (x,y) = —f (xi,y) +-f (xi+i,y),

xi xi+i xi+i xi

E 2j f (x,y) = У-^ f (xy) + ^^ f (x,yj+i).

yj - yj+i yj+i - yj

Тому

/(x, У) - Pij / (x, y) = (I - EUE2j)/ (x, y) = ((I - EU) + (I - E2j)--(I - EU)(I - E2j))/(x,y) = (R1 + R2 - R1R2)/(x,y), R1f (x, y) = (I - E 1г)/(x, y), R2f (x, y) = (I - E2j)/(x, y). Ощнимо похибку наближення в HopMi C(D) через ощнки в C)

\\f (x,y) - Pij / (x,y)\\c(D) = \\R1f (x,y) + R2f (x,y) - R1R2/(x,y)\\c(D) =

= O(A[ + A2 + A[A2),

Ai = max (x+ - xi), A2 = max (yj+l - yj).

0<i<m 0<j<n

При малих Аг та А2 останшм доданком можна знехтувати.

Теорема 2 доведена. □

Для знslxoд ження нбвщомих C++ Ci_++ р C+jCi+i j+i ^ Дс1Н1и робот! пропо~ нуеться використовувати метод найменших квадратав, зидно з яким Bci невщом1 знаходяться з умови

J(C)= Е Sf[f(

x,y) - Pij(x,y> C)]2dxdy ^ ти

nij CD nij

2. Приклади

Приклад 1. Нехай m = 2, n = 2, xi = 0,x2 = 0.5, x3 = 1, уг = 0,y2 = 0.5, y3 = 1 Тобто область ВИЗНсХЧбННЯ наближувано! функгщ (рис.1) складаеться з чотирьох иря-мокутних с. к'мснтт. як1 задаються наступним чином:

Пи = {(x,y) : xi <x <x2,yi <y < У2}, П-12 = {(x,y) : xi <x <x2,y2 <y< Уз}, П21 = {(x,y) : x2 <x <x3,yi <y< y2}, П22 = {(x,y) : x2 <x <x3,y2 <У< Уз}. Задамо функщю /(x,y) з розривами першого роду у вузлах задано! прямокутно! стки (рис.2)

/

x + У, (x, y) е Пи x - y, (x,y) е П12 -x + y, (x, y) е П21 -x - y, (x, y) е П22

f (x,y)

П12

Пп я ю

-►

Рис. 1. Область ВИЗН&Ч6ННЯ наближуваноТ функцп /(х,у)

В цьому випадку маемо п'ять точок, в яких побудована функтця мае розриви пертттого роду

/"+(0.5, 0) = 0.5,/++(0.5, 0) = -0.5, /+"(0, 0.5) = 0.5, /+"(0, 0.5) = -0.5, /""(0.5, 0.5) = 1, /"+(0.5, 0.5) = 0, /++(0.5, 0.5) = -1, /+"(0.5, 0.5) = 0, /""(1, 0.5) = -0.5,/"+(1, 0.5) = -1.5, /""(0.5,1) = -0.5, /+"(0.5,1) = -1.5

/(х, у)

В кожному розглянутому прямокутному елемента побудуемо бшшшний штерпо-ляцшний сплайн

S (x,y,C)

Sn(x,y, C), (x,y) e Пп Si2(x,y, C), (x,y) e П12 S21 (x, y, C), (x,y) e П21 S22(x,y,C), (x,y) e П22

де, наприклад,

Sn(x,y,C ) = C++

(x - 0.5)(y - 0.5)

+ x(y - °.5) — C2,1

+-(x-Otyy xy

— c1,2 FTT^ г c2,2

0.25 0.25 0.25 0.25

Полшоми S12(x,y,C), S21(x,y,C), S22(x,y,C) визначаються аналоично полшому S11(x,y, C), використовуючи формулу (1), де C матриця невщомих коефщентав:

C

++ -+ +-

i c1,1 c2,1 C 1,2

++ -+ +-

C 1,2 C2,2 C1,3

C++ c—+ C +-

C2,1 C3,1 C2,2

\C2+i C;

c2,2

C C

2,3

3,2

-+ +3,2 C2,3

C3-,3-

Дал1 за методом найменших квадрапв розглянемо вираз

F (C) = JJ(/(x,y) — S (x,y,C ))2dxdy = JJ(/ (x,y) — S (x,y,C ))2dxdy+

D П11

+ Л(/ (x,y) — S (x,y,C ))2dxdy + Л(/ (x,y) — S (x,y,C ))2dxdy+

П12

П21

+

JJ(/(x, y) — S(x, y, C))2dxdy

П22

Треба знайти таю елементи матрищ C , щоб вираз F(C) набував мшмального значения, тобто треба розв'язати мшм1зацшну задачу F(C) ^ min. Ця задача була розв'язана в систем! комп'ютерно!' математики MathCad та була отримана наступна матриця коефщентав

C

Шсля П1Д С Тс! н о в к и цих коефщентав у визначений вище бшшншний S(x, y, C) /(x, y)

( 0 0.5 0.5 1

0.5 0 —1 —0.5

0.5 —1 0 —0.5

\ —1 —1.5 —1.5 —2

бкпншний сплайн вущовив точно задану кусково-лшшну розривну функщю двох змшних.

Приклад 2. Нехай на областа, визначенш в приклад! 1 задана функщя f (x,y) з розривами першого роду у вузлах задано!' прямокутно! сики

/

x2 + y2, (x,y) е Пц

\ x2 - y2, (x,y) е Пи f (x, y) =

-x2 + y2, (x,y) е П21 —x2 - y2, (x,y) е П22.

В цьому випадку також маемо п'ять точок, в яких побудована функщя мае ро-зриви першого роду

f-+(0.5, 0) = 0.25, f++(0.5, 0) = -0.25, f+-(0, 0.5) = 0.25, f+-(0, 0.5) = -0.25, f--(0.5, 0.5) = 0.5, f-+(0.5, 0.5) = 0,f++(0.5, 0.5) = -0.5, f+-(0.5,0.5) = 0, f--(1, 0.5) = -0.75, f-+(1, 0.5) = -1.25, f--(0.5,1) = -0.75, f+-(0.5,1) = -1.25

В кожному розглянутому прямокутному елемента побудуемо бкпншний iHTep-поляцшнпй сплайн S(x,y,C) у вигляд1, представленому в прпклад1 2, з матрицею невщомих коеф1цкнт1в. Дал1, застосовуючи метод найменших квадратав, розв'язуемо мшм1зацшну задачу

F(C) = j]'(f (x, y) - S(x, y, C))2dxdy ^ min

D

Ця задача була розв'язана в систем! комп'ютерно! математики MathCad та була отримана наступна матриця коефщкнтав

/-0.083 0.167 0.167 -0.083\

= -0.25 0 -1 -0.75

= -0.25 -1 0 -0.75

\—0.417 -1.167 -1.167 -1.917/

Тобто бшш1йний наближуючий сплайн набувае вигляду, представленому на рис.3.

Рис. 3. Графачний вигляд наближуваноТ функцп f (x, y) (свштий кол1р) та наближуючоТ функцп S(x,y), що визначет на прямокутрих елемен-тах: а) Пм; б) П^; в) Щд; г) П2;2

Дал1 визначимо максимальне вщхилення наближуваноТ функцп f (x,y) вщ побу-дованого бшшшного сплайну S(x,y):

max \f (x, y) — S(x, y)| ~ 0.064. Висновки

Таким чином, в данш статт1 запропоновано метод побудови розривних битшш-них сплайшв для випадку. коли область визначення дослщжуванот функтщ розбита на прямокутш елементи i дослщжувана функтця може мати розриви пертттого роду литтте на сшльних сторонах м1ж елементами розбиття. Дал1 автори планують роз-робити та дослщити метод наближення розривнот функтщ розривними сплайнами, коли 11 область визначення розбита на трикутш елементи. i м1ж цими елементами наближувала функтця може мати розриви пертттого роду.

СПИСОК Л1ТЕРАТУРИ

1. Корнейчук Н.П. Сплайны в теории приближения / Н.П. Корнейчук. - Москва: Наука, 1984. -352 с.

2. Стечкин С.Б. Сплайны в вычислительной математике / С.Б. Стечкин, Ю.Н. Субботин. - М.: Наука, 1976.

3. Завьялов Ю.С. Методы сплайн-функций / Ю.С. Завьялов, Б.И. Квасов, В.Л. Мирошниченко. -М.: Наука. 1976.

4. Василенко В.А. Сплайн-функции: теория, алгоритмы, программы / В.А. Василенко. - Новосибирск; Наука, 1983.

5. Литвин О.М. Наближення розривноТ функцп одшеТ змшноТ, використовуючи метод мшмакса / О.М. Литвин, ЮЛ. Першина // Обчислювальш методи 1 системи перетворення шформацп: Пращ науково-техшчноТ конференцп (7-8 жовтня 2010р.). - Льв1в. - 2010. - С.52-55.

6. Литвин О.М. Наближення розривноТ функцп за допомогою розривних сплайшв / О.М. Литвин, Ю.1. Першина // Математичне та комп'ютерне моделювання. Сер1я: Ф1зико-математичш науки: зб. наук, праць. - Кам'янець -Подшьський: Кам'янець-Подшьський нацюнальний ушверситет 1м. 1вана Опенка, 2010. - Вип.З. - С. 122 - 131.

7. Литвин О.М. Наближення розривних функцш двох змшних розривними сплайнами (прямокутш елементи) / О.М. Литвин, ЮЛ. Першина // «Теор1я прийняття рппень»: пращ V м1жнародноТ школи-семшару, 27 вересня-1 жовтня 2010р., Ужгород. - 2010 - С.141 - 142.

8. Литвин О.М. Интерполирование функций: Учеб. Пособие / О.М. Литвин. - Киев: Учеб.-метод, каб. ВЫСШ. образования (УМК ВО), 1988. - 31 с.

Статья поступила в редакцию 02.02.2011