CC BY
56
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _______________________________________2011, том 54, №8____________________________________
СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА
УДК 624.042
Член-корреспондент АН Республики Таджикистан Д.Н.Низомов, И.Каландарбеков
РЕШЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ ЗАДАЧ С УЧЕТОМ ГАСИТЕЛЯ КОЛЕБАНИЙ
Институт геологии, сейсмостойкого строительства и сейсмологии АН Республики Таджикистан,
Хорогский государственный университет им. М.Назаршоева
В статье рассматривается алгоритм решения задач на основе метода сосредоточенных деформаций, позволяющий исследовать нестационарные колебания зданий с учётом динамического гасителя, податливости реальных швов и основания.
Ключевые слова: динамическая модель - многомассовая система - динамический гаситель - сейсмическое воздействие - матрица жёсткости - податливость связей - матрица масс.
Динамическую модель многоэтажного здания любой конструктивной схемы упрощенно можно представить как многомассовую систему, состоящую из несущих вертикальных элементов, испытывающих деформации растяжения-сжатия, изгиба, сдвига, кручения и горизонтальных абсолютно жёстких дисков перекрытия. При этом предполагается, что жёсткие диски перекрытия и фундаментная плита имеют по четыре степени свободы. Степень свободы системы равняется ns = 4(nE +1) = 4n , где nE - число этажей, n = nE +1 -число конечных элементов.
Системы дифференциальных уравнений сейсмических колебаний многомассовой системы, соответствующие продольным, вращательным, крутильным и поперечным колебаниям, представляются в виде
n
mU г + CiUi + Z rilUl =~тгй 0(t X
j=1
n n
ЗугФг + СгФг + Z Гj = ~ Jy^0(t X JA + Сг% + Z rij (Wj ~ Qj6 j )вг = ~ X
j=1 j=1
n
mW + CiWi +Z ГУ (Wj - ej°j )ег = ^WoUX (1)
j=1
i = 1, 2, n.
Здесь: n — число масс; m., J.., J . — масса и моменты инерции вертикальных и горизонтальных элементов (жёстких тел); ег — эксцентриситет центра массы относительно центра жёсткости;
Адрес корреспонденции: Каландарбеков Имомёрбек. 734029, Республика Таджикистан, г. Душанбе, ул. Айни, 121, Институт геологии, сейсмостойкого строительства и сейсмологии АН РТ. Е-mail: kalandarbekov-55@mail.ru
и0, р0, #0, 0О — компоненты сейсмического воздействия; с — коэффициенты вязкого сопротивления; г — коэффициенты жёсткости; , 0 — углы поворотов элементов относительно осей X и У соответственно.
Предположим, что динамический гаситель установлен в пределах технического этажа здания с целью снижения амплитуды горизонтальных колебаний. Тогда к системе уравнений (1) добавляются ещё два уравнения, описывающие движения массы перекрытия с присоединённой массой гасителя:
П
т* # + тг^г + е^у, г= —т * (I),
п п 0-0- п п П ] п и\ /’
]=
та йс + т^п + ссйс + капа =—/с — т^о^Х
*
где тп = тп + тс, тП — масса покрытия, та — масса гасителя.
Коэффициенты вязкого трения для I — й массы и гасителя записываются так:
С = 2ЩmгXl (х.)/ Х1 (хи), / = 1,2,.., п, с0 = 2Аоа та, соа = ,
где £, Я — параметры вязкости здания и гасителя; Х1 (хи ), Х1 (х.) — смещения здания при собственных колебаниях по первому тону в точках П и \; щ — круговая частота, соответствующая основному тону собственных колебаний здания.
Пусть система имеет П масс в виде жёстких тел, включая фундаментную плиту. Тогда вектор-столбец искомых перемещений из 4п элементов записывается в виде
{V} = {| и1 (Р1 Wl 01 | и2 (Р2 ^2 02 I ••• I ип Рп 0п 1}Т,
где и ,Р, , 0 — линейные и угловые перемещения I — й массы: щ — перемещение вдоль оси X,
Р — угол поворота относительно оси У , щ — горизонтальное перемещение по оси Z , 0 — кручение
прямоугольного элемента. Предполагается, что сейсмическое воздействие представляется в виде четырёхкомпонентного вектора
{^} = {ио ро що 0о}Т,
где и0 (?), щ ^) — ускорения грунта основания в продольном (вертикальном) и поперечном (горизонтальном) направлениях; р0 (?), 0О (?) — ускорения вращательных движений грунта основания
вокруг осей У и X соответственно. Матрица масс формируется как диагональная матрица из 4п элементов
[М] = ^{| т 3У1 т JX1 1 т2 Jy2 т2 ^х2 1 • 1 тп Jyn тп ^хп |} .
Введём вектор-столбец сейсмического воздействия
{Р0} = [М*]{К0}, (2)
где [М ] - матрица масс размера 4п х 4, которую можно записать в виде блочного столбца
[М•] = {ш[ т,.......,т-я }т,
т'Я = М1а^ут1 3 у1 тг 3Х1 ), I = 1, 2,..п.
Квадратная матрица затухания [П] 4п -го порядка также предполагается диагональной
[П] = ^а£{| С1„ С1^ С1№ сю | с2„ ^ ^ С2в I . I Спи Спу Сп^ Спв 1} .
Систему дифференциальных уравнений движения многоэтажного здания представим в виде
[М] {V}+[П]{У}+[^]{К} = -га (3)
где [^] - матрица внешней жёсткости системы.
Матрица внешней жёсткости системы строится по формуле
[Я] = [А] [С][А] ,
(4)
где [С] - квадратная матрица внутренней жёсткости 4(п +1) -го порядка; [ А]т - транспонированная матрица [А]. Матрица внутренней жёсткости для конечного элемента МСД, испытывающего продольные деформации, деформации изгиба, сдвига и кручения, можно сформировать исходя из податливости фиктивных связей, установленных между элементами.
Податливость связей по линиям между смежными элементами і и і +1 будет характеризоваться матрицей податливости
[В]і+і = [В]і+і, + [В]і+і,+і
0 0
£3
1
0
ЕІ(
0 0
0 0
0
0 0
1 0 1
ок
0
, [ В]
— а
і+1,і+1 аі+1
ЕКа
1
0
ЕІ,
0 0
0 0
0 0
0 1
Матрица внутренней жёсткости для всей системы записывается в виде
[С] = й\ад(Сх С2 .СяСя¥1)г
где С1 = В- = Мад(ки к9 к„ кв).
ок,
0
0
0
1
оз„
1
1
Ь
0
Таким образом, сформировав матрицу внутренней жёсткости, по формуле (4) строится матрица внешней жёсткости. Далее предположим, что в плоскостях , где / = 2, 3, ., п, кроме собственных деформаций элементов, сосредоточены деформации реальных связей. Следовательно, конечные элементы МСД соединяются между собой таким образом, что создается реальный шов в вертикальных несущих элементах здания. Тогда податливость такого шва выражается следующим образом:
[В]г,1=[Ви + [В]г+1,г+1 + [В]о,
где [В]0 - податливость реального шва. Допустим, что реальный шов шириной Н0 состоит из упругих элементов, испытывающих деформации растяжения-сжатия, изгиба, сдвига и кручения. В этом случае элементы матрицы жёсткости соответствующим деформациям представляются в виде
С = {(С)-1 + С1)-1 + (с0)-1}-1, (5)
здесь с = Щ / Ьг, с,.+1 = ЕРМ / а+1, с0 = Ер0 / К .
Последовательной заменой ЕР на Е1, ОР, 03 из (5) получим коэффициенты жёсткости соответственно при изгибе СМХ, сдвиге С®+1 и кручении СМ( . Таким образом, матрица жёсткости сечения / +1 с учётом деформации реального шва приобретает вид
Сы = Ма^р+ СМ+1 С+ СМк).
Теперь мы вернемся к уравнению (3) и построим алгоритм численного решения. Для этого аппроксимации [1] представим в векторной форме, а затем, внося их в (3), получим следующую систему алгебраических уравнений
[Я*]{¥} = {Р*}, (6)
[К] = [В]+« [М ] + $ [П],
{П = {Р} + [М ]{а} + [ П]{Ь} -{Ро},
{а} = а. {V}+«Я {V}+а3* {V},
{Ь}=$;{у }+&№+
а*=а /т2 а. = а/т Р\ = Р\/? ^ _тр
{Р} - вектор-столбец заданной динамической нагрузки; {Р0}- вектор-столбец, определяемый по формуле (2). В связи с тем, что к массе шп здания присоединяется масса ша пружинного динамического гасителя горизонтальных колебаний, предпоследнее уравнение в системе (6) представляется в
виде
2 Г-7 Г-7 Г-7 ••
1 + ... + ^4п-1,4п-2^4п-2 + Г4п-\,4п-^4п-1 + Г4п-1,4п^ 4п = -Ш4п-1%0 + Я4п-1
где г - коэффициенты матрицы [В*], {Z} = (2\ Z2 -.^4и)Т - вектор-столбец искомых перемещений со сквозной нумерацией всех элементов,
44 я а12ш<0 * * — —
г = г -----1—0 г = г + т —1—+ с —-
Г4п-1,4п-1 Г4п-1,4п-1 4 я ’ Г4п-1,4п-1 Г4п-1,4п-1 + т4п-1 2 + сп ’
Т Г ОО Т Т
Я а\ —1 7 Я
Г00 = т0— + со — + к0 , т4п-1 = т4п-1 + т0 ,
Т т
2
жж тО а1 ж * Цо тО а1 £ тО а1 Т>
т4,п-1 —--------ТТ^ + тп Чп-1 = Ц 4п-1---------------------------ЖГ-~^± + /о^Т^ + 4п-1
Т гоо гоо Т Т гоо
* 1
Я4п-1 = т4„-1а4„-1 +с4п-1Ь4п-1 + т0а0 ,
— а2 • -г. —1 /э - о --
а4п-1 =— % п +---------% п +«3 % п > Ь4п-1 =— % п +$2% п + —%п .
Т Т т
К системе уравнений (6) добавляется ещё одно уравнение, описывающее движения динамического гасителя. Это уравнение имеет вид
Го,4п-1Z4п-1 + гОо%о = Яо -/о -то%о , (7)
где г0 4п-1 = т0 -Ъ Z4п-1 = %п , Яо = т0 (а0 + ап ) + с0Ь0 ,
Т
— — . — —
а„ = —1 wг +—- % +— %, а = —1 % +—- % + — %
О 2 О О 3 О > п 2 п п 3 п
Т Т Т Т
Ьо =— %о + $2 % + Т—3 %о , /о = РТР йф % .
Т
Из (7) определяется перемещение массы гасителя в зависимости от перемещения %
( £ \ тг а тг тг а„
о 1 - —----------°їїп +
2 ж п п ж 0 ж
V Т гоо гоо гоо гоо J
а затем с применением аппроксимации вычисляются скорость и ускорения массы гасителя.
Построенная квадратная матрица жёсткости [Я * ] 4п -го порядка, а также сформированный вектор правой части {Р } позволяют приступить к решению системы уравнений (6). На каждом шаге по времени система уравнений (6) решается итерационным методом. Вектор абсолютных деформаций определяется по формуле
{!} —-[А]т {V}, а затем вычисляется вектор внутренних усилий
М—[С ]М.
При этом на каждом шаге по времени вычисляются векторы скорости и ускорения
{V]k =fi({V]k - {V}k_1)-p2{V}k_,-Р'Ж-1,
{V}k =a*({V}k -{V}^)-^{Vb-i-a3{V}k-r.
Таким образом, предлагаемый алгоритм на основе метода сосредоточенных деформаций с использованием шагового способа интегрирования позволяет исследовать нестационарные колебания многоэтажных зданий с учётом динамического гасителя, податливости основания и реальных швов.
Поступило 28.06.2011 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Низомов Д.Н., Каландарбеков И. Метод сосредоточенных деформаций в решении статических и динамических задач строительной механики. - Душанбе: Ирфон, 2005, 290 с.
^.Н.Низомов, И.Каландарбеков*
ХДЛЛИ МАСЪАЛА^ОИ ДИНАМИКИ БО НАЗАРДОШТИ ЛАППИШХОМУШКУНАК
Институти геология, сохтмони ба заминцунбй тобовар ва сейсмологияи Академияи илм^ои Ч,умхурии Тоцикистон,
*Донишгох,и давлатии Хору г ба номи М.Назаршоев
Дар мак;олаи мазкур рохи хдлли масъала дар асоси методи чдмъкунии деформатсияхо, ки имконияти тахдщоти лаппишхои гайристасионарй бо хдсобгирии пасткунаки динамикй, кдишии дарзхои вок;еъи ва тахкурсй доранд оварда шудааст.
Калимщои калидй: модели динамики - системаи бисёрмасса - пасткунаки динамики - тщсироти сейсмики - матрисаи сахти - цаишии алоцацо - матрисаи масса.
J.N.Nizomov, I.Kalandarbekov*
SOLUTION OF PROBLEMS IN VIEW OF VIBRATION ABCORBER
Institute of Earthquake Engineering and Seismology, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan,
*M.Nazarshoev Khorog State University In the present article the algorithm for the problem’s solution based on the method of concentrated deformations, allowing to investigate non stationer vibration of buildings with taking into account dynamic damper, compliance of the real joints and the basement.
Key words: dynamic model - many mass system - dynamic damper - seismic impact - rigidness matrices -compliance of junctions - mass matrices.
