CC BY
49
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН ___________________2007, том 50, №5____________
ТЕХНИКА
УДК 624.042
И.Каландарбеков
МЕТОД СОСРЕДОТОЧЕННЫХ ДЕФОРМАЦИЙ В РЕШЕНИИ ДИНАМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ПЛОСКИХ СТЕРЖНЕВЫХ КОНСТРУКЦИЙ
В статье рассматривается дискретная динамическая модель конструкций на основе метода сосредоточенных деформаций (МСД).
Разбивая плоскую стержневую систему на элементы МСД и сосредоточив распределенную массу в узлах фиктивных связей, получим дискретную динамическую модель конструкции. При этом каждая сосредоточенная масса будет иметь три степени свободы, два поступательных перемещения и поворот. Таким образом, система с бесконечным числом степеней свободы превращается в систему с конечным числом степеней свободы. При этом элементы МСД считаются невесомыми и абсолютно жесткими. Невесомые и жесткие элементы, соединенные между собой податливыми связями в сечениях, где сосредоточены деформации и несущие сосредоточенные массы, образуют единую динамическую систему. Динамическая нагрузка также сосредотачивается в узлах фиктивных связей.
Из условия динамического равновесия элемента ег- получим
тежа и проходящей через центр тяжести элемента еі; йі, 0>і, фі - линейное и угловое ускорения; р Р2і, т . - динамические сосредоточенные силы и момент; ф - длина элемента МСД.
(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.И.Илоловым 26.09.2007 г.)
(1)
і = 1,2,........, п,
где
__ 2 2 2
т (тс /м ) - распределенная масса элемента е{, даг(тс /м) - сосредоточенная масса элемента е{, / ; (тм.с ) - момент инерции элемента относительно оси, перпендикулярной к плоскости чер-
В систему уравнений (1), кроме неизвестных усилий, входят неизвестные силы инерции. Принимая их как дополнительные внешние силы, составим матрицу А, элементы которой состоят из коэффициентов при неизвестных усилиях N, М, Q. Матрицу жесткости мы получим обычным путем, также как при решении статической задачи. Следовательно, формирование матрицы жесткости остается таким же, как в задачах статики
Я = АСАТ.
Здесь матрицу Я будем называть матрицей статической жесткости, так как ее элементы не зависят от времени. Это объясняется еще и тем, что при формировании матрицы внутренней жесткости С мы считаем упругие связи между элементами и упругоподатливые опорные связи невесомыми.
Далее из рассмотрения всей динамической модели системы составим систему уравнений, которую можно представить в матричной форме
МУ + ЯГ = РЦ), (2)
где М = diag(тп,т22,•••,шт)- диагональная матрица масс; V = (У,У2,...,Уп)- вектор-
столбец перемещения, У = (Уг,У2,...,Уп) - вектор-столбец ускорений, Р(1) = (Р,р ...,Р) - вектор-столбец внешних динамических сил.
Недиагональные члены матрицы масс равны нулю, так как ускорение любой массы определяется приложением инерционной силы только к этой массе. Инерционная сила в точке г при приложении к ней единичного ускорения равна массе, сосредоточенной в этой точке. Следовательно, в матрице сосредоточенных масс дагг=даг.
При разбивке стержневой конструкции на п элементов МСД векторы перемещения, ускорений и внешних сил состоят из 3п элементов:
У = (и^, WiX У = (щ^X р = (р,,р), 7 = l,2,...,п.
Элементы диагональной матрицы М представляются в виде
ти = т = а^(т, /у,, т X
где: т = т = У о / 9.81, ^ - площадь поперечного сечения элемента ег, у - удельный вес
материала.
Из уравнения (2) следует, что колебания системы определяются перемещениями системы дискретных точек, где каждой точке предписано три составляющих движения - поворот, продольные и поперечные перемещения.
Динамические характеристики системы без учета затухания полностью определяются двумя матрицами коэффициентов уравнения (2), а динамическая нагрузка - вектором внешних сил.
Если предположить, что затухание зависит от скорости, то есть принимается вязкое затухание, то силы затухания, соответствующие выбранным степеням свободы, могут быть записаны с помощью коэффициентов влияния затухания ёу - силе, соответствующей координате г при единичной скорости колебаний координаты / Эти коэффициенты могут быть определены, если принять матрицу затухания по Релею пропорционально матрице масс и жесткости
в = д я+дм, (3)
где Д и (32- коэффициенты,подбираются из условия частотной независимости декремента колебаний.
Для системы с одной степенью свободы уравнение движения приобретает вид
ту + + ку = р(/%
где ё - коэффициент затухания, общее решение при р(Х) = 0 приводит к тому, что логарифмический декремент зависит от частоты собственных колебаний
$ 2п
0=8Т ~ 81 =---------=----
2т ю тю
Чтобы декремент стал частотно-независимым, используем результаты гистерезисной теории. Из гистерезисной теории известно, что между параметрами затухания 0, щ, у существует зависимость
щ = 2жу = 20, 0 = жу, (4)
где щ - коэффициент поглощения; 0 - декремент колебаний.
С другой стороны, из гипотезы вязкого трения следует
^ $ 27 7$
8 = еТ = --------------=-. (5)
2т ю тю
Приравнивая (4) и (5), получим коэффициент затухания
$ = утю = ут^т~1к = у(тк )12, (6)
где у- коэффициент потерь, к - коэффициент жесткости. Следовательно, если параметр демпфирования принимать в виде (6), то декремент колебаний (4) становится частотно - независимым.
По аналогии с (6) в [1] предложена матрица затухания в виде
в = у(М • Я)1/2, где у - постоянный коэффициент потерь.
В работе [2] предполагается матрица затухания в виде
в = М (М ~'Я)1/2 Г,
где Г - матрица диссипативных коэффициентов.
Уравнение движения системы с учетом сил затухания записывается в виде
(7)
(8)
МУ + вУ + ЯУ = Р(Г),
где Б - матрица демпфирования.
Таким образом, учет силы затухания можно осуществить с помощью одной из представленных матриц демпфирования Б: (3), (7) или (8).
Пример. В качестве примера решим задачу об учете силы затухания на свободные колебания двухэтажной рамы, со следующими параметрами [3]:
М = т
где т = т = т2
Из решения частотного уравнения
" 1 0“ , Я=24ЕІ " 2 -1" , Б = ~Г= " 3 -1"
0 1 , £3 -1 1 -1 2
124 ЕІ ■ т
Г
12
Г21 (Г22 - т2&2)
= 0
находим
/ т13 ' Т = 3,8833/
1 24 Е/ \ 24Е/
Получены результаты численного решения системы дифференциальных уравнений
МУ+БУ+ЯУ = 0
при начальных условиях
ц =о2 = 0, о1 = 0, 3 = s / т = 1, Ц = ^2 = о с использованием матрицы демпфирования (7), аппроксимации по схеме (см. 4.20 [4]), у = 0,066 и т = 0,5.
На основе разработанного алгоритма были также получены результаты расчета трехэтажной рамы с единичными параметрами без учета затухания при заданных начальных перемещениях, соответствующих действием единичной силы, приложенной на уровне третьего этажа. В таблице приведены максимальные значения перемещений, а также изгибающего
момента и поперечной силы в опорной части рамы, полученные при двух значениях шага Г. Можно заметить, что при увеличении шага в два раза результаты практически совпадают, что свидетельствует об устойчивости решения.
Таким образом, разработанный алгоритм позволяет решать динамическую задачу с учетом затухания при различных воздействиях. Сходимость численных результатов при различных Г подтверждает достоверность численного метода.
Таблица
Результаты расчета трехэтажной рамы с единичными параметрами
т Цз М 0 во
0.02 0.05162 0.09101 0.1214 2.914 1.239
0.04 0.05198 0.09122 0.1217 2.921 1.248
Для динамической модели МСД с п сосредоточенными массами будем иметь систему из 3п уравнений, которую представим в матричной форме
МГ + бГ + ЯГ = Р ^),
где вектор внешних сил формируется исходя из заданной динамической нагрузки. Если в каждом узле будет приложено по три составляющие внешние силы, то вектор Р(/) запишется в виде
Матрица жесткости Я формируется также, как при решении статической задачи на основе формулы
Я = АСАТ, (10)
где С - квадратная матрица внутренней жесткости порядка 3п+3.
Записав систему уравнений (9) в момент времени ї„+1 дискретной оси времени и используя аппроксимации [4], получим
— ^ В ^ ^ ^
—МУп+1 + В БУп+1 + Я¥п+1 = Рп+1 +
Т Т п (11)
+ -- МУп + — МУп +-МЇп +В БУп +В2 БУ п +Вз БУп, т т т
где —, В - коэффициенты аппроксимации (табл.4.1 [4]), т— шаг по времени.
Систему уравнений (11) можно представить в виде
ях+1=р;+1, (12)
„ — В
где Я* = Я + —1М н—- Б - матрица жесткости динамической задачи, (13)
т т
а — а -
Р' = Р + а МГ + а МГп + аМГ +
п+1 п+1 п п 3 п
- вектор свободных членов; (14)
ВУ„+д БГ+ГР, БГп
Г
М- диагональная матрица масс, Б - матрица демпфирования.
Принимая матрицу демпфирования пропорционально матрице масс и жесткостей
Б = аМ + ЬЯ,
обобщенную матрицу жесткости и вектор свободных членов можно записать так
Я* = кхЯ+кМ,
Р = Рп +ми0 + аМо + ЬМ = Рп +М 00 + аД) + ьМ,
где введены обозначения
к1 =1+ьо—; к2 =у+ао—,
Г Г Г
- а - а ^ "
и =— V +—V +а¥
и 0 2 Гп ^ Г п ' а3Г п,
Г Г
— 1В —
«о =ВV + В2У, + ВзV. т
Если матрицу демпфирования принять в виде квадратного корня из произведения матрицы масс и жесткостей, умноженной на постоянный коэффициент потерь (7), тогда обобщенная матрица жесткостей запишется в виде
Я* = Я + — М + у—(МЯ)1П. т т
При этом вектор свободных членов приобретает вид
Р*= Рп+1 + Мио +г(МЯ)112 ■ <$>.
Можно легко заметить, что при рассмотрении статической задачи, в которой матрицы масс и демпфирования обращаются в нуль, система уравнений (12) превращается в систему уравнений
ЯГ = Р,
где Р - вектор-столбец статических сил.
Решение динамической задачи от действия нагрузки, произвольно изменяющейся во времени сводится к следующему. Вначале по формуле (10) формируется матрица жесткости Я. Исходя из условия устойчивости решения, выбираются шаги по времени г, которые можно принять в долях от периода основного тона свободных колебаний конструкции. Далее, исходя из начальных условий задачи при п=0 по формуле (14), формируется вектор свободных членов Р, по формуле (13) формируется матрица обобщенной жесткости, которая при выборе постоянного шага по времени будет иметь элементы не изменяющиеся во времени. Из решения (12) определяется вектор искомых перемещений V, соответствующий моменту времени ^. Далее вычисляется вектор деформаций, соответствующий также моменту времени
гг -*■
А = - лгк,
а затем по формуле (см. 2.15 [4] ) формируется вектор внутренних усилий
=с А.
Переход к следующему шагу по времени начинается с формирования векторов скоростей и ускорений, соответствующих моменту времени ^ . После чего по формуле (14) формируется новый вектор свободных членов Р , и вычислительный процесс повторяется шаг за шагом до тех пор, пока не будет рассмотрен весь отрезок времени, в котором исследуется динамическое поведение конструкции.
При изучении свободных колебаний, где вектор внешних сил обращается в ноль исходя из начальных условий, формируется вектор свободных членов (14), а далее вычисления производятся так же, как при исследовании вынужденных колебаний.
Автор выражает глубокую благодарность доктору технических наук, профессору Д.Н.Низомову за помощь, оказанную при обсуждении результатов статьи и полезные замечания.
Хорогский государственный университет Поступило 26.09.2007 г.
им. М.Назаршоева
ЛИТЕРАТУРА
1. Рассказовский В.Т. Основы физических методов определения сейсмических воздействий. Ташкент: ФАН, 1973, 160 с.
2. Клаф. Р., Пензиен Дж. Динамика сооружений. - М.: Стройиздат, 1979, 320 с.
3. Цейтлин А.И., Гусева Н.И. Статические методы расчета сооружений на групповые динамические воздействия. - М.: Стройиздат, 1979, 176 с.
4. Низомов Д.Н., Каландарбеков И. Метод сосредоточенных деформации в решении статических и динамических задач строительной механики. Душанбе: Ирфон, 2005, 289 с.
И.^аландарбеков
УСУЛИ ЧДМЪКУНИИ ДЕФОРМАТСИЯ^О БАРОИ ^АЛЛИ
МАСЪАЛА^ОИ ДИНАМИКИИ КОНСТРУКСИЯ^ОИ ^АМВОРИ
ЯКЧЕНАКА
Дар макола модели дискретии динамикии конструксия дар асоси методи чамъкунии деформатсиях,о дида баромада шудааст. Дар асоси алгоритми тартибдода-шуда натичаи х,исоби рамаи сеошёна, бе бахдсобгирии хомушшавй бо чойивазкунии ибтидоии додашуда, ки ба таъсири кувваи дар сатх,и ошёнаи сеюм гузошташуда мувофик аст, оварда шудааст
I.Kalandarbekov
THE METHOD OF FOCUSING DEFORMATION IN SOLVING DYNAMIC SCHEME FLAT SHANK OF CONSTRUCTIONS
This article is about discretion dynamic model of constructions on the basis of the method focusing deformation. On the basis of exploit algorithms were received the result of calculation three storied chassis with solitary parameters, without taking fade into account, corresponding act with solitary power, above the third floor.
