CC BY
42
проектирование и конструирование
строительных систем. проблемы механики
в строительстве
УДК 624.04 Б01: 10.22227/1997-0935.2017.6.631-635
ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА КРУГЛЫХ ПЛИТ В ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНОЙ ПОСТАНОВКЕ
Р.Ф. Габбасов, Н.Б. Уварова
Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет (НИУ МГСУ), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26
АННОТАцИЯ. В статье рассматривается осесимметричная задача о расчете круглой плиты на статические нагрузки в геометрически нелинейной постановке. Для решения задачи привлекаются обобщенные уравнения метода конечных разностей (МКР), позволяющие решать задачу в пределах интегрируемой области с учетом разрывов искомой функции, ее первой производной и правой части исходного дифференциального уравнения.
Разрешающие дифференциальные уравнения задачи, составленные относительно искомых функций прогиба и напряжений, сводятся к четырем дифференциальным уравнениям, два из которых — линейные первого порядка, а два — нелинейные второго порядка. Система полученных дифференциальных уравнений решается численно. Предлагаемая методика иллюстрируется на примере расчета круглой плиты; при этом исходные данные взяты из работы [1]. Результаты расчета при минимальном числе разбиений сравниваются с известным решением А.С. Воль-мира [1] и свидетельствуют о возможности использования численного метода для решения задач в нелинейной постановке.
КЛЮчЕВЫЕ СЛОВА: круглая плита, тонкая, изотропная, нелинейная задача, численное решение, обобщенные уравнения метода конечных разностей
ДЛЯ цИТИРОВАНИЯ: Габбасов РФ., Уварова Н.Б. Численный метод расчета круглых плит в геометрически нелинейной постановке // Вестник МГСУ. 2017. Вып. 12. № 6 (105). С. 631-635. DOI: 10.22227/1997-0935.2017.6.631-635
FOR CITATION: Gabbasov R.F., Uvarova V.N. Chislennyy metod rascheta kruglykh plit v geometricheski nelineynoy post-anovke [Numerical Method of Calculation of Round Plates in a Geometrically Nonlinear Statement]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2017, vol. 12, issue 6 (105), pp. 631-635. DOI: 10.22227/19970935.2017.6.631-635
DO
NUMERICAL METHOD OF CALCULATION OF ROUND PLATES IN A GEOMETRICALLY NONLINEAR STATEMENT
R.F. Gabbasov, V.N. Uvarova
Moscow State University of Civil Engineering (National Research University) (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation
ABSTRACT. The article considers the axisymmetric problem about the calculation of round plates with dead loading in a
geometrically nonlinear system. e
To solve the problem some generalized equations of finite difference method (FMD) are needed that allow to solve O
tasks within intergrable scope taking into account discontinuities of the required function, its first-order derivative and the J
right-hand side of the primitive differential equation. S
Resolvent differential equations of the question comprised fractionally the required function of the inflection and stress- X
es are reduced to four differential equations, two of which are linear of the first-order and two are nonlinear of the second g
order. the obtained system of differential equations is solved numerically. the proposed method is shown with the example r
of calculation of a round plate; the given data are taken from work [1]. O
The calculation data with the minimum number of partitions are compared to the known solution of A.S. Vol'mir [1] and ^
they indicate the possibility of using a numerical method for handling the problem in nonlinear statement. H
O
KEY WORDS: circular plate, refined, isotropic, non-linear problem, computational solution, generalized equations of finite 2
difference method 1
IS3
В
r
<
о *
№
Расчету тонких пластин в геометрически нели- зуются вариационные методы Галеркина, Ритца- О нейной постановке посвящено достаточно большое Тимошенко, в [6] разрабатывается приближенный ) число работ. В исследованиях [1], [3]-[5] исполь- метод расчета, в котором при решении нелинейной
© Габбасов РФ., Уварова Н.Б., 2017
631
задачи отыскивается корректирующая поправка к линейному решению, а в [7] используется аппарат нелинейной инкрементальной строительной механики. Численные методы решения представлены в работе [8]. В статьях [9]-[11] рассматриваются нелинейные задачи расчета гибких плит при наличии дислокаций и ползучести.
Цель данной работы — разработать алгоритм численного метода расчета круглой плиты в геометрически нелинейной постановке и иллюстрировать его на примере при минимальном числе разбиений области или на редкой сетке. Решение строится с использованием обобщенных уравнений метода конечных разностей [2].
Рассматривается тонкая изотропная круглая пластина, упругие прогибы которой сравнимы с толщиной, т.е. формулируется геометрически нелинейная задача.
Разрешающие дифференциальные уравнения поперечного изгиба в полярных координатах для осесимметричной задачи, записанные относительно прогиба и функции напряжений [1], имеют вид
б / 2 \ Н бФ бШ О— (у Щ) = ——;
бг^ ' г бг бг
d 2 5
(1)
б (у 2ф) = - Е Г ёЩ
бгу ' 2гI бг
(2)
У2Ш =
1А ( ^
г dгI dг
d 2У
-+ г-т
dr dг
ю о
(О X
о >
с во
N ^
2 о
н *
О
X 5 I н о ф ю
дг 3
А (^ )=--1 ™+1 ^
' г дг г дг Далее введем безразмерные величины
г , Н Щ Т 2
р = — ; п = —; ц = —; р = — с , с с с О
где с — радиус плиты.
(3)
(4)
Умножим уравнение (1) на и с учетом (3) представим его в безразмерном виде
1 бц 1 б2 ц б3 ц — б/ бц
—2— +--Г + —Г = Р +---. (5)
р бр р бр бр р бр бр
Понизим порядок дифференциального уравнения (5), обозначив:
б/ = Х, бр
dw
а р
■ = Э,
(6) (7)
„ „ 1 ds б й,
-^ +--= р + + -ХБ.
Ф Р d р р р
(8)
Уравнение (2), левая часть которого с точностью до обозначений совпадает с (1), при делении на D = ЕН3 /12 (1 - ц2), введении безразмерных ве-
личин и умножении на — принимает вид
б 2Х
+ 1 бХ = X _ к 2 X бр р2 р
бр2 Здесь
6 (1 _т2)
к = -
п3
(9)
(10).
Таким образом, получаем четыре дифференциальные уравнения: (6), (7) — линейные первого порядка; (8), (10) — нелинейные второго порядка. Перепишем уравнения (8) и (9) в виде
б2 5 1 бБ
—г+--= _Ь,
2 р бр '
бр б2 X
1 бХ +--= -а ,
где
где D — цилиндрическая жесткость; г — радиус круга в рассматриваемой точке; W — прогибы; Т — функция нагрузки; Н — толщина плиты; Е — модуль упругости материала плиты; Ф — функция напряжений.
Раскроем операторы
бр р бр
Ь = -| р+—Х5 р р
X
(8а) (9а)
(11) (12)
( к 2 а = |- 5 _ —
1р р
Для численного решения дифференциальных уравнений (8а), (9а) воспользуемся обобщенным уравнением метода конечных разностей, которое следует из формулы (1.5.9) [2] как частный случай уравнения метода последовательных аппроксимаций МПА. При отсутствии разрывов и при нагрузке рм = р| = рм оно имеет вид
а--8|ю,_!2аю,+^а + -8|ю,+1 =-А р,, (13)
где к — равномерный шаг одномерной сетки; а и 5 — коэффициенты при второй и первой производной уравнений (8а), (9а) а = 1, 5 =1.
р
Запишем формулу (13) применительно к (8а) и (9а) с учетом правых частей (11) и (12):
1 I
1---I э, , -
2 Р;
(
о И
2 V
Ь2Н,
X I э +
1 Ь 1 I 2
1 I Э+1 = h Рр
2 Р;
(14)
1 - И 1IX 1 -2 Р;
И 1
о И и 2 +-у IX,
1 +— IX; +1 = -И -
2 Р;
и
2
Рисунок
Далее приведем разностные аппроксимации по МКР дифференциальных уравнений первого порядка (6) и (7); для этого воспользуемся уравнением (1.5.10) [2], полагая, что нет разрывов и
5 = 1, 5(юм -юы ) = 2ЛЛ. (16)
Тогда получим Щ-1 - шм = -2Л5/
f,-1 - f+i .
(17)
(18)
2
л =Y = 9Р1
7 k 2 b
(21)
k з с qc
-w3 + 6w„ =■
600
4D
Pi.
(23)
Для сравнения результата расчета с решением [1] следует преобразовать уравнение (23), а именно ввести параметры, используемые в цитируемой мо-
щ
нографии ф и ц*. Принимаем ф = — прогиб
в центреХ q = E I H
q =-
0,5
-1004 = bb,7
Приведем пример расчета защемленной по контуру (с возможностью линейных перемещений) круглой плиты на действие равномерно распределенной нагрузки (рис.) с параметрами [1] с = 10 см,
Н = 0,1 см, % = 0,01, Е = 0,75-106 кгсм2, я = 0,5 — т = 0,3.
Возьмем шаг сетки И = 1/2. Запишем разностное уравнение (14) для точки г = 1, где р1 = 0,5 : 0,5^ - (3 + 0,005^)^ + 1,5^ = = 0,25р1 или -(6 + 0,01Х1)51 = 0,5р1 (19).
Здесь учтено, что 50 = s2 = 0, первое следует их условий симметрии, а второе из граничных условий. Согласно статье [1] функция напряжений
>т< qr
Т = —, тогда
0,75-106
вычисляем цилиндрическую жесткость D, k вычисляем по (10), w0 и % записываем согласно (4). В результате уравнение (23) принимает вид
j3 +b,59j = 1,5q*
(24),
, (20)
В 2 В где, согласно (4), г = р1. Уравнение (15) для точки г = 1 : 0,5Х0 - 3Х1 + 1,5Х2 = -0,5^, согласно работе [1], Х0 = = 0, тогда
Уравнение (17) для точки г = 1 имеет вид w0 - = -я Так как на контуре = 0, то получаем
= -*„. (22)
Подставляя в формулу (19) выражение для 1 (21) и р (20), получаем кубическое уравнение относительно w0:
а с учетом ц ф3 + 6,59ф = 100. Из решения уравнения находим: ф = 4,17.
В работе [1] из диаграммы (4.14) при ц* = 66,7 значение ф = 3,8. Разница составляет 9,7 %.
Таким образом, показана возможность применения обобщенных уравнений метода конечных разностей к расчету нелинейной задачи. Точность решения можно повысить, увеличивая число разбиений радиуса, при этом система уравнений всегда будет обладать полнотой. Алгоритм расчета разработан с целью использования компьютеров. Приведенный пример расчета служит иллюстрацией алгоритма и показывает, что уравнения дают результаты, позволяющие решать задачи в нелинейной постановке при минимальном числе разбиений. Представленная работа позволяет перейти к решению задач, в которых имеются разрывы искомой функции, ее первой производной и правой части исходного дифференциального уравнения.
Отметим, что в статьях [12] и [13] для расчета тонких пластин в линейной постановке на разрывные нагрузки используются обобщенные уравнения МКР. Полученные решения могут быть полезны в качестве первого приближения для нелинейных задач, также следует отметить работу [14], в которой приводится аналитический расчет круглых пластин и дается обширная библиография.
00
Ф
0 т
1
S
*
о
У
Т
о 2
К)
В
г
литература
1. Вольмир А.С. Гибкие пластинки и оболочки. М. : ГИТТЛ, 1956. С. 420.
2. Габбасов Р.Ф., Габбасов А.Р., Филатов В.В. Чис-
ленное построение разрывных решений задач строитель-
ной механики. М. : Изд-во АСВ, 2008. С. 280.
3. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки : пер. с англ. М. : Наука, 1966. 635 с.
4. Колмогоров Г.Л., Мельникова Т.Е. Применение метода Ритца—Тимошенко для расчета круглых гибких
<
О *
№
О
(Л
и
пластин // Прикладная математика и вопросы управления. 2016. № 2. С. 14-23.
5. Кулиев В.Р. Особенности расчета и анализ нелинейного поведения гибких пластин на основе минимизации энергии деформации : дисс. ... канд. техн. наук. Пермь, 2000. 138 с.
6. Рогалевич В.В., Тимашев С.А. Новый приближенный метод расчета гибких пластин постоянной и переменной жесткости // Академический вестник УралНИИ-Проект РААСН. 2012. № 1. С. 52-56.
7. Петров В.В. Нелинейная инкрементальная строительная механика. М. : Инфра-Инженерия, 2014. 480 с.
8. Золотов А.Б., Акимов П.А., Сидоров В.Н. Мозга-лева М.Л. Численные и аналитические методы расчета строительных конструкций. М. : Изд-во АСВ, 2009. 336 с.
9. Фам Т.Х. Нелинейный изгиб упругой пластинки с распределенными дислокациями : дисс. ... канд. физ.-мат. наук. Ростов-н/Д, 2011. 104 с.
10. Андреев В.И., Языев Б.М., Чепурненко А.С. Осе-симметричный изгиб круглой гибкой плиты при ползучести // Вестник МГСУ. 2014. № 5. С. 16-24.
11. Andreev V.I., Yazyev B.M., Chepurnenko A.S. On the bending of a thin plate at nonlinear creep // Advanced Materials Research. 2014. Vol. 900. Pp. 707-710.
12. Габбасов Р.Ф., Хоанг Т.А., Уварова Н.Б., Ипа-това О.Н. Расчет круглых плит постоянной жесткости на локальные нагрузки // Промышленное и гражданское строительство. 2015. № 3. С. 20-23.
13. Никитенко М.А., Уварова Н.Б. Численный метод расчета круглых плит на разрывные нагрузки // Дни студенческой науки НИУ МГСУ : сб. докл. науч.-техн. конф. по итогам научно-исследовательских работ студентов института строительства и архитектуры. М. : НИУ МГСУ, 2016. С. 425-427. Режим доступа: http://mgsu.ru/resources/ izdatelskayadeyatelnost/izdaniya/izdaniya-otkr-dostupa/.
14. Коренева Е.Б. Аналитические методы расчета пластин переменной толщины и их практические приложения. М. : Изд-во АСВ, 2009. 238 с.
Поступила в редакцию в феврале 2017 г. Принята в доработанном виде в марте 2017 г. Одобрена для публикации в мае 2017 г.
Об авторах: Габбасов Радек Фатыхович — доктор технических наук, профессор кафедры строительной и теоретической механики, Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет (НИу МГСу), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, [email protected];
уварова Наталия Борисовна — кандидат технических наук, доцент кафедры строительной и теоретической механики, Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет (НИу МГСу), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, [email protected].
references
1. Vol'mir A.S. Gibkie plastinki i obolochki [Flexible Plates and Shells]. Moscow, GITTL Publ, 1956, 420 p. (In Russian)
2. Gabbasov R.F., Gabbasov A.R., Filatov V.V. Chislen-noe postroenie razryvnykh resheniy zadach stroitel'noy me-
q khaniki [Numerical Construction of Discontinuous Solutions T" of the Problems of Structural Mechanics]. Moscow, ASV ^ Publ., 2008, 280 p. (In Russian)
3. Timoshenko S.P., Woinowsky-Krieger S. Theory O of Plates and Shells. 2nd ed. New York, McGraw-Hill, 1964.
4. Kolmogorov G.L., Mel'nikova T.E. Primenenie 2 metoda Rittsa-Timoshenko dlya rascheta kruglykh gibkikh GO plastin [Application of the Ritz-Timoshenko Method, for CM Calculating the Round Flexible Plates]. Prikladnaya matema-
tika i voprosy upravleniya [Journal of Applied Mathematics 2 and Mechanics]. 2016, no. 2, pp. 14-23. (In Russian)
5. Kuliyev V.R. Osobennosti rascheta i analiz neliney-^ nogo povedeniya gibkikh plastin na osnove minimizatsii en-O ergii deformatsii : dissertatsiya ... kandidata tekhnicheskikh ^ nauk [Peculiarities of Calculation and Analysis of Nonlinear ■S Behavior of Flexible Plates on the Basis of Deformation Energy Minimization : Thesis ... Candidate of Technical Sci-
j ences]. Perm', 2000, 138 p. (In Russian) U 6. Rogalevich V.V., Timashev S.A. Novyy priblizhen-
q nyy metod rascheta gibkikh plastin postoyannoy i peremen-10 noy zhestkosti [New Approximate Method for Calculating Flexible Plates of Constant and Variable Stiffness]. Akademi-
cheskiy vestnik UralNIIIProekt RAASN [Akademicheskiy vestnik UralNIIIProekt RAASN]. 2012, no. 1, pp. 52-56. (In Russian)
7. Petrov V.V. Nelineynaya inkremental'naya stroitel'naya mekhanika [Nonlinear Incremental Construction Mechanics]. Moscow, Infra-inzheneriya Publ., 2014, 480 p. (In Russian)
8. Zolotov A.B., Akimov P.A., Sidorov V.N., Mozgaleva M.L. Chislennye i analiticheskie metody rascheta stroitel'nykh konstruktsiy [Numerical and Analytical Methods for Calculating Construction Structures]. Moscow, ASV Publ., 2009, 336 p. (In Russian)
9. Fam T. K. Nelineynyy izgib uprugoy plastinki s raspredelennymi dislokatsiyami : dissertatsiya ... kandidata fiziko-matematicheskikh nauk [Nonlinear Bending of an Elastic Plate with Distributed Dislocations: Thesis ... Candidate of Physical and Mathematical Sciences]. Rostov-na-Donu, 2011, 104 p. (In Russian)
10. Andreev V.I., Yazyev B.M., Chepurnenko A.S. Os-esimmetrichnyy izgib krugloy gibkoy plity pri polzuchesti [Axially Symmetric Bending of a Circular Flexible Plate under the Creep]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2014, no. 5, pp. 16-24. (In Russian)
11. Andreev V.I., Yazyev B.M., Chepurnenko A.S. On the Bending of a Thin Plate at Nonlinear Creep. Advanced Materials Research. 2014, vol. 900, pp. 707-710.
12. Gabbasov R.F., Khoang T.A., Uvarova N.B., Ipa-tova O.N. Raschet kruglykh plit postoyannoy zhestkosti na lokal'nye nagruzki [Calculation of Round Plates of Constant Stiffness for Local Loads]. Promyshlennoe i grazhdanskoe stroitel'stvo [Industrial and Civil Construction]. 2015, no. 3, pp. 20-23. (In Russian)
13. Uvarova N.B., Nikitenko M.A. Chislennyy metod rascheta kruglykh plit na razryvnye nagruzki [Numerical Method of Calculation of Round Plates for Tensile Loads]. Dni studencheskoy nauki NIU MGSU : sbornik dokladov nauchno-tekhnicheskoy konferentsii po itogam nauchno-issledovatel'skikh rabot studentov instituta stroitel'stva i
arkhitektury [Days of MGSU student science : Collection of Reports of Scientific-Technical Conference on the Results of Research Work of Students of the Institute of Construction and Architecture]. Moscow, NIU MGSU Publ., 2016, pp. 425-427. Available at: http://mgsu.ru/resources/ izdatelskayadeyatelnost/izdaniya/izdaniya-otkr-dostupa/. (In Russian)
14. Koreneva E.B. Analiticheskie metody raschetaplas-tin peremennoy tolshchiny i ikh prakticheskie prilozheniya [Analytical Methods for Calculating Variable Thickness Plates and their Practical Applications]. Moscow, ASV Publ., 2009, 238 p. (In Russian)
Received in February 2017. Adopted in revised form in March 2017. Approved for publication in May 2017.
About the authors: Gabbasov Radek Fatykhovich — Doctor of Technical Sciences, Professor, Construction and Theoretical Mechanics Department, Moscow State University of Civil Engineering (National Research University) (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; [email protected];
Uvarova Natalia Borisovna — Candidate of Technical Sciences, Associate Professor, Construction and Theoretical Mechanics Department, Moscow State University of Civil Engineering (National Research University) (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; [email protected].
m
ф
0 т
1
s
*
о
У
Т
о 2
К)
В
г
3
у
о *
№
О
(Л
