Апостеріорний метод оцінювання похибки і розпаралелення обчислень для одного класу задач електронної оптики Текст научной статьи по специальности «Математика»

нлты

ы КРАЖИ

»mutet'

Науковий в!сн и к НЛТУУкраТни Scientific Bulletin of UNFU http://nv.nltu.edu.ua

https://doi.org/10.15421/40270530

Article received 22.06.2017 р. Article accepted 29.06.2017 р.

УДК 537.2+519.632+681.7

ISSN 1994-7836 (print) ISSN 2519-2477 (online)

1 EE3 Correspondence author L. I. Mochurad [email protected]

Л. I. Мочурад, П. Я. Пукач

Нацюнальний утверситет "Львiвська Полтехшка", м. Львiв, Украта

АПОСТЕРЮРНИЙ МЕТОД ОЦ1НЮВАННЯ ПОХИБКИ I РОЗПАРАЛЕЛЕННЯ ОБЧИСЛЕНЬ ДЛЯ ОДНОГО КЛАСУ ЗАДАЧ ЕЛЕКТРОННО1 ОПТИКИ

На модельному прикладi розглянуто апостерюрний метод оцшювання похибки i процедуру розпаралелення для чисель-ного розв'язування одного класу задач електронно! оптики. Враховано той факт, що поверхня, на якiй визначено крайж умови, володiе абелевою групою симетрп шютнадцятого порядку. Вдосконалено загальну методику, яка Грунтуеться на ме-тодi iнтегральних рiвнянь. Специфжу змодельовано! проблеми враховано на пiдставi апарату теорп груп. Використовуючи апарат теорп груп, вдалось звести вихдау задачу до розв'язування послщовност шiстнадцяти незалежних штегральних рiв-нянь, де iнтегрування ведеться тшьки по однiй з конгруентних складових поверхнi. Це створило ва передумови до розпаралелення процедури розв'язування задачi загалом. Процедуру розпаралелення проведено з використанням програмного засо-бу ОрепМР. Для отримання наближених значень шукано! "густини розподiлу зарядiв" у вiдповiдних двовимiрних штеграль-них рiвняннях використано метод колокацп. З метою врахування сингулярно! поведiнки розв'язку в отт контуру розiмкне-но! поверхш побудовано апостерiорний метод оцшювання похибки. Для тдтвердження доречностi та оцшки ефективностi методики проведено ряд чисельних експерименгiв.

Ключовi слова: математичне моделювання; абелева група симетри; штегральш рiвняння; багатоядернiсть процесора; програмний зааб ОрепМР.

Вступ. Моделювання бiльшостi електронно-оптич-них систем потребуе чисельного аналiзу napaMeTpiB електростатичного поля, створюваного цими системами. При цьому непроста структура поля, притаманна сучасним пристроям, етотно ускладнюе традицiйне застосування методу штегральних рiвнянь, а розiмкне-шсть граничних поверхонь-електродiв звужуе коло чисельних методiв, як1 адекватно враховували б фiзичну природу дослвджуваного явища.

Помiчено (Zakharov, Safronov, & Tarasov, 1992; Hlu-mova, 2000), що бшьшосп електронно-оптичних систем притаманна геометрична симетрiя. Останне дае змогу трактувати проблему як задачу з абелевою групою си-метрп ск1нченного порядку. Застосування апарату теорп груп (Serre, 1977) при чисельному розв'язуванш вiдповiдних iнтегральних рiвнянь дае змогу iстотно знизити порядки матричних рiвнянь, як1 апроксимують ввдповвдш iнтегральнi. Це, водночас, дае змогу уникну-ти нестiйкостi розрахунк1в i, отже, розширюе коло проблем, що допускають чисельне моделювання з використанням методу штегральних рiвнянь.

За вщсутносп унiверсального пiдходу до розв'язування задач, що володшть рiзними групами симетрiï, ефективним виявилось видшення класiв крайових задач, яш володiють тою чи iншою скшченною групою

симетрп. При цьому чисельне розв'язування типового модельного прикладу iз певного класу дае змогу добре проiлюструвати ва аспекти запроваджено! методики.

Предметом окремих дослщжень е побудова ефек-тивних чисельних алгоригмiв для знаходження густини розподiлу зарядiв. Адекватне математичне моделювання вiдповiдного поля передбачае врахування характеру поведшки шукано! густини розподшу зарядiв поблизу контуру розiмкненоl поверхнi та на лшп И зламу. Наяв-на симегрiя в геометрп сукупно!' розiмкненоl поверхш дае змогу значно зменшити кшьшсть контрольованих "особливих" точок, а точшше в найкращому випадку дае змогу мати справу тшьки з одшею. Не зменшуючи загальносгi, подамо результати чисельного розв'язування одше! модельно! задачi електростатики з використанням апостерюрного методу оцiнювання похибки, запровадженого в роботi (Mochurad, Harasym, & Ostш-diп, 2009), i процедури розпаралелення (МоЛшМ, 2013).

Постановка просторовоТ задачь Розглянемо задачу розрахунку електростатичного поля квадрупольно! лш-зи. На рис. 1 представлено одну iз можливих конфпура-цiй квадрупольно! системи. Зазвичай, задача моделювання розрахунку електростатичного поля ше! системи

1нформащя про aBTopiB:

Мочурад Леся IropiBHa, асистент кафедри шформацмних систем i технологiй. Email: [email protected] Пукач Петро Ярославович, д-р техн. наук, професор, завщувач кафедри обчислювально! математики та програмування. Email: [email protected]

Цитування за ДСТУ: Мочурад Л. I., Пукач П. Я. Апостерюрний метод оцшювання похибки i розпаралелення обчислень для

одного класу задач електронно! оптики. Науковий вкник НЛТУ Украши. 2017. Вип. 27(5). С. 155-159. Citation APA: Mochurad, L. I., & Pukach, P. Ya. (2017). The a posteriori method of error evaluation and parallelization of calculating for one class of problems of the electronic optics. Scientific Bulletin of UNFU, 27(5), 155-159. https://doi.org/10.15421/40270530

передбачае знаходження розподiлу потенцiалу. У пере-pi3i електроди цiеï лiнзи мають форму гiпербол. На по-верхш електродiв електростатичний потенцiал стадий. Його сталють досягаеться перерозподiдом зарядiв.

Рис. 1. Доолджувана квадруподьна система

У процеа математичного модедювання подамо вщ-повiдну систему едектродiв у виглядi такоï сукупностi чотирьох гладких незамкнених поверхонь, що не мають

4

спшьних точок: S := и Si. Легко бачити, що поверхш Si

i= 1

обмеженi кусково-гладкими контурами скiнченноï дов-жини. Нехай P, Q i т. д. - точки евктадового простору

R3. Тод^ як ввдомо (Sybil, 1997), згадана вище проблема екывалентна такому iнтеградьному рiвнянню:

(Hp)s JHQ)• к(p,Q)dSe = fk(P), Pe Sk(k = 1~4),

S

де K(P, Q):= 1/ dist(P, Q), fk(P) - граничне значення по-тенщалу на едектродi, який змодельовано поверхнею

Sk(fk(P) = const), а н(Q) - шукана сукупна "густина роз-

подiду зарядiв" на S : н(Q) := { h (Q), Q e Si ; i = 1, 4} . Як-що S - незамкнена лшшицева поверхня в R3, що ввд-поввдае нашiй ситуацп, K - iзоморфiзм iз H002(S) в H 1/2(S), причому

m HH^S) HI KHIH 12(S) * m2\\ HIH0-02(S)(0 < m1 * m2) . (2)

Нерiвностi (2) виражають розв'язуванiсть штеграль-ного рiвняння (1).

Використовуючи апарат теорiï груп (Serre, 1977), можна встановити, що розглядувана задача розрахунку електростатичного поля квадрупольноï дiнзи вододiе абелевою групою симетрп шютнадцятого порядку. Як результат (1) можна звести до посдiдовностi шютнадця-ти незалежних iнтеградьних рiвнянь тшьки за конгруен-тною складовою S11 поверхнi S. Отриманi рiвняння можна розв'язати методом кодокацiï. При цьому вини-кае потреба в обчисленш невласних iнтеградiв, усклад-нених наявшстю певних вагових функцiй, як ввдобра-жають сингудярнi вдастивостi шуканого розв'язку. Поз-бавитись цих особливостей можна шляхом запрова-дження спецiадьних замш змiнних у вiдповiдних под-вшних iнтеградах. Така процедура значно ускладнюе алгоритм наближеного розв'язування розглядуваних ш-тегральних рiвнянь. Анадiз ситуацiï переконуе в доцшь-ностi використання одного iз варiантiв так званого ме-

тоду апостерюрно! оцiнки похибки, який допомагае на-дiйно контролювати нерегуляршсть густини розподiлу зарядiв в околi "особливих" точок. У нашому випадку, врахувавши геометричну симетрiю поверхонь-електро-дiв, вдалось iстотно зменшити к1льк1сть "особливих" точок iз шютнадцяти до одше!. Очевидною перевагою розглядуваного пiдходу е також створення передумов для розпаралелення процедури розв'язування задачi за-галом.

Апостершрмий метод оцiнювання похибки наб-лижених розв'язмв iнтегральних р1вмямь. Не змен-шуючи загальностi, розглянемо одне iз шiстнадцяти незалежних iнтегральних рiвнянь:

(АД)(ио, УоКг(п, V, ио, УоО(и, V)dudv = ц/1(ио, Уо), (3)

D

(ио, уо) е (о, 1)х(о, А), D = [о,1]х[о, А], о < А < +х>.

Наближене розв'язування цього рiвняння здшснюе-мо методом колокацп, використовуючи для апроксима-цИ шуканого розв'язку кусково-постшш базиснi функций Подiл на елементи проводимо вiдносно D1 = [о, 1] х [о, А]. Через апрюрну шформащю про характер поведшки 01 (и, у) "екстремальним" вважаемо еле-мент DNuNv := [1 - ¿и, 1] х [А - А], який вщповвдае куто-вiй точцi складово! 511 (див. рис. 1). Тут Ни = 1/ Nu, К = 1/ Nu, де Nu, Nv - шльшсть точок подiлу вiдрiзкiв о, 1], [о, А], вщповщно. Треба зауважити, що без ура-

(1

ування наявно1 симетрп в геометрп розiмкнених поверхонь, повинш були б взяти до уваги особливосп шуканого розв'язку в околi шiстнадцяти кутових точок поверхш S, що ютотно ускладнюе весь алгоритм обчис-лень.

Вщомо (Morrison & Lewis, 1976), що "густина роз-подiлу зарядiв" Gi (u, v) в околi кутово1 точки Q :=(1, A)

i при пiдходi до контуру мае особливосп, як1 можна врахувати шляхом запровадження у вщповщних под-вiйних iнтегралах тако1 вагово! функцiï:

Q(u, v) =

= У(1 - u)(A - v)

(1 - u )Y+( A - v )Y

, де y ~ 1,7034.

Вщ цiеï особливостi можна позбавитись шляхом використання спешальних замш змшних. Проте це значно ускладнюе алгоритм наближеного розв'язування штег-рального рiвняння i не дае змоги скористатись простою та ефективною чисельно-аналггачною схемою (Garasym & Ostudin, 2003). Тому будемо враховувати цю особли-вiсть методом згущення атки в околi особливоï точки Q для досягнення заданоï точностi, спираючись на за-гальнi iдеï, висвилеш в роботах (Eriksson et al., 1995; Carstensen et al., 2004).

Припустимо, що внаслiдок розв'язання системи ль нiйних алгебричних рiвнянь, що апроксимуе дослвджу-ване операторне рiвняння, отримано наближений розв'язокG1e(P),P:= (u, v) eD1, аналiз якого так чи шак-ше вимагае вивчення властивостей його похибки £q := G1 - G1e .

Обмежимось побудовою наближень eq до реально* похибки £q за такою схемою. nepeBipKa задоволення гранично* умови полягае в обчисленi потенцiалу в де-якiй контpольнiй точцi Pi, яка не зб^аеться з точкою колокацп i лежить в околi кутово* точки складово* Sn на "екстремальному" елементi DNuNv (рис. 2). Дал ап-роксимуемо функщю похибки eQ за формулою e Gi = ¿iBp^u, v) i знайдемо невiдомий параметр Д шляхом колокацп (3) саме в точщ Pi:= {i - h /4, A - h /4}:

Д ^i(P)-(4Gi)( P) 1 (ABp )(Pi) ■

(4)

"i - h л x A - h, a"

_ 2 _ 2 _

При цьому вiдповiднi складовi бабл-функцп у ло-кальних координатах набувають такого вигляду:

Bi(а, Р) = -4(i + a)(i + в) , B2(а, 0) = -4(i-a)(i + в) ,

B3 (а, Р)= -4 (i -a)(i-в) , B4 (а, в) = ± (i + a)(i-в) .

Зaпpовaдженi вище величини для апроксимацп похибки на "екстремальному" елементi використовуемо для знаходження наближеного розв'язку (3) з наперед гарантованою точшстю, повторюючи подiбну процедуру. Кpитеpiем завершення процесу уточнення наближеного розв'язку Gis( P) е деякий шдикатор

Зауважимо, що такий вiдносно простий споиб об-числення параметра Д пов'язаний з фiнiтнiстю бЫ-ншно! бабл-функцп Bpi(u, v) :

nG :=

11 eGi (u, v

|eGi (u>v1 +1 |MM>v)

r-i00%.

(5)

Рис. 2. Схематичне зображення "екстремального" елемента

При обчисленш знаменника у фоpмулi (4) зручно . i/ вiднести елемент DN\ до локально* системи координат (а, в) так, що |а| < i, |в| <1. Це дае змогу пiсля представлення (AiBpi)(Pi) у виглядi суми чотирьох ш-тегpaлiв Ib I2, I3, I4:

i-fhr A-h 44

11 := J J ^(u, v; Pi) • BP (u, v) dudv,

i-h-Ai a-—-Д2

44

i-A+Ai A-— 4 i 4

12 := J J ^i(u, v; Pi) • BP (u, v) dudv,

i-h A-—-Д2 4 4 2

i-к+Ai a-^+Д 2 44

13 := J J ^(u, v; Pi) • BPi (u, v) dudv,

i-h a-—

4 4

i-h A- — +Д2 4 4 2

I4= J J ^i(u, v; Pi) • BPi (u, v) dudv,

i-h -Ai a-^ 4 i 4

hu hv

де Ai = —, Д2 = —, в кожному з них виконати деяку за-мiну змiнних. Так, наприклад, для Ii матимемо

2 f i - ^-Д A

u (а, в) := 1 4 J-+ Д-а,

22

2^ A - - ^-Д2 д v (а, в) := —--+ 'в, -i-а,в< i.

Якщо iндикaтоp (5) не перевищуе заданого допустимого piвня, то уточнення Gi припиняемо, iнaкше здiйснюемо згущення сiтки для чергового розв'язання вiдповiдного iнтегpaльного piвняння. У нашому випад-ку на першому кpоцi згущення сггки отримаемо чотири нових елементи (Dj/N ). > i = i, 4.

Вiзуaлiзaцiю pезультaтiв моделювання розрахунку електростатичного поля квадрупольно* лшзи з викорис-танням aпостеpiоpного методу ощнювання похибки представлено pозподiлом лшш piвного потенцiaлу. Так, рис. 3 вiдповiдaе граничним значенням потенцiaлу fi = i f2 = -i, f3 = i, f4 = -i i вiдстaнi мiж поверхнями h = i . Кiлькiсть точок колокацп n = i00 .

-1.50 -1.00 -0.50 0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 Рис. 3. Розподш лшш р1вня у площиш x = 0 при A = i

У таблиц наведено значення потенцiaлу в деяких контрольних точках, що розмщет в околi "екстремального" елемента до (u) i теля (и{) врахування апостерь орного ощнювача похибки за допустимого piвня i0 %.

suppBP(u, v) = dn4n :=

Табл. Потенщал у деяких контрольних точках у випадку кусково-бЫншно!' бабл-функцп

Ny y l,4726 l,4079 l,3486

z 0,9375 0,9375 0,9375

4 Uo Ul Xl n 0,8898 l,0376 0,l478 0,2242 0,9367 l,020l 0,0834 0,l267 0,9757 l,0078 0,032l 0,0567

5 Uo Ul Xl n 0,9l08 l,0265 0,ll57 0,l740 0,9582 l,0l42 0,0560 0,0845 -

6 Uo Ul Xi n 0,9545 l,0l49 0,0604 0,0899 - -

Розпаралелення процедури розрахунку електрос-татичного поля квадрупольноТ лшзи. На цьому етат моделювання розрахунку електростатичного поля квад-рупольно! лiнзи отримали шiстнадцять незалежних ш-тегральних рiвнянь. Сучаснi архиектури багатоядерних процесорiв дають змогу розпаралелити процедуру розв'язання цих рiвнянь, використавши один i3 найпо-пуляртших засобiв паралельного програмування OpenMP (Voss, 2003). У ньому використовуеться модель паралельного виконання "розгалуження-злиття". Програма OpenMP починаеться як единий потж виконання, що називаеться початковим потоком. Коли потж зустрiчае паралельну конструкщю, вiн утворюе нову групу потоков, що складаеться i3 себе та ще к1лькох до-даткових потоков, що стае головним у груш. Шсля пара-лельно! конструкцл виконання користувацького коду продовжуе тiльки головний потж. Отже, засобами OpenMP можна розпаралелити чисельне розв'язування шiстнадцяти штегральних рiвнянь, як1 будуть викону-ватись на ядрах комп'ютера окремими потоками. При цьому юльюсть ядер може не збпатись з к1льк1стю по-тоюв, на яи розпаралелюеться програма (рис. 4).

1 2 4

Кшыасть ядер Рис. 4. Залежтсть часу обчислень вщ кшькосп ядер

За результатами чисельних експерименпв на комп'ютер! з одноядерним процесором час розв'язування задач! за програмою ¿з застосуванням OpenMP не ¿с-тотно в1др1зняеться в1д часу розв'язування без його ви-користання, оскшьки тут програмно вадтворюються два, чотири, вю!м, шютнадцять потоков, у той час як фь зично комп'ютер мае одне ядро.

Шд час виконання програми на комп'ютер! з дво-ядерним процесором час розв'язування задач! за пара-лельною програмою приблизно в два рази зменшуеться пор!вняно з часом розв'язування за звичайною програмою. Часова ощнка у раз! зб!гу юлькосл потоков i юль-

KOCTi ядер мало вiдрiзняeться вiд часово1 ощнки, яку от-рИМуЮТЬ збiлЬШуЮЧИ к!льк!сть ПОТОШВ За уМОВ незм!н-но1 к!лькост! розв'язуваних р!внянь. Це пояснюють тим, що ф!зично процесор залишаеться двоядерним.

Якщо програма виконуеться на комп'ютер! з чотири-ядерним процесором, то час розв'язування задач! за па-ралельною програмою приблизно в чотири рази зменшуеться пор!вняно з часом розв'язування за звичайною програмою. Очевидно, що з! зб!льшенням кшькост! ядер ц! показники будуть покращуватись. Отже, вико-ристання багатоядерност! персонального комп'ютера е доцшьним при розв'язуванн! задач великих розм!рнос-тей з метою ефективтших затрат комп'ютерного часу на 1х виконання.

Висновки. Врахування наявно1 симетр!1 в геометр!1 роз!мкнених поверхонь-електрод!в дало змогу зам!сть ш!стнадцяти особливих точок поверхн!, в яких необх!д-но контролювати сингулярну повед!нку розв'язку, бра-ти до уваги т!льки одну. В окол! цього "екстремально-го" елемента враховано особлив!сть на основ! апостер!-орного методу оц!нювання похибки.

Отриман! результати також п!дтверджують доц!ль-н!сть застосування пакету OpenMP для розпаралелення обчислень ! вказують на можлив!сть подальшо1 оптим!-зац!1 програмного забезпечення для розв'язування цього класу задач за критер!ем м!н!м!зац!1 часу розрахунк!в за рахунок вар!ац!1 к!лькост! паралельних поток!в та про-цесорних ядер комп'ютера.

Перелж використаних джерел

Carstensen, C., Maischak, M., Praetorius, D., & Stephan, E. P. (2004). Residual-based a posteriori error estimate for hypersingular equation on surfaces. Numerische Mathematik, 97(3), 397-425. https://doi.org/10.1007/s00211-003-0506-5 Eriksson, K., Estep, D., Hansbo, P., & Johnson, C. (1995). Introduction to Adaptive Methods for Differential Equations. Acta Numerica, 4, 105-158. https://doi.org/10.1017/S0962492900002531 Garasym, Y. S., & Ostudin, B. A (2003). On numerical appoach to solve some three-dimensional boundary value problems in potential theory based on integral equation method. Zhurn. obchysl. ta prykl. matematyky, 1(88), 17-28. Hlumova, M. V. (2000). Chyselne modeliuvannia fizychnykh protse-siv u visesymetrychnykh elektronno-promenevykh pryladakh. Avto-referat na zdobuttia naukovoho stupenia kand. fiz. -mat. nauk, Khar-kiv, 17 p. [in Ukrainian]. Mochurad, L. (2013). Rozparalelennia protsedur chyselnoho rozviazu-vannia zadach ploskoi elektrostatyky, yaki maiut abelevi hrupy symetrii skinchennykh poriadkiv. Visn. Lv. un-tu. Ser. prykl. matem. ta inform, 20, 34-41. [in Ukrainian]. Mochurad, L., Harasym, Y., & Ostudin, B. (2009). Maximal Using of Specifics of Some Boundary Problems in Potential Theory After Their Numerical Analysis. International Journal of Computing, 8(2), 149-156.

Morrison, J. A,& Lewis, J. A (1976). Charge Singularity at the Corner of a Flat Plate. SIAM J. Appl. Math., 31(2), 233-250. https://doi.org/10.1137/0131019 Serre, J.-P. (1977). Linear Representations of Finite Groups (Graduate Texts in Mathematics) (v. 42) 1st ed. 1977. Corr. 5th printing 1996 Edition. Springer-Verlag: New-York-Heidelberg-Berlin. Sybil, Yu. M. (1997). Three dimensional elliptic boundary value problems for an open Lipschitz surface. Matem. studii, 8(2), 79-96. Voss, M. J. (Ed.). (2003). OpenMP share memory parallel programming. Toronto, Canada, 270 p. https://doi.org/10.1007/3-540-45009-2

Zakharov, E. V., Safronov, S. I., & Tarasov, R. P. (1992). Abelevy gruppy konechnogo poriadka v chislennom analize lineinykh kra-evykh zadach teorii potentciala. Zhurn. vychisl. matematiki i matem. fiziki, 32(1), 40-58. [in Russian].

Л. И. Мочурад1, П. Я. Пукач2

1 Научно-учебный институт предпринимательства и перспективных технологий НУ "Львовская Политехника", г. Львов, Украина;

2Национальныйуниверситет "Львовская Политехника", г. Львов, Украина;

АПОСТЕРИОРНЫЙ МЕТОД ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТИ И РАСПАРАЛЛЕЛИВАНИЯ ВЫЧИСЛЕНИЙ

ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА ЗАДАЧ ЭЛЕКТРОННОЙ ОПТИКИ

На модельном примере рассмотрены апостериорный метод оценки погрешности и процедура распараллеливания для численного решения одного класса задач электронной оптики. Учитывается тот факт, что поверхность, на которой определены краевые условия, обладает абелевой группой симметрии шестнадцатого порядка. Усовершенствована общая методика, которая основывается на методе интегральных уравнений. Специфику смоделированной проблемы учтено на основании аппарата теории групп. Используя аппарат теории групп, удалось свести исходную задачу к решению последовательности шестнадцати независимых интегральных уравнений, где интегрирование ведется только по одной из конгруэнтных составляющих поверхности. Это создало все предпосылки для распараллеливания процедуры решения задачи в целом. Процедуру распараллеливания проведено с использованием программного средства OpenMP. Для получения приближенных значений искомой "плотности распределения зарядов" в соответствующих двумерных интегральных уравнениях использован метод коллокации. С целью учета сингулярного поведения решения в окрестности контура разомкнутой поверхности построен апостериорный метод оценки погрешности. Для подтверждения уместности и оценки эффективности методики проведен ряд численных экспериментов.

Ключевые слова: математическое моделирование; абелевая группа симметрии; интегральные уравнения; многоядер-ность процессора; программное средство OpenMP.

L. I. Mochurad1, P. Ya. Pukach2

1Research Institute of Entrepreneurship and Advanced Technologies of Lviv Polytechnic National University, Lviv, Ukraine

2Lviv Polytechnic National University, Lviv, Ukraine

THE A POSTERIORI METHOD OF ERROR EVALUATION AND PARALLELIZATION OF CALCULATING

FOR ONE CLASS OF PROBLEMS OF THE ELECTRONIC OPTICS

The electron-optical systems are basic components of the modern research complexes by the help of which complicated physical processes related to motion of the charged particles in the corresponding potential fieldsare are studied. The real electron-optical systems have a great number of the charged electrodes of the complicated configuration. Therefore, the use of economic collocation method under the conditions of cobbed-permanent approximation of the sought density requires the numeral solving the systems of linear algebraic equations of large dimensions with the densely filled matrices. In the one model example, the а posteriori method of error evaluation and parallelization of the procedures for a class of problems of electronic optics is considered. It is also considered that the connected open surface where boundary conditions are set obtains the Abelian group of symmetry of the sixteenth order. Such problems arise in the mathematical modeling of electronic optics systems. The general method based on integral equation method was improved. Specificity of the problem was taken into account by use of group theory apparatus. This article shows how using the apparatus of the group theory it is possible to solve an initial problem by the help of the sequence of the sixteen independent integral equations, where the integration is realized only on one of the congruent constituents of the surface. It creates the conditions for parallel processes of problem solution in general. The procedure of parallelization was realized with the help of the most popular means of OpenMP. The collocation method for obtaining approximate values of needed "density of charge distribution" in the particular two-dimensional integral equations is used. To take into account the singular way of solving the problem in the circuit of the open surface the a posteriori method of error evaluation is created. The account of specificity of the open-circuit surfaces allows to decrease the amount of the controlled special points considerably and in the best case to deal only with one. It also substantially simplifies the algorithm of calculations. To prove the reliability and estimation of the technique efficiency the number of numerical experiments is carried out. For the representation of the electrostatic field equipotential lines are used, thus, solutions are analysed by the help of distribution of lines of even potential.

Keywords: mathematical modeling; abelian group of symmetry; integral equations; multi-core processors; software OpenMP.