CC BY
14
РЕШЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКОИ ЗАДАЧИ ПЛАСТИНЧАТОЙ СИСТЕМЫ
И. Каландарбеков
В статье излагается решение динамической задачи на основе пространственной расчетной модели методом сосредоточенных деформаций (МСД) с применением шагового метода интегрирования. Рассмотрим пространственную систему, которая состоит из несущих элементов, соединенных между собой связями. Например, физическую модель бескаркасного здания можно представить в виде системы пластинок, соединенных между собой в общем случае податливыми связями [3]. Наиболее совершенной является расчетная модель бескаркасного здания в виде пространственной системы пластинок, соединенных между собой тем или иным способом, где отдельные пластинки могут иметь проемы. Примером такой системы может служить крупнопанельное здание.
Несущие элементы крупнопанельного здания (продольные и поперечные стены, плиты перекрытия) соединяются между собой реальными горизонтальными и вертикальными швами, объединяющими, как правило, два, три или четыре элемента. Линию пересечения срединной плоскости элементов в реальных швах обозначим через Ьг (г = 1, 2,..., пг), где пг -число реальных швов. Множество этих линий образует «каркас» пространственной системы, который «заполняется» несущими элементами. Если в первом приближении ограничиться разбивкой пластинчатой системы в пределах указанного каркаса, то получим расчетную модель объекта, состоящую из суперэлементов МСД, каждый из которых имеет область
О.ж (^ = 1, 2, ..., п) . В этом случае на линиях Ьг сосредотачиваются собственные деформации элементов и деформации реальных связей. В общем, такая расчетная модель будет иметь 6п степеней свободы, где п - число суперэлементов, включая элементы фундаментной плиты на упругом основании. По полученным данным напряженного состояния пространственной модели производится расчет каждого из суперэлементов на заданные усилия по их граням.
С целью более точного анализа напряженно-деформированного состояния системы область О ж с помощью плоскостей (/ = X, у, z),
перпендикулярных срединным поверхностям суперэлементов, разбивается на ряд неперекрывающихся подобластей или элементов О е е О ж (е — 1, 2,..., п,,), где п,, - число элементов, на которые разби-
4/2008
ВЕСТНИК _МГСУ
вается каждый суперэлемент. На линиях L , полученных в результате
пересечения плоскостей Q(. со срединными поверхностями
а
сосредо-
тачиваются собственные деформации элементов О . Таким образом, расчетная модель пластинчатой системы метода сосредоточенных деформаций состоит из множества конечных элементов, соединенных между собой упругими или упруго-пластическими связями, в которых сосредотачиваются собственные деформации элементов и деформации реальных швов. При этом каждый элемент рассматривается как твердое тело с шестью степенями свободы. Три линейных и три угловых перемещения, соответствующих центру масс элемента, определяют его деформированное состояние. Положение произвольного элемента О-, как твердого тела в пространстве, можно определить относительно неподвижной (инерциаль-ной) системы прямоугольных координат ОХ-, Хг Х3 . Положение подвижной
системы 3, неизменно связанной с телом, относительно непод-
вижной системы ОХ, Х2 Х3 определяется тремя координатами ее полюса О- и тремя углами между осями ОХ-,ХгХ3 и 23, которые харак-
теризуются направляющими косинусами. Взаимные ориентации осей неподвижной системы ОХ,ХгХ3 и подвижной системы 23 определяются также углами Эйлера [2].
При малых величинах углов вращения, что соответствуют интенсивности 7-8 баллов, взаимосвязь между векторами поступательного движения и (?) и вращения #(?) выражается так [5]
a(t) = -rotu(t) --1 Vxu--1 (e—+e—+e—1 x(e:ui + e2u2 + e3u3)
dx1
dx.,
dx-,
- e1a1 + e2a2 + e2a3,
1
гДе a, =-1 2
d u3 du2
V5x2
dx.
a2 = — 2 2
1 ( du1 du: л
dx3 dx-
(1)
1
a3 = — 3 2
du2 du1 dx1 dx2
ej (i -1, 2, 3) -орты в системе координат ox x2x3, u; (i — 1, 2,3)-компоненты вектора перемещений u(t), ocj (i = 1,2,3)- компоненты вектора вращения oc(t) . Исходя из (1), можно получить векторы угловой
скорости и ускорения
■ 1 ■ ... a(t) = -irot u(t) - + e2a2 + e3a3,
¿(г) =1 гагд(г) = е^ + в2а2 + в3а3. (2)
В работах [5,6] даны оценки вращения грунта на основе коэффициента ротации поля сейсмического движения грунта № — СС3 / Ц, который
принимает значения от 110 ' до 5 -10 рад/м.
Уравнения малых пространственных колебаний можно представить в матричной форме
[ м ]{Ц}+[0]{й}+[ Я](и} = -[ М ]{Ц},
(3) {и} = ({ц},^}.....{ип })Т,
{и,} = ^^ и,2, и^ а^ а,2, а,з}Т,
{Ц,} = ({Цп},^}.....Нп })Т ,
К} = , lU0i2, U0i3, «ол , ,2 , ,3} ,
где {и} - блочный вектор-столбец перемещений; и} (у = 1,2,...,п) - вектор-столбец линейных и угловых перемещений
у - го элемента; {Ц^}- блочный вектор-столбец сейсмического воздействия. Если учитываются угловые ускорения поворотов системы осей С>о Хо, Х02 Хоз относительно своего начала, то элементы вектора {Ц^} представляются в виде [5]
{%} = ({Х)у-}, Ку}) Т , {*0у} = (Ы4> (Г) + [«о1 ]{Х0}) , {¿¿оу} = [РуК (г). (4)
Здесь: - матрица линейного преобразования базисных векторов в системах с>о Хо, Хо2 Хоз и ОХ, Х2 Х3; [^у ] - матрица линейного преобразования базисных векторов в системах Оу^у1^у2^у3 и ооХо1 Хо2Хо3; г^гооо 1 Т
{Ху } = {Х,у Х2у Х3у} - вектор, определяющий положения начала отсчета систем Оу^у1^у2^у3 относительно осей ооХо1 Хо2Хо3, где ( /= 1,2,3)-координаты центра масс элемента у в системе отсчета Оо Хо1 Хо2 Хо3. Если системы отсчета <щ Х2 Х3 и Оо Хо1 Хо2 Хо3 одинаково ориентированы в пространстве (оси параллельны), то сводится к единичной матрице. Матрица [^у- ] также сводится к единичной матрице, если оси
4/2008_М|ВЕСТНИК
и о0х01 х02х03 параллельны. В (4) произведение [¿¡:'01 }
(5)
определяет вектор касательных ускорений центра масс , - го элемента, где
0 -«зоМ «2оМ [«01] = «30М 0 -¿^(О
_-«2оМ «ю(0 0 _
Что касается матрицы коэффициентов демпфирования [ О], то она в общем случае не является диагональной. При шаговом методе интегрирования дифференциальных уравнений (4), в отличие от метода сложения форм колебаний, можно использовать любую систему коэффициентов затухания, которые отражают различные уровни диссипации энергии в элементах конструкций. Матрица [ О] без ограничения общности может рассматриваться как симметричная матрица, где б, = ( / Ф j) . Предположим, что положение всех масс определяются 6п независимыми координатами х, ( / = 1, 2,...,6п) . Пусть эти координаты представляют собой
линейные перемещения центров масс и повороты этих тел относительно главных центральных осей инерции элементов системы от равновесного положения. Тогда потенциальную и кинетическую энергию упругой системы и диссипативную функцию Рэлея, описывающую силу вязкого трения, можно представить в виде [1]
1 _6" _6" -I 6п 6п 1 6п 6п
и=¿ц^х,, г=, ф=-^Ц^х,. (6)
2 /=1 ,=1 2 /=1 j=1 2 ¡=1 >1
Внося (6) в уравнение Лагранжа 2-го рода
д{дГ^ | 8Ф 8(Г- и) = 0,, (7)
\к8Х/) дХ / дх,
где обобщенные силы = Р ( / = 1,2,...,6п) - внешние возмущающие силы, соответствующие перемещениям х1, получим систему уравнений
6п 6п 6п
X т х, Г,Х, = Р(г) ( / = 1,2.....6"),
>1 ,=1 ,=1
которую можно записать в матричной форме (заменяя х, на и,)
[МШ + [щи} + [Я]{и} = {Р(ь)}. (8)
При силовом воздействии (8) основание пространственной системы остается неподвижным.
С целью численного решения (3) или (8) искомая функция на отрезке времени [Ьп, Ьп+1 ] аппроксимируется полиномом второго порядка, в
результаты чего векторы обобщенных скоростей и ускорений представляются в виде [4]
{¿»л+1 = X ({и ь - {и)п )-рг{0}п-р;{0}п, (9)
{¿/}„+1 =«; ({и }п+1 -{и }„ )-«2'{и»п+«з{и}, (ю)
а* = ал /Дг2, Д* = /Зл /Дг, а2* = а2 /А?, Д* = ДгД,
где , - коэффициенты аппроксимации, А? — шаг интегрирования. Внося (9) и (10) в (8), получим
м «;{и}п+1 + [й]-р*{и}п+1+[я] • {и}^ =
[М ] -(«12{и }п +а*{и }п +«з{и>п)+
+ [ й ] ■ (р 1 {и } п + Рг{и } п + Аз2(Ц>' } п )+ { Р ( г)} п +1. (11)
где {и} - вектор, компонентами которого являются линейные перемещения и углы вращения центра масс. Систему уравнений (11) можно записать в стандартной форме
[£-]{и}„+1 = {Р'} п+1'
(12)
[Я2] = а,[М] + /[й] + [Я], (13)
где [Я] - обобщенная матрица жесткости, а =а1/ А г2, /3 — Д / А?. Для диагональной матрицы масс [М] и матрицы затухания [й] матрица [Я2]будет отличаться от матрицы [Я]только главными элементами. Вектор правой части {Р }п+1 в (12) можно записать в виде суммы трех составляющих
{Р'}п+1 = {Рт}п + {Р, }„ + {ЯО}^ (14)
где
{ Рщ }п = [М ]{0от }п, {Р, }„ = [й]{иос }„ ,
{иот }п = а*{и }„ +а2{и }п + аз{0}п,
{и, } = ${и }„ +рг{и }„ + АфзФ}п.
Для получения матрицы внутренней жесткости [С] предположим, что пластинчатая модель состоит из п суперэлементов. Следовательно, элементы будут соединены между собой горизонтальными и вертикальными швами, где сосредотачиваются собственные деформации элементов и деформации реальных связей. Две взаимно перпендикулярные срединные поверхности элементов и О. у пересекаются и образуют линию 1-г в ребрах системы. Предполагается, что линия 1-г является осью невесомого элемента О г сечением А; х А у и длиной, равной длине гра-
4/2008_М|ВЕС"ТНИК
ней соединяемых элементов. Величины А, и А, можно принять равными соответствующим толщинам элементов. Коэффициенты матрицы внутренней жесткости [С], в общем, записываются так:
С, = [с-1 + с;1 + о^, (15)
где с 1г, с,г -жесткости элементов О, и Оj на соответствующих гранях, сг -жесткость элемента реальной связи О г.
Таким образом, решение динамической задачи пластинчатой системы методом сосредоточенных деформаций сводится к следующему. Выбираются системы прямоугольных координат и производится нумерация элементов и сечений. Формируется матрица масс и задается матрица затухания. Выбирается шаг интегрирования. Вычисляется матрица внешней жесткости, а затем по (13) формируется матрица обобщенной жесткости. В зависимости от вида внешнего воздействия формируется вектор правой части, соответствующий начальному моменту времени. Из решения (12) определяется вектор перемещений, соответствующий концу первого шага по времени. Определяется вектор деформаций, а затем вычисляется вектор внутренних усилий. Для начала второго шага интегрирования по (9) и (10) формируются векторы скоростей и ускорений, а дальше все последовательно повторяется до момента завершения динамического процесса.
Литература
1. Вибрации в технике: Справочник. В 6-ти т.- Т.1.Колебания линейных систем.-М.: Машиностроение, 1978.-352 с.
2. Ганиев Р.Ф., Кононенко В.О. Колебания твердых тел.- М.: Наука, 1976.- 432 с.
3. Лишак В.И. Расчет бескаркасных зданий с применением ЭВМ.- М.: Стройиз-дат,1977.-176с.
4. Низомов Д.Н., Каландарбеков И. Метод сосредоточенных деформаций в решении статических и динамических задач строительной механики.- Душанбе, «Ир-фон», 2005.-290 с.
5. Николаенко H.A., Назаров Ю.П. Динамика и сейсмостойкость сооружений.- М.: Стройиздат, 1988 - 312 с.
6. Ньюмарк Н., Розенблюэт Э. Основы сейсмостойкого строительства.- М.: Стройиздат, 1980.- 344 с.
E&öäf gäio: Iöiö. eäö. noöi eoäeüi i e i äöäi eee i ÄNO äi eo. oäöi. i aoe BÖ. Aaaääm а
