Наближення розривних функцiй двох змiнних розривними сплайн-iнтерлiнантами з використанням трапецевидних елементiв Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.6

НАБЛИЖЕННЯ РОЗРИВНИХ ФУНКЦ1Й ДВОХ ЗМ1ННИХ РОЗРИВНИМИ СПЛАЙН-1НТЕРЛ1НАНТАМИ 3 ВИКОРИСТАННЯМ

ТРАПЕЦЕВИДНИХ ЕЛЕМЕНТ1В © Литвин О. М., Першина Ю. I.

украшська 1нжбнбрно-пбдагог1чна акадбм1я бул. уншерситетська, 16, м. харкш, 61003, украша e-mail: academ@kharkov.ua

Abstract. In work the general method of construction explosive a spline-interlination for rectangular element having the trapeze form for the purpose of their use for approach of explosive functions of two variables is offered, which too can have (and can and not have) ruptures of the first sort on the lines forming rectangular elements having the trapeze form. The constructed splines as a special case, explosive splines and continuous splines include. Are formulated and proved interlinational properties of such explosive designs.

Вступ

На данпп час основна увага в Teopi'i наближення функцш багатьох змшнпх сплайнами придшена наближенню неперервних i диференцшовних функцш неперервними та диференцшовними сплайнами [1-4]. В той же час практика показуе, що серед багатовим1рних об'ектав, яю потр1бно дослщжуватп, значно бшына i'x кшьккть опи-суеться розривними функщями. Наприклад, в методах комп'ютерно!' томограф!!' на даний час не достатньо е дослщженпм впкорпстання шформагщ про те, що внутрин-ня структура тша людини складаеться з оргашв pi3Ho'i форми та pi3Ho'i щшьноста, тобто ми маемо розривну функщю. При доопдженш кори Земл1 за допомогою даних з кершв свердловинного буршня виникае задача вщновлення внутршшьоТ структури м1ж свердловинами. При цьому очевидним е той факт, що щшьшсть i рун гу в р1знпх точках кори е неоднородною i найчасташе мае розриви першого роду при переход! вщ одн1е1 складово!' кори до iHnio'i (чорнозем, nicoK, глина, гран1т тощо. Тому актуальною е розробка метод1в наближення розривних функцш.

Весь розвиток обчислювально!' та прикладно!' математики говорить про те, що ви-користання кожно1 додатково!' 1нформащ1 про дослщжуваний об'ект може привести до б!лын точного i як!сного вщновлення цього об'екту. Наприклад, в робота [5] про-понуеться використовувати р1вняння поверхн1 черепа людини i, таким чином, бшын ТОЧНО В1ДНОВЛЮВЯТИ ВНутр1ШНЮ Структур TlJlcl.

В статт1 [6] авторами були побудован1 розривн1 л1н1йн1 1нтерполящйн1 сплайни для наближення функцш одше! змшно!, що може мати розриви першого роду. В

робота [7] був запропонований метод наближення розривних функщй ДВОХ ЗМ1ННИХ з ректангульованою областю визначення розривними штерполяцшними бшшшнпмп сплайнами.

Розроблеш методи в подалыпому будуть використовуватися для розв'язання плоско!' задач1 радошвсько! комп'ютерно! томограф!!'. Для цього дощльнине вико-ристовувати оператори штерлшагщ функщй, оскшьки щ оператори вщновлюють функгщ (можливо, наближено) за вщомими 1'х слщами на данш систем! лшш. Тобто, вони надають можливкть будувати оператори, штеграли вщ яких по вказаних лшях (лшшш штегралп) будуть дор1внювати штегралам вщ само! вщновлювано1 функщ1. Звщси вптакае, що штерлшащя е математичним апаратом, природно пов'язаним ¿з задачею вщновлення характеристик об'ектав за вщомими 1х проекщямп. В робота [8] був запропонований метод наближення розривних функщй двох змшнпх з ректангульованою областю визначення розривними штерлшацшними сплайнами. Були також побудоваш розривш штерлшацшш сплайнп для наближення функщй ДВОХ ЗМ1ННИХ-область визначення яких розбиваеться на прямокутш трикутники [9].

В данш робота будуються та дослщжуються штерлшацшш розривш сплайни для наближення розривних функщй з областю визначення ^ ТЦО розбиваеться на прямокутш трапещ1 та прямокутш трикутники.

Постановка задачг. Нехай задана розривна функщя двох змшнпх /(х,у) в областа Б = [0,1]2. Будемо вважатп, що область Б розбиваеться прямими хо = 0 < XI < х2 < ... < хт = 1, уо = 0 < у\ < у2 < ... < уп = 1 на прямокутш елементи, а кожний прямокутник розбиваеться похилою л шею на прямокутну трапещю та прямокутний трикутник. Трапегщ та трикутники не вкладаються один в один, а 1х сторони не перетинаються. Функщя /(х, у) мае розриви першого роду на границях м1ж цими трапещями та трпкутникамп (не обов'язково м1ж вшма).

Метою роботи е побудува та дослщження оператор1в розривно! сплайн-штерлшащ! таких, яю в кожнш трапещ! е операторами сплайн-штерлшащ1 функ-

/(х, у)

1. Метод побудови навлижуючого розривного

СПЛАЙН-1НТЕРЛ1НАНТА

Якщо (хг,уу) — вузол, в якому знаходиться прямий кут прямокутника, то може зустртися чотпрп тппп трапецш (рис. 1):

ТР(1) = {х <х < хг+1,у] <у< д]+1(х)}, Тр(2) = {х-г < х < хг,уу <у < д]+1(х)}

г] ^г ^ ^ ^ -^г+ц у у у И ] + 1 ^ г]

ТР(3) = {хг < х < хг+1, д(3)1(х) < у < уу}, ТР(4) = {хг < х < хг+1, д^(х) <у < уу},

ТР(5) = {х <х< д(+1(у),уз <у< Уз+г}, ТР(6) = {д—{у) <х<хьуу <у< у+},

(7) (7) (8) (8)

ТРг/ = Ы-1(у) <х <хг, уз -1 <у< уз } ТР3 = {х г <х < Я1+Лу),уз-1 <у <уз }

Рис. 1. Зображення можливих трапедевидних елеметтв з прямим ку-

ТОМ у вуэл1 (хг,уз)

Вважаемо, що на кожнш ¿з сторш заданих трапецш функц1я /(х, у) може мати (а може 1 не мати) розриви першого роду. Розглянемо трапец1ю типу ТР(1). Вважаемо заданими:

1. Слщи функщ1 /(х, у) на прямш х = хг (справа Т& зл1в£ь прямо! вщповщно) I

ФРг (у)= Ит / (х,у) = / (хг + 0,у),

x—Xi+0

Фтг(у)= Ит /(х,у) = /(хг - 0,у).

Х—Х1-0

Значения в кутових точках (хг,уз) та (хг, дз+_1(хг)) визначаються наступним чином:

ФРРгз = ФРг(уз) = /(хг + у3 + 0),

фРтг,з+1 = ФРг(д(+1(хг)) = /(хг + °,д)+1(хг) - 0)-2. Слщи функщ1 /(х, у) на прямш х = хг+1 (справа Т& Зл1в<1 ПрЯМО! ВЩПОВЩНО) I

(1)

ФРг+1(у) = Ит / (х,у) = / (хг+1 + 0,у),

х—х;+1+0

Фтг+1(у)= Ит / (х,у) = / (хг+1 - 0,у).

х—ух^+1 —0

Значения в кутових точках (хг+1,уз) та (хг+ь дз+^х^)) визначаються наступ-ним чином:

фШРг+1,з = фРг+1 (У] ) = I' (хг+1 - 0, у, + 0),

фттг+1 ,3+1 = фтг+1(дЗ+1(хг+1)) = f (х+ - 0, д^^О - 0)-

3. Слщи фуНКЩ1 f (х,у) Пс! прям!и у — Уз ^п&д Тс! п!д прямою в!дПОв1дНО^!

фРз(х) = Ит, п f (х, у) = (х, Уз + 0),

У^У] +0

Фт(х) = Ит f (х,у) = f (х,уз - 0),

У^У]-0

та значения у вщповщних кутових точках:

ФРРг,3 = ФРз х) = f х + 0, уз + 0),

фтрг+1,3 = фРз(хг+1) = f (хг+1 - 0, уз + 0).

4. Слщи функщ1 f (х,у) на прямш у = дз+1(х) (пщ н&д прямою вщповщно)!

фтз+1(х) = (х,д{1+1(х) - 0),

фРз+1(х) = f (х, дз+1 + 0) та значения у вщповщних кутових точках:

фРт^,з+1 = фту+1(х^) = f х + 0,д(+1(хг) - 0),

фттг+1 +1 = фтз+1(хг+1) = f (хг+1 - 0,д|+) ^хг+1) - 0).

Означенна. Будемо називати розривним штерлшацшним по. пнохпа. н.нпм сплайном в трапецевидному елемента ТР^1 ^ наступну функщю:

Lf (х,у) = (Ь1 + L2 - L2Ll)f (х,у), (1)

/V» _ /V» . /V» _ /V» .

т £ / \ г+1 / \ I г / \

L1f (х,у) = ---ФРг(у) + ---фтг+1 (у) )

хг хг+1 хг+1 хг

у _ уз , ( , , у - дз+1(х)

т-Фщ+1 (х) +--т^-

д)+1(х) _ уз уз_ д)+1(х)

/(х, у) ЗЯДОВОЛЬНЯЮТЬ СП1ВВ1ДНОТП6ННЯМ1

Ь2/(х,у) = (1) ]-фтз+1(х) + -фРз(х)-

ФРРгз = фрргз, фтрг+1,з = фтрг+и, фртг ,з+1 = фртг з+1,фттг+1, + = фттг+1, з+1,

то оператор (1) штерлшуе /(х,у) на дТР(з1'>: Ь/(х,у)\дТ-р(:) = /(х,у)\дТ-р(:), тобто

г] г]

Ь/(хг,у) = ФРг(у),Ь/(хг+1,у) = фтг+1(у) , (2)

ь/(х,уз) = фРз(х),ь/(х,д(11(х)) = Фтз+1(х)- (з)

Доведения. Щоб перев1рити виконання цих умов, знайдемо

Ь2Ь1/(х,у) = Ь2 { Х _1 ФРг(у) + х х Фтг+1(у) ) \хг хг+1 хг+1 хг }

у - уз

д<(+1(х) _ уз

+ у _ дз+1(х)

Ч/у _ ^у . 1 /"у _ /У' ■

^ г+1 / \ . ^ ^ г

—--ФРг(у) +-—

хг хг+1 хг+1 хг

/V» _ /V» . /V» _ /V» .

«о г+1 г

—--фртг+1,з +---—фттг+1,з+1

хг хг+1 хг+1 хг

+ (4)

(1)

1 ' ' 1 /V» _ /V» . /V» _ /V» .

•^г^Ы г

ФРРгз +--фтрг+1,з

уз _ дз+1(х)

хг хг+1 хг+1 х'

Перев1римо виконання умов (2), (3):

ь/(хг,у) = ь1/(хг,у) + Ь2/(хг, у) _ Ь2Ь1/(хг, у)

(у) + (1у у-фтз+1(хг) + у—дз+ фРз (хг)-

д)+1(хг) _уз уз_ д)+1(хг)

у_уз у_д%1(хг) ,,

фРтг+1з--(1) фРРг,з = ФРг(у),

д<}+1 (хг) _ уз" уз _ д)+1 (хг)

оскшьки з умови теореми маемо, що фтз+1(хг) = фртг з+1 = фртг з+1 та ФРз (хг) = фррг,з = ФРРг

ь/(хг+1 ,у) = ь1/(хг+1,у) + Ь2/(хг+1,у) _ Ь2Ь1/(хг+1 ,у)

у _ уз у _ д(+1(хз+1)

Фтг+1(у) + ^^---фтз+1(хг+1) +-^-- фРз (хг+1)_

д)+1(хг+1) _ уз уз _ д)+1(хг+1)

У - Уз у - д)+1(хг+1) , ,

---фттг+1 з з+1--^-- фтрг+1 ; ) = фтг+1(У),

д)+1 (хг+1) - Уз Уз - д)+1 (хг+1)

оскшьки з умови теореми маемо, що фт)+1(х+) = фттг+1 )+1 = фттг)+1 та ф'Р) (хг+1) = фтрг+1)) = фтрг+1 ;).

Ь/ (х,У)) = ¿1/(х,У)) + Ь2/(х,У)) - Ь2Ь/(х,У)) =

/V» _ /V» /V» _ /V»

г+1 / \ . г / \ .

= ---ФРг(У) ) + ---фтг+1 (У) ) +

хг хг+1 хг+1 хг

/V» _ /V» . /V» _ /V» .

, ч х х г+1 х х г , ч

+фР) (х)----фррг)----фтрг+1) = фр) (х).

хг хг+1 хг+1 хг

Ь/(х,д)((1))(х)) = ¿1/(х,д)1)(х)) + ¿2/(х,д)1)(х)) - Ь2Ь/(х,д)1)(х)) = 'х хг+1 , (1- / \ \ 'х 'хг

ФРг (д)+- 1(х)) + —- — фтг+1 (д)+- 1(х)) +

хг хг+1 хг+1 х

/V» _ /V» . /V» _ /V» .

, / ч х х г+1 х х г -. , ✓ ч

+фт)+1 (х)----Фртг+1 )---—фттг+13+1] = фт)+1 (х).

хг хг+1 хг+1 хг

Таким чином, перев1рено виконання штерлшацшних властивостей (2), (3) оператора (1).

Теорема 1 доведена. □

Зауваження. Перестановшсть оператор1в вщсутня, тобто Ь1Ь2 = Ь2Ь1.

Для знаходження загального вигляду залишкового члена та його ощнки ско-ристаемося результатами роботи [10], в якш представлений залишковий член для наблпження неперервно!' функгщ трьох змшнпх оператором штерфлетагщ на пара-лелешпед1 з криволшшною гранню.

Теорема 2. Нехай виконуються умови теореми 1, то, и для залишкового члена Я/(х,у) = (I — Ь)/(х,у) впконуеться р1вшсть

Я/(х,У) = ЕЕ р1 к (х)Р2т(х,У) [ / /Ш (С,п){хк( 1 ^ (5)

к= т=1 хк уХ- ур ш

1 < Р,Я < 2 У1(х) = У), у2(х) = д)+- 1(х^ а полшомп Р1 кк(х), Р2тт(х,у) мають

/V» _ /V» . /V» _ /V» .

Р1 д(х) = - ^ ,Р1 , 2 (х) = ,

хг хг+1 хг+1 хг

х у

у - У) » („„ \ _ у- д)+1(х)

Р2,1(х, У) = (1--, Р2 ,2(х, У) - (1- ■

д)+1(х) - У) У)- д)+1(х)

Доведения. Спочатку зауважимо, що оскшьки одна ¿з сторш трапегщ ТР( - задана функщею вщ змшно1 х, то Ь1Ь2 = Ь2Ь1. Використаемо р1вшсть

1 - (1 - гх)(1 - ¡2) = ¡1 + ¡2 - 1212,

де ¡1,12-деяк1 дшсш числа.

Шдставимо замкть 1 тотожнш оператор I, а замкть чисел ¡1, ¡2 оператори Ь1; Ь2

В1ДПОВ1ДНО.

I - (I - Ь1)(1 - ¿2) = ¿1 + ¿2 - ¿2Ь1 = Ь,

тобто отримали оператор (х,у).

Тод1 для залишку Я/(х,у) запишемо р1вшсть

Я/(х, у) = (I - ¿)/(х, у) = (I - ¿2)^ - ¿1)/(х, у). (6)

Для доведения формулы (5) скористаемося тим фактом, що залишков1 члени формули Лагранжа в штегральнш форм1 за кожною ¿з змшних мають вигляд

х

(I - Ь1)/(х,у) = ---+± | ^

хг - хг+1 ] о£р (р - 1)!

хг

х

+ х - хг Г др/(£у) (хг+1 - ег1,,

+ хг+1 - хи д(р - 1)! ^

хг+1

^ - ¿2)/<-) = ) I ^

)+ Уз

х - У) у д"/(х,п) (д^М - п)"-1,

+д)+-1(х) - У),,/ д'п" («- !)> П

й<+1 (х -

Пщставимо щ р1вноста у формулу (6)

Я/(х,у) = (I - Ь2)(I - ¿1)/(х,у)

= у_д(+1(х) ] д*/(х,п) (уз _ п)* , + уз_ д&(х)Ч дп* (д_ 1)! п+

уз

+ х_уз У д* / (х,п) (д(+1(х)_ п)*-1

д(+1(х)_ уз : дп* (д_1)! п)

х х

„ х _ хг+1 ] др/(С, у) (хг _ С)р—1 ,, + х _ хг [ др /(С, у) (х+1 _ С)р—1

хг _ хг+1 Ч дСР (р _ 1)! С + хг+1 _ хг] д& (р _ 1)! С)

хг хг+:

Шсля розкриття скобок отримаемо р1вшсть (5).

Теорема 2 доведена. □

/(х, у)

штерлшаитом Ь/(х, у), визначеним формулою (1) в трапецевидному елемента ТР(1).

Теорема 3. Нехай /(х,у) е Ср'*(ТР(1)), р = 1, 2, д = 1, 2 та виконуються умови теореми 1, тод1 для залишкового члена Я/(х,у) мае мкще ощнка

хг+: д]+:(х)

\\Я/(хМсрр^ < М ! ! \С1(х,С)С2(х,у,п)Шп, (7)

У

1

хг у]

М = тъх \/(р' д)(х,у)\,

С1(х,С)

{

(х, у)^^

х—хг+: (хг—0р : х < С < х-

хг—хг+: (р—1'У. ' _ х < С < х

х—хг (хг+:—С)р : х < с с х. л

хг+:—хг (р—1)! ' х < С < хг+1''

\ У—- • уз < п < у

I У—У] (дг+:(х)—п) у, < п < д(1) (х)

{_ ^(х—Уз (*—1)! , у < п < дг+1(х) ■

Доведения. Згщно теореми 2, формулу для залишкового члена можна записати у

ВИГЛЯД1

хг+: 9з+:(х)

Я/(х,у)= I I /(*Л(С,п)С1(х,С)С2(х,у,п№с1п.

хг у]

Застосовуючи для дього штеграла нер1втсть Гельдера. одержуемо

Х+1 +1(х)

\Я/(х,у)\< \/М(х,у)\\^(тр(1)-[/ / (О1(х,0С2(х,у,п))"¿т1,

хг уз

1 > 1, V > 1,1 + 1 = 1.

1 V

Тому для похибки наближення отримаемо нер1втсть (7).

□

Зауваження. Яктцо односторонт слщи функтщ на в1дпов1дних Л1шях5 що утво-рюють гранищ трапецевидних елемент1в5 збшаються. то розривна функщя перетво-рюеться в неперервну

2. Приклад

Нехай функщя /(х, у) задана в одиничному квадрат! [0,1]2 таким чином (рис. 2):

/(х, У)

х + у, 0.5 < х < 1, 0.5 <у < 0.5 + у 0.09[1 - (х~°4Э5)2 ]

х2 + у, 0 < х < 0.5, 0.5 <у< 0.5 + ^0.09[1 - (х-°4Э5-2 ]

х + у2, 0 < х < 0.5, 0.5 -у/ 0.09[1 - (х~4'Э5-2 ] <У< 0.5

к х2 + у2, 0.5 < х < 1, 0.5 -у/ 0.09[1 - (х~4'Э5-2 ] <у< 0.5

Рис. 2. Граф1чне зображення: а) облает визначення функщ1 /(х,у); б) функщ! /(х, у)

Тобто на лшТ елшса (х 0 °!"(5)—+ (у0 05 = 1 Функц 1я /(х,у) мае розриви першого

)2 + (У—0.5)2 0.49 + 0.09

роду. Нехай задат л1н1'1:

х1 = 0,х2 = 0.5,х3 = 1,

у1 = 0.5 _ \|oЩl_(Х—0г^],

0.49

Г~ г (х_ 0.5)2,

у2 = 0.5 + \10т[1_Чш^].

Вони розбивають область визн&чвння /(х, у)

мент1в з одтею криволтшною стороною в кожному елементь

Спочатку побудуемо розривний штерполяцшний сплайн на заданш сггтц. який. наприклад, для трапецп ТР(-) 3 с!Дс16Т ься формулою

с ч Т Т и \ х_хг+1 у_д<(+1(х) х_хг у _ д\+1(х)

в (х,у) = Ь1Ь2/(х,у) = фРРгз--+ фтРг+1,з--+

хг _ хг+1 уз _ д\+1(х) хг+1 _ хг уз _ д\+1(х)

_ 7 / . о^ _ ор. 7/ _

х хг+1 у уз х хг у уз

+ ФРтг,з+1--- + фттг+1,з+1--7^—-,

хг _ хг+1 д)+1 (х) _ уз хг+1 _ хг д)+1 (х) _ уз

при умов1, що виконуються р1вноси фртгз+1 = фртг фррг з = фррг, з

фттг+1 ,з+1 = фттг+1,з+ъ фтрг+1,з = фтрг+1, з.

Граф1чний вигляд такого штерполящйного сплайна наведений на рис. 3.

Рис. 3. Граф1чний вигляд розривного сплайн-штерполянта для функцп /(х,у)

Знайдемо ощнку похибки наближення розривно! функгщ f (x, y) побудованою ро-зривною конструкщею S(x,y)

max \f (x, y) — S(x, y)| ~ 0.025

Тепер побудуемо на заданш сищ розривний штерлшащйнпй сплайн Lf (x,y) за формулою (1). Шсля перетворень можна побачптп, що аналиично цей сплайн по-ВН1СТЮ зб1гаеться i3 заданою функщею f (x,y), тобто Lf (x,y) = f (x,y).

Можемо зробити впсновок, що штерлшащйнпй розривний сплайн точно вщнов-люе задану розривну функщю на заданш си?щ вузл1в.

Висновки

Таким чином, в данш статта запропоновано загальний метод побудови розривних сплайн-штерлшантав для трапецевидних елементав. Щ сплайни, як частинний випа-ДОК ^ включають в себе розрпвн1 сплайни та неперервн1 сплайни. Сформульовано i доведено теоремп про штерлшацшш властпвост1 таких розривних конструкцш. Зокре-ма, з цих властивостей витакае наступна точка зору автор1в: розривн1 в деяких точках або На ДбЯКИХ Л1Н1ЯХ функгщ В1д двох змшних кратде наблпжуватп розривними сплайн-1нтерл1нантами. При цьому можна отримати однаково висою ощнкп похибки наближення в кожному елемента розбиття, притаманш неперервно-диференщйовним си. laiiii-in rep. пиан гам.

Наступнпм кроком авторп планують застосувати розроблену теорш наближення розривних функцш розривними сплайн-1нтерл1нантами до розв'язання двовим1рно1 задач1 комп'ютерно1 томограф!!'.

список л1тератури

1. Стечкин С.Б. Сплайны в вычислительной математике / С.Б. Стечкин, Ю.Н. Субботин. — М.: Наука, 1976.

2. Завьялов Ю.С. Методы сплайн-функций / Ю.С. Завьялов, Б.И. Квасов, В.Л. Мирошниченко — М.: Наука. 1976.

3. Василенко В.А. Сплайн-функции: теория, алгоритмы, программы / В.А. Василенко. — Новосибирск; Наука, 1983

4. Литвин О.М. 1нтерлшащя функцш та деяю ТТ застосування / О.М. Литвин — X.: Основа, 2002. — 504 с.

5. Литвин О.М. Про один метод розв'язання 3D задач1 комп'ютерноТ томографп / О.М. Литвин, О.О. Литвин / / Тезисы докладов Международной конференции АППММ'06. — Харюв: III МАШ iM. A.M. Шдгорного. — 2006. — С 18.

6. Литвин О.М. Наближеиия розривноТ функцп за доиомогою розривиих еплайшв / О.М. Литвин, ЮЛ. Першина // Математичне та комп'ютерне моделювання. Сер1я: Ф1зико-математичш науки: зб. наук, праць. — Кам'янець-Подшьеький: Кам'янець-Подшьський нащональний ушвереитет 1м. 1вана Опенка, 2010. — Вип. 3. — С. 122-131.

7. Литвин О.М. Побудова куековобшншних еплайшв для наближення функцш з розривами пер-шого роду у вузлах ректангуляцп двовиьирноТ облает / О.М. Литвин, Ю.1. Першина // Таврш-екий в1еник 1нформатики та математики. — Симферополь. — 2011. — №1. — С. 63-72.

8. Литвин О.П. Приближение разрывной функции двух переменных е помощью разрывных еплай-нов двух переменных (прямоугольные элементы) / О.П. Литвин, Ю.П. Першина // Компьютерная математика. — Киев, 2011. — №1. — С. 96-105.

9. Литвин О.М. Наближення розривних функцш двох змшних з розривами на лпнях тр1ан-гуляцп двовтаярноТ облает за допомогою оператор1в еплайн-штерлшацп / О.М. Литвин, ЮЛ. Першина // 1нформатика та еиетемш науки (1СН-2011): матер1али II ВееукраТнеькоТ науково-практично! конференцп 17-19 березня 2011р. — Полтава: РВВ ПУЕТ, 2011. — С. 178181.

10. Литвин О.М. 1нтерфлетащя функцш при розв'язуванш тривтаярноТ задач1 теплопровщноет / О.М. Литвин, .1.1. Гулж. — К.: Наукова думка, 2011. — 210 е.

Статья поступила в редакцию 24-10.2011