CC BY
84
ВЕСТНИК лщчплл
10/2014
ПРОЕКТИРОВАНИЕ И КОНСТРУИРОВАНИЕ
СТРОИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ. ПРОБЛЕМЫ МЕХАНИКИ В СТРОИТЕЛЬСТВЕ
УДК 691-41:517.962+624.042.8
Р.Ф. Габбасов, Туан Ань Хоанг
ФГБОУВПО «МГСУ»
РАСЧЕТ ИЗГИБАЕМЫХ ПЛАСТИН СРЕДНЕЙ ТОЛЩИНЫ НА ДИНАМИЧЕСКИЕ НАГРУЗКИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ОБОБЩЕННЫХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ
РАЗНОСТЕЙ
Применены обобщенные уравнения метода конечных разностей к расчету на динамические нагрузки пластин средней толщины по теории Рейсснера. Прямоугольные плиты средней толщины достаточно широко применяются в строительстве, машиностроении и других областях современной техники. Расчет таких конструкций не может вестись на основе классической теории изгиба тонких плит. Для получения достоверной картины напряженно-деформированного состояния плиты средней толщины необходимо использовать различные варианты уточняющих теорий, что и было проделано в настоящей работе.
Ключевые слова: метод конечных разностей, метод последовательных аппроксимаций, плиты средней толщины, алгоритм расчета, метод конечных элементов, обобщенные уравнения.
Теория пластин и оболочек является наиболее важным приложением теории упругости [1—12]. Плиты средней толщины различного очертания применяются в строительстве многих объектов. Расчет пластин по теории Рейсснера представлен в [13—19]. В настоящей работе пластина средней толщины рассчитывается на динамические нагрузки по теории Рейсснера с использованием обобщенных уравнений метода конечных разностей (МКР).
Рассмотрим колебания упругой прямоугольной плиты с размерами a, b и массой единицы площади ц = const. Дифференциальное уравнение изгиба плиты относительно W, в рамках известных допущений, запишется так:
D
d4W „ d4W д4Жл
ydx дх ду ду у
= q, (1a)
с2ду2 дуА
Ч2Ш ЯШ л2 п ,, ( я2ш яшЛ
. д2W дW d2 2 - v
где q = q -ц—— -c----V
д?2 д? 10 1 - v
д2 W дW —c
дГ д?
(1б)
Функция напряжений % определяется по уравнению
Х-у0 ^Х = 0. (2)
х у
Вводя безразмерные параметры X =_, ^ = _ из (1а) и (2), получим с уче-
том (1б)
a a
д2 w д2 w
дХ2 dh д2 m д2 m
"dx1"
= - m;
д2 w - дw дг дг
2 - V. V2
10а2 1 -v
ч
д2 w - дw v дг дг
д2ф д2ф 10а2 ,
—г +—г = —Г" Ф,
дХ2 dh2 d2
W, ху) D q( x, y) M
где w = ; q = ^^; m =—-
(3a)
(36)
(3в)
q(p
- = /D. - =
са
qo
2
qoa
ф = сху±; v2 ^ +-d2
q0a дХ oh
D =
а
Ed3
12 (1 - v2)
m л/Dm'
— цилиндрическая жесткость плиты; Е — модуль упругости;
V — коэффициент Пуассона; d — толщина плиты; / — время; с — параметр затухания; т — масса единицы площади в фиксированном сечении; а — длина одной из сторон плиты; Ж — прогиб.
Уравнение (3б) можно записать в виде
(
V2m = -
Р-
д2 w -dw
Л
дг
--с-
дг
B (v2p -V2 "w -cV2 'w),
(4)
где B =
2 - v
10а2 1 -v Заметим, что
w =-
д2 w
-2 : дг
dw
w = .
дг
V2 "w =
дг
о2 "w д2"w д2 fd2w d2w ^
5Х2 5h2
дХ2 5h2
d2m ~.
дг
V2 гw =
О2 гw О2гw
д_
дг
д w д w +
дХ2 dh2
дХ2 dh2
С учетом (5) и (6) из (4) получаем
^ д2w - dw ^ ^
dm дг'
V2 m = -
-2 дг
- с-
дг
D д2m -dm^
-B V2p + + с——
дг дг
(5)
(6)
(7)
Разностная аппроксимация по МКР дифференциального уравнения (7) следует как частный случай из уравнения (2.1.1) [20] при 5 = р = с = 0; а = у = 1, запишем ее на квадратной сетке (т = т = И = И = И) при непрерывных т:
m
(k) + m(k) - 4m(k) + m(k) + m(k) i-1, i ^ i+1, i j ^ i, j-1 ^ '"г, j+]
А/ I
(1-11 Am(k) x + III-IV Amfx + 1-111 Amk + II-IV AmfM:
\ y У У У J
ВЕСТНИК
мгск.
10/2014
= -к2
-В
д2ш(к) дш(к) I р(к) г II р(к) г III р(к) г IV р(к) О ™ -
,] ^ У-,] ^ У-,] ^ Уи с
-2 дг
дг
2™(к)
V2р(к) г
д т
2
дг2
гс-
дт
(к)
дг
\\
/у
(8)
где к — шаг сетки; к = 2, 3, 4, ... — отсчитываются вдоль оси г; г = 2, 3, 4, ..., (т - 1) — отсчитываются вдоль оси X;] = 2, 3, 4, ..., (п - 1) — отсчитываются вдоль оси „;
дтк
1-11 Ат(к)х = 1 т(к)х- пт(к)х; т(к)х = д£ ,
^ г
• 1т(к)Х
принадлежат точке г] эле-
мента I (рис. 1). Верхние левые индексы в виде римских цифр в (8) означают номера элементов, которые образует сетка в окрестностях точки г]
(рис. 1). 2
д w дм
Для вычисления ——,—— с целью прямого
дг дг
интегрирования воспользуемся выражениями (8.1.3), (8.1.4) [20].
д2т дт
Выражения для —— и —— напишем анало-
дг дг
гично (8.1.3) и (8.1.4) [20]
д2т(к) 2 дт(к-1) 2( (к 1) (кЛ -2(т(к 1) -^));
,-1, 1-1 ,-1, 1 ,-1,1+1
i к iii
', 1-1 к ,1 к ', 1+1»-
ii к iv
,+1,1-1 ,+ 1,1 г+1,1+1
П
-2 дг
дт(к)
дг
г>
дт- -1) 2( (к-1) (к)
—(т 1) - т( )
^ г] г]
%
Рис. 1. Сетка с элементами I—IV вокруг точки г]
(9)
(10)
дг г] дг г]
Аппроксимация (3а) и (3в) обобщенными уравнениями МКР дает формулы для определения м, ф в регулярной точке для каждого временного слоя к:
г,] 4
Ф(] =
1 (] + < ] + ^ + ^ + к2т((к));
1
гг, ]
М ] +Ф(+1), ] +Ф(]-1 +Ф] )•
(11) (12)
( 4 + к210а 7 Л2)
Рассмотрим следующие условия закрепления пластинки на краю, параллельном оси X:
шарнирное закрепление
м = 0; ф(х) = 0; т(л) = 0; (13)
жесткое закрепление
м = 0; ф(х) = 0; ф(„ = 0, (14)
5 ЕЛ („ч 5 ЕЛ
где ф( Х) =
12 (1 + V) д0а
фх; ф( „ =
12 (1 + V) д0а
(„) Му ф„; т =—т; ф и ф
г д0а2 х у
углы
поворота поперечного сечения относительно осей х и у; М — изгибающий
момент.
В табл. 1 приведены максимальные значения изгибающих моментов и прогиба в центре плиты для случаев шарнирно опертой квадратной плиты (рис. 2, а (V = 0,17)) под действием равномерно распределенного по всей площади пластины мгновенного импульса (без учета затухания с = 0) и в табл. 2 для той же плиты, но все четыре стороны которой заделаны (рис. 2, б).
L
J
б
Рис. 2. Схемы: а — шарнирно опертой квадратной плиты; б — квадратной плиты, все четыре стороны которой заделаны
Табл. 1
МКР
d/a 0,1 0,2
t 1/100p 1/150p 1/100p 1/150p
h 1/12 1/14 1/16 1/18 1/12 1/14 1/16 1/18
m(x) 1,0873 1,0838 1,1078 1,1062 0,8286 0,8345 0,8897 0,8945
10w 0,7873 0,7862 0,7942 0,7939 0,7793 0,7776 0,7852 0,7843
M = m
Х)
sjofm,
w =
wSa
л/mD'
При d/a = 0,1 максимальный изгибающий момент Мх = Му = 1,10625^^ в центре плиты возникает примерно в момент времени г = 0,053.
При d/a = 0,1 максимальный прогиб возникает при г = 0,066 и равен
W = 0,07939
Табл. 2
Sa2 л/mD
МКР
d/a 0,1 0,2
t 1/100p 1/150p 1/100p 1/150p
h 1/12 1/14 1/16 1/18 1/12 1/14 1/16 1/18
ш(х) 1,2611 1,2753 1,3830 1,3872 0,8479 0,8725 0,9466 0,9586
10w 0,5337 0,5452 0,5748 0,5799 0,6581 0,6736 0,7072 0,7149
m 1 -1,4114 -1,4073 -1,5620 -1,5478 -1,3871 -1,3271 -1,2944 -1,2734
0
0
п
п
1
а
ВЕСТНИК
МГСУ-
10/2014
ых = m(x)s^Dm; w
wSa_ ; Mj = mS^ji)/m.
В табл. 3. приведены полученные результаты при Л/а = 0,01 и результаты расчета тонкой плиты по МПА [20] для квадратной шарнирно опертой плиты. Из табл. 3 можно заметить, что наши результаты имеют хорошее совпадение с результатами по [20] при малых Л/а.
Табл. 3
d/a 0,01 Решение тонкой плиты по МПА
t 1/100p 1/150p 1/150p
h 1/12 1/14 1/16 1/18 1/12
m(x) 1,1689 1,1746 1,2371 1,2512 1,244
10w 0,7858 0,7839 0,7927 0,7916 0,775
Выводы. Разработаны численные алгоритмы расчета изгибаемых пластин средней толщины на динамические нагрузки. Алгоритмы основываются на обобщенные уравнения МКР.
На базе разработанных алгоритмов составлены программы для ЭВМ для расчета изгибаемых пластин средней толщины на динамические нагрузки.
Алгоритм расчета плит средней толщины на динамические нагрузки по обобщенным уравнениям МКР может быть рекомендован для применения на практике и в учебном процессе.
Библиографический список
1. Амосов А.А. Об использовании уточненных теорий пластин и оболочек при исследовании свободных колебаний // Строительная механика и расчет сооружений. 1990. № 1. С. 36—39.
2. Аргирос Дж., Шарпф Д. Теория расчета пластин и оболочек с учетом деформаций поперечного сдвига на основе метода конечного элемента // Расчет упругих конструкций с использованием ЭВМ. Л. : Судостроение, 1974. Т. 1. С. 179—210.
3. Варвак П.М. Расчет толстой квадратной плиты, защемленной по боковым граням // Расчет пространственных конструкций : сб. ст. М. : Госстройиздат, 1959. Вып. 5. С. 245—259.
4. Габбасов Р.Ф., Низомов Д. Численное решение некоторых динамических задач строительной механики // Строительная механика и расчет сооружений. 1985. № 6. С. 51—54.
5. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки / пер. с англ. М. : Наука, 1966. 635 с.
6. КиселевВ.А. Расчет пластин. М. : Стройиздат, 1973. 151 с.
7. Рабинович И.м. Основы динамического расчета сооружений на действие мгновенных и кратковременных сил. М. ; Л. : Стройиздат, 1945. 85 с.
8. Рабинович И.М., Синицын А.П., Теренин Б.М. Расчет сооружений на действие кратковременных и мгновенных сил. М. : ВИА, 1956. Т. 1. Ч. 1. 464 с.
9. Папуш А.В. Расчет плиты средней толщины с учетом поперечного сдвига // Тезисы респ. науч.-практ. конф. ученых, Душанбе, 12—14 апр., 1990. Секц. Техн. науки : Сб. науч. ст. / Тадж. респ. правл. ВНТО стройиндустрии, Сов. мол. ученых Тадж. политехн. ин-та. Душанбе, 1990. С. 84—86.
10. Рева Е.А. К решению пространственной задачи теории упругости для толстой прямоугольной плиты // Мат. 9-й науч.-техн. конф. Харьков : УЗПИ, 1968. № 2. С. 128—131.
11. Рустамов Д., Халиков Р. Расчет плит средней толщины со смешанными условиями // Численные методы в прикладной математике. Самарканд, 1979. С. 44—50.
12. Саакян С.М. Изгиб прямоугольной толстой плиты с заделанными краями // Докл. АН Арм. ССР. 1965. Вып. 40. № 3. С. 137—143.
13. Айнола Л.Я. Об уточненных теориях пластинок типа Рейсснера // Тр. IV Всесоюзн. конф. по теории оболочек и пластин. Ереван, 1964. С.171—177.
14. Green A.E. On Reissner's theory of bending of elastic plates // Quart. Appl. Math. 1949. Vol. 7. No. 2. Pp. 223—228.
15. Nordgren R.P. A bound on the error in Reissner's theory of plates // Quart. Appl. Math. 1972. No. 29. Pp. 551—556.
16. Reissner E. The effect of transverse shear deformation on the bending of elastic plates // J. Appl. Mech. 1945. Vol. 12. No. 2. Pp. 69—77.
17. Reissner E. On bending of elastic plates // Quart. Appl. Math. 1947. Vol. 5. No.1. Pp. 55—68.
18. Reissner E. On transverse bending of plates, including the effect of transverse shear deformation // Int. J. Solids Struct. 1975. Vol. 11. No. 5. Pp. 569—573.
19. Rychfer Z. An improved bound on the error in Reissner's theory of plates // Arch. Mech. Warszawa, 1986. Vol. 38. No. 1, 2. Pp. 209—213.
20. Габбасов Р. Ф., Габбасов А.Р., Филатов В.В. Численное построение разрывных решений задач строительной механики. М. : Изд-во АСВ, 2008. 277 с.
Поступила в редакцию в сентябре 2014 г.
Об авторах: Габбасов Радек Фатыхович — доктор технических наук, профессор, профессор кафедры строительной механики, Московский государственный строительный университет (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, 8 (495) 287-49-14, fofa@mail.ru;
Хоанг Туан Ань — аспирант кафедры строительной механики, Московский государственный строительный университет (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, 8 (495) 287-49-14, hoangtuananhk30a1@gmail.com.
Для цитирования: Габбасов Р.Ф., Хоанг Туан Ань. Расчет изгибаемых пластин средней толщины на динамические нагрузки с использованием обобщенных уравнений метода конечных разностей // Вестник МГСУ 2014. № 10. С. 16—23.
R.F. Gabbasov, Tuan Anh Hoang
DYNAMIC LOAD CALCULATION OF A BENDING PLATE OF AVERAGE THICKNESS USING GENERAL EQUATIONS OF FINITE DIFFERENCES METHOD
The theory of plates and shells is the most important application of the theory of elasticity. Rectangular slabs of average thickness are quite widely in construction, engineering and other fields of modern technology. Calculation of such structures cannot be conducted on the basis of the classical theory of bending of thin plates. In order to obtain a reliable picture of stress-strain state of a plate with average thickness, it is necessary to use different versions of improved theories. The aim of this work is the use generalized equations of the finite difference method (FDM) to calculate the dynamic loads of the plates average with thickness basing on the Reissner theory.
On the basis of the developed algorithms computer programs have been worked out for calculating the dynamic load of bending plates of average thickness.
BECTHMK AtM-iMA
10/2014
The algorithm of calculating the dynamic load of bending plates of average thickness according to generalized equations of FDM can be recommended for practical use in frames of studying process.
Key words: finite difference method, the method of successive approximations, plates of the average thickness, algorithm of calculation, finite element method, generalized equations.
References
1. Amosov A.A. Ob ispol'zovanii utochennykh teoriy plastin i obolochek pri issledovanii svobodnykh kolebaniy [On the Use of Improved Theories of Plates and Shells in the Study of Free Oscillations]. Stroitel'naya mekhanika i raschet sooruzheniy [Structural Mechanic and Calculation of Structures]. 1990, no. 1, pp. 36—39. (in Russian)
2. Argiros Dzh., Sharpf D. Teoriya rascheta plastin i obolochek s uchetom deformatsiy poperechnogo sdviga na osnove metoda konechnogo elementa [Calculation Theory of Plates and Shells with the Transverse Shear Deformations on the Basis of the Finite Element Method]. Raschet uprugikh konstruktsiy s ispol'zovaniem EVM [Calculation of Elastic Structures Using ECM]. Leningrad, Sudostroenie Publ., 1974, vol. 1, pp. 179—210. (in Russian)
3. Varvak P.M. Raschet tolstoy kvadratnoy plity, zashchemlennoy po bokovym granyam [Calculation of a Thick Square Plate Stiffened on the Side Edges]. Raschet prostranstvennykh konstruktsiy : sbornik statey [Calculation of Spatial Structures: Collection of Articles]. Moscow, Gosstroyizdat Publ., 1959, no. 5, pp. 245—259. (in Russian)
4. Gabbasov R.F, Nizomov D. Chislennoe reshenie nekotorykh dinamicheskikh zadach stroitel'noy mekhaniki [Numerical Solutions of Some Dynamical Problems of Structural Mechanics]. Stroitel'naya mekhanika i raschet sooruzheniy [Structural Mechanics and Calculation of Structures]. 1985, no. 6, pp. 51—54. (in Russian)
5. Timoshenko S.P., Woinowsky-Krieger S. Theory of Plates and Shells. McGraw-Hill, New York, 1959, second edition, 595 pp.
6. Kiselev V.A. Raschet plastin [Calculation of Plates]. Moscow, Stroyizdat Publ., 1973, 151 p. (in Russian)
7. Rabinovich I.M. Osnovy dinamicheskogo rascheta sooruzheniy na deystvie mgno-vennykh i kratkovremennykh sil [Fundamentals of the Dynamic Analysis of Structures on an Instantaneous and Short-term Forces]. Moscow, Stroyizdat Publ., 1945, 85 p. (in Russian)
8. Rabinovich I.M., Sinitsyn A.P., Terenin B.M. Raschet sooruzheniy na deystvie kratkovremennykh i mgnovennykh sil [Calculation of Structures for the Action of Short-term and Impulse Forces]. Moscow, VIA Publ., 1956, Vol. 1. Part 1. 464 p. (in Russian)
9. Papush A.V. Raschet plity sredney tolshchiny s uchetom poperechnogo sdviga [Calculation of a Plate of the Average Thickness Taking into Account the Transverse Shear]. Tezisy respublikanskoy nauchno-praktickeskoy konferentsii uchenykh, Dushanbe, 12—14 aprelya, 1990. Sektsiya Tekhnicheskoy nauki : Sbornik nauchnykh statey [Theses of the Republican Scientific and Practical Conference of Scientists, Dushanbe, April 12—14, 1990. Technical Science Section : Collection of Scientific Articles]. Tadjik Republican Board of VNTO of the Construction Industry, Young Scientists Board of the Tadjik Polytechnic Institute, Dushanbe, 1990, pp. 84—86. (in Russian)
10. Reva E.A. K resheniyu prostranstvennoy zadachi teorii uprugosti dlya tolstoy pryamougol'noy plity [On the Solution of the Spatial Problem of Elasticity Theory for a Thick Rectangular Plate]. Materialy 9-y nauchno-tekhnicheskoy konferentsii [Materials of the 9th Scientific and Technical Conference]. Kharkiv, UZPI, 1968, no. 2, pp. 128—131. (in Russian)
11. Rustamov D., Khalikov R. Raschet plit sredney tolshchiny so smeshannymi uslovi-yami [Calculation of the Plates of Average Thickness with Mixed Conditions]. Chislennye metody v prikladnoy matematike [Computational Methods in Applied Mathematics]. Samarkand, 1979, pp. 44—50. (in Russian)
12. Saakyan S.M. Izgib pryamougol'noy tolstoy plity s zadelannymi krayami [Bending of Rectangular Thick Plate with Clamped Edges]. Doklady AN Armenii SSR [Reports of the Armenian Academy of Sciences of the SSR]. 1965, issue 40, no. 3, pp. 137—143. (in Russian)
13. Aynola L.Ya. Ob utochennykh teoriyakh plastinok tipa Reyssnera [On Improved Theories for the Reissner Theory of Plates]. Trudy IV Vsesoyuznoy konferentsii po teorii obolo-chek i plastin [Works of the 4th All-Union Conference on the Theory of Shells and Plates]. Erevan, 1964, pp.171—177. (in Russian)
14. Green A.E. On Reissner's Theory of Bending of Elastic Plates. Quart. Appl. Math. 1949, vol. 7, no. 2, pp. 223—228.
15. Nordgren R.P. A Bound on the Error in Reissner's Theory of Plates. Quart. Appl. Math., 1972, no. 29, pp. 551—556.
16. Reissner E. The effect of transverse shear deformation on the bending of elastic plates. J. Appl. Mech. 1945, vol. 12, no. 2, pp. 69—77.
17. Reissner E. On Bending of Elastic Plates. Quart. Appl. Math. 1947, vol. 5, no. 1, pp. 55—68.
18. Reissner E. On Transverse Bending of Plates, Including the Effects of Transverse Shear Deformation. Int. J. Solids Struct. 1975, vol. 11, no. 5, pp. 569—573.
19. Rychter Z. An Improved Bound on the Error in Reissner's Theory of Plates. Arch. Mech. Warszawa, 1986, vol. 38, no. 1, 2, pp. 209—213.
20. Gabbasov R.F., Gabbasov A.R., Filatov V.V. Chislennoe postroenie razryvnykh resh-eniy zadach stroitel'noy mekhaniki [Numerical Development of Discontinuous Solutions of the Problems of Structural Mechanics]. Moscow, ASV Publ., 2008, 277 p. (in Russian)
About the authors: Gabbasov Radek Fatykhovich — Doctor of Technical Sciences, Professor, Department of Structural Mechanics, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; +7 (495) 287-49-14; fofa@mail.ru;
Hoang Tuan Anh — postgraduate student, Department of Structural Mechanics, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; +7 (495) 287-49-14; hoangtuananhk30a1@gmail.com.
For citation: Gabbasov R.F., Hoang Tuan Anh. Raschet izgibaemykh plastin sredney tolshchiny na dinamicheskie nagruzki s ispol'zovaniem obobshchennykh uravneniy metoda konechnykh raznostey [Dynamic Load Calculation of a Bending Plate of Average Thickness Using General Equations of Finite Differences Method]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2014, no. 10, pp. 16—23. (in Russian)
