CC BY
51
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН
2006, том 49, №3
ТЕХНИКА
УДК 624.042+699.841
Д.Н.Низомов, И.Каландарбеков МЕТОД СОСРЕДОТОЧЕННЫХ ДЕФОРМАЦИЙ В РЕШЕНИИ ОДНОМЕРНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
(Представлено членом-корреспондентом АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 18.03.2004 г.)
Основы метода сосредоточенных деформаций (МСД) были сформулированы в [1] применительно к статическим задачам. В настоящей статье МСД развивается и применяется для решения динамических задач.
Для динамического расчета плоских стержневых систем распределенная масса сосредотачивается в узлах фиктивных связей. При этом каждая сосредоточенная масса будет иметь три степени свободы. При этом элементы МСД считаются невесомыми и абсолютно жесткими. Невесомые жесткие элементы, соединенные между собой податливыми связями в сечениях, где сосредоточены деформации и несущие сосредоточенные массы, образуют единую динамическую систему.
Для динамической модели с п сосредоточенными массами будем иметь систему из 3п уравнений
MV + Dt + RV = P(t), (1)
где м = diag(mn,m22,---,mnn), R = ACAT,
Р(0 = (ЛД ■" Л), Р, = (PXI,m<pi,Pzi), / = 1,2,...,и,
V^(V1,V2,-,Vn),V = (Vl,V2,-,b, ? = (Ы,-Л),
mii=mi=diag{mziJyi,mzi\
_ , r0FA , 7 2^_ _di'r2 2, m,d; d;
m =m = та = , . = \xdm=m x ax =-----------= m —,
g " Jn Jn 12 12
Vt = (u,,<pt,wtX Vt = (ir ,ф.,w.), Vt = (ir,фг,wt ), mi, y0, di, Ft- распределенная масса, удельный вес материала, длина и площадь поперечного сечения элемента Qf, I yi - момент инерции элемента относительно оси, перпендикулярной к плоскости чертежа и проходящей через центр тяжести элемента; мг, и'’(, (pt - линейные и угловое ускорения элемента; Pxi 1\ , тф1 - заданные динамические сосредоточенные силы и момент.
Записав систему уравнений (1) в момент времени tn+i дискретной оси времени и используя аппроксимации [2, 3]
- ГУ (У Т Т.
V„)-^V„-a,V„, (2)
Т т
L, =у(гм-К)-АК-г&К, Р>
получим:
*К+1 = Гя+1, (4)
ос В
где Я* =Я + -^М + ^£>, (5)
т т
— — ос — ос ^ В — ^ ^
П+1 =^и+1 +^МУп +а3М¥п + ^/Ж„ + /?2/Ж„ + фъПУп
т т т
а{, Д - числовые коэффициенты аппроксимации, т— шаг по времени.
Если матрицу демпфирования в (5) принимать пропорционально матрице масс и жесткостей:
£) = а0М + Ь0Я,
где коэффициенты а0 и Ъ0 подбираются из условия частотной независимости декремента колебаний [4], то обобщенная матрица жесткости и вектор свободных членов приобретают вид
1¥ = кхЯ + к2М,
Р' =Рм+М(и0+аЛ) + М^0,
где йг,=1 + /)0—; к2=^-+а0—,
т т т
й„=Чк+^,+аЛ. \=^у„+/?/„+
т т т
Для системы с конечным числом степеней свободы, обладающей частотно-
независимым упруговязким сопротивлением, матрицу Б можно представить также в виде
И = у(М -К)1'2,
где ^-постоянный коэффициент потерь [5]. Тогда обобщенная матрица жесткостей и вектор свободных членов приобретают вид:
д* = я + ^м + Г—(МК)и2.
т
р'-р^+мо«+г(тиг-^
Решение динамической задачи от действия нагрузки, произвольно изменяющейся во времени, сводится к следующему. В начале формируется матрица жесткости Я. Исходя из условия устойчивости решения, выбирается шаг по времени т, который можно принять в долях от периода основного тона свободных колебаний конструкции. Далее, исходя из начальных условий задачи при t=0, формируется вектор свободных членов р . Затем формируется матрица обобщенной жесткости, которая при выборе постоянного шага по времени, будет иметь элементы, не зависящие от времени. Из решения (4) определяется вектор искомых
перемещений V, соответствующий моменту времени ^ . Вычисляются векторы деформаций и внутренних усилий, соответствующие моменту времени ^
\ = -АГУ„ §, = с\.
Переход к следующему шагу по времени начинается с формирования векторов скоростей и ускорений по формулам (2) и (3), соответствующих моменту времени ^. После чего
формируется новый вектор свободных членов Р2 и вычислительный процесс повторяется.
На основе изложенного алгоритма разработаны программы и получены результаты расчета балок постоянной и переменной жесткости с различными граничными условиями и различными степенями свободы. На тестовых примерах исследовались вопросы сходимости, устойчивости решений и точности метода.
Рассмотрим реализацию алгоритма на примере балки пролетом £ с равномерно распределенной массой под воздействием равномерно распределенного мгновенного импульса
5 .
В табл.1 приведены максимальные значения перемещений и усилий, полученные для балки при ее разбивке на три конечных элемента при различных значениях шага по времени.
В табл.2 сравниваются результаты численного решения, полученные при т = Тг/\00, без учета инерции поворота, с результатами аналитического решения [6], которые были запрограммированы и решены с шагом т = Тх /100 . Сравнение показывает, что погрешность по прогибам составляет 0,4%, по изгибающему моменту - 2%, по поперечной силе -1%. Из сравнения результатов табл.1 и 2 следует, что учет инерции поворота приводит к уменьшению прогиба и изгибающего момента соответственно на 4 и 10%. Очевидно, что с увеличением числа разбиений эти проценты должны уменьшаться.
Таблица1
Максимальные значения перемещений и усилий при различных разбиениях по времени при
і = 1, ЕІ = 1, ОР = 100 , Ш = 1, ї = 1
Т <Рі ^2 М 2 Ял
/50 0.37406 0.13313 1.74343 8.89625
Т /100 0.38266 0.13320 1.77438 9.67868
Т /200 0.38266 0.13343 1.84190 10.0649
Таблица 2
Сравнение результатов
Метод ^2 М 2 Ял
МСД 0.13876 1.96738 7.54433
[6] 0.13935 2.00849 7.61704
В табл.3 представлены результаты вышеизложенной задачи при разбивке балки на 10 конечных элементов.
Таблица 3
Сравнение результатов без учета инерции поворота при различных разбиениях по времени
т <Рі ^5 М5
Т /25 0.40794 (0.24) 0.13594 (0.28) 1.42310 (0.28)
Т /50 0.39883 (0.22) 0.13966 (0.28) 1.59002 (0.28)
Т /100 0.39178 (0.20) 0.14037 (0.27) 1.62322 (0.27)
Т /200 0.38702 (0.20) 0.14112 (0.27) 1.64698 (0.27)
Из сравнения результатов следует, что с уменьшением шага интегрирования, относительная погрешность угла поворота (рх составляет порядка 2%, прогиба в центре балки w2 -
0.2., изгибающего момента в центре балки М2 - 3,6%, опорной реакции R - 4%. С увеличением числа элементов МСД влияние инерции поворота на прогиб и момент уменьшается.
Таким образом, на основе изложенного можно заключить, что предлагаемый динамический метод сосредоточенных деформаций, разработанные алгоритмы и программы позволяют рассматривать решения динамических задач строительной механики с различными граничными условиями и воздействиями. Сравнение результатов показывает достаточную сходимость, устойчивость решений и точность метода.
Институт сейсмостойкого строительства Поступило 01.06.2006 г.
и сейсмологии АН Республики Таджикистан,
Хорогский государственный университет им. М.Назаршоева
ЛИТЕРАТУРА
1. Ржаницын А.Р. - Строительная механика и расчет сооружений, 1980, № 5, с. 15 - 20.
2. Габбасов Р.Ф., Низомов Д.Н. - Строительная механика и расчёт сооружений, 1985, №6, с.51-54.
3. Низомов Д.Н. Метод граничных уравнений в решении статических и динамических задач строительной механики. М.: АВС, 2000, 282 с.
4. Смирнов А.Ф., Александров А.В., Лащеников Б.Я., Шапошников Н.Н. Строительная механика. Динамика и устойчивость сооружений. М.: Стройиздат, 1984, 416 с.
5. Рассказовский В.Т. Основы физических методов определения сейсмических воздействий. Ташкент: Фан, 1973, 160 с.
6. Киселев В.А. Строительная механика: Специальный курс. Динамика и устойчивость сооружений. М.: Стройиздат, 1980, 616 с.
Ч,.Н.Низомов, И.Каландарбеков МЕТОДИ ЧДМЪКУНИИ ДЕФОРМАТСИЯ^О БАРОИ ^АЛЛИ МАСЪАЛА^ОИ ДИНАМИКИИ ЯКЧЕНАКА
Дар макола инкишоф ва тадбики методи чамъкунии деформатсияхо барои халли масъалахои динамикии механикаи сохтмон оварда шудааст. Дар асоси методи мазкур барномаи компютерй тартиб дода шуда, оиди хисоби болор бо шартхои мухталифи сархадй ва дарачахои озод натичахо ба даст оварда шудаанд.
J.Nizomov, I.Kalandarbekov METHOD OF CONCENTRATED DEFORMATIONS fflN THE SOLUTION ONE-DIMENSIONAL DYNAMIC PROBLEMS
Development of a method of concentrated deformations, with reference to dynamic problems of structural mechanics is resulted in the article. On the basis of offered algorithm the computer program is designed and the outcomes of calculation of girders with different boundary conditions and degrees of freedom are obtained.
