CC BY
79
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2017, том 60, №3-4_
СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА
УДК 624.042
Член-корреспондент АН Республики Таджикистан Д.Н.Низомов, И.Каландарбеков, И.И.Каландарбеков
СПЕКТРЫ СЕЙСМИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ НА ВОЗДЕЙСТВИЕ В ВИДЕ
ЗАДАННОЙ АКСЕЛЕРОГРАММЫ
Институт геологии, сейсмостойкого строительства и сейсмологии АН Республики Таджикистан
Разработаны алгоритмы и программы численного решения задач спектра реакци ствия в виде записей акселерограмм. Численным моделированием получены спектры реакций многомассовых систем. Исследуются спектры реакции на воздействие детерминировано-заданной акселерограммы, соответствующей 9-балльному землетрясению. В результате получены спектры перемещения, скорости и ускорения, а также внутренних усилий в динамической.
Ключевые слова: сейсмическая опасность, спектральный метод, спектральный анализ, динамическая модель здания, поэтажный спектр, амплитудный спектр, расчетный спектр, синтезированная ак-
итудный спектр, расчетный спектр,
Г.......
селерограмма.
Одним из наиболее важных параметров колебаний поверхности земли при землетрясениях является амплитудный спектр Фурье, который широко используется при оценке сейсмической опасности и для прогноза характеристик сильных движений. Определение спектральных характеристик и установление их зависимости от параметров землетрясений (магнитуда, эпицентральное расстояние, глубина очага, грунтовые и геологические условия) представляет практический интерес.
Спектральный метод оценки сейсмических сил с использованием инструментальных записей землетрясений в настоящее время принят в качестве основного в нормативных документах на проек-
тирование и строительство сейсмостойких сооружений [1]. Например, имея спектр ускорения, соответствующий динамической модели здания, как обобщенной системы с одной степенью свободы, можно найти максимально возможную для этой модели сейсмическую нагрузку при колебании ее основания по закону принятой при построении спектра акселерограммы.
Рассмотрим непериодическую вещественную функцию времени /(г) и комплексную функцию F(а), которые представляются парой преобразований Фурье [2,3] - интегралом Фурье и спектральной плотностью:
1 ш
Г (г) = — \ F (а)Л^, (1)
Адрес для корреспонденции: Низомов Джахонгир Низомович, Каландарбеков Имомёрбек. 734029, Республика Таджикистан, г.Душанбе, ул. Айни, 267, Институт геологии, сейсмостойкого строительства и сейсмологии АН РТ. E-mail: [email protected], [email protected]; [email protected]
F(a) = j f (t)e-Mdt, (2)
t=—j
где t - время, a - угловая частота, i = V—1 - мнимая единица. Интеграл Фурье (1) выражает непериодическую функцию f (t), которая удовлетворяет условиям Дирихле [4] в виде бесконечно большого числа синусоидальных колебаний с бесконечно близкими частотами и бесконечно малыми амплитудами F(a)da . Функция f (t) в (2) может быть задана в аналитической форме или в виде ряда наблюдений. В случае, когда функция f (t) описывает физический процесс на конечном отрезке времени [t0, tj , то интегрирование в (1) выполняется в пределах от t0 до t1. Спектральная плотность F (a) в общем случае комплексной функции частоты может быть представлена в алгебраическом и показательном виде
F(с) = f f (t)e-iatdt =
F (с) = F (a)|e^(a), (3)
a(a) = í f (t) cos atdt, b(a) = f f (t) sin atdt, (4)
S'=—j
= a(a) — ib(a) ,
| F(р) Н>/a» + b» , <p(a) = arc tg[b(a) / a(p)]. (5)
Здесь a(a), b(а) - составляющие спектральной плотности (коэффициенты Фурье), модуль | F(р) | определяет амплитудный, а аргумент <р(а) - фазовый спектр сигнала f (t). Полная энергия сигнала f (t), согласно теореме Парсеваля [2], определяется как интеграл квадрата модуля его амплитудного
спектра
д'У ДА
...
i ^
—J| F(a) |2da , (6)
F(a) |2
F (a) |2 = a2(a) + b2(a);
где | г (Ю) | - энергетическим спектр или спектральная плотность энергии.
Например, для прямоугольного импульса /(/) = р, продолжительностью действия т , спектральная плотность и амплитудный спектр представляются в виде
т/2
F(a) = f f (t) e"iatdt = p f e"iatdt = —P(e— e
, n ia^
—j t=—г/2
= 2psin(ar/2)/a = prsin(ar/2)/(aг/2) ,
| ^(а)|= рт ^п(ат /2)|/(ат /2), (7)
а обратное преобразование приводит к следующему выражению
2 *
f(г) = — I a(а)cosаtdа. (8)
'ТГ
а=0
Для треугольного импульса, где f (г) записывается в виде
f(t) = р [1+г/(т/2)], -т< г < 0; f (г) = р [1-г/(т/2)], 0 < г < f(t) = о, г<-т/2 и
спектральная плотность и амплитудный спектр приобре
0 < , „ ,2;
и г >Т/2,
риобретают вид
F (а) = | /(г) ешА = (рт /2) ^т(®т /4)/(ат /4)]2,| F (а)|= (9)
*
Таким образом, спектральный анализ функции f (г) сводится к определению модуля спектра Фурье. Для определения спектра сейсмических колебаний можно использовать оцифрованную сейсмограмму (велосиграмму или акселерограмму) землетрясений, взрывов или микросейсм. Вычисление интегралов (4) можно производить методами численного интегрирования [5,6] или методом дискретного преобразования Фурье на основе алгоритма «быстрого преобразования Фурье» [7].
Если использовать численное интегрирование формулой Симпсона, которая обладает повышенной точностью для полиномов не только второй, но и третьей степени [5], то интегралы (4) представляются в виде
2Дт) + — [ / (г - 2Дт) • ^ а (г - 2Дт) +
1 - 2Д т) • sin а (г - 2Дт) +
а(а) = £ (г - 2Дт) + -Д"
+ 4 / (г - Дт) • а(г - Дт)+/ (г) • ^ а(г)]
А
+ 4 / (г - Д т) • sinа(t - Д т) + / (г) • sin а(г)], (10) | F(®)|=7а2 (а) + Ъ2(а),
езультат су
где ^ ( г - 2Дт) - результат суммирования для предшествующего интервала времени г - 2Дт, Дт - шаг интегрирования, = 3 - коэффициент Симпсона. Численный процесс суммирования осуществляется в конце каждого шага 2Дт , который разбивается на 2 равных части. Численное интегриро-
вание в (10) производится при ак = кДс, к = 0,1,2,...,N , а затем по формулам (5) вычисляются амплитудные и фазовые спектры функции / (?) .
Пример 1. Разработанная программа численного расчета спектров Фурье была протестирована на примере прямоугольного и треугольного сигналов, точное решение которых имеет вид (7)-(9). На рис. 1 амплитудные спектры, полученные численным интегрировани зниваются с данными
точного решения при р = 1, т = 0.25 с.
Рис.1. Амплитудные
а,
рямоугольного и треугольного импу.
практиче
льса.
чески совпадают с точным
л/с2), то амплитудный спектр
Сравнение показывает, что результаты численного решен решением. Отметим, что если р является импульсом ускорения | F(с) | будет иметь размерность скорости (см/с).
Пример 2. Исследуются спектры реакции 9-этажного здания на воздействие детерминирова-но-заданной акселерограммы, соответствующей 9-балльному землетрясению. В результате решения системы дифференциальных уравнений с за мещения, скорости и ускорения дели.
заданным
корением основания получены спектры пере-
<> ^ С
Спектры реакции многомассового осци.
с периодом колеб;
, а также внутренних усилий в заделке консольной динамической мо-
Таблица 1
сциллятора при воздействии акселерограммы колебаний 0.3 с, т = 0.01
Т, с w9 мм ^ 9 м/с м/с2 М 0 тм Qo т
0.150 3.957 0.0875 1.880 41280 2929
0.270 24.54 1.199 54.40 102800 5854
0.366 19.29 0.9139 45.27 37790 1257
0.411 31.27 0.6371 13.22 19850 398
0.646 19.50 0.3939 8.202 2946 541
0.803 23.54 0.4822 10.11 1636 794
1.100 20.48 0.4132 8.690 1632 870
В табл. 1 представлены максимальные значения перемещения, скорости и ускорения, а также изгибающего момента и поперечной силы на опоре в зависимости от периода основного тона колеба-
ний здания. Эти результаты получены от действия (11) с периодом колебаний Гакс=0.3 с без учета инерции поворота, кручения и затухания в зависимости от периода колебания здания.
Таблица 2
Спектры реакции многомассового осциллятора при воздействии акселерограммы
с периодом колебаний 1.25 с
T с W9 мм w 9 м/с W9 м/с2 M0 тм 00 т
0.150 3.101 0.0154 0.1369 31870 2443
0.374 22.15 0.1082 0.7305 19570 1602
0.411 26.94 0.1266 0.8963 19050 1562
0.646 82.03 0.4731 2.181 22390 1722
0.803 174.0 0.9347 5.239 30150 2126
1.100 692.7 4.257 19.70 59760 3314
В табл.2. представлены те же результаты при Такс=1.25 с. Период < T-í здания получен на основе численного решения динамической задачи от действия мгновенного
»азличных жесткостных ха{
новного тона колебаний
I
1яа Л/
импульса для одной и той же динамической модели при р колонн и ядра жесткости.
Вывод. На основе полученных результатов можно заклю1
характеристиках
ботанные алгоритмы
и программы численного моделирования на основе метода сосредоточенных деформаций позволяют проводить исследования по вычислению спектров сейсмической реакции многомассовых систем.
Поступило 09.01.2017 г.
1. Biot M. Theory of vibration of buildings during earthquake. - Zeitschrift für Angewandte Mathematik and Mechanik, Band 14, Heft 4, August, 1934.
2. Бат Маркус. Спектральный анализ в геофизике. - М.: Недра, 1980, 535 с.
3. Харкевич А.А. Спектры и анализ. - М.: Гостехиздат, 1957, 236 с.
4. Саваренский Е.Ф. Сейсмические волны. - М.: Недра, 1972, 294 с.
5. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. - М.: Наука, 1970, 664 с.
6. Клаф Р., Пензиен Дж. Динамика сооружений.- М.: Стройиздат, 1979, 320 с.
7. Cooley J.W., Lewis P. id Electronic E ers Transactions, Education, 1969, №12, рр.27-34.
A £
Welch P.D. The fast Fourier transform and its applications. Institute of Elec-Transacti
Ч,.Н.Низомов, И.^аландарбеков, И.ИДаландарбеков
СПЕКТРИ ЛАППИШХРИ СЕЙСМИКЙ АЗ ТАЪСИРИ БА НАМУДИ АКСЕЛЕРОГРАММАИ ДОДАШУДА
Институти геология, сохтмони ба заминчунбй тобовар ва сейсмологияи Академияи илм^ои Цум^урии Тоцикистон
Алгоритм ва барномаи коркардшудаи далли ададии аксуламали спектри бо таъсири сейсмикие, ки ба воситаи акселерограммадои заминчунбй дода шудаанд, тадкикот гузаронида шудааст. Эътимоднокии натичадои дисоб дар далли мисолдои мукоисавй исбот карда шудааст. Бо роди моделкунии ададии аксуламали спектрии системадои бисёрмасса пайдо карда шудаанд.
ели динамикии
Калима^ои калиди: хатари сейсмики, методи спектрали, таулили спектрали, моде.
6uho, cneKmpu owenaeu, cneKmpu mnnuw, cneKmpu %uco6u, аксе^ерограммаи cyHbu.
YA
J.N.Nizomov, I.Kalandarbekov, I.I.Kalandarbekov
SPECTRA SEISMIK VIBRATIONS ON IMPACT IN T
OF A GIVEN ACCELEROGRAMS
\
Institute of Geology, Earthquake Engineering and Seismo* Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan
Algorithms and software for numerical solution of problems of the spectrum of reactions to the effects in the form of records accelerograms. Numerical simulation of the spectra of the reactions multibody systems. The spectrum of the reaction is determined by the effect-given accelerograms corresponding to the 9-point earthquake. As a result, the spectra of displacement, velocity and acceleration, as well as internal forces in the sealing of a dynamic model of the console. Key words: seismic hazard, spectral method, spectral analysis, dynamic model of the building, a floor range, amplitude spectrum, design spectrum, synthesized accelerogram.
