Численная реализация задачи об изгибе балки-полосы на упругом основании методом конечных разностей Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539. 3

UDC 539. 3

ЧИСЛЕННАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ ЗАДАЧИ ОБ

ИЗГИБЕ БАЛКИ-ПОЛОСЫ НА

УПРУГОМ ОСНОВАНИИ МЕТОДОМ

КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ

1 2 Д. Б. Демченко , И. А. Маяцкая ,

А. И. Полисмаков

3

NUMERICAL REALIZATION OF

BENDING PROBLEM FOR THE BEAM-

STRIP ON AN ELASTIC FOUNDATION

USING THE METHOD OF FINITE

DIFFERENCES 1 2 D. B. Demchenko , I. A. Mayatskaya ,

A. I. Polismakov

3

"Sports

'Federal State Unitary Enterprise Engineering", Moscow, Russian Federation denis2711@yandexl.ru

2,3 Don State Technical University, Rostov-on-Don, Russian Federation

Федеральное государственное унитарное предприятие «Спорт-Инжиниринг», Москва, Российская Федерация denis2711@yandexl.ru 23 Донской государственный технический университет, Ростов-на-Дону, Российская Федерация

irina.mayatskaya@mail.ru polis_1947@mail.ru

Целью работы является решение задач цилиндрического изгиба с помощью метода конечных разностей. Изучена система линейных алгебраических уравнений относительно значений функции прогиба балки-полосы в узлах сетки. Найдены значения прогибов в узлах сетки и значения изгибающего момента, который зависит от жесткости балки-полосы при изгибе, ее ширины и коэффициента постели. В работе рассмотрены два случая нагрузки (равномерная по всей площади и по краям) и два вида закрепления (жесткая опора по краям и со свободными краями).

Ключевые слова: упругая балка-полоса, изгиб, упругое основание, метод конечных разностей, метод сеток.

Введение. Расчету конструкций, лежащих на упругом основании, посвящено множество научных работ [1-3]. Современные методы исследования при проектировании фундаментных плит и дорожных покрытий основаны как на численных методах расчета, так и на аналитических методах [4-10]. Проблемам, связанным с применением метода конечных разностей к задачам линейной теории упругости, расчету пластин и оболочек посвятили труды многие ученые: А. В. Александров, Н. П. Абровский, М. А. Колтунов, С. П. Тимошенко, П. М. Варвак [10-12]. Большим преимуществом метода конечных разностей является слабая зависимость от граничных условий и характера исходного напряженного состояния [13-15]. Недостатком является высокий порядок систем алгебраических уравнений, однако современные программные комплексы данный

irina.mayatskaya@mail.ru polis 1947@mail.ru

The purpose of this work is the numerical solution of the cylindrical bending tasks using the finite difference method. The system of linear algebraic equations for the values of the function of the beam-strip deflection in the mesh nodes was studied. The authors have found the bending values at the mesh points as well as the bending moment, which depends on the hardness of the beam-strip in bending, its width and coefficient of subgrade resistance. The paper considers two cases of loading (uniform over the entire area and at the edges) and two types of fixing (rigid bearing beam-strip at the edges and with the free edges)

Keywords: elastic beam-strip, bending, elastic foundation, finite difference method, grid method.

недостаток устраняют. Подобные задачи возникают при проектировании плитных фундаментов, полов сооружений, аэродромных и дорожных покрытий [16]. Конструирование строительных сооружений, в которых встречается изгиб балки-полосы на упругом основании, представляет большой практический интерес.

1. Цилиндрический изгиб равномерно нагруженной балки-полосы, жестко опертой по краям, опирающейся всей поверхностью на упругое основание.

Вырезав из пластины балку-полосу, будем рассматривать ее как балку на упругом основании. При этом будем полагать, что балка-полоса уложена на постель из материала, способного сопротивляться как силам, действующим вниз, так и силам, действующим вверх.

Проанализируем изгиб длинной прямоугольной пластины, равномерно нагруженной, опирающейся всей своей поверхностью на упругое основание и жестко опертой по краям (рис. 1).

Рис. 1. Прямоугольная балка-полоса на упругом основании, равномерно нагруженная по всей длине и жестко опертая по краям

Дифференциальное уравнение имеет вид:

Б

Л

ёх 4

= q - км .

(1.1)

Предварительно получим формулы, позволяющие заменить производные функции w отношением конечных величин. Воспользуемся формулой Тейлора для определения приближенного выражения производных функции м = м>(х) в произвольной точке т балки-полосы (рис. 2).

Рис. 2. Схема разбиения функции прогиба балки-полосы

Точку т будем называть центральной, соседние точки будем считать равноотстоящими. Воспользуемся формулой Тейлора и ограничимся удержанием только первых трех членов:

2

7 / Ь2 // м , 1 « м + к • м Ч--- м '

ОТ+1 ОТ ОТ 2 ОТ'

м 1 « м — к • м +

от—1 ОТ ОТ

2

• м

Вычитая и складывая, получим:

мот+1- мот—1« 2к • мот;

9 //

м ,, + м , « 2м + к • м

ОТ+1 От—1 ОТ ОТ'

Отсюда:

/ _ мот+1 - мот-1 .

2к '

ОТ + мот-1

к2

(1.2)

(1.3)

(1.4)

(1.5)

Взяв первую производную, согласно (1.4), от второй производной (1.5), получим:

/// мот+2 - 2мот+1 + 2м от—1 мот-2

2к

Еще раз дифференцируя (1.6), получим:

IV

мот+2 — 4мот+1 + 6мот — 4мот—1 + мот—2 к4

(1.6)

(1.7)

Выделим элементарную балку-полосу и разобьем ее на равные конечно-разностные отрезки размером:

а 1 а

к = Д х =---= —,

х 2 п 2п

где а — ширина балки-полосы; п — число разбиений на половине длины балки-полосы. Нумерация отрезков, с учетом симметрии, изображена на рис. 3.

(1.8)

Рис. 3. Нумерация отрезков балки-полосы на упругом основании, равномерно нагруженной и жестко

опертой по краям, с учетом симметрии

Четвертая производная в форме метода конечных разностей для произвольной точки т балки-полосы:

ё 4 м I _мот+ 2 4мот+1 + 6мот 4мот—1 + мот—2

. ёх ,

V У От

д4

Подставив в уравнение (1.1), получим для произвольной точки т балки-полосы:

дг

мот+2 — 4мот+1 + 6мот — 4мот—1 + мот—2 , qот

- Ч— мОт = ■ Б

Б

(1.9)

или

Обозначим:

-> — 4w 1+ 6w — 4w 1+ Т +

"т+2 ^ "т+1 ' " ,ут ' "т—2 '

кА4х дтД-

—, где ш=1,2,3,.

М4

а = ■

Б

8т =

Б

.п.

л4

ЧтАх

Б т Б

Тогда конечно-разностные уравнения (1.11) принимают вид:

w , о — 4w , 1 + 6w — 4w 1+ w о+а -w = 8

т+2 т+1 т т-1 т—2 ^ т ит

(111)

(112)

(1.13)

Граничные условия для шарнирного закрепления продольных граней балки-полосы имеют

вид: х = + —; w = 0; Мх = 0. Из условия Мх = 0 следует, что

Л

йх 2

= 0 . В форме метода конечных

разностей данное условие принимает вид w—1 = —w1. Составив конечно-разностные уравнения (1.13) для каждого внутреннего узла балки-полосы, с учетом граничных условий, получим систему линейных алгебраических уравнений порядка п х п для определения прогибов т:

(5 + а)н,1 — 4 w2 + Wз + 0 - w4 + 0 - w5. +...+ 0 - wn—3 + 0 —2 +0 - wn—1 + 0 - wn = 81;

— 4w1 + (б + а^2 — 4w3 + w4 + 0 - w5 +...+ 0 - wn—2 + 0 - wn—1 + 0 - wn = 82;

w1 — 4w2 + (б + а^3 — 4w4 + w5 + 0 - w6 + ... + 0 - wn—2 + 0 - wn—1 + 0 - wn = 83;

0 - w1 + w2 — 4w3 + (б + а^4 — 4w5 + w6 + 0 - w7 + ...+ 0 - wn—2 + 0 - wn—1 + 0 - wn = 84;

0 - w1 + 0 - w2 + w3 — 4w4 + (б + а^5 — 4w6 + w7 + 0 - w8 + ...+ 0 - wn—1 + 0 - wn = 85;

0 - wl + 0 - w2 + ...+ 0 - ^^п—6 + wn—5 — 4wn—4 +(6 + а)wn—3 — 4wn—2 + wn—1 + 0 - "^п = 8п—3;

0 - Wl + 0 - W2 + 0 - Wз...+ 0 - Wn—5 + Wn—4 — 4Wn—3 +(6 + а^—2 — 4Wn—1 + Wn =8п—2;

0 - Wl + 0 - W2 + 0 - Wз + ...+ 0 - Wn—4 + Wn—3 — 4Wn—2 + (7 + а^п—1 — 4Wn = 8п—1;

(1.14)

0 - w1 + 0 - w2 + 0 - w3 + ... + 0

- wn—3 + 2wn—2 — 8wn—1 + (6 + а^п = 8п.

В матричной форме эти уравнения имеют вид: А - W = В, где А — матрица коэффициентов системы уравнений (1.14); Ж — столбец прогибов; В — столбец свободных членов системы уравнений (1.14). Матрица А имеет вид:

A =

а11 а12 а13 a14 . . a1,n—2 a1,n 1 a1,n

а21 а22 а23 a24 . . . a2,n 2 a2,n 1 a2,n

а31 а32 а33 a34 . . a3,n—2 a3,n—1 a3,n

а41 а42 а43 a44 . . . a4,n 2 a4,n 1 a4,n

а51 а52 а53 a54 . . a5,n—2 a5,n—1 a5,n

an—3,1 an-3,2 an—3,3 an—3,4 . . an—3,n—2 an—3,n—1 an—3,n

an—2,1 an-2,2 an—2,3 an—2,4 . . an—2,n—2 an—2,n—1 an—2,n

an—1,1 an—1,2 an—1,3 an—1,4 . . . an 1,n 2 an—1,n—1 an—1,n

аn,1 an,2 an,3 an,4 . . an,n—2 an,n—1 an,n

(1.15)

Значения коэффициентов aj равны:

ап = (5 + а); а12 = —4; an = 1; аы = 0; .. . а1и = 0;

а21 = -4; а22 = (б+а); а2з = -4; а24 =1; а25 =0; ... a2n =0;

°п-1,1 - 0; °п-1,2 - 0; ••• °п-1,п-4 - 0; °п-1,п-3 - °п-1,п-2 - 4; ап-1,п-1 -(7 + а); аи-1,и - -4;

ап,1-0; а«,2-0; ••• ап,п-з-0; ««,«-2-2; а«,«-1--8; -(6+а)

Столбцы Ж и 5 имеют вид:

•

= w1

= 1l«

'2 8 3

>4 8 5

w

n—2

w

n—1

w

. 8

n—2

8 n—1 8 n| |.

(1.16)

(1.17)

Решив данную систему уравнений, определим значения прогибов в фиксированных точках (узлах) балки-полосы: ^ - — А 1 • В . Выражение изгибающего момента для цилиндрического

изгиба пластины имеет вид: Мх - -В

d 2 w

dx

2 •

Вторая производная в форме метода конечных разностей для фиксированной точки т балки-полосы примет вид:

f о \

dw wm+1-2wm + wm—1

V ^^ J m

A2

Выражение для изгибающего момента в фиксированных точках т балки-полосы:

w — 2w + w 1

М1 \ = - Б - —т + "т—1

1У± х(т) ^

Л

2

Численные значения изгибающих моментов представлены на рис. 4. Введены безразмерные

параметры % = х0 / а и Р = , где к — реакция основания на единицу площади при прогибе,

равном единице (коэффициент постели); Б — жесткость при изгибе (цилиндрическая жесткость). До значения р < 1,575 изгибающий момент принимает экстремальное (максимальное) значение

только в центре балки-полосы ( х = 0 ). Значения безразмерного параметра % зависят от Р .

Таблица 1

Значения параметра Р

р % Р % Р %

<1,57 0,00 2,36 0,33573 3,18 0,37770

1,58 0,05408 2,40 0,33895 3,22 0,37917

1,60 0,09624 2,42 0,34047 3,24 0,37979

1,62 0,12321 2,44 0,34195 3,26 0,38054

1,64 0,14422 2,46 0,34338 3,28 0,38118

1,66 0,16157 2,48 0,34477 3,30 0,38188

1,68 0,17639 2,50 0,34613 3,32 0,38247

1,70 0,18935 2,52 0,34741 3,34 0,38316

1,72 0,20083 2,54 0,34868 3,36 0,38382

1,74 0,21116 2,56 0,34990 3,38 0,38446

1,76 0,22050 2,58 0,35110 3,40 0,38509

1,78 0,22908 2,60 0,35230 3,42 0,38572

1,80 0,23686 2,62 0,35344 3,44 0,38635

1,82 0,24419 2,64 0,35455 3,46 0,38697

1,84 0,25087 2,66 0,35564 3,48 0,38758

1,86 0,25707 2,68 0,35670 3,50 0,38813

1,88 0,26283 2,70 0,35770 3,52 0,38878

1,90 0,26819 2,72 0,35874 3,54 0,38938

1,92 0,27322 2,74 0,35974 3,56 0,39002

1,94 0,27792 2,76 0,36071 3,58 0,39059

1,96 0,28233 2,78 0,36166 3,60 0,39112

1,98 0,28649 2,80 0,36258 3,62 0,39172

2,00 0,29043 2,82 0,36351 3,64 0,39228

2,02 0,29410 2,84 0,36442 3,66 0,39284

2,04 0,29760 2,86 0,36530 3,68 0,39340

2,06 0,30090 2,88 0,36618 3,70 0,39396

2,08 0,30404 2,90 0,36700 3,72 0,39452

2,10 0,30710 2,92 0,36791 3,74 0,39507

2,12 0,30995 2,94 0,36868 3,76 0,39560

2,14 0,31266 2,96 0,36949 3,78 0,39615

2,16 0,31524 2,98 0,37029 3,80 0,39667

2,18 0,31770 3,00 0,37101 3,82 0,39720

2,20 0,32005 3,02 0,37186 3,84 0,39772

2,22 0,32231 3,04 0,37262 3,86 0,39824

2,24 0,32447 3,06 0,37337 3,88 0,39876

2,26 0,32654 3,08 0,37410 3,90 0,39927

2,28 0,32852 3,10 0,37488 3,92 0,39978

2,30 0,33043 3,12 0,37562 3,925 0,39990

При значениях 1,575 < р < 3,927 изгибающие моменты достигают экстремальных значений в трех сечениях: в центре — минимум, а в двух, симметрично расположенных относительно центра, — максимум.

Рис. 4. Эпюры изгибающего моментаМх для значений р балки-полосы на упругом основании, нагруженной равномерно распределенными по ее краям нагрузками и свободно опертой по краям

2. Цилиндрический изгиб балки-полосы, вдавливаемой в упругое основание равномерно распределенными по ее краям нагрузками.

Длинная прямоугольная балка-полоса вдавливается в упругое основание равномерно распределенными по ее краям нагрузками (величиной Г на единицу длины) (рис. 5). Прогиб на краях балки-полосы обозначим через X, тогда реакция основания в произвольной точке будет равна:

(2.1)

к (X — w) = кХ — км.

I

2

0 1 2 3 4 5) }П-5 П-4 П-3 П-2 П-1 П П-1 П-2 П-3 П-4 П-5) } 5 4 3 2 1 О

щж

г......

шшмш/штм

....^гггг::::;:___________________________

Рис. 5. Нумерация отрезков балки-полосы на упругом основании, вдавливаемой в упругое основание равномерно распределенными по ее краям нагрузками, с учетом симметрии

Исходное дифференциальное уравнение (1.1) в этом случае принимает вид:

Б-

ё 4 w ёх 4

- к •Х-к • w

(2.2)

Величину х (рис. 4) определим из условия, что нагрузка уравновешивается реакцией

основания, т. е.:

к X а "/2 ^ --а - к | wdx .

о

2

Входящий в выражение (2.3) интеграл вычислим, используя правило Симпсона:

Р-к ^ а и А х 2 3

4w1 + 2w2 + 4w3 + 2w4 + 4w5 + 2w6 + 4w7 + 2w8 + 4w9 +

Отсюда:

Л 2F 2Ах

Х--+ х

к • а 3а

+ 2^ п+ + 4w , + 2w . + 4w + 2w 0 + 4w , + w

10 ''''' п-5 п - 4 п-3 п - 2 п -1 п

4^1 + 2^2 + 4^3 + 2^4 + 4^5 + 2^6 + 4^7 + 2^8 + 4^9 +

+ 2^ а + + 4^ 5 + 2^ л + 4^ + 2^ 0 + 4^ , +

10 ''''''•••' п - 5 п-4 п - 3 п-2 п-1 п

Подставив полученное значение Х в выражение (2.2), получим:

4^ + 2^ + 4^ + 2^ + 4^ + 2^ + 4^ + 2^ + 4^ +

ё4 ^ к 2^ , 2А

+--w ---+ к-

ёх Б Ба 3Ба

+ 2w10 +.....•+ 5 + ^п-4 + 4wn-3 + 2wn-2 + 4wn-1 + Wn

В форме метода конечных разностей это выражение имеет следующий вид:

(2.3)

(2.4)

(2.5)

(2.6)

ьчщ/л

(4"^ + 2w2 + 4w3 + + 4w5 + ^

w

т+2 — ^т+1 + (6 + а^т — 4wm—1 + ^—2 — У

где

к -л4

а = ■

Б

-; у = ■

2к -Л-3Б - а

+ + + 2w8 + 4w9 +

+ 2w10 +.......+ —5 + 2wn—4 +

+ 4w о + 2w + 4w , +

V п—3 п—2 п—1 п у

2^ -Л4х

8„, =-; т = 1,2,3,...п.

(2.7)

Б - а

(2.8)

й 2 w

Граничные условия имеют вид: х = ± —. w = 0; Мх = 0. ^ —~ = 0

2

йх2

В форме метода конечных разностей эти условия могут быть представлены в виде: w0 = 0; w-1 = —w1. Запишем выражение (2.7) для первого узла:

' 4w1 + 2w2 + 4w3 + 2w4 + 4w5 + Л

w

3 — 4^ + (6 + а)^1 — 4^ +w_1 — у

+ 2w6 + 4w7 + 2w8 + 4w9 +

+ 2w10 +.......+ 4wn_5 + 2wn _ 4 +

+ 4w , + 2w о + 4w 1 + w

V п—3 ^ п—2 п-1 п у

= 81

(2.9)

или

или

(5 + а — 4у)^ — (4 + 2y)w2 + (1 — 4у^3 — 2^4 — 4^5 — 2^6 — 4^7 — 2^8 —

— 4yw9 — —...........— ^„—5 — 2Уwn—4 — 4Уwn—3 — 2Уwn—2 — ^п—1 — "^п = 81.

Составляя выражение (2.7) для остальных узлов, получим:

í4w1 + 2w2 + 4w3 + 2w4 + 4w5 + ^

w

п+2

— ^+1 + (6 + О^п — ^-1 + Wn-2 — У

+ 2w6 + 4w7 + 2w8 + 4w9 + + 2w10 +........+ 4wи-5 + 2wи-4 +

+ 4w , + 2w г, + 4w 1 + w ' п-3 п-2 п-1 п

= 8,

—■4^1 — 2^2 — 4^3 — 2^4 — 4^5 — 2^6 — 4^7 — 2^8 — 4^9 — 2^10 — — 4Уwn—5 — 2Уwn—4 — 4Уwn—3 + 2(1 — У)wn—2 — (8 + ^^п^ + (6 + а — У^п = 8 п ■

(2.10)

(2.11)

В матричной форме эти уравнения имеют такой же вид, как и в первой задаче, но значения коэффициентов ау изменятся:

ап =(5 + а- 4у) а12 = -(4 + 2у) а0 = (1 - 4у) аи = -2у;

а15 = -4у; а1б = -2у; а17 = -4у; а18 = -2у; а1.9 = -4у;- а1, 10 = -2у; а1,и-5 = -4у; а1,и-4 = -2у; а1,и-3 = -4у; а1,и-2 = -2у; а1,п-1 = -4у; а1,п = -у. ап-1, 1 = -4у; ап-1,2 = -2у; аи-1, з = -4у; ап-1,4 = -2у; ап-1, 5 = -4у; ап-1,б = -2у; ап-1,7 = -4у; ап-1, 8 = -2у; ап-1,9 = -4у; ап-1, 10 = -2у;

ап-1,п-5 = -4У; ап-1,п-4 = -2У; ап-1,п-3 = (1 - 4У); ап-1,п-2 = -4(1 + 2У); ап-1,п-1 = (7 + а - 4У); ап-1,п = -4(1 + у).

ап1 = -4у; ап2 = -2у; апз = -4у; ап4 = -2у; ап5 = -4у; апб = -2у;

а

п7

= -4у; ап8 =-2у; ап,9 =-4у; ап, 10 = -2у; ..... ап, п-5 =-4у;

(2.13)

ап, п-4 =-2У; ап, п-3 =-4У; ап, п-2 =(1 -У); апп-1 =-(8 + 4У); апп =(б + а-У). Решив данную систему уравнений, определим значения прогибов в фиксированных точках (узлах) балки-полосы и изгибающий момент в фиксированных точках т балки-полосы по

1 _1 _ ё2 -м

формулам: № = —А • В и Мх

О ёх

. Эпюры изгибающего момента Мх для некоторых

значений р продемонстрированы на рис. 6.

Рис. 6. Эпюры изгибающего момента Мх для значений р прямоугольной балки-полосы на упругом основании, нагруженной равномерно распределенными по ее краям нагрузками и свободно опертой по краям

>

)&(*)&*%&*%&'%F%2*%(*%&*%F$6)%

3. Цилиндрический изгиб балки-полосы, вдавливаемой в упругое основание равномерно распределенной по всей ее поверхности нагрузкой.

Длинная прямоугольная балка-полоса вдавливается в упругое основание равномерно распределенной по всей ее поверхности нагрузкой (рис. 7).

Рис. 7. Нумерация отрезков балки-полосы на упругом основании, вдавливаемой в упругое основание равномерно распределенной по всей ее поверхности нагрузкой,

с учетом симметрии

Если прогиб на краях пластины обозначить через X, то реакция основания в произвольной точке будет равна:

к(Х + м) = кХ + км. (3.1)

Исходное дифференциальное уравнение (1.1) в этом случае принимает вид:

Б

¡4

а м йх 4

= к -Х + к • ж

(3.2)

Величина X находится из условия, что нагрузка уравновешивается реакцией основания, т.

е.:

а/2

а к • X • а .

я — =--+ к | мах

2 2

I'

а/2

отсюда х = д — ~ |м •аХ.

(3.3)

0 0 При принятой системе координат (рис. 5) дифференциальное уравнение изгиба балки-полосы имеет вид:

Б

а4 м

йх 4

= д — км.

(3.4)

Выделим элементарную балку-полосу и разобьем ее на равные конечно-разностные отрезки размером:

а 1 а к = =--= —,

(3.4)

2 п 2п

где а — ширина балки-полосы; п — число разбиений на половине длины балки-полосы. Нумерация отрезков, с учетом симметрии, приведена на рис. 7.

Четвертая производная в форме метода конечных разностей для произвольной точки т балки-полосы:

(¿4 \

а м

V У т

м , п — 4м , 1 + 6м — 4м 1 + м п

т+2 т+1 т т—1 т-2

д4

Подставив в уравнение (3.4), получим для произвольной точки т балки-полосы:

мт+2 - 4мт+1 + 6м т 4мт—1 + мт—2 , к

Д4

'т—2 + = Ятт. Б т Б

или

кД4

мт+2 — 4м ™^ + 6м„, — 4м „,+ м + —^м т=- т х

Ят Д

т+1

т—1 + ' т—2

Б

Б '

(3.5)

(3.6)

где т=1, 2, 3,...п . Обозначим:

а =

М4х . в Чт А4.

О О

Тогда конечно-разностное уравнение (3.7) принимает вид:

т+2 - 4мт+1 + (б + а)мт - 4мт-1 + Мт-2 = 8т.

т т-1 + г т-2 8т.

а

(3.8)

(3.9)

Граничные условия на продольных гранях балки-полосы: х = ; м = 0; мх = 0 .

ё 2 м

Из условия Мх = 0 следует, что —т- = 0.

ёх

В форме метода конечных разностей данное условие принимает вид:

м-1 =-м1. (3.10)

Составив конечно-разностные уравнения (3.9) для каждого внутреннего узла балки-полосы, с учетом граничных условий, получим систему линейных алгебраических уравнений порядка п х п для определения прогибов

(5 + а)м -4м2 + + 0• м4 + 0• м.+...+ 0• мп-ъ + 0мп_2+0• + 0• = ;

- 4м1 + (б + а)м2 - 4м3 + м4 + 0 • м5 +... + 0 • -2 + 0 • + 0 • = 52;

1 -4^2 +(б + а)мз -4^4 + м + 0• Мб +...+ 0

• - 2 + 0 • + 0 • = 83;

0 • м + м2 - 4м3 + (б + а)м4 - 4м5 + мб + 0 • м7 +...+ 0 • -2 + 0 • + 0 • = 84;

0 • м + 0 • м2 + м3 - 4м4 + (б + а)м5 - 4мб + м7 + 0 • м8 +...+ 0 • + 0• = 85;

0 • ^ + 0 • м2 + ...+ 0 • мп - б + -5 - 4М - 4 + (б + а К-3 - 4мп - 2 + -1 + 0 • = 8 п-3;

0 • м + 0 • М2 + 0 • М3 +...+ 0 • -5 + -4 - 4мп-3 + (б + а)м„-2 - 4мп^ + = 8И-2;

0• + 0• м2 + 0• м3 +...+ 0• мп-4 + мп-3 -4мп-2 +(7 + а)мп-1 -4мп =8п-1;

(3.11)

0• м + 0• м2 + 0• м3 +...+ 0• -3 + 2мп-2 -8м>п+ (б + а)мп =8п. В матричной форме эти уравнения имеют вид: А • № = В, где столбцы Ж и 5 описываются выражением (1.17), а значения коэффициентов матрицы А изменяются. Решив систему уравнений,

определим значения прогибов в фиксированных точках (узлах) балки-полосы. Коэффициенты

матрицы А равны:

а11 = (5 + а);

а12 = -4;

а1з =!;

а14 = 0;

а

21

-4;

а

22

= (6 + а);

а

2з -4; а24 1;

а1» =0; а25 0;

а

2п

0;

аз1 1; а -4;

з2

а

а41 0; а42 1;

а47 = 0;. • а4п =0;

а

з = (6 + а);

= -4; а44 = (б + а);

-4; а 1;

35

а45 -4;

а

36

=0; .. азп = 0;

46

а51 = 0; а52 = 0; а5з = 1; а54 = -4; а55 = (б+а); а5б = -4; а57 = 1;

52

а58 = 0; • а5п = 0;

а

п-3,1

п-3,2

а

п-3,п-3 = (б+а);

а

п-2,1

п-2,2

а

п-2,п-2 = (б+а);

а

п-1,1 0; ап-1,2

а

0; ап- 3,п- 6 0; ап-3,п-5 1; ап-3,п-4 -4

ап- 3,п-2 - 4; ап- 3,п- 1 1; ап-3,п 0;

0; 1 • • • ап -2,п -5 0; ап-2,п-4 1; ап-2,п-3 -

ап -2,п-1 - 4; ап- 2,п = 1;

0; ап- 1,п- 4 0; ап-1,п-3 1; ап-1,п-2 -4;

ап- 1,п -4;

а

п,1

=0; ап,2 =0;

а

п,п-3

0; а

п,п-2

= 2; а

п,п-1

= -8; ап,п = (б+а)-

(3.12)

Полный прогиб равен:

^полн = Г + Я. (3.13)

Вторая производная в форме метода конечных разностей для точки т балки-полосы определяется по формуле (1.18).

Изгибающий момент в фиксированных точках т балки-полосы определяется выражением (1.19), однако численные значения изгибающего момента и прогиба имеет другие значения в точках, так как коэффициенты матрицы А изменяются.

Заключение. При сравнении результатов численного и аналитического решения первой задачи для балки-полосы с разбиением на 20 участков было установлено, что расхождение составляет: для прогиба — 0,2%, для изгибающего момента — 4,5%. В тех же пределах определено расхождение для второй и третьей задачи. Авторами впервые было реализовано численное решение для цилиндрического изгиба балки-полосы на упругом основании методом конечных разностей применительно к двум случаям ее закрепления и нагружения. Получены формулы для численного решения вышеупомянутых задач для прогиба и изгибающего момента.

Библиографический список.

1. Власов, В. З. Балки, плиты и оболочки на упругом основании / В. З. Власов, Н. Н. Леонтьев. — Москва : Физматгиз, 1960. — 491 с.

2. Горбунов-Посадов, М. И. Расчет конструкций на упругом основании / М. И. Горбунов-Посадов, Т. А. Маликов, В. И. Соломин. — Москва : Стройиздат, 1984. — 679 с.

3. Жемочкин, Б. Н. Практические методы расчета фундаментных балок и плит на упругом основании / Б. Н. Жемочкин, А. П. Синицын. — Москва : Госстройиздат, 1962. — 240 с.

4. Краснобаев, И. А. Основы расчета на изгиб тонких жестких пластин / И. А. Краснобаев, И. А. Маяцкая. — Ростов-на-Дону : Рост. гос. строит. ун-т, 2011. — 87 с.

5. Теория пластин и оболочек / И. А. Краснобаев [и др.] ; под. ред. И. А. Краснобаева. — Ростов-на-Дону : Рост. гос. строит. ун-т, 2012. — 114 с.

6. Барменкова, Е. В. Расчет системы «здание — фундамент — основание» с использованием модели двухслойной балки на упругом основании винклеровского типа [Электронный ресурс] / Е. В. Барменкова. — Москва : НИУ МГСУ, 2015. — 1 электрон. опт. диск (CD).

7. Андреев, В. И. Об изгибе составной балки на упругом основании / В. И. Андреев, Е. В. Барменкова // Фундаментальные исследования РААСН в 2009 г. — 2010. — Т. 2. — С. 74-79

8. Andreev, V. I. On the Bending of a Thin Plate at Nonlinear Creep / V. I. Andreev, B. M. Yazyev,

A.S. Chepurnenko // Advanced Materials Research, 2014 Vol. 900 pp. 707-710. Trans Tech Publications, Switzerland.

9. Andreev, V. I. The calculation of the two-layer beam model on an elastic basis with variable modulus of subgrade reaction / V. I. Andreev, E. V. Barmenkova? A.V. Matveeva // Applied Mechanics and Materials, 2013. Vols. 351 - 352. pp. 566-569.

10. Тимошенко, С. П. Пластинки и оболочки / С. П. Тимошенко, С. Войновский-Кригер. — Москва : Физматгиз, 1966. — 636 с.

11. Огибалов, П. М. Оболочки и пластины / П. М. Огибалов, М. А. Колтунов. — Москва : Моск. гос. ун-т, 1969. — 696 c.

12. Александров, А. В. Основы теории упругости и пластичности. / А. В. Александров,

B. Д. Потапов. — Москва : Высшая школа, 2007. — 400 с.

13. Численные методы в теории упругости и теории оболочек / Н. П. Абровский [и др.] ; под. ред. Н. П. Абровского. — Красноярск : Краснояр. гос. ун-т, 1986. — 384 c.

14. Варвак, П. М. Метод сеток в задачах расчета строительных конструкций. / П. М. Варвак, А. П. Варвак. — Москва : Стройиздат, 1977. — 154 с.

15. Кашеварова, Г. Г. Численное моделирование деформирования и разрушения системы «здание — фундамент — основание» / Г. Г. Кашеварова, Н. А. Труфанов. — Екатеринбург-Пермь : УрО РАН, 2005. — 225 с.

16. Симвулиди, И. А. Расчет инженерных конструкций на упругом основании / И. А. Симвулиди. — Москва : Высшая школа, 1978. — 480 с.