Метод сосредоточенных деформаций в решении статических задач балок на упругом основании Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН

2006, том 49, №2

ТЕХНИКА

УДК 624.042+699.841

Д.Н.Низомов, И.Каландарбеков МЕТОД СОСРЕДОТОЧЕННЫХ ДЕФОРМАЦИЙ В РЕШЕНИИ СТАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ БАЛОК НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ

(Представлено членом- корреспондентом АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозовым 01.06.2004 г.)

В статье излагается развитие и применение метода сосредоточенных деформаций

[1] в решении статических задач балок на упругом основании. Полученные результаты расчета балок на однородном основании сопоставлены с известными решениями.

Методы расчета балок на упругом основании можно разделить на три группы в зависимости от принимаемой расчетной модели. Первая группа методов основана на гипотезе Винклера, вторая - на гипотезе упругого полупространства, третья группа использует комбинированные модели упругого основания.

Гипотеза Винклера предусматривает наличие двухсторонних связей между балкой и основанием. При расчете балки на упругом основании принимается, что грунт обладает упругими свойствами и его деформация пропорциональна приложенной нагрузке. Кроме того, принимаются следующие допущения: а) трение между основанием и балкой отсутствует; б) между опорной поверхностью балки и основанием имеется неразрывная связь, вследствие чего в основании могут возникнуть растягивающие усилия; в) упругое основание по всей длине балки однородно и ширина постели балки постоянна; г) реактивные силы, возникающие в каждой точке основания, пропорциональны упругим осадкам в этих точках

р(х) = км{х). (1)

Коэффициент пропорциональности к в этой зависимости называется коэффициентом погонной жесткости упругого основания и имеет размерность Н/см2. Этот коэффициент представляет собой реакцию на единицу длины балки при ее прогибе, равном

единице. Если ширина балки равна Ь , то к можно представить в виде

к-Ьс, (2)

где с - коэффициент постели, имеющий размерность (Н/см3).

Дифференциальное уравнение изгиба балки на сплошном упругом винклеровом основании с учетом того, что на балку действует не только распределенная внешняя нагрузка Ц2 , но и распределенные силы реакции сплошного упругого основания, записывается в виде

ш й4м/ і

1 (3>

При этом предполагается, что положительное направление реактивных сил противоположно положительному направлению нагрузки.

Рассмотрим балку пролетом I на упругом винклеровом основании. Разбивая балку на М элементов МСД, внешнюю нагрузку и реакцию упругого основания сосредоточим в узлах фиктивных связей. Из рассмотрения I -го конечного элемента, полу-

чим

5> = о, -Н1_и+Н1^=-Рх1,

2>* = °> Й-М • °г + Оі,М ' Ъг + ММ+1 = “М,,

= 0’ - Q^-и + бм+1 = ~Ргі + С0і Щ , (4)

(і = 1, 2, 3,т),

где УП - число элементов, ('оі = кхі. _ вертикальная реакция в упругой опоре (сила упругого основания от единичного смещения), РХІ,Р2І, Мг - сосредоточенные силы и момент, заданные в узле I .

Приведем решение задачи балки на упругом основании при ее разбивке на три элемента. Придавая единичные перемещения по направлениям степеней свободы, находим соответствующие коэффициенты матрицы жесткости. При этом учет упругого основания осуществляется тремя главными коэффициентами:

'33

+ -

я12

I

12

Г66 б12 023 С0 9

^12 №

+ -

я 23

+ с,

(5)

' 12

23

Г99 023 бв С0,з

я 23

'99 ^23 1 ^В 1 ^0,3 п ' 1 ' ^0,3 •

23 ^

В результате использования симметрии, получим следующую систему уравнений

за Кс12 + 4/-;/ с;/’; ак '

-<Р\

2

-^1 —

2

^2=о,

2

~<Рі

,30^г ОЕг

<—,— + Сол —~Т™2= ^

а а

20^

а

w] +і

20^

а

С0,2 W2 Р6 ,

(6)

откуда находим прогиб в середине балки

™2=Р-

С сі2

4с1(4а + 5) + ^г(За + 4)

С2с1

\6СР2 + С0сі( 20 + 13а) + (За + 4)

(}1’-

(7)

где ос = Ст1?г(22 /Е1, й? = £/3.

Переходим к решению задачи при более густой разбивке балки на конечные элементы МСД. Исходя из вышеизложенного примера, можно заключить, что матрицу жесткости балки на упругом основании можно получить из матрицы жесткости обычной

балки путем добавления параметра С0 - в диагональных элементах, соответствующих вертикальным перемещениям

Яу^,0 = Я(/,/) + С0г., г = 3, 6,...,3т. (8)

В табл.1 приведены результаты, полученные для простой балки Ь=6 м, сечением Ь=к=0,4 м, от действия равномерно распределенной нагрузки д=1 т/м при ее разбивке на 10 элементов МСД и при различных значениях коэффициента постели. Полученные результаты численного решения сравниваются с результатами аналитического решения

[2].

Таблица 1

Сравнение результатов расчета балки с шарнирными концами при различных значениях коэффициента постели и при Ь=0,4 м, Л=0,4 м

Метод Прогиб и момент £=0,01 к=0,1 0 ТТ к 0 0 ТТ к

Аналитический [2] 3.955 3.943 3.835 3.011

мс 4.500 4.486 4.360 3.397

МСД 3.861 3.849 3.744 2.940

М 5 4.444 4.430 4.306 3.357

Сравнение показывает, что погрешность по прогибам составляет 2,4%, а по изгибающим моментам - 1,2%. Большая погрешность по прогибам объясняется тем, что узел 5 для прогиба не совпадает с центром балки. С увеличением коэффициента постели от 0,01 до 100, прогиб уменьшается примерно на 24%, а изгибающий момент на 25%. При к=0,01 получаем результаты, практически соответствующие балке без упругого основания.

Далее рассматривается решение задачи балки на упругом основании со свободными концами при действии сосредоточенной нагрузки на левом конце. В табл.2 приведены прогибы (м), полученные аналитическим методом [2] и МСД при 6=0,4 м, Л=0,4 м. Сравнение показывает достаточно высокую точность МСД.

Таблица 2

Сравнение результатов прогиба балки на упругом основании со свободными концами

при действии сосредоточенной нагрузки Р= 1 т на левом конце при Ь=0,4 м, Л=0,4 м

№№ узлов Аналитическое решение [2] Численное решение МСД

к=1 к=10 к=1 к=10

1 0.6671 0.06715 0.6599 0.06592

2 0.5558 0.05575 0.5505 0.05480

3 0.4444 0.04441 0.4412 0.04373

4 0.3332 0.03315 0.3320 0.03275

5 0.2220 0.02198 0.2228 0.02185

6 0.1109 0.01090 0.1137 0.01103

7 -0.000119 -0.000118 -0.004752 0.000286

8 -0.1111 -0.01109 -0.1042 -0.01041

9 -0.2220 -0.02204 -0.2131 -0.02109

10 -0.3330 -0.03297 -0.3220 -0.03176

В табл.3 сравниваются результаты для балки со свободными концами, лежащей на упругом основании изгибаемой двумя равными и противоположными сосредоточенными моментами МА= -Мв=1 тм при различных значениях коэффициента постели.

Таблица 3

Сравнение результатов для балки со свободными концами от действия сосредоточен-

ных моментов при Ь= 1 м, Л=0,4 м

Прогиб и момент Аналитическое решение [2] МСД

к=0,01 к=1 к=10 к=0,01 к=1 к=10

Мс -0.2812 1.000 -0.2812 0.9997 -0.2806 0.9968 -0.2894 1.000 -0.2849 0.9997 -0.2778 0.9966

В табл.4 представлены изгибающие моменты и поперечные силы, полученные МСД при различных значениях коэффициента постели. Из результатов табл.4 следует, что в балке со свободными концами от действия сосредоточенной нагрузки в конце, эпюра изгибающих моментов имеет характер, растягивающий верхние волокна.

Таблица 4

Изгибающие моменты и поперечные силы в сечениях балки на упругом основании со свободными концами при действии сосредоточенной нагрузки на левом конце при различных значениях коэффициента постели при Ь=0,4 м, Л=0,4 м

в < о з Изгибающие моменты Поперечные силы

к=1 0 ТТ к к=1 к=10

2 -0.2599 -0.2598 -0.7820 -0.7808

4 -0.8398 -0.8378 -0.1287 -0.1234

6 -0.7393 -0.7353 0.2408 0.2408

8 -0.3437 -0.3403 0.3171 0.3161

10 -0.03624 -0.03532 0.1097 0.1061

На основе решенных задач и сравнения результатов с аналитическим решением можно сделать вывод о том, что МСД при предлагаемой разбивке дает результаты, достаточно близкие к точному решению.

Представленные результаты численного решения задачи балки на упругом однородном основании методом сосредоточенных деформаций показывают, что разработанный алгоритм расчета является более удобным и менее трудоемким по сравнению с методом конечных элементов.

Институт сейсмостойкого строительства Поступило 28.06.2004 г.

и сейсмологии АН Республики Таджикистан,

Хорогский государственный университет им. М.Назаршоева

ЛИТЕРАТУРА

1. Ржаницын А.Р. - Строительная механика и расчет сооружений, 1980, № 5, с.15-20.

2. Тимошенко С.П. Сопротивление материалов. Т.2. М.: Наука, 1965, 480 с.

Ч,.Н.Низомов, И.Каландарбеков МЕТОДИ ЧДМЪКУНИИ ДЕФOРМАТСИЯ^O OИДИ ^АЛЛИ МАСЪАЛА^И СТАТИКИИ БOЛOР^OИ ДАР БOЛOИ ТА^КУРСИИ ЧАНДИРЙ ^^^ГАШТА

Дар ма^олаи мазкур модели хисобии методи чамъкунии деформатсияхо барои халли масъалахои статикии болори дар болои тахкурсии чандирй чойгир шуда, баррасй шудааст. Масъалахои мушаххас халли худро ёфтаанд ва дар асоси он афзалияти метод нишон дода шудааст.

J.Nizomov, I.Kalandarbekov METHOD OF CONCENTRATED DEFORMATIONS IN THE SOLUTION STATIC PROBLEMS OF GIRDERS ON THE ELASTIC BASIS

The computational model of a method of concentrated deformations for static calculation of girders on the elastic homogeneous basis is esteemed in the article. The concrete examples are resolved and the outcomes are compared to the analytical solution.