CC BY
41
УДК. 539.3621:620 1:624
КОНЕЧНО-РАЗНОСТНЫЙ АЛГОРИТМ РАСЧЕТА БАЛОК ПО ГИПОТЕЗЕ ФУССА-ВИНКЛЕРА
Б.И. Дидух, Ж.А. Ямонше
Кафедра строительных конструкций и сооружений Российского университета дружбы народов,
Россия, 117198 Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6
В статье подробно описан алгоритм расчета балок на винклеровом основании методом конечных разностей. Метод обладает более широким возможностями учета переменных параметров по сравнению с классическими решениями в непрерывных функциях и сохраняет высокую точность расчетов.
Расчет балок на упругом основании с использованием контактной модели Фусса-Винклера ведется посредством интегрирования дифференциального уравнения
£/^4+Ш = 0, (1)
ск4
где 5 - прогиб; х - координата вдоль оси балки; Е - модуль упругости материала балки; I -момент инерции сечения балки; Ь - ширина балки; к - коэффициент постели грунта основания, имеющий размерность Р/1? .
При постоянных значениях величин Ъ, к, Е,1 возможно получение результата интегрирования в форме элементарных функций [1], [2] как произведений экспоненты на синус и косинус. Существуют приемы рационального их комбинирования с целью упрощения вычислений в практических задачах. Наиболее удачной комбинацией являются так называемые функции А.Н. Крылова [2]. В более широкой постановке, когда параметры уравнения (1) могут быть переменными, решение его целесообразно вести методом конечных разностей. Уравнение 4-го порядка (1) расчленяется на два уравнения 2-го порядка:
а*М
ЬкБ, (2)
еЬ'
_ М (к2 ~ С
(3)
Каждый участок балки, т.е. промежуток между приложенными к балке сосредоточенными силами или моментами, разбивается на (п-1) конечных отрезков с п узлами на концах. Конечно-разностная формула для второй производной при трехточечной узловой сетке имеет вид:
Ип _М,-2М„1+Мм
М |+/ =--------—2-------> (4)
п
Здесь к - шаг сетки, длина конечного отрезка между узлами. Поэтому для (п-2) средних
узлов сетки на данном участке балки могут быть записаны уравнения (2), (3) в конечно-
разностной форме:
М1-2Мп}+М1+:=И2Ыс$п1, (5)
5,-25(+/+^=-/г,М(+;/С. (6)
Недостающие 4 уравнения составляются из краевых условий на концах участка.
Если на конце участка заданы момент или прогиб, то в соответствующие уравнения вводят непосредственно значения М, и 5, в крайнем узле /, равные заданным известным величинам.
Если речь идет о задании поперечной силы Q и угла поворота , то их выражения для крайних узлов записываются с помощью конечно-разностных формул для первых производных на трехточечной сетке слева
-ЗМ,+4М1+1-М„2
а=-—!—, (?)
2п
и справа
М,_2-4М^+ЗМ,
0/=—^------------------------------------------------и-г., (8)
2п
исходя из известных соотношений
л (/М г с® их ах
Записываются формулы для значений ^ в крайних узлах, аналогичные (7) и (8). Вводятся обозначения:
р = -И2 / О , и - ЬкИ2. (10)
Из формул (5), (6) следует:
М1+2=и81+1-М1+2М1+1, (11)
5,+_, = рМ1+1 -5, + 25,+/ , (/=/, 2, ...(п.2)). (12)
Из формул (11), (12) следуют равенства:
М, = иБу -М,+2М2, (13)
5, = /?М ,+25,, (14)
= иБ3 -М2 + 2М3, (15)
Б_, = ; - 5, + 25 ,. (16)
Приведенные соотношения показывают, что все М1 и все 5, для 1—3, 4...П могут
быть представлены линейными зависимостями от четырех “базовых” величин,
МпМ2,8,,82:
М1 = й'М, +Ь(М, + С, 5, + /,5?, (17)
5, = +1,М2. (18)
Подставляя выражения (17), (18) в формулы (11), (12), можно получить рекуррентные соотношения между коэффициентами линейных зависимостей (17), (18):
a,+2=Щ,+1-а,+2ам, (19)
b,+:=и(<+1 ~Ь,+2Ьп1. (20)
('1+2 ~ иГ1л ! С' + 2С1+1, (21.)
/+г +2/+п (22)
Г,<2 ^Рсп,~г + 2г1г1. (23)
™,+2 =Р/>+1 -у»,+2у»^, . (24)
8,+2=Ра,+1 ~§, +^1+/, (25)
*,♦2= РЬ,+,-1, +2*1+1- (26)
Общий ход решения конкретной задачи рассматривается на примере расчета балки с двумя одинаковыми участками под действием вертикальной сосредоточенной силы Ы0 и
момента М0, действующего по часовой стрелке.
Каждый участок делится на п-1—25 отрезков, и получаются 26 узлов на каждом участке. Задача сводится к поиску неизвестных величин:
МИ,М21,$И,,М!2,М22,Б12,Б22. (27)
Здесь второй индекс указывает номер участка; первый индекс - номер узла. Для определения восьми неизвестных составляются восемь алгебраических уравнений,
отражающих условия на концах обоих участков. Левый конец первого участка свободен, и принимаются условия:
М)=0, (28)
~ЗМ, +4М2 - М3 =0. (29)
Уравнение (29) выражает условие равенства нулю поперечной силы в узле 1 и записано
в соответствии с формулами (7) и (9). Свободен также и правый конец второго участка, поэтому записываются уравнения
М26 2 = 0, ' (30)
М24.2 ~ 4 М 25.2 + 3 М 26.2 =0' (31)
На стыке двух участков выполняются условия непрерывности прогибов и углов поворота, поэтому записываются уравнения
^26.1 1.2' (32)
^24.1 ~ 4^25.1 + = ^З-'и + 4Б2 2 — <5,^ . (33)
Уравнение (33) выражает равенство углов поворота в узле 26 первого участка и совпадающим с ним геометрически первым узлом второго участка. При этом
использовались формулы (10), (7)и (8). На стыке двух участков изгибающие моменты и
поперечные силы имеют скачки
М2Ь , + М„ = м.и , (34)
М:41 -4М231 + Ш26 , + ЗМ, 2 -4М2 2 +ми = (35)
В итоге получены (V уравнений (28)-(35). Записанные в них величины А/и 5, относящиеся к различным узлам, с помощью формул (17), (1$) выражаются через искомые неизвестные (27).
Необходимые коэффициенты определяются по формулам (19) - (26). Решается полученная система восьми линейных алгебраических уравнений, и далее определяются прогибы, углы поворота, изгибающие моменты и поперечные силы во всех 52 узлах сетки. В средних узлах сетки углы поворота Р и поперечные силы 0 подсчитываются по конечно-разностным формулам
М1+1 - М [ 5,+/ - 5, ,
О = —{±1-----------и. р =---—>_±. (36)
2/г 2к
Применение изложенного метода конечных разностей дает результаты, с высокой точностью согласующиеся с результатами точного интегрирования уравнения (1) в непрерывных функциях. Однако метод конечных разностей может быть использован для более широкого круга практических задач. В правых частях конечно-разностных формул (5), (6) величины Ъ, к, С могут быть зависящими от номера узла сетки, т.е. переменным по длине балки.
Метод может быть распространён также на случай нелинейной зависимости между осадкой и давлением, и с помощью итерационной процедуры можно обеспечить решение системы соответствующих нелинейных алгебраических уравнений.
Ниже приводятся значения изгибающих моментов и прогибов, полученных расчетом при следующих параметрах:
Ы0.= ЮОкН.М,, = 10кЫ.м,С - 15,667кН.м2, К = ЮОкН / м\ Ь = 1м .
Длина каждого участка балки / = 1м. Величины Мточ и $1поч получены
вычислениями по точным формулам, Мкш и Я1.пи - по методу конечных разностей. Из табл. 1 видно, что максимальная погрешность при решении методом конечных разностей при п=26 не превышает 1,5%.
Таблица1
Сводная таблица расчетов_______________________
Номер узла Мкт, («М.. Мшм (кН. ^ (м) 5,Н()Ч (м)
М 0,0000 0,0000 0,1650 0,1648
6,1 0,4078 0,4017 0,2730 0,2730
11,1 1,9071 1,8951 0,3798 0,3800
16,1 4,9241 4,9068 0,4814 0,4818
21,1 9,8625 9,8416 0,5700 0,5707
26,1 17,0728 17,050 0,6330 0,6340
1,2 27,0507 27,0507 0,6330 0,6340
6,2 16,7983 16,7786 0,6482 0,6489
11,2 9,1031 9,0879 0,6202 0,6205
16,2 3,8811 3,8713 0,5683 0,5683
21,2 0,9289 0,9245 0,5060 0,5058
26,2 0,0000 0,0000 0,4410 0,4404
ЛИТЕРАТУРА
1. Флорин В.А. Основы механики грунтов. -М.: Стройиздат, 1959. Т.1. -352 с.
2. Дидух Б. И. Методические указания к выполнению расчетов по механике грунтов с помощью ЭВМ. -М.: Изд-во РУДН, 1990. - 36 с.
FINITE DIFFERENCE METHOD DESIGN OF A BEAM ON AN ELASTIC SOIL BY THE HYPOTHESIS OF FUSS-WINKLER
B.I. Didoukh, J.A. Yamonche
Construction and Structures Department Peoples' Friendship University of Russia Miklukho-Maklay St., 6, Moscow 117198, Russia
The aim of this article is to show the difference between the classical calculation method of a beam in using non continuous functions and the finite difference method. Computation algorithm of a beam on a winkler soil basement is described in detail This method possesses more ample possibilities considering the variable parameters and conserve a high precision.
Дидух Борис Иосифович родился в 1932г, окончил МЭИ им. Молотова. Доктор тех. наук, профессор, зав. кафедрой Строительных конструкций и сооружений РУДН. Автор 90 научных работ по механике фунтов и более 40 по строительным конструкциям и сооружениям.
Didoukh B.I. (b. 1932) graduated from Moscow Energy Institute in 1955. Dsci (Eng), professor, head of Constructionand Structures Department of Peoples' Friendship University of Russia. Member of International Society for Soil Mechanics and foundation Engineering. Author of 90 publications in soil mechanics and more than 40 in construction and structures.
Ямонше Жюль Анисе (Бенин) родился в 1967г. Окончил в 1997г РУДН. Аспирант кафедры Строительных конструкций и сооружений РУДН. Автор 2 научных работ в области механики грунтов.
Yamonche Jules Anicet (b. 1967, Benin) graduate from the Peoples' Friendship University of Russia. Post-graduate of Construction and Structures Department of the Russian Peoples' Friendship University. Author of 2 Scientific works in soil mechanics.
