Расчет сжато-изогнутых ортотропных пластин методом последовательных аппросимацнй (МПа) Текст научной статьи по специальности «Физика»

4/2010 ВЕСТНИК _4/2010_МГСУ

РАСЧЕТ СЖАТО-ИЗОГНУТЫХ ОРТОТРОПНЫХ ПЛАСТИН МЕТОДОМ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ АППРОСИМАЦИЙ (МПА)

CALCULATION OF THE COMPRESSIVE-BENDING ORTHO-TROPIC PLATES BY SUCCESSIVE APPROXIMATION METHOD

(MPA)

З.Б. Kao, Р.Ф. Габбасов Cao Duy Bach, R.P. Gabbasov

МГСУ

В статье рассматривается расчет сжато-изогнутых пластин относительно двух неизвестных d2W д2W метом МПА c примерами.

dx2 ' ду2

The article mentioned about the calculation of the bending orthotropic plates corresponding with 2 unknown variables as dW dW by MPA method with examples.

dx2 ' dy2

Дифференциальное уравнение изогнутой поверхности тонкой упругой ортотропной плиты по [1]

д 4W d4W д 4W D^^-T + 2 + Dv^-T = q + h

x dx dx dy2 y dy

d 2W _ d 2W d 2WЛ —^ + 2T--ъ <r

dx2 ху dxdy у dy2 ) (1)

где W - прогиб; q - интенсивность распределенной по поверхности пластины поперечной нагрузки; Ъ - толщина пластинки; п п - изгибные жесткости относительно осей

X > у

у,х; Н - жесткость на кручение; х - касательное напряжение, возникающее от действия нагрузки в плоскости пластинки; ¡у & - нормальные напряжения. Обозначим: N = Н&х; Ыу = Ьау ; при Тху = 0 ИЗ (1) следует:

д 2Wxx rd2Wxx TTd2Wyy п d 2Wyy D-+ H-t— + H-T— + D,

dx2 dy2 dx2 y dy2

-q + N [aWxx + /Wyy) (2)

где Wxx =^W--Wyy =— ;a= Nx;y = Nг;N = max(Nx,Ny)• Введем обозначения :

dx2 dy N N x y

Dx H n x у WD -Na2 „ d2 w _ d 2w «=тт ;r=—; p=—;£=-;v=-;w=—y;k;w w (3)

Dy Dy По a a q0a Dy d4 dr/ w

и запишем (2) в безразмерном виде:

52w« 52wй d2w"" dV (- & - .

— + У-,- + y—r + —r = P - k (4)

a-

ВЕСТНИК 4/2010

Запишем разностное уравнение метода последовательных аппроксимаций, ап-

на

проксиммирующее (4) на квадратной сетке с заменой по [2]: на и , щ на мРл; -р

р _ кпри равномерно распределеных в пределах элементов 1-1У нагрузках 1р, р ;1П р ;'Г Р (Рис- !)• Обозначим:

к2

■к2

= - - Ад((); Аи"" = -Ад'л); а^=а + у + ка—; Ь4 = 10а - 2/ + 4ка—;

а

¡+1,1-

ч и, 4+1

» IV

¡+1,] 1-1 1-1 1+1

ШУ

-к2

с,= 2а- Юг- 4ка—; * 6

1 Гк2

ал=у +1 + ку- ;

6

_ 7 2 _ 7 2

Ь= 10у- 2 + 4кг- ; с = 2/-10 - 4ку-6 6

1 -11 Аа=1 а(Л) -11 а(Л) •

^/г, у-1 Чг, )-1 Чг, ) -р

Рис. 1

остальные члены уравнения с верхними левыми индексами имеют аналогичный смысл. Тогда аппроксимация (4) прибретает вид:

ам^ . , + . + ам^ ^ _ см^- 1 _

4 '-1,1-1 4 г-1,7 4 1-1,) +1 # ',) -1

20а + 20у- 52ка—

2^

- см^-^ +

',) 4 ', )+1

) -1 + ЬЛ) + а4Мк)+1 - аХ1 )-1 + ) + )+1 ■

сХ'-1 -

20^ + 20 - 52ку-

2^

- с,<11+а<1, )-1+Ь<1,)+а<1, )+1+

+к

Г у к2 ка ^ а 12 а

1 -11 да*» - 41 11 ¿а*

1111-1^ „(4)

+к

+

2 —

^ ^ к ка

а 12 а

г, )-1/2

111 -1Г

'25

а а 12

кг -111 Аа^ - 41-111 АаХ'

V 12 У

2+у- 5кук (1-111 Аа5> +^Аа(Я

2

12

-411 -1Г Аа(,) +

2

V 12 У

= 3к2 {'Р,„ +11 Р,,) + ШР,,) + ,) )

5

Запишем с учетом (3.1.2) уравнение (3.2.8) в [2] на квадратной сетке:

(5)

4/2010

ВЕСТНИК _МГСУ

" -1,1-1

-1,1+1

-щ™ , - 10Щ"?, - Щ7? „, + , + 20Щ7? + щ™ , - - Щ

Ч-1,1-1

"г-1,1+1

"г, 1 -1

, А /1"II Л (#) I-II А (#)

а 4

(Я

Ч,

г, 1 ■ "г, 1+1 III - IV

г+1,1 -1

г+1,1

т

"г+11,1+1

)■

-А^I ^1 _ 1-ш_ .щу + ш1 ) = 0, (6)

Таким образом для каждой внутренней точки сетки имеем два алгебраических уравнения относительно неизвестных и . При шарнирном опирании пластинки

по всему контуру этих уравнений достаточно для решения задачи. При других краевых условиях используются данные в [2] уравнения для краевых точек.

Система уравнений (5),(6) решается итерациями. Для этого они предварительно преобразуются.

Рассмотрим решение тестовых задач: Задача 1:

к = 1

11 12 13

21 | 22 23

31 32 33

—►

- 1 л

-

- гя

-

1/2 1/2

1

к = 1

Рис.2

Рассчитать изотропную квадратную шарнирно опертую по всему контуру пластинку, загруженную по всей площади равномерно распределенной нагрузкой. Кроме того, пластинка в направлении оси ^ испытывает равномерное сжатие силами, безразмерное значение которых к = 1 значительно меньше критического. Безразмерное значение поперечной нагрузки р = 1. На рис. 2 показано минимальное число разбиений с шагом Ъ = 1/2. Краевые условия: во всех точках расчетной сетки, расположенных на контуре, = щт = 0.

Изотропная плита - частный случай ортотропной плиты. При этом:

а = у = 1; а = 0; р = у = к = 1; Интегрируя численно найденные и щпп, получим значение прогиба в центре щ = 0 004150 .Приводим сравнение результатов, полу-

ченных при увеличении числа разбиений (Ъ = 1/2; 1/4; 1/8; 1/16) в таблице 1:

Таблица 1

Ъ = 1/2 Ъ = 1/4 Ъ = 1/8 Ъ = 1/16

Значение 4 по расчету 0,004150 0,004159 0,004169 0,004170

Значение Щ по [2] 0,004174 0,004170 0,004170 0,004170

В [2] задача решается по МПА относительно неизвестных и т, где т = + . Видно, что при достаточном числе разбиений решения сходятся.

ВЕСТНИК МГСУ

4/2010

В этой задаче можно найтн критическую нагрузку; постепенно увели-к

чивая

К = -

Зависи-

к

мость w - К показана на рис. 3. Видно, что К стремится к значению 4. Это совпадает с результатом ВольмираА.С. в [3].

4.5 Л 3.5

I

г.ь г

1.5 1

0.5 0

0.1

0.2

о.г

Рис.3

0.<1

0.5

0.6

0.7

Задача 2: N2

Квадратная изотропная пластина ( а=100 см) со свободно опертыми кромками нагружена равномерно поперечной нагрузкой интенсивности q0 = 0,5кг/см2 и равномерно распределенными вдоль всех опорных сторон продольными растягивающими усилиями интенсивности N1 = N2 =1000 кг/см (рис. 4). Толщина пластины 5 = 1 см, модуль упругости Е = 2,2.106 кг/см2, коэффициент Пуассона ц = 0,3;

Б = 0.20147 *106; к = -49,64;

а-у- 1,а = 1; у = 1; р = — = 0.5

а0 .

Задача была решена Ю.А. Шиманским в [4] с р 4 применением тригонометрических рядов и

Г.Д. Абрамовым в [5] с помощью уравнений МКР. Для сравнения результаты расчета сведены в табл. 2

Таблица 2

- — У

— 1 2 3 — N

- -

1 1 1 *

а/4 I а/4 I а/4 I а/4

Величины см Шиманский Ю.А. Абрамов Г.Д. Ъ = 1/4 МПА Ъ = 1/4

W2 0,276 0,266 0,277

Решение по МПА при том же шаге, что и по МКР, не только ближе к аналитическому, но и, что немаловажно, стремится к нему сверху, обеспечивая запас прочности.

Задача 3: Расчет ортотропной плиты на действие равномерно распределенной поперечной нагрузки.

Мы можем его сравнить с результатами В. А. Смирнова [6], полученными методом фиктивных нагрузок на сетке 8x8 для квадратной ортотропной пластины со свободно опертыми кромками, загруженой равномерно-поперечной нагрузкой интенсив-

4/2010 ВЕСТНИК _4/2010_МГСУ

ности q; коэфициент^= = ^ т.е. а = у = 0;а = 0,4823;^ = 0,6944. В [6] для

центра прогиб ^ _ о 00393 qa - 0 005660 qa , где а"длина СТ0Р0Н пластинки, т.е.

"= , JDD= , D

берзразмерная величина w=0,005660. Результат наших расчетов на такой же сетке: wu=0,005444. Разница по сравнению с [4] составляет -3,8%.

Задача 4: Расчет ортотропных плит на действие равномерно распределенной поперечной и продольной нагрузок.

Все условия те же, что и в задаче 3 но кроме поперечной нагрузки на плиту действуют равномерно распределенные вдоль всех опорных сторон продольные сжимающие усилия интенсивности Рх = 5.66743 Dy/a2; Ру = 8.50115 Dy/a2 .

По нашему решению w = 0,01149, а по [7] w = 0 01139. Разница составляет 0,78%.

Ц '

Результаты расчета сжато-изогнутой ортотропной плиты с различными вариантами загружения и ортотропии, полученные при различных разбиениях, свидетельствуют о сходимости решений по МПА.

Литература

1. Лехницкий С.Г. Анизотропные пластины.- М.-Л.: Гостехиздат, 1947,355 с.

2. Габбасов Р.Ф., Габбасов А.Р., Филатов В.В. Численное построение разрывных решений задач строительной механики- Москва, изд. АСВ 2008.- 273 с.

3. Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых сиситем-М.,Наука,1967.

4. Шиманский Ю.А. Изгиб пластин. М., ОНТИ.,1934 106 с.

5. Абрамовый Г.Д. Исследование устойчивости и сложного изгиба пластин, стержневых наборов и оболочек разностными уравнениями. Л., Судпромгиз, 1951 51 с.

6. Смирнов В.А. Расчет пластин сложного очертания.- М.: Стройиздат, 1978 300 с.

7. Смирнов В.А. Изгиб ортотропной пластины при действии поперечной и продольной нагрузок.- Исследования по теории сооружений, вып XIX М.: Госстройиздат, 1972, с. 54-69.

Literature

1. Lechnicky SG Anisotropic plate .- Leningrad: Gostekhizdat, 1947.355 pp.

2. Gabbasov RF, Gabbasov AR, Filatov VV Numerical construction of discontinuous solutions of problems of structural mechanics, Moscow, ed. ASV 2008 .- 273 pp.

3. Voljmir AS Stability of Deformable SCS-M., Science, 1967.

4. Szymanski JA Bending of plates. M., ONTI., 1934 106 pp.

5. Abramova, GD Investigation of stability and complex bending of plates, rod kits and shells difference equations. L., Sudpromgiz, 1951 51.

6. Smirnov VA Calculation of plates of complex shape .- M.: Stroiizdat, 1978 300 pp.

7. Smirnov VA Bending of an orthotropic plate under the action of transverse and longitudinal loads .- Investigations on the theory of structures, vol XIX M.: Gosstroiizdat, 1972, pp. 54-69.

e-mail автора(ов) : bach_misi@mail.ru Телефон/факс автора(ов) : Бакч : 8926 - 276- 83 - 29

Ключевые слова: численный метод, расчет плиты, метод последовательных апроксимаций (МПА), алгоритм, ортотропная плита, продольная нагрузка.

Key words: Computational metod, calculation of plate, successivve approximation method (MPA), algorithm, orthotropic plate, lateral effort.

Рецензент : Доцент, кафедры Строительной механики МГСУ,к.т.н. В.В. Филатов