CC BY
28
5. Купин А. И. Нейросетевое прогнозирование показателей обогащения магнетитовых кварцитов // В1сник НТУ «ХП1». - № 26. - Харюв: НТУ «ХП1». - 2006. -С. 23-31.
6. Ксендзовский В. Р. Автоматизация процессов производства окатышей. - М.: Металлургия, 1971. - 216 с.
Надшшла 9.01.2008
Предложен принцип управления температурным режимом процесса обжига окатышей на конвейерной машине с использованием прогнозирующей ANFIS-модели.
The control principle of temperature conditions of rolled briquettes sintering process on conveyor machine based on the predictive ANFIS model is suggested.
УДК 681.5.015.73:621.34
В. I. Мороз
АНАЛ13 РАЩОНАЛЬНОГО ПОРЯДКУ АПР0КСИМАЦ1ЙН0Г0 П0Л1Н0МА ДЛЯ В1ДН0ВЛЕННЯ 1НФ0РМАЦП ЗА ¡1 ДИСКРЕТНИМИ В1ДЛ1КАМИ
3 використанням частотних характеристик виконано досл1дження рацюналъного порядку апроксимащйного полтома для в1дтворення сигналу за його дискретними в1дл1ками.
ПОСТАНОВКА ПРОБЛЕМИ
Одшею з основних задач у цифрових системах ке-рування або обробки шформаци е в1дтворення непе-рервного сигналу за його дискретними в1дл1ками. Потр1бно зауважити, що дана проблема може бути ви-ршена лише алгоритм1чним шляхом у процеа форму-вання сигнал1в керування, у той же час ф1зична реал1-защя можлива тшьки для ф1ксатора нульового порядку, найпроспшим вар1антом якого в цифрових системах е звичайний багаторозрядний репстр. В1домо, що ф1ксатор нульового порядку вносить як ампл1тудну, так 1, найголовшше, фазну похибки, що пов'язаш з його швперюдним затзненням [1, 2]. Одним з1 способ1в корекцп такого затзнення в цифрових системах е ви-користання апроксимацш сигналу вищих порядк1в для оцшки внесено' процесом дискретизаци похибки та 11 компенсаци.
Зрозум1ло, що будь-яке в1дтворення сигналу за його дискретними в1дл1ками е наближеним 1 в1дображае первинний сигнал з певною похибкою. Таким чином, постае задача анал1зу рацюнального порядку апроксимащйного полшома, який би забезпечував необх1дну точшсть в1дновлення неперервно! шформаци за умови найпрост1шого апроксимуючого виразу, тобто, за мш1мальних програмно-апаратних витрат.
АНАЛ13 ОСТАНН1Х ДОСЛ1ДЖЕНЬ
Огляд 1снуючих л1тературних джерел [3-6] пока-зуе, що в галуз1 розробки математичних основ циф-
© Мороз В. I., 2008
рових систем домшуе класичний шдхщ, закладений ще його основоположниками [1, 2]. Шчого не змшилося i в розробщ практичних цифрових систем, коли нав1ть дуже складш сучаснi алгоритми керування базуються на числових методах i способах дискретизаци непе-рервних систем, яю мають щонайменше пiввiкову ксто-рт [3, 4], а основна увага надаеться системам керування верхнього рiвня ieрархi'i, паралельним i роз-подiленим системам [6]. Паралельно продовжують роз-виватися числово-аналiтичнi пiдходи до синтезу цифрових систем [7].
Метою досл1джень е визначення рацюнального порядку апроксимащйного полшома для вщтворення не-перервного сигналу за його дискретними вщлжами та ощнка похибки, яка внесена процесом дискретизаци.
Як вщомо, у дискретних системах сигнали подають-ся сво'ми вщлжами, що найчастiше рiвномiрно роз-подшеш в часi. 1хня наявнiсть створюе одну з основних проблем, яю потребують свого вирiшення в про-цесi реалiзацii' цифрових систем - вщновлення значен-ня сигналу в промiжках мiж вiдлiками. Як правило, це здшснюеться шляхом апроксимаци за кiлькома по-слiдовними в^лжами за допомогою полiнома в^-повщного порядку з наступною, за необхщшстю, ш-терполяцie ю. При цьому мета тако'' операци залиша-еться незмiнною - знаходження дiючого значення не-перервного сигналу, який вщновлено за його дискретними значеннями.
Зрозумшо, що збiльшення кiлькостi посл^овних вiдлiкiв для побудови апроксимацiйного полшома тд-вищуе точнiсть процедури в^новлення, проте iснуe розумна межа, вище яко'' подальше збiльшення в^-лжв не дае вiдчутного пiдвищення точность Ращо-нальний порядок апроксимацiйного полшому для сиг-
В. I. Мороз: АНАЛ13 РАЦЮНАЛЬНОГО ПОРЯДКУ АПРОКСИМАЦ1ЙНОГО ПОЛ1НОМА ДЛЯ В1ДНОВЛЕННЯ 1НФОРМАЦ11 ЗА II ДИСКРЕТНИМИ В1ДЛ1КАМИ
налу х(Ь) обмежуеться п'ятим порядком з к!лькох м!ркувань [8]:
1) поганою обумовлен!стю апроксимац!й високого порядку [8] - невелик! зм!ни в коеф!ц!ентах пол!нома (наприклад, через обмежену розрядн!сть '1'хнього по-дання в цифров!й систем!) можуть призводити до знач-них зм!н у повед!нц! апроксимуючо'' функц!';
2) появою осциляц!й (коливань) апроксимуючого пол!нома високого порядку (вище п'ятого) на д!лянц! апроксимацп та поза нею [8, 9];
3) повед!нка реально' системи високого порядку найчаст!ше незначно в!др!зняеться в!д повед!нки системи нижчого порядку [8, 10]; в робот! [10] на приклад! показано, що л!н!йна модель 5-го порядку забезпечуе практично таку ж точн!сть в!дтворення динам!чних процес!в, як ! нел!н!йна модель 11-го порядку.
Похибка в!д процесу апроксимацп сигналу х(£) виз-начаеться р!зницею м!ж двома його середн!ми значен-нями на пром!жку м!ж часовими в!дл!ками (рис. 1):
- апроксимованим (наближеним) значенням, яке знаходиться !нтегруванням апроксимуючо' функц!' х (I) в межах < Ь < ti + 1;
+1
* 1 I*
X* = ^ | х*(Ь)йЬ;
- !стинним (точним) значенням, яке знаходиться !нтегруванням анал!тично!' функц!!' х( Ь) в межах
Ч < Ь < + 1:
X =
1!+1 к J х(
Таким чином, похибка апроксимац!!' сигналу на ,-му пром!жку < Ь < + 1 м!ж двома його в!дл!ками виз-начатиметься
+1 ti +1 е, = X, - X* = ^ | х(Ь)йЬ -1 | х*(Ь)йЬ =
и Ь,
. +1
= 1 | (х(Ь) - х*(Ь))йЬ.
Недол!ком такого способу е неможлив!сть правильно'' оц!нки похибки для дов!льного сигналу х(Ь), оск!л-ьки в такому випадку для нього не !снуе анал!тичного виразу, що унеможливлюе безпосередне обчислення похибки. Вир!шити дану задачу дае змогу широко ви-користовуваний в теор!' автоматичного керування ана-л!з частотних характеристик (ампл!тудних - АЧХ ! фазних - ФЧХ) використовуваних апроксимац!й як дискретних ф!льтр!в [1, 2]. При цьому потр!бно враху-
.ti + 1 1
вати, що виразу Xi = ^ J х(Ь)dt в!дпов!дае операц!я
ч +1
X* = ^ | х*(V)йЬ
анал!тичного !нтегрування, а виразу
!нтеграл в!д апроксимуючого пол!ному. Таким чи-ном, частотний анал!з похибок в!д застосування пол!но-м!альних апроксимац!й зводиться до анал!зу граф!к!в частотних похибок м!ж операц!ями !деального !н-тегрування та !нтегрування апроксимуючого пол!нома
х(*„)(Ь) = апё1 + ... + а2Ь2 + а1Ь + а0.
3находження !нтегралу в!д апроксимуючого пол!но-ма можливе для двох випадк!в побудови обчислюваль-но'' схеми: явно'' та неявно''. Пошук нев!домих кое-ф!ц!ент!в для апроксимуючих формул в!дбуваеться за в!домою методикою - за п р!внов!ддаленими на крок к точками будують апроксимац!йний пол!ном, коеф!-ц!енти якого знаходять для двох згаданих випадк!в з! системи л!н!йних р!внянь, яка складена для моменту часу Ьг:
1) для неявно' схеми побудови апроксимац!йного пол!нома, що допускаеться у випадку комп'ютерного
X
Х+1 Х\
х(П
( , . . х(1) ( ц - апроксимащя полшомом
першого порядку
х(0) ( ?) - апроксимащя полшомом нульового порядку
Рисунок 1 - 1люстращя процесу визначення похибки апроксимацп
Ь
Ь
Ь
I
0
моделювання, бо може бути вир!шена за допомогою процедури розв'язування в!дпов!дно'1' системи алгебричних р!внянь:
ап • кп + ап _ 1 • кп 1 + ... + а2 • к2 + а1 • к + ао = х, + 1;
ао = х,;
ап • (_к)п + ап _ 1 • (_к)п 1 + ... + а2 • (_к)2 _ а1 • к + а0 = х, _ 1;
ап •((п _ 1)к)п + ап_ 1 •((п _ 1)к)п_1 + ... + а2 • ((п _ 1)к)2 _ а1 • ((п _ 1)к) + ао = х,_{п_ 1).
2) для явно'' схеми побудови апроксимац!йного пол!нома - лише така розрахункова схема допускае ф!зичну реал!зац!ю, бо не передбачае використання у момент часу ще нев!домого ,+1-го значення координати; застосу-вання даного способу апроксимац!' придатне для цифрових систем керування:
"0 хг>
ап • (_к)п + ап _ 1 • (_к)п 1 + ... + а2 • (_к)2 _ а1 • к + а0 = х, _ 1;
ап •((п _ 1)к)п + ап_ 1 •((п _ 1)к)п_1 + ... + а2 • ((п _ 1)к)2 _ а1 • ((п _ 1)к) + а0 = хг_(п_ Г);
ап • (п • к)п + ап_ 1 • (п • к)п_1 + ... + а2 • (п • к)2 _ а1 • (п • к) + а0 = х{_п.
Для !люстрац!' нижче на приклад! показано процес знаходження коеф!ц!ент!в апроксимац!йних пол!ном!в першого порядку (за двома точками) ! другого порядку (використовуються три точки).
ПОБУДОВА АПРОКСИМАЦШНОГО ПОЛ1НОМА ПЕРШОГО ПОРЯДКУ ЗА НЕЯВНОЮ СХЕМОЮ
Коеф!ц!енти апроксимацп для заданого апрокси-мац!йного пол!нома першого порядку х*( Ь) = а1 Ь + а0 за двома в!дл!ками сигналу х, ! х,+1 в моменти часу Ь, ! Ь,+1 з !нтервалом дискретност! к знаходяться з! систе-ми л!н!йних алгебричних р!внянь другого порядку:
[ а 1 к + а0 х, + 1;
а0 = х,;
Ч + 1 '
ПОБУДОВА АПРОКСИМАЦ1ЙНОГО ПОЛ1НОМА ДРУГОГО ПОРЯДКУ ЗА НЕЯВНОЮ СХЕМОЮ
2
Для побудови пол!нома х (Ь) = а2р + а1 Ь + а0 ви-ко-ристовуються три в!дл!ки сигналу х,- , х, ! х,+1 в моменти часу , ! з !нтервалом дискретност! к. Коеф!ц!енти апроксимац!'' знаходяться з в!дпов!д-но' системи л!н!йних алгебричних р!внянь третього порядку:
а2к + а1к + а0 х, + 1; х, + 1 _ х, _ 1
а0 = х,; ^ а1 2к ;
2 х _ 2х + х
а— а 1 к + а0 — х, _ 1; ^ = _^^_,_,_
_ 2 2 к2
У випадку потреби застосування явног апрокси-мацшжл схеми з! системи виключаеться р!вняння для точки Ь,+1, що призводить до в!дпов!дних зм!н у ко-еф!ц!ентах:
а0 = х,; а2к2 _ а1к + а0 = х, _ 1; ^ а1 а2(2к)2 _ а1(2к) + а0 = х, _2; а2
3х,_4х,_1+ х , _2; 2 к ;
х , _ 2 х, _ 1 + х, _ 2 2 к2
Аналог!чна процедура застосовуеться для знаходження коеф!ц!ент!в апроксимацИ пол!номом дов!льного порядку. Знайден! коеф!ц!енти апроксимуючого пол!нома п!дставляються у в!дпов!дний вираз х (£) для виконання процедури анал!тичного !нтегрування. За отриманими виразами будуються дискретн! передатн! функц!' для !нтеграл!в апроксимуючих пол!ном!в [1, 2].
Побудова граф!к!в частотних похибок для знайде-них дискретних передатних функц!й в!дбуваеться в д!апазон! до 1/10 частоти квантування Ю0 зг!дно те-ореми в!дл!к!в Шеннона-Котельникова - такий д!апа-зон е робочим практично для вс!х цифрових систем
Яп = х
0
^ = х
0
^ = х
0
а=
В. I. Мороз: АНАЛ1З РАЦЮНАЛЬНОГО ПОРЯДКУ АПРОКСИМАЩЙНОГО ПОЛ1НОМА ДЛЯ В1ДНОВЛЕННЯ 1НФОРМАЦ11 ЗА II ДИСКРЕТНИМИ В1ДЛ1КАМИ
[3-5]. Дана процедура е ведомою [1, 2] 1 просто реа-л1зуеться в середовишд будь-якого математичного пакету (наприклад, Ма^САБ чи МАТЬАБ). Отриман1 граф1ки частотних похибок пол1ном1альних апрокси-мац1й до п'ятого порядку включно показано на рис. 2 (для явних схем) 1 рис. 3 (для неявних схем). Для наочност1 граф1ки побудован1 у тривим1рному мас-штаб1, що дае змогу одночасно оцшити ампл1тудну 1 фазну частотш похибки.
Анал1з частотних похибок пол1ном1альних апрокси-мац1й показуе безсумшвш переваги неявно! обчис-лювально1 схеми з точки зору ампл1тудних 1, найго-ловшше, фазних частотних похибок, як1 е визначаль-ними для замкнених систем автоматичного регулюван-ня. Ще одним ц1кавим результатом е те, що в1дчутне зменшення частотних похибок у нижней частит робо-чого диапазону (нижче 1/20 частоти квантування) практично припиняеться тсля другого порядку апрок-симац1йного пол1нома.
10
полшом 0-го порядку полiном 1-го порядку полшом 2-го порядку полшом 3-го порядку полшом 4-го порядку полшом 5-го порядку
а
ю &
ё е
©
-10 10
Амплгеудна похибка, %
10
10
Ввдносна частота, ю/юс
Рисунок 2 - Частотт похибки апроксимацш за явною схемою
к
ю &
ё е
©
о полiном 0-го порядку —к— полшом 1-го порядку —•— полiном 2-го порядку 10 ->-1 V полiном 3-го порядку □ полшом 4-го порядку
* полiном 5-го порядку
-10 10
10
Амплiтудна похибка, % -10 -з Вiдносна частота, ю/ю0
Рисунок 3 - Частотш похибки апроксимацш за неявною схемою
5
0
-1
висновки
Проведений анал1з частотних похибок апроксима-цшних пол1ном1в для процесу вщновлення дискретного сигналу за його вщлжами показав:
1) вщтворення сигналу за його дискретними в1дл1-ками без фазних похибок забезпечуе лише апроксимащя полшомом першого порядку за неявною схемою (трапещями);
2) у раз1 можливост вибору перевагу слщ надавати лише неявним обчислювальним схемам побудови апро-ксимацшного полшома, яю забезпечують значно мен-ший р1вень амплиудних i фазних частотних похибок;
3) порядок апроксимацшного полiнома для забез-печення достатньо точного (ампл^удна похибка не бтьше 5 %, фазна - не перевищуе 2°) вiдтворення сигналу може бути обмежений другим-треим порядком. Застосування апроксимацiй вищих порядюв невиправ-дане через:
- незначне зростання точност в нижнiй частинi ро-бочого дiапазону (до 1/20 частоти квантування);
- рiзке зростання похибок у верхнш частинi ро-бочого дiапазону (1/20...1/2 частоти квантування), що може спричинити незадов^ьну роботу замкнених цифрових систем автоматичного регулювання.
ПЕРЕЛ1К ПОСИЛАНЬ
1. Ажури Э. Импульсные системы автоматического регулирования. - М.: Физматгиз, 1963. - 456 с.
2. Ту Ю. Цифровые и импульсные системы автоматического управления. - М.: Машиностроение, 1964. -703 с.
3. Изерман Р. Цифровые системы управления: Пер. с англ. - М.: Мир, 1984. - 541 с.
4. Куо Б. Теория и проектирование цифровых систем управления. - М.: Машиностроение, 198б. - 448 с.
5. Олссон Г., Пиани Аж. Цифровые системы автоматизации и управления. - СПб.: Невский Диалект, 2001. -557 с.
6. Sanz R, Arzen K.-E. Trends in Software and Control // IEEE Control Systems Magazine. - 2003, June. - Pp. 12-15.
7. Мороз В. Застосування ¡нтегралу згортки для синтезу цифрових систем // Вюник Хмельницького нацюнально-го ушверситету. Т. 2. Техшчш науки. - 2007. - № 2. -С. 75-78.
8. Гришина Т. Ф. Определение передаточной функции линейной системы по кривой переходного процесса // Изв. вузов. Электромеханика. - 1969. - № 7. -С. 762-768.
9. Фильц Р. В. Математические основы теории электромеханических преобразователей. - К.: Наукова думка, 1979. - 208 с.
10. A. Alleyne, S. Brennan, B. Rasmussen, R. Zhang, Y. Zhang. Controls and Experiments: Lessons Learned // IEEE Control Systems Magazine. - 2003. - October. - Pp. 20-34.
Надшшла 20.03.2008
С использованием частотных характеристик проведено исследование рационального порядка аппроксимаци-онного полинома для восстановления сигнала за его отсчетами.
The rational polynomial approximation order of sampling signal reconstruction was analyzed using Bode plots.
YAK 519.876.5
А. Г. Овский, В. А. Толок
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СИСТЕМЫ КОМПЬЮТЕРНОЙ МАТЕМАТИКИ MAPLE ДЛЯ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ЗАКОНА ОРТОГОНАЛЬНОСТИ МАТРИЦ ПРЯМОГО И ОБРАТНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЙ, СОСТАВЛЕННЫХ ВЛАСОВЫМ В. З.
Авторы анализируют полученное В. 3. Власовым [1 ] общее операторное решение трехмерных уравнений теории упругости, проверяют его основные свойства в системе программирования Maple. В разработанной программе доказывается закон ортогональности матриц прямого и обратного преобразований, составленных из полученных операторов. В работе используется упрощающая символическая запись в виде трансцендентных операционных формул, которая позволяет применять ЭВМ для построения математических моделей задач теории упругости.
© Овский А. Г., Толок В. А., 2008
ВВЕДЕНИЕ
В настоящее время, в связи с появлением новых конструктивных материалов, возникает необходимость в росте прочности машин и конструкций с параллельным снижением их себестоимости и расходов на их обслуживание. В связи с этим, остро встает вопрос о разработке новых математических методов для расчета напряженно-деформируемого состояния различных тел и конструкций [2].
