CC BY
36
ВЕСТНИК V20!!
РАСЧЕТ ОРТОТРОПНЫХ ПЛАСТИН С УЧЕТОМ ВЛИЯНИЯ СДВИГАЮЩИХ СИЛ НА ИЗГИБНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ
CALCULATION OF THE ORTHOTROPIC PLATES WITH SHEAR
STRESSES BY SUCCESSIVE APPROXIMATION METHOD (MPA)
KAO З.Б.
Cao Duy Bach
МГСУ
В статье рассматривается расчет сжато-изогнутых ортотропных пластин при действующих по краям пластины сдвигающих усилий метом МПА c примерами.
The article mentioned about the calculation of the compressed-bent plates orthotropic plates when operating on the edges of the plate shear stresses by MPA method with examples.
B настоящей статье в отлнчне от [1] определяются критические значения действующих по краям пластины сдвигающих усилий. При этом дифференциальное уравнение изогнутой поверхности тонкой упругой ортотропной плиты по [2] записывается в виде:
„ d4W тд4W п д4W ,f д2W „ д2W д2ЖЛ
Dx—- + 2H—2—- + D —- = q + h их—Г + 2^xy-+ ay—г
дх дх dy dy I дх dxdy dy
(1)
где W - прогиб; q - интенсивность распределенной по поверхности пластины поперечной нагрузки; Ъ - толщина пластинки; п п - изгибные жесткости относительно осей
X > у
у,х; Н - жесткость на кручение; ^ - касательное напряжение, возникающее от действия нагрузки в плоскости пластинки; а а - нормальные напряжения. Обозначим: N = Ьах; Ыу = Ьау; Ыу = 2кТу тогда из (1) следует:
д2Wxx „д2Wxx „д2Wyy „ д2Wyy
D.^f^ + H^-г- + H"--^ + = q + N (aWxx +W + W )' (2)
ox oy ox oy 4 '
д2W д2W д2W — N - N — N
Wxx = —W~;Wxy = — ;Wyy = ^ •,y = -y- = ; N = max( Nx, Nxy, Ny)
dx2 dxdy dy2 N N N xy y
Dx H a x y WD -Na2
oc = -JL ;y = —; p = — = — =—; w = —4-; k =-;
Введем обозначения: D D q0 a a q0a D
44 d2w „ д2 w 4,1 d2 w
w^ =—-; w" =—-; W =--
drj дфц
и запишем (2) в безразмерном виде:
а
д2д2^ 5V д2чГ ,Г % ь - т\ - + 7 ^ 2 + У^—г + = Р ~ к\омК + Р^ + 1.
д? '' дЛ2 ■ дт}2 г -Г" ■<■■ Г (3)
Запишем разностное уравнение МПА, аппроксиммирующее (3) на квадратной сетке
так
как сделано в статье
р - к
[1],
заменой
¡+1,г*1
иН
¡+1,]
Рис. 1
[Р - к (сы?
на
Дч^ =--ДдК); Дч7" = -Дд(,);
а
-А2 -А2
а, = а + ^ + ка—; Ь = 10а- 2^ + 4ка—;
— А
-А2
с, = 2а-10^- 4ка—; а =у +1 + ку— ;
-А2
, - А
Ь = 10у-2 + 4кг— ;с = 2у-10-4кг- ;
11 6 11 6
Обозначим:
^ =—2—; ™ =—з;
д£, дц дц
1 ДдК) =' а^
Здесь
Vй -
Чг, у-1
значение д^, принадлежащее точке 1,
элемента I (рис. 1). Остальные члены уравнения с верхними левыми индексами имеют аналогичный смысл. Тогда аппроксимация (3) прибретает вид:
20а + 20^- 52ка
2 Л
< - сА+
2 Л
с ч"7. -
7 -1
++ 4^ + + 4и^ + 52<; + 4м#+1 + -1 + 4<, + <у+1)
20^ + 20 - 52ку-
V 6 у
Ж7? - + амрл, , + ,. + А ч?
,77
',] 7 г ,7+1 7 г+1,7-1 7 ¿+1,7
7 г+и+1
+А
у ^ А2 ка 2 а 12 а
-11 Ад®
у
V
г ^ка А2
4 + -— 5--
а а 12
^ Дд<? + Ш-1Г
(
+к
у к2 ка 2 а 12 а
111
к2 ^
УН--кг - 2
12
+
(
к2,~
у Н--ку - 2
12
1 д^г -
111
2 Л
к
4 + у- 5ку— 12
(1 -111 Дд^ + 11 -1Г )-
= 3к2 +11 р,,, + 111 р,,, + , ,).
(4)
Запишем уравнение (3.2.8) [3] на квадратной сетке относительно тех же неизвестных ц/^; мР11:
Щ - 2 Щ- + Щ +10*0,-1 - +10 иб+1 + Щ - 2^ + Щ --Щ - 10мй,, - Щ + 2м^_1 + 20м;,; + 1 - Щ - 10<1,, - м^^,+
Д(1-11 Д^ -1-11 Д^ -^ Д^ + Д^) --к (1-111 д^. -1-111 д^; - ^ д^; + 111-1Г д^) = 0.
Выразим Цч через w для внутренней точки 1] квадратной сетки:
^ = ^к1 (" " + ). Величину w будем искать по формуле (1.3.18) [3] :
=0,5 +ми+1)- |4 д 1 -24 +10<;+).
Таким образом, для каждой внутренней точки сетки имеем 4 алгебраических уравнения относительно неизвестных , , и w. При шарнирном опирании пластин-
(5)
(6) (7)
ки по левому краю:
м.
= -к ("<1,1 + <1,1).
', 1 2к ^ "'~1,1 '+1, По "половинной" формуле Симпсона [4]:
м
-1,1 = <1,1+1 - \ (1,25 1 + 2 Щ - 0,25 Щ);.
Ки = <1,1+1
- 3 (1,25
+ 2
- 0,25
'+1,1 '+1,1+1 1 '+1,1+2 ) Поставив (9) в (8), получим формулу для левого края:
Ш = +1 (1,25м^1и + +1 - 0,25Щ " 1,25<и ~ 2<Ъ+1 + 0,25м™;+2).
(8)
(9)
(10)
Для остальных шарнирных краев (10) записывается аналогично. При других краевых условиях используются данные в [3 ] уравнения для краевых точек.
Рассмотрим решение тестовых задач. Задача 1.
Тху
Тху
гг П
Тху
Тху
5
I I
1
Тху
Тху
Тху
Тху
Рис.2
Рассчитать изотропную квадратную шарнирно опертую по всему контуру пластинку, загруженную по всей площади равномерно распределенной нагрузкой. Кроме того, по краям пластинки действуют касательные нагрузки (рис. 2). Чтобы найти критические значения этих сил мы постепенно увеличим касательные нагрузки до тех пор, пока плита не потеряет устойчивость. Безразмерное значение поперечной нагрузки р = 1. Краевые условия: во всех точках расчетной сетки, расположенных на контуре,
^ = = 0. При этом: а = у = 1;а = у = 0;¡5 = 1. Приводим результаты, полученные с
увеличением к = — ПРИ Ь =1/72, где И - шаг сетки в таблице 1 и график К^ц ж
(рис. 3); - прогиб центра плиты.
Таблица 1
Шаг сетки Ь = 1/72 [5]
К 8,875 9,027 9,077 9,128 9,179 9,230 9,280 9,306 9,382 9,34
0,045 0,051 0,058 0,073 0,094 0,124 0,206 0,318 1,780 ----
0.5
1.5
Рис. 3
Задача 2.
Рассчитать ортотропную шарнирно опертую по всему контуру плиту на действие равномерно распределенной поперечной нагрузки и касательные нагрузки.
ВЕСТНИК 1/2011
а = у = 0;^ = р = 1;а = 0,4823; у = 0,6944. При р = 1 результаты, полученные с увеличением к = —, в таблице 2 и на графике (рис. 4). Ж
Таблица 2
Шаг сетки h = 1/38
Значение К 5,0712 6,0854 6,339 6,4404 6,4911 6,5418 6,5926
Значение 0,0112 0,0272 0,0441 0,006 0,0732 0,0944 0,1339
К
Рис. 4
Разработанная методика позволяет рассчитывать ортотропные и изотропные пластинки на поперечные нагрузки с учетом влияния продольных сил на изгибные деформации. В пределе из условия потери устойчивости II рода получаем критические значения сил, действующих в серединной плоскости , как касательных, так и нормальных [1].
Литература
1. Габбасов Р.Ф., Као З.Б Расчет сжато-изогнутых ортотропных пластин методом последовательных аппросимаций. М. Вестник МГСУ No4 т.1, 2010, с. 47-51.
2. Лехницкий С.Г. Анизотропные пластины.- М.-Л.: Гостехиздат, 1947,355 с.
3. Габбасов Р.Ф., Габбасов А.Р., Филатов В.В. Численное построение разрывных решений задач строительной механики- Москва, изд. АСВ 2008.- 273 с.
4. Хемминг Р.В. Численные методы./ Пер. с англ.- М.: Наука, 1972 - 400с.
5. Вольмир A.C. Устойчивость деформируемых сиситем-М.,Наука,1967, 984 с.
Literature
1. Gabbasov RF, Cao D.B Calculation compressed-curved orthotopic plates by successive approsimatsy. M. Herald MGSU No4 Volume 1, 2010, pp. 47-51.
1/2П11 ВЕСТНИК
_угогт_мгсу
2. Lechnicky SG Anisotropic plates .- Leningrad: Gostekhizdat, 1947, 355pp.
3. Gabbasov RF, Gabbasov AR, Filatov VV Numerical construction of discontinuous solutions of the problems of structural mechanics, Moscow, ACB 2008 .- 273 pp.
4. RV Hemming Numerical methods. Ed. with English .- Moscow: Science, 1972 - 400pp.
5. Volmir AS Stability of Deformable SCS-M., Science, 1967, 984 pp.
Ключевые слова: численный метод, расчет плиты, метод последовательных апроксимаций (МПА), алгоритм, ортотропная плита, продольная нагрузка, критическая сила, сдвигающая
Key words: Computational metod, calculation of plate, successivve approximation method (MPA), algorithm, orthotropic plate, lateral effort, critical force, shear force.
Телефон/факс автора(ов) : Бакч : 8926 - 276- 83 - 29 e-mail автора(ов) : [email protected]
Рецензент : Доцент, кафедры Строительной механики МГСУ,к.т.н. В.В. Филатов
