CC BY
6Ученые записки Таврического национального университета имени В.И.Вернадского Серия «География». 23 (62). 2010 г. № 2. С. 36-47
УДК 532.543
МОДЕЛЮВАННЯ ПОТОК1В Р1ДИНИ НА TEPHTOPII ВОДОЗБОРУ 3 ВИКОРИСТАННЯМ WEB-AПЛIKAЦIЙ 3 GIS-КОМПОНЕНТОЮ НА OCHOBIARCGIS SERVER'А
Венгерський П., Шщак I., Коковська Я.
Льв1вський нащональний утверситет ¡мет 1еана Франка
E-mail: p_vengersky@franko. lviv.ua
Розглянуто тдхщ до моделювання стоку нестисливо! р1дини у псевдопризматичному pyrai з вертикальною площиною симетри. Описано умови стшкосл для встановленого потоку. Введено i проанал1зовано значения корективу середньо! швидкосп для р1зних видав потоюв у р1чках. Наведено вар1ащйне формулювання задач^ яка розв'язувалася методом скшченних елеменпв. Результати протестовано на приклада, що мае аналп'ичний розв'язок, а також виконано пор1вняння результатов обчислень i3 лабораторними дослщженнями шших автор1в.
В данш робот1 запропоновано технологи, яка б дала змогу використовувати ArcGIS-розширення, тобто GIS-компоненти, для Web-застосувань на 6a3i ArcGIS Server'а. Таю технологи забезпечують просте та зручне шгегрування та використання GIS-компонент на WEB-сайл, де на окремому mapi надаються можливосл моделювання та розв'язування прикладних задач руху потоюв води у р1чках. Ключов1 слова: р1вняння руху р1дини, швидюсть потоку, nepepi3 русла, натрний рух, радаус кривили середньо! лши дна, ироекцшт р1вняння, схема Гальоркша, метод скшченних елеменпв, однокрокова рекурентна схема, лшеаризащя.
ВСТУП
Сьогодш пдролопчш системи, до яких можна зачислити pi4KOBi басейни, р1ки, озера, зазнають сильного антропогенного впливу. Господарська д1яльнють на водозбор1, використання водних pecypciB та зумовлеш перетворенням природного середовища регюнальш i глобальш змши ктмату не можуть не спричинити змши у пдролопчному цикт та в процесах формування р1чкового стоку.
Виникае потреба оцшювати щ змши i, якщо можливо, передбачити стан пдролопчних систем у майбутньому. Деколи таю оцшки можна зробити на шдстав1 даних експериментальних дослав шляхом пор1вняння пдролопчних характеристик до i теля антропогенного впливу. Однак можливосп таких оцшок дуже обмежеш, оскшьки гщрометеоролопчш умови сильно змшюються [5,9]. Головш перспективи розвитку метод1в дослщжень i передбачень поведшки природних систем на даний час виршуються за допомогою ix математичного моделювання.
1. Р1ВНЯННЯ РУХУ ПОТОК1В Р1ДИНИ У ПСЕВДОПРИЗМАТИЧНИХ
РУСЛАХ
Запишемо систему р1внянь, що характеризують рухрщини:
ди ду дм> — + — + — = 0, дх ду дг
ди дии диу ди^ ^ 1 др 1
— +-+-+-= X---— + —
дt дх ду & р дх р
дт дТх
дт.
Л
дх
ду дУи дуу ду^ 1 др 1 (дт
- +-+-+
дг дх ду &
= У---^ +
рду р
дw дwu дwу дww ^ 1 др 1
— +-+-+-= Z---— + —
дt дх ду & р & р
дх
'дт.
ду
дт
_уу
ду
дт.
&
дт ")
_у1_
& у
дт.
к дх ду & у
(1) (2)
(3)
(4)
Р1вняння (1) - це р1вняння нерозривносп для нестисливо! рщини, а (2) - (4) -р1вняння Нав'е - Стокса.
Приймемо за координатну лшю х1 лшю середнього дна, а за координатш лшп х2 \ х3 - прям1, що лежать у нормальнш до лшп дна площиш так, що х2 напрямлене горизонтально. Припущення про малють глибини потоку пор1вняно з рад1усом кривини лшп середнього дна пов'язане якраз ¿з цим вибором системи координат.
Рис. 1. Поперечний перер1з потоку.
Позначимо и - швидюсть потоку р1чки, F - площу живого перер1зу потоку р1чки для задано! ширини В. Проштегруемо систему р1внянь (1) - (4) за площею поперечного перер1зу потоку (рис.1) \ нехтуючи доданками, що значно не впливають на поведшку розв'язюв задач^ теля простих математичних перетворень отримаемо систему р1внянь у виглядк
5(иЕ) дЕ п
-+— = 0;
дх
дг
(5)
1 ди атди а-1 и ЙЕ 1 ЙЕ и2
--+—и-----+--+ —^ = i,
g дг g дх g Е дг В дх С ^
де g = 9,8 м/с - прискорення сили тяжшня; c=const - коефщ1ент Шезц / = =соп8* - нахил лши середнього дна; В = Ь + Ь+ =const - ширина вшьно! поверхш;
Л=соп8й - пдравл1чний ращус русла; а - вщомий у пдравлшд коректив середньо! швидкостг
2. ФОРМУЛЮВАННЯ П0ЧАТК0В0-КРАЙ0В01ЗАДАЧ1
Доповнимо р1вняння системи (5) початковими
и1=0 = ио(х), =о = /о(х) на [0,Ц
та крайовими и^,0)=0, F(t,0)=0 умовами отримаемо початково-крайову задачу знаходження невщомих и^.
3. ВАР1АЦ1ЙНА ЗАДАЧА
Уведемо простори допустимих функцш
Н := 1} (О), V := е Н1 (О) | у(0) = 0| . Для побудови вар1ацшно1 задач! домножимо
перше р1вняння системи (5) на довшьну функщю (реУ, друге - на l//ËV 1 результата проштегруемо за областю О.. Уведемо таю бшшшш фор ми:
а(и, /,ф) = |и—ф<!х; Ь(и,ф) = | иф<х; с(и,^) = \ — ф<х; <(и, /,ф) = | и/(р<х, п дх п адх: п
а також лшшний оператор
I (ф) = | ¡ф<х
а
Тод1 вар1ацшне формулювання початково-крайово! задач! (5) запишемо так: Задано:
и*,/* е Н Знайти пару:
(и, И) е 1} (0, Т; V х V) таку, що
а(и, /, (р) + а( /, и, (р) + Ь( /', (р) = 0;
—Ь(и',^) + —а(и, и,^) +1 с( / + —!— < (и, и,^)< (w, / = 11 ,уЛ ;(6)
£ £ В С R £
Ь(и(0) - и0,ф) = 0, Ь( / (0) - = 0.
4. ДИСКРЕТИЗАЦ1Я ЗА ЧАСОВОЮ ЗМ1ННОЮ
Для побудови обчислювально! схеми розв'язку вар1ацшно1 задач! виконаемо нашвдискретизащю вар1ацшно1 задач! в часг Роздшимо вщр1зок часу
[0,Т] на NT +1 однаков1 (хоча це необов'язково) частини ,tJ+l ^ завдовжки At = tj+1 - tj, j = 0,...,NT. На кожному вщр1зку \^tj,tJ+l ^ шукаемо розв'язки задач! (6) u(x, t), f (x, t) e L (0, T; V) , яю апроксимуемо полшомами вигляду
uAt (x, t) = {1 -a(t)} uJ (x) + a(t )uj+1 (x); fAt (x, t) = {1 -rn(f)} Г (x) + ® (t) Г+1 (x); (7)
t e [tj t,J, j = 0,1,...,Nt -1,tj,t) = t—tj-
J' J At
з невщомими функщями uJ (x), fJ (x) e Vh.
Для функцюнала l(x, t) e Vh задач! (6) будемо використовувати апроксимацп вигляду
l&t (X, t) = lj +1/2 = l(tJ +1/2 , x). (8)
5. ДИСКРЕТИЗАЦ1Я ГАЛБОРК1НА
Виберемо послщовшсть скшченновим1рних простор1в апроксимацш Vh з простору V з властивостями dim Vh —h_^0 ><ю .Тод1 (uh, fh) - нашвдискретна
апроксимащя розв'язку (u, f). Виберемо базис {pj ^ простору апроксимацш Vh .
Апроксимащя Гальоркша uh та fh однозначно визначена такими розкладами:
N N
uh (x) = Ц (x), fj (x) (x) (9)
;=1 ;=1
за функщями базису } i невщомими коефщентами
и = U ^ f = { F
3 використанням матричних позначень рекурентна схема допускае екв1валентне зображення: Задано:
At, со (t) = const > 0,
u}, f} e Rn.
Знайти:
u1+1, fj+1 e Rn. так1, що:
[ В1 + &уА1 (и1 ) + AtyA2 (и1)] fJ+1|2 + [а ^А3 (Г1) + А ^А4 (fJ)] и = - АР1 [и1, Г1) - АР2 (Г1, и1);
1+12 _
- А tpC D 2(w1)
В g
/МП+
- В 2 А5 (и1) + А6 (и1 ))+^-2А^1(и1)
(10)
,1*1
= ¿1+12 - - АР3(и1, и1) - в СР(Г) - су^DP(u1, и1): и1+1 =и1 + Аи+1/2, /1+1 = Г + А/1+1/2.
6. КУСКОВО-ЛШ1ИН1 АПРОКСИМАЦИ МЕТОДУ СК1НЧЕННИХ ЕЛЕМЕНТ1В
Для розв'язування задач! нашвдискретизацп Гальоркша на практищ широко використовують кусково-лшшш апроксимацп методу скшченних елеменпв. Вщр1зок [0,L] родшимо за допомогою послщовносл р1вновщдалених вузл1в:
X. = 7 • h,/ = 0,...,N,h = ^ на N скшченних вщр1зк1в [х{, xi+1], 1 = 0,1,..., N -1.
Неперервш кусково-визначеш базисш функцп (х)}л^1 з простору Vh вибираемо у вигляд1 лшшних полшом1в
'0, 0 < х < х71,
% (х) =
X - X,.
к
к
Х-1 ^ Х ^ Х7 ,
X. < X < X.,
1+1'
0, X,. < X < L.
Тод1 на кожному вщр1зку натвдискретну апроксимащю задамо у вигляд1
и.
(X) = Х (X),
1=' 7+1
де
/кк ( X) = I FkyJ (X), Ук > 0, Vx > [ X,., X,.+1 ],
0, г * 1,
. = 1;
ик (xi) = , /£ (xi) = ^, I = 0,1,..., N - наближеш розв'язки у вузлах атки.
7. ТЕСТОВ1ПРИКЛАДИ
Приклад 1. Розглянемо приклад з вщомим анал1тичним розв'язком:
5 (uf) = 0;
dx
dt
1 ды 1 8f u 8au 1 (a-1) 8f u2
--+ —— +------- u — + —— =; + G( x, t);
g dt B ex g ex g f dt C R
= -x, f[ 0 = x; u(t,0) =0, f(t,0) =0,
де G (x, t) =
1
f
x ax 2(a -1) (1 +1V x
— + — + —-- + --— +
2 Л
B
C2 R
-;
V a a " ~
Точний анал1тичний розв'язок ще! задач! запишемо у вигляд1 x
(1 +1 у
птичн
u'(x, t) = -■
(1+ty
f •( x, t) = x (1 +1 )2.
Обчислення проведен! для розбитпв вщр1зка x е[0, 1] на 20, 40, 80 скшченних елемент1в i з кроком At = 0.01.
Нижче подаються графши змши площ1 поперечного nepepi3y та швидкосп в 4aci.
Рис. 2. Площа для р1зного Рис. 3. Швидюсть для р1зного розбиття по X розбиття по X
Норму похибки для функцп F, як i для U, обчислювали за такою формулою:
';+1 1
N-1 1
1Ы| =ii(fhAt - f) dxdt = Xii( fh* - f) dxdt = At£j
( (
1=0 0
Л (
fhM
\ V 2 J
X, t 1
" f
w
x, t 1
V 2 j
dx
Порядок збшносп за просторовою змшною знаходили 3i сшввщношення
K = Log 2
2
2
||eAth || _ e h
At-
2
'„ h
At-2
h
At— 4
Отримано порядок збшносп для функцп Е, який дор1внюе 1.925635, аналогично для функцп и - 2.40379. Под1бно обчислювали порядки зб1жносп за часом, для функцп Е: К = 5.007565 ; для функцп и: К = 4.996095. Для р1зних тишв р1чок вибрано таю значения параметра а : а =1 - р1внинш; 1< а <=1.07 - нашвпрсью; 1.07< а <6 - прсьюр1чки. Задано таю значения параметра а : а = 1;а = 1.05;а = 2.
Рис. 4. Значения швидкосп при р1зних параметрах а
Приклад 2. Покажемо використання ще! модел1 на складному дш русла р1ки. д(и/) + / = 0
дx д? •
1 си 1 с/ и даи 1 (а -1) с/ и2
---1----1------и--1--= i
g д? В 8x g 8x g / 8? с2 R ;
и = 0, / = X2; и(?,0)=0,/(?,0)=0, '
I ?=0 7 ^ I ?=0
де параметри: а=1, 0 < X < 1, 0 < ? < 1, А? = 0.0001, В=8, g=9.8, С=60, Д=1
Рис. 5. Зображення рельефу дна рки
Рис. 6. Змши площ1 поперечного Рис.7. Змши швидкосп руслового перер1зу F потоку для постшно! ширини русла В=8
3 анал1зу графЫв з Рис. 6 I Рис.7 видно, що площа поперечного перер1зу приймае найбшьше 1 найменше значения в точках екстремуму рельефу дна р1чки. Швидюсть потоку з Рис.7 приймае вщ'емш значения, коли вода перетшае вершини рельефу дна потоку. Слщ зауважити, що складнють рельефу дна породжуе осциляцп розв'язку задачу що приводить до апроксимацш шукано! функцп базисними функщями вищих порядюв або до застосування адаптивних схем побудови иток у вибранш область
Приклад 3. Числов1 результати пор1внювали з результатами лабораторних дослщжень, опублшованих у [11].
Оскшьки ширина русла Ь стала \ дор1внюе 0,838 м, вщом1 початкова висота та розхщ потоку Q0, то за формулою и 0 = можна знайти початкову швидюсть, яка
К ь
дор1внюе 0.378831. Зпдно з [11], з формули R = (С0п0)6 отримуемо значения пдравл1чного рад1уса русла. Пщставимо щ даш у програму й отримаемо результати (див. таблицю 1).
Таблиця 1.
Пор1вняння чисельних результапв з результатами лабораторных дослщжень [11]
№ К, м R Нахил дна, х10-5 Глибпна потоку, мм О, «0
Р1вном1рний псшк Q0 = 10 л/с
1.Теплов 31,5 0,034 123,90 31,0 28,3 25,0 20,9 18,0 14,9 11,4 63,41 0,009
Програма 31,5 0,034 123,90 31 30,2 24,9 24,2 23,3 22,5 20,2 63,41 0,009
2.Теплов 34,0 0,031 100,20 34,1 31,9 29,0 25,5 22,9 19,9 16,7 62,45 0,009
Програма 34,0 0,031 100,20 34 32,2 28,6 25,1 24,8 23,3 20,2 62,45 0,009
3. Теплов 40,0 0,034 74,81 40,0 38,1 35,9 32,9 30,9 28,5 25,8 57,08 0,010
Програма 40,0 0,034 74,81 39,9 38,1 35,7 33 30,91 28,7 28,1 57,08 0,010
4. Теплов 46,5 0,031 49,50 46,6 45,4 43,5 41,1 40,0 38,1 36,0 56,34 0,010
Програма 46,5 0,031 49,50 46,5 46,4 46,2 45,2 42,2 41 36,2 56,34 0,010
5. Теплов 62,8 0,061 24,12 62,8 61,9 60,9 59,4 58,6 57,5 56,6 52,35 0,012
Продолжение таблицы
Програма 62,8 0,061 24,12 62,7 62,5 62,1 61,1 59,7 57,3 56,4 52,35 0,012
6. Теплов 80,8 0,082 12,49 80,8 80,4 79,7 79,0 78,2 77,7 77,0 50,75 0,013
Програма 80,8 0,082 12,49 80,8 80,6 80,3 79,1 78,5 77,68 75,4 50,75 0,013
7. Теплов 99,5 0,075 5,12 99,5 99,2 98,9 98,2 97,9 97,6 97,3 59,09 0,011
Програма 99,5 0,075 5,12 99,4 99,2 99 98,5 97,7 97,4 97,1 59,09 0,011
Наведен! результата засвщчують достов1рнють отриманих даних з програми, хоча 36ir результата приблизний, бо у статп [11] результата отримаш шд час лабораторних досладв за щеальних умов.
8.ВИКОРИСТАННЯ АПЛШАЦП 3 GIS-КОМПОНЕНТОЮ П0БУД0ВАН01 НА OCHOBI ARCGIS SERVER'А
У данш робот! створено Web-застосування геошформацшно! системи водних pecypciB Украши, яка використовуе технологию ушверсального розширення. В нш створено та вбудовано GIS-компоненту, яка використовуе наступш можливосл розширення Web -сайту:
• видшення р1чки;
• збшьшення зображення р1чки;
• шформащя про р1чку;
• розв'язування задач! моделювання водних поток1в у р1чках. Вигляд Web - сторшки сайту з GIS - компонентою показано на Рис. 8
Рис 8. 1нформащя про р1чку.
Дал1 показано виклик меню для вводу даних та отримання результата розв'язку задач!
Рис 9. Виб1р меню моделювання потоку р1чки.
Форма вводу даних про р1чки, в якш задаються додатков1 характеристики потоку викликаеться наступним чином:
Рис 10. Форма вводу даних для розв'язування задач! моделювання руслового потоку.
В результат! розв'язування задач! створюеться новий шар, в якому шириною криво! русла р1чки 1 динам1чном насиченням И кольору показано р1вень наповненосп р1ки 1 швидюсть руху води по руслу.
П1ДСУМКИ
В данш po6oTÍ розглянуто задачу математичного моделювання руслового стоку рщини з поверхш водозбору. Виведено з загальних р1внянь Нав'е - Стокса систему р1внянь, що описують русловий ctík. Сформульовано умови 3míhh параметра для р1зних вид1в потоков у р1чках. Дослщжено умови стшкосп встановленого потоку. Сформульовано початково-крайову задачу руху нестисливо! рщини в pycni з вертикальною площиною симетрп та вар1ацшну задачу, яка розв'язуеться методом скшченних елеменпв. Виконано нашвдискретизащю вар1ацшно1 задач! в 4aci та дискретизащю Гальоркша за просторовою змшною. Обчислено абсолютш та вщносш похибки швидкосп та глибини руслового потоку, проанал1зовано норму похибки результуючих даних. Знайдено порядок зб1жноел числово! схеми апроксимацп розв'язку за просторовою змшною i часом. Виконано пор1вняння числових результата з точним анаштичним розв'язком задача Апробовано поведшку розв'язюв задач! для р1зних титв рельефу дна русла. Зроблено анал1з достов1рносп результата програми з пор1вняння ix з результатами лабораторних дослщжень рос1йських вчених.
Для формування даних i в1зуал1зацп розв'язку задач! запропоновано технологй, яю б дали змогу використовувати Web-застосування на 6a3Í ArcGIS Server'a, де на окремому mapi надаються можливост1 моделювання та розв'язування прикладних задач, а саме моделювання потоюв води у р1чках вибрано! територ11.
Список литературы
1. Бураков Д.А. Математическое моделирование стока: теоретические основы, современное состояние, перспективы / Бураков Д.А., Карепова Е.Д., Шайдуров В.В - Вестн. КрасГУ. - 2006. - 19 с.
2. Венгерський П.С. Математичне моделювання руслового стоку вологи/ Венгерський П.С., Коковська Я.В. - Dynamical System Modeling and Stability Investigation: -"DSMSI-2007": Intertational Conferece: Theses of conference reports. May 22-25. Kyiv, 2007. - P. 174.
3. Венгерський П.С. Чисельне моделювання руслового стоку вологи/ Венгерський П.С., Коковська Я.В. - Сучасш проблеми прикладно! математики та шформатики: XIV Всеукр. наук. конф.: Тези доп. Львiв. 2007. - С. 54 - 55.
4. Венгерський П.С. Один з niflxofliB моделювання npo4ecÍB руслового стоку р1дини / Венгерський П.С., Коковська Я.В. - Bích. Льв. ун-ту. Сер. прикл. матем. ¿нформ. Вип. 15- 2010.
5. Виноградов Ю.Б. Математическое моделирование процессов формирования стока/ Виноградов Ю.Б. - Л.: Гидрометеоиздат, 1988. - 312 с.
6. Гришанин К.В. Динамикарусловых потоков/ Гришанин К.В. - Л.: Гидрометеоиздат, 1979. 311 с.
7. Картвелишвили Н.А. Идеализация сложных динамических систем с примерами из електроенергетики/ Н.А. Картвелишвили, Ю.И. Галактионов - М.:Наука, 1976. - 272 с.
8. Картвелишвили Н.А. Неустановившиеся открытые потоки/ Картвелишвили Н.А. - Л.: Гидрометеоиздат, 1968. - 126 с.
9. Кучмент Л.С. Модели процессов формирования речного стока/ Кучмент Л.С. - Л.: Гидрометеоиздат, 1980. - 142 с.
10. Савула Я.Г. Метод сюнченних елеменпв/ Савула Я.Г., Шинкаренко Г.А. - Льв1в, 1999. - 80 с.
11. Расчет водопропускной способности призматического прямоугольного русла с отрицательным уклоном дна [Электронный ресурс ]/ В.И. Теплов // Государственный гидрологический институт СП. -Россия . - 13 с. - Режим доступа к журналу: http://bedload.boom.ru/index.html
Венгерский П. Моделирование потоков жидкости на территории водосбора с использованием WEB-приложений c GIS-компонентов на основе ARCGIS SERVER'a/ П. Венгерский, И. Кищак, Я Коковская // Ученые записки Таврического национального университета имени В.И. Вернадского. Серия: География. - 2010. - Т. 23 (62). - №2 - С. 36-47.
Рассмотрен подход к моделированию стока несжимаемой жидкости в псевдопризматическом русле с вертикальной плоскостью симметрии. Описаны условия устойчивости для установленого потока. Введено и проанализировано значение корректива средней скорости для разных видов потоков в реках. Приведена вариационная формулировка задачи, которая была решена методом конечных элементов. Результаты протестированы на примере с аналитическим решением, а также выполнено сравнение результатов вычислений с лабораторными исследованиями других авторов. В данной работе предложена технология, которая бы позволила использовать ArcGIS-расширения, т.е. GIS-компоненты, для Web-приложений на базе ArcGIS Server'a. Такие технологии обеспечивают простое и удобное интегрирования и использования GIS-компонент на WEB-сайте, где на отдельном слое предоставляются возможности моделирования и решения прикладных задач движения потоков воды в реках.
Ключевые слова.: уравнения движения жидкости, скорость потока, сечение русла, напорное движение, радиус кривизны средней линии дна, проекционные уравнения, схема Галеркина, метод конечных элементов, одношаговая рекуррентная схема, линеаризация.
Vengersky P. Modelling of liquid flow on the water catchment using WEB-GIS-applications from components based on ARCGIS SERVER'A/ P. Vengersky, I. Kishchak, Y. Kokovska // Scientific Notes of Taurida National V. Vernadsky University. - Series: Geography. - 2010. - Vol. 23 (62). - №2 - P. 36-47.
The approach to modeling the flow of incompressible fluid in a pseudo prismatic river-bed with the vertical plane of symmetry. Describe the stability conditions for a given flow. Introduced and analyzed the average speed value adjustments for different types of flows in rivers. An variational formulation of the problem, solved by finite element method. The results tested on the example that has the analytical solution and the numerical comparisons with laboratory studies by other authors. In this paper technology that would be allowed to use ArcGIS-Extension, that is GIS-components for Web-applications based on ArcGIS Server'a. Such technologies provide simple and easy integration and use of GIS-component on the WEB-site, where a separate layer provided opportunities modeling and solving applied problems of moving water flow in rivers.
Key words: equation of motion of fluid, speed of flow, section of river-bed, pressure motion, radius of curvature of middle line of bottom, projection equation, Galerkin scheme, finite elements method, linearization.
Поступила вредакцию 05.05.2010 г.
