К УЧёТУ ПРОДОЛЬНО-СЖИМАЮЩЕЙ СИЛЫ Текст научной статьи по специальности «Физика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН __________________________________2007, том 50, №3____________________________

ТЕХНИКА

УДК 624.042

И.Каландарбеков К УЧЁТУ ПРОДОЛЬНО-СЖИМАЮЩЕЙ СИЛЫ

(Представлено членом корреспондентом АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 21.08.2006 г.)

Рассматривается применение метода сосредоточенных деформаций (МСД) к решению динамических задач строительной механики с учетом действия продольно-сжимающей нагрузки. Продольно-сжимающая осевая нагрузка, постоянная во времени, может вызвать потерю продольной устойчивости сооружения и оказывать влияние на жесткость системы. Предполагается, что силы, приводящие к потере устойчивости, остаются постоянными в течение всего динамического процесса нагружения. Осевая сила, направленная параллельно первоначальной оси элемента, вызывает дополнительные составляющие сил, которые действуют в направлении узловых перемещений.

В деформированном состоянии продольная сила Ып вызывает дополнительный изгиб,

который учитывается введением дополнительных изгибающих моментов, вычисляемых по формуле

М,=К-Щ=К0<р,с„

где - продольно-сжимающая сила, (р., с( - угол поворота и длина / - го элемента МСД.

Поскольку сами перемещения и углы поворотов элементов МСД зависят от изгибающих моментов, то задача решается методом последовательных приближений. При этом изгибающий момент от сжимающей силы будет входить в правую часть системы уравнений:

яХ+1 = С+^+1, (1)

й = М0-Гы, (2)

где вектор V - вектор перемещений, отличающийся от вектора V тем, что его элементы содержат только угол поворота, умноженный на длину элемента

=(0,с.

Решение динамической задачи с учетом продольно-сжимающей силы, приложенной вдоль оси стержня, сводится к следующему. Исходя из начальных условий, решается система уравнений (1) без учета продольной силы. Затем по найденному вектору перемещений формируется вектор (2) и решается уравнение (1) с последующим уточнением вектора N на каждом цикле приближения. Решение системы уравнений (1) продолжается до тех пор, пока

разность между двумя последними приближениями из элементов вектора V не будет меньше или равной установленной величине точности. Например, для контроля можно принять прогиб в центре балки

- ц;#+1 < &, (3)

где: м’- - прогиб /-го приближения; м>м - прогиб 7 + 1 -го приближения; е- число, назначаемое из требуемой точности расчета. Условие (3) удовлетворяется, если стержень сохраняет устойчивость, в противном случае условие (3) не выполняется и процесс расходится. После решения системы (1) и определения вектора V, соответствующего первому шагу по времени, вычисляются векторы деформаций и внутренних усилий

—► гр —► ——►

Л = -А% Я, = С\.

К началу второго шага формируется новый вектор Р* и решается система уравнений

/ГК2 = Р£,

а затем формируется вектор нормальных сил Й2, используя вектор V2. Последовательным приближением решается система уравнений

ЯТ2(,) = Р£+Щ>,

в которой на каждом шаге приближения уточняется вектор Проверив условие (3), вычисляются векторы Я, и Затем, сформировав новый вектор Д*, процесс вычисления последовательно повторяется.

Возможен и другой вариант физической модели учета влияния продольно-сжимающей силы, для которой осевая нагрузка действует на вспомогательную систему, состоящую из шарнирно соединенных элементов (рис. 1).

Рис.1. Динамическая модель МСД с учётом сжимающей силы.

Шарниры располагаются в точках, с которыми связаны поперечные перемещения, и присоединяются к балке стойками, которые передают только поперечные силы без осевых составляющих нагрузки. Поперечные силы р зависят от величины осевой силы N и от угла наклона. Они считаются положительными, если направлены параллельно положительной оси перемещений балки АВ.

Рис. 2. Равновесие элементов.

Поперечные силы р определяются из условия равновесия вспомогательной системы

(рис. 2)

Р^+,+ВД+1-щ)=о, ' -р+ЗД+1- Щ Ьо.

Систему уравнений (4) можно представить в матричной форме

(4)

N.

1 -1

-1 1

(5)

Записав зависимости (5) для всей системы, можно получить выражения для поперечных сил, действующих на балку и возникающих от действия сжимающей силы N . Эти выражения можно представить в матричной форме

Р = Ш,

где К называется матрицей геометрической жесткости, или матрицей жесткостей, определяемых геометрией системы [1]. Вектор поперечных сил Р можно записать в развернутом виде

'р 1/а +1/д12 -1/Д12 о . . о " Ж

Р2 -1/Д12 1/ Д12 +1/ Д 23 -1/Д 23 Ж

р і ■ = Nо о о о . . 1/Д , _ц+1/Д,_,+1... Ж і

Л. о о о . . о ...

Например, для балки с тремя элементами МСД матрица К приобретает вид

1

Л-1

Д,

Д,

0

1

(

1

1

)

1

0

'12 23

1

Д.

(

в.

Д,

)

Р = (Р1 ^з), Ж = (Ж1Ж2Ж3).

Для балки, представленной на рис. 1, эта матрица является трехдиагональной порядка п, и её элементы по главной диагонали характеризуют влияние двух смежных элементов.

Из общего динамического равновесия балки можно получить систему уравнений, которую запишем в матричной форме

МГ + ОГ + ЯУ-Ку = Р, (6)

где знак «минус» перед последним слагаемым левой части характеризует то влияние, которое силы р оказывают на прогибы системы (они вызывают увеличение прогибов, а не противодействуют им). В связи с тем, что вектор Ж заменяется на вектор V, поэтому вместо матрицы К используется расширенная матрица геометрической жесткости К1 порядка 3п. Например, для балки с тремя элементами МСД матрица Кі приобретает вид

К,= N о

о о о о

а.

о о о о о о

о о о о о о

о о о о о о

о о о о

о о о о о о

о о о о

о

о о (—+—) о о

о о о о о о

Д Д

12 ^ 23

о

о

о о о о о о —+ —

в. Д.,

Д

Д

23

1

1

1

Д

1

1

Д

Д

12

23

1

Д

Из уравнения (6) следует, что влияние сжимающей силы приводит к уменьшению

приведенной жесткости сооружения. После замены векторов скоростей и ускорений в (6) на

аппроксимирующие функции

- гу — — г/ ~т т:

у =-^-(У -V)- — V -аУ

' л+1 2 ^ и+1 п) *п 3 п ">

т т

-Т в - - ^ ~

К«=^(К,,-К,)-АК,-Г/),К,

получим систему уравнений

ЯХ+1 = К*, О)

в которой приведенная матрица жесткости и вектор свободных членов приобретают вид

ос В

л* =Л + ^М + -^В-К1 (8)

т т ’

При этом вектор свободных членов остается без изменения и записывается в виде

— — Г/ — Г/ ”

Р11 = Рп+г + -МУп + ~^МУп + аъМУп + т т

В -г - ’

+ ^ОУя+Р2ОУя+тРъВУя т

где М - диагональная матрица масс, Б - матрица демпфированная.

В частном случае, когда на систему действует только сжимающая статическая сила Ы0 и векторы скоростей, ускорений и внешних сил равны нулю, принимая г —» со из (7) с учетом (8), получим

{Я-К1)У = б,

откуда следует, что условие, при котором существует ненулевой вектор перемещений, соответствует условию статической потери устойчивости.

Таким образом, исследование динамической потери устойчивости по предлагаемому алгоритму сводится к определению численного значения сжимающей силы, при которой перемещения конструкции становятся большими и решение становится неустойчивым.

Хорогский государственный университет им. М.Назаршоева Поступило 21.08.2006 г.

ЛИТЕРАТУРА 1. Клаф Р., Пензиен Дж. Динамика сооружений. М.: Стройиздат, 1979, 320 с.

И.^аландарбеков OИДИ БА ^ИШБГИРИИ ЦУВВА^И ФИШУРДАШАВАНДАЕ, КИ БА ДАPOЗИИ БOЛOP PАВOHА КАРДА ШУДААНД

Даp мак;ола ду таpзи х,алли масъалаи бахдсобгирии к;уввах,ои фишypдашавандае, ки ба даpозии болоp pавона каpда шудаанд, нишон дода шудааст. Алгоpитми пешних,одшуда имконият медихдд, ки гумкунии yстyвоpии динамикии болоp аз таъсиpи к;уввах,ои фишурдашаванда бо к;имати ададй ёфта шавад.

I.Каlаndarbekov

ABOUT DEFINING THE POWER DECREASING DIRECTED TO THE LENGTH OF THE PILLAR

Two types of solving problems of decreasing power that directed to the pillar is shown in the article. Given algorithm gives an opportunity, that loosing fixed dynamic pillar from the influence of decreasing power is to be found with the given number.