CC BY
9
Расчет строительных конструкций
НАПРЯЖЕННО ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ ОГРАЖДАЮЩЕЙ СТЕНКИ В ПРОЦЕССЕ ВЫЕМКИ КОТЛОВАНА
АБУ-МАХАДИ М.И., к.т.н.,
Российский университет дружбы народов, г. Москва
Определение давления грунта на ограждения является важной инженерной задачей при проектировании гражданских, промышленных, транспортных и гидротехнических сооружений. В реальных объектах большую роль при этом играет податливость ограждающей конструкции. Расчетная схема для оценки давления грунта и смещения ограждающей конструкции должна отражать механическое взаимодействие ограждения с грунтом. Ниже излагаются основные положения и результаты численных экспериментов расчетной схемы взаимодействия гибкой ограждающей конструкции с грунтом в процессе отрывки котлована с одной стороны от ограждения (рис. 1).
Давление грунта перед ограждением (левый массив 1) представляется в виде системы сосредоточенных сил ; давление грунта за ограждением (правый массив 2) в виде сил ри Число сил р, равно п (на рис.1 п = 7); число сил Я, равно (« - X) (на рис.1 Ь = 3). Число I определяется глубиной выемки котлована. Силы р, и Я, отстоят друг от друга на равных расстояниях 2с1\ <1 = Н/(2п); п - принятое число сил С увеличением п уменьшается шаг дискретизации системы ¿/ и решения задачи в дискретной постановке приближается к решению задачи в непрерывных функциях.
Ограждающая конструкция рассматривается как гибкая балочная плита или балка, которая по длине условно разделяется на участки аь а2, • ■ •а„ (рис. 1):
Ча
(1)
Мь = М„ + а
а-
(2)
<Рк
да'
а
+ —
в
даг С?на2 М„а
24
6
~0<рн
(3)
(4)
Каждый участок балки рассматривается как конечный элемент, подверженный изгибу от действия в начале и в конце элемента изгибающих моментов М„, Мк и поперечных сил ()„, Qk (рис. 2). Связь между прогибами балки углами поворота сечений ср и внутренними усилиями выражается известными формулами сопротивления материалов:
<р = -Б';М = -08"; 0 = -О?'
(5)
где б = Е/- изгибная жесткость балки; Е - модуль упругости материала балки; 7 - момент инерции поперечного сечения; штрихи означают дифференцирование по х; х - продольная ось элемента балки, направленная от начала элемента к его концу. При отсутствии поперечной распределенной нагрузки на участке балки между силами р,, $ из условии равновесия элемента следует:
Qk = Q»=Q;Mk = Qн+aQн. (6)
Посредством интегрирования дифференциального уравнения изогнутой
оси балки = 0 в пределах элемента могут быть получены соотношения:
а
<Рк =<РН+ с
м:
,2 ,
а
+—
в
2 ( а« мн
(7)
■а<рн. (8)
Здесь (рк, <рн - прогибы и углы поворота сечений в конце и в начале
элемента соответственно.
На стыках участков ограждающей балки (балочной плиты) требуется выполнение условий непрерывности прогибов, непрерывности углов поворота, равенство изгибающих моментов (условие равновесия элемента балки в месте стыка при отсутствии внешних сосредоточенных моментов в точке стыка). Для поперечных сил в точке стыка имеет место скачок на величину Г = Р-Я:
6.-Й^Г,; 02-0з =7*2 и т.д. (9)
В местах приложения сил Г, из условий равновесия следует: МК\ = Мн2; М& - Мнз и т.д. В итоге, учитывая (9), можно записать:
М11,м-Мн1+^а1 (¡=1,2,.....,п-1). (10)
м
Величины Qн\ и Ми! считаются заданными.
В задаче о взаимодействии ограждающей стенки с грунтовым массивом в
качестве неизвестных рассматриваются (и - 1) величин ....., ()„, (п -1)
величин Мн2, Мнз,....., Мнл.\ , п величин (р\, ..., % , я величин 5ь й,...., а также прогиб БН] и угол поворота <рн] верхней стенки.
Принято допущение что в грунтовых массивах (1) (перед стенкой со стороны котлована) и (2) (за стенкой ) касательное напряжения тху = 0.
Напряжения ах и а2 считаются, следовательно, главными. Напряжения ст2 подсчитываются как результат действия собственного веса грунта и давления р на поверхности за стенкой, т.е.
<тг=-уг-р. (11)
Из уравнений равновесия при тху = 0 для задачи плоской деформации следует:
^ = 0; (12)
ОХ 07
здесь у - удельный весь грунта. Уравнения (11) и (12) показывают, что ах и <тг зависят только отг.
В упругом теле зависимость между деформацией ех и напряжениями <тх и сгг для условий плоской деформации имеет вид:
Е
--£х =(\-У)(Тх -У(7 , (13)
1 + V
здесь Е- модуль упругости; V- коэффициент Пуассона.
Предполагается, что массив А ограничен слева на расстоянии // от стенки вертикальной плоскостью, не смещающейся по горизонтали, т.е. «(—Л) = 0 .
йиХ
к
Кх
л,
Д„-1
мн
4
н
/
я», %
У У У У /Л у УЖ / / 4-►
Рп
Рис. 1
ми
к
а
а
а
а
1 = 3
Н
а
а
а
Q>0
м> о
Б>0 вниз
Рис. 2
Смещение стенки 5 положительно влево (противоположно оси х), т.е. 5 = -и(0).
43
Так как ах и а2 зависят только от г, то и ех согласно формуле (13), тоже зависит только от г. Можно обозначить:
1 + 1/,
Е
ди
Тогда sx= — = F(z) и u = Fx + Cl(z). (14)
дх
В массиве 1: и{-1\) = 0; м(0) = -s. Из формулы (14) при этих условиях получается —= -f(l - v)ax - ver ]. (15)
lx(\ + v)
В массиве 2 аналогичная неподвижная по горизонтали вертикальная плоскость расположена на расстоянии /2от стенки, т.е. и{12) = 0; и(0) = -s.
Из формулы (14) при этих условиях получается:
-Г^—М -vK-^z- (16)
Так как Р - - (crx)\2d, a R = -{ax){ld, то из формул (15) , (16) следует уравнения, связывающие Р, R и S в разных точках стенки
Pau + Smh = g(2m-lJ; (т = 1,2, я) (17)
RjU-SJ+L.h = g(2j-\); Q = \,2,....,n-L) (18)
» , Е \~v
здесь е = vyа , h =-, и --.
s ' l(\ + v) 2 d
В итоге общую систему уравнений задачи о взаимодействии ограждающей стенки с грунтом образует:
Уравнения равновесия: сумма проекции сил на горизонтальную ось и сумма моментов относительно точка 1 равны нулю:
I^-ÍX—e, 09)
j=1 т=I
n-L
(20)
П-L п П \А
^(j + L-D-^PJm-l)^^-
j=l т=2 z ¿a
уравнения (17), (18); уравнения, получаемые из соотношений (7) - (10)
Qj+fpk=Qu (у = 2,3,..,1 + 1А , (21)
-у
к=1
Qj = 0 (j = L + 2,...,n)\, (22)
k=I m=\ J
~ÍQjaj = M„\ + (/= 1, 2,...,«- 1), (23) <px - <рнХ =ccc, (24)
-Sx + ShX -ax<pnx = ddd, (25) -<p, + (p,_x + p,Q, + %,Мш = 0 (/ = 2, 3,..,«), (26)
~0 0 = 2,3,...,«). (27)
a} „ a,3 a,
Здесь обозначено: D = ' ., ¿>, =——, y, = — Л 2G, 6G, G,
а\
ССС - — в
■ + МИ,
с 1
+ М
н 1
'I V £ / V
Всего (6п -I) уравнений с неизвестными Р„ Я,, щ (по и неизвестных), Qi, (по п -1 неизвестных), (и -£ неизвестных) £„/, (рн1.
Все уравнения линейные и решаются методом Гаусса.
Недостатком описанной расчетной схемы является то, что принятый в форме равенства (13) закон Гука для модели линейно-деформируемого грунта не вполне соответствует реальному поведению грунта. В действительности, напряженное состояние в массивах фунта 1 и 2 может приближаться к предельному по прочности и линейная зависимость (13) должна быть заменена нелинейной.
С этой целью авторами [I] была разработана нелинейная модель грунта деформационного типа, с использованием которой получены необходимые нелинейные зависимости между смещением стенки и боковым давлением грунта. Предельное состояние учитывалось в модели условием прочности Мора- Кулона:
оз = тпо\ + Ь, (28)
\-smtp , 2 с.соям где о-/ < о},, сгу, <тз - главные напряжения; т =-—; Ь = —-— ; <р - угол
1 + 5/и^ 1 + 5гя (р
внутреннего трения грунта, с - сцепление.
Для проведения конкретных расчетов указанные зависимости аппроксимируются следующими формулами:
В массиве 1 (перед стенкой)
_ <ух\ _ \т + а.ехр({к) при 5<0;
1 ст., + Ь - Ъ. ехр(-аБ) при б > 0.
В массиве 2 (за стенкой)
_ <гх2 _ + ь~ЬехР(/&) пРи
2 Я-л + а.ехр(-аз) при 5>0. ^^
Зависимость (29) и (30) соответствуют несвязного грунта (с = 0). Для грунтов, обладающих сцеплением, аналогичные формулы можно записать без принципиальных затруднений. Здесь обозначено: £ - начальный коэффициент бокового давления, принимаемый при решении линейной задачи (для случая линейно- деформируемого грунта); £ = V /(\ - у)
е и 1 £ я А А л Е
а = 4-т\Ъ =--£ ; р =--; о. — — ——; Л = —-—;
т аа2 Ъа г 1(\-у )
Е, V- модуль деформации и коэффициент Пуассона, принимаемые при решении линейной задачи (для случая линейно-деформируемого грунта); Я - смещение стенки (Я > 0 влево); Ь - ширина массивов 1 и 2. ГрафикиЧР, , *Р2, построенные по формулам (29), (30) при и= 0,3; Е = 2000 Т/м2; у = 2Т/м3 ; Ь = Юм ; показаны на рис. 3.
Соответствующие графики для случая линейно-деформируемого грунта представляли бы собой прямые линии, угол наклона которых совпадает с углом наклона касательных для кривых , в точке 5 = 0, у/=
Расчет ведется итерационным методом. Вначале решается линейная задача (первый шаг итерации). На втором шаге корректируются уравнения (17), (18) общей системы уравнений задачи, т.е. уравнения, выражающие связь между смещением стенки и давлением на стенку грунта массива 2 (уравнения (17)) и массива 1 (уравнения (18)). Новые корректирующие уравнения имеют вид:
Д = (31)
Здесь Р( =ер4-,ер= -2Лт2, к =-—5-; (32)
о
11(3) = ерх¥], где Т, определена формулами (29), различающимися в зависимости от знака
Для массива 2 Р = Р( + , (33)
а формула (4) сохраняет свой вид, с тем отличием, что теперь Я(8) = ерЧ)2.
Так как уравнения (31) и (33) линейные, то на втором шаге итерации решается снова система (6« - Ь) линейных алгебраических уравнений. Полученные значения используются для определения чисел к по формуле (32), и совершается следующий шаг итерации.
-в
да -щв -0ОЕ -щ о щ р р р
Рис. 3
Примеры расчета по предлагаемой методике показаны на рисунках 4-6
Рис.4
Боковое давление грунта на стенку стх при различных глубинах выемки котлована
в.ст момент
-50 -35 -20 -5 -6 -4 -2 0 2
Рис.5
Перемещение стенки при различных глубинах выемки грунта
Рис.6
Эпюра моментов в стенке при различных глубинах выемки грунта
Литература
1. Дидух Б.К, Абу Махади М.И. Определение параметров простой нелинейной модели грунта из опытов на раздавливание// Актуальные проблемы теории и практики инженерных исследований: Сборник научных трудов. - М.: Изд-во «Машиностроение», 1999. - С. 235-237
INTERACTION OF A PROTECTING WALL WITH A SOIL MASSIF IN PROCESS EXTRACTIONS OF FOUNDATION PIT
M.I. Abu Mahadi {Peoples' Friendship University of Russia)
The design circuit of definition of pressure of a soil on a protecting construction and its displacement is developed during an extraction of foundation pit. In an initial position a protecting construction (sheet pile screen, sturry wall, row of piles ) is enclosed by a soil from both sides. Then we begin digging a soil from the left side of a protecting construction. During account is analyzed a modification of pressure of a soil from both sides of a protection. The critical cut depth of foundation pit is defined, at which there is a fall of a wall. The protecting construction is simulated in the design circuit elastic beam (plate). The soil is described by nonlinear model, in which the modulus of rigidity decreases in process of an approximation of the intense condition of a soil to limiting. The mathematical procedure is reduced to iterations of sequential separate accounts on a method of Gauss.
ОЦЕНКА КОРРОЗИОННОГО ИЗНОСА РАБОЧЕЙ АРМАТУРЫ В ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ ЭЛЕМЕНТАХ ПО ВЕЛИЧИНЕ РАСКРЫТИЯ ТРЕЩИНЫ В ЗАЩИТНОМ СЛОЕ БЕТОНА
A.B. БЕНИН, канд. техн. наук, доцент
Н.И. НЕВЗОРОВ, канд. техн. наук, доцент
Петербургский государственный университет путей сообщения
Коррозия стальной арматуры является одной из главных причин снижения долговечности эксплуатируемых железобетонных мостов. Поэтому определение степени коррозионного износа является ответственной и актуальной задачей. Точное определение степени коррозии арматуры может быть выполнено только путем извлечения достаточного количества образцов арматурных стержней с последующей лабораторной обработкой. Однако нарушение целостности хотя бы одного стержня рабочей арматуры приводит к заметной потере несущей способности железобетонных конструкций.
В связи с этим представляют интерес косвенные методы определения величины коррозии арматуры по ее внешним проявлениям на поверхности конструкции, например, по величине раскрытия продольной трещины в защитном слое бетона.
Подобная методика предложена в работе [1]. Суть ее состоит в следующем. Объем продуктов коррозии превышает объем прокорродировавшего металла в
