CC BY
24
удк 624.073
В.Р. Гросман
ФГБОУ ВПО «МГСУ»
НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ СТАТИКИ КРУГЛЫХ ОРТОТРОПНЫХ И ИЗОТРОПНЫХ ПЛАСТИН
Изучена антисимметричная деформация круглых пластин постоянного сечения, выполненных из ортотропного и изотропного материала, лежащих на упругом основании, свойства которого описываются моделью Винклера.
Найдены точные аналитические решения, выраженные в функциях Бесселя. Для получения результатов использовано решение Нильсена, позволяющее обойтись без разложения исходного дифференциального уравнения четвертого порядка с переменными коэффициентами на два сопряженных дифференциальных уравнения второго порядка.
Ключевые слова: ортотропные пластины, упругое основание, антисимметричная деформация, функции Бесселя.
в работе получены аналитические решения некоторых задач статики ортотроп-ных и изотропных круглых пластин постоянной толщины, лежащих на упругом вин-клеровском основании. изучается их антисимметричная деформация. найденные решения выражены в функциях Бесселя.
в литературе известны решения близких задач для круглых пластин, сделанных из изотропного материала, в частности, можно назвать монографию [1]. в этих работах решения выражены в функциях бесселя. в этих случаях указанные задачи описываются дифференциальными уравнениями четвертого порядка с переменными коэффициентами, каждое из которых распадается на два сопряженных дифференциальных уравнения, которые в свою очередь интегрируются в функциях бесселя.
изучаемая в данной работе задача об антисимметричном изгибе также описывается дифференциальным уравнением четвертого порядка с переменными коэффициентами. однако вышеуказанное уравнение для случаев пластин, сделанных из ортотропного материала, не распадается на два уравнения второго порядка. следовательно, классическая методика для решения поставленной в работе задачи не подходит. для получения аналитического решения воспользуемся решением нильсена.
рассмотрим антисимметричную деформацию круглой ортотропной пластины. в этом случае деформации пластины изменяются вдоль окружности по закону cos 6 или sin 6. подобный изгиб вызывается контурной или поверхностной нагрузкой, изменяющейся по закону: Q (6) = acos 6,
М (0) = My cos 0, (1)
qz (r, 6) = q (г)cos ^
где Q (6) и M (6) — интенсивности контурной поперечной силы и контурного изгибающего момента; qz (г, 6) — интенсивность распределенной поверхностной нагрузки; Qi, My — постоянные величины; qj(r) — функция только г.
при указанных выше нагрузках решение соответствующего разрешающего уравнения следует искать в виде
w (г, 6) = w (г) cos 6. (2)
© Гросман В.Р., 2012
65
ВЕСТНИК 7/2012
Дифференциальное уравнение, описывающее антисимметричную деформацию круглых ортотропных пластин, лежащих на упругом винклеровском основании, имеет следующую форму [2]:
1 ё2 V 1 ём> 1
ё4V 2 ё3V г , ч 2 -|
—г +--г-| 2(с, + ст) + п2 I
ёг4 х ёг3 1 11 7 1
--;---1--т V
г3 ёг2 х3 ёх х4
+ — = (3)
п2 Б п2 Б
где Б — цилиндрическая жесткость; к — коэффициент постели; параметры п = п1п2 определяются из соотношений:
Е ст
Ег = —, Ее = ^ стг = —, сте = ст, (4)
п1 п
где Е и ст — приведенные модуль упругости и коэффициент Пуассона; с1 = 2 (п2-ст2) Ог&1Еп2.
Для изотропной пластины п1 = п2 =1, с, =1 - ст.
для получения точного аналитического решения воспользуемся уравнением Нильсена [3]
4 ё4 V . 3 ё3 V . 2 ё2 V . ёw .
г —г + А3 г3—г - А2г2—г + Дг— + А0 V = 0, (5)
ёг ёг ёг ёг
где А3 = 6 - 4а - 4с,
А2 = 2 (а2-ц2с2) + 4 (а + с -1)2 + 4 (а -1) (с -1)-1,
А1 = |(ц2с2-а2)-(2а-1)(2с-1)] (2 а + 2с-1),
А0 = (а2 - ц2с2) (а2 + 4ас + 4с2 - ц2с2) - Ь4с4г4с. Общее решение (5) было дано Нильсеном; оно имеет вид
* = га [С. Jц (и) + С^ (и) + С3(и) + С4Кц (и)], (6)
где и = Ъгс; Jц, Уц, I и Кц — функции Бесселя (соответственно цилиндрические функции первого и второго рода; модифицированная функция Бесселя, функция Макдональда).
Решения (5)—(6) использовались в [4] при изучении осесимметричного изгиба круглых ортотропных пластин постоянного сечения, лежащих на упругом винклеровском основании, а также при исследовании собственных осесимметричных колебаний ортотропных круглых пластин. подобная методика была использована при рассмотрении осесимметричной деформации круглых пластин переменной толщины, лежащих на упругом винклеровском основании [5]; в этом случае толщина пластины изменяется вдоль радиуса по степенному закону.
Далее сопоставляем коэффициенты однородного дифференциального уравнения, соответствующего (3), обе части которого умножены на г4, с коэффициентами уравнения Нильсена [5]. В результате имеем
6 - 4а - 4с = 2;
2 ( а2 -ц2с2) + 4 ( а + с -1)2 + 4 ( а -1)( с -1)-1 = -( п2 + 2 ( с1 +ст)); [2 (ц2с2 - а2) - (2а -1) (2с -1)] (2а + 2с -1) = (п2 +2 (с1 + ст)); (7)
(а2-ц2с2) (а2 -4ас + 4с2-ц2с2)-Ь4с4х4с =-(п2 +2(с1 +ст))+ кх*
Бп2
отсюда находим значения параметров бесселевых функций:
66
КБИ 1997-0935. Vestnik MGSU. 2012. № 7
С = 1, a = 0, b = 4|— i n2 D
(8)
Далее введем обозначение
п2 +2 (с1 +ст) = А.
Определим параметр ц, используя выражение в последней строке (7). Решая биквадратное уравнение, получим
^,2,3,4 =±л/2 + 44—А. (9)
Таким образом, решение однородного дифференциального уравнения, соответствующего (3), определяется следующим выражением [1]:
w = Б1Ьегц (Ьг ) + Б2Ьегц (Ьг ) + Б3ker|í (Ьг ) + Б/егц (Ьг ), (10)
где параметры функции Бесселя соответствуют формулам (8), (9).
При рассмотрении антисимметричного изгиба круглой пластины, сделанной из изотропного материала, лежащей на упругом винклеровском основании, разрешающее дифференциальное уравнение имеет вид
4 С 4ж „ 3 С^ж „ 2 С2ж „ Сж „ кг4 аг4
г4—- + 2г3—- - 3г —- + 3г--3ж+-= -—. (11)
Сг4 Сг3 Сг2 Сг Б Б
Сопоставляя коэффициенты однородного дифференциального уравнения, соответствующего (11), с коэффициентами уравнения Нильсена (5), получим, что при соотношениях параметров
ГГ 1/ _
а = 0, с = 1, Ь = 4—= ^л/3, ц34 =±1 (12)
решение тоже выражено в функциях Бесселя и имеет вид (10).
Библиографический список
1. Коренев Б.Г. Введение в теорию бесселевых функций. М. : Наука, 1971. 288 с.
2. Коренева Е.Б. Аналитические методы расчета пластин переменной толщины и их практические приложения. М. : Изд-во АСВ, 2009. 238 с.
3. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М. : Наука, 1968. 703 с.
4. Коренева Е.Б., Гросман В.Р. Некоторые вопросы расчета ортотропных пластин, лежащих на упругом основании, и исследования осесимметричных колебаний круглых ортотропных пластин // Вопросы прикладной математики и вычислительной механики : сб. тр. № 14. Ч. 1. М. : МГСУ, 2011. С. 176—178.
5. Коренева Е.Б., Гросман В.Р. Аналитическое решение задачи об изгибе круглой ортотроп-ной пластины переменной толщины, лежащей на упругом основании // Вестник МГСУ 2011. № 8. С. 156—159.
Поступила в редакцию в мае 2012 г.
Об авторе: Гросман Валерий Романович — старший преподаватель кафедры информатики и прикладной математики, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, +7 (499) 183-59-94, [email protected].
Для цитирования: Гросман В.Р. Некоторые вопросы статики круглых ортотропных и изотропных пластин // Вестник МГСУ 2012. № 7. С. 65—68.
V.R. Grosman
CERTAIN STATICS-RELATED PROBLEMS OF CIRCULAR ORTHOTROPIC AND ISOTROPIC PLATES
In the paper, the author considers a relevant problem of structural mechanics. The antisymmetric bending of constant thickness orthotropic and isotropic circular plates, resting on the elastic
Designing and detailing of building systems. Mechanics in civil engineering
67
ВЕСТНИК 7/2Q12
Winkler foundation, is the subject of the research. Supplemental analytical solutions are obtained. Solutions are represented as Bessel functions.
Problems of symmetric and asymmetric flexure of isotropic circular plates, resting on the Winkler foundation, enjoy extensive coverage in the literature [1].
In the above-mentioned cases, the solution of the differential equation of the fourth order with variable coefficients decomposes into two differential equations of the second order. This procedure fails in case of orthotropic plates. The Nielsen equation is used to resolve the above problem:
r 4 ^ + v 3 ^ - Ar 2 tWL + Д,ddw + = o, dr ^ dr3 ^ dr2 ^ dr ^
where
A, = 6 - 4a - 4c,
A, = 2(a2 - ц2с2) + 4(a + c -1)2 + 4(a - l)(c -1) -1,
A =[2 (ц2с2 - a2)-(2a -1)( 2c -1)]( 2a + 2c -1),
A0 = (a2 - ^2c2)(a2 + 4ac + 4c2 - ^2c2) - tfc4r4c.
The general solution of the homogeneous equation is represented as:
w = ra [CJ (u) + C^ (u) + C^ (u) + С4Кц (u)],
where u = bc J , У , I и K — the Bessel functions (cylindrical functions of the first and the second
' ч' ч' ч ч v 1
kind, modified Bessel and McDonald functions).
The paper represents an essential generalization of the research of professor Conway obtained for the case of the axially symmetric flexure of an isotropic circular plate, resting on the Winkler foundation.
Currently, numerous software programmes designated for the analysis of buildings and structures are available. In these programs, numerical methods, namely, the finite element method, are used. The exact results presented in this paper can be used to assess the accuracy of numerical results.
Key words: orthotropic plates, elastic foundation, antisymmetric distortion, Bessel functions.
References
1. Korenev B.G. Vvedenie v teoriyu besselevykh funktsiy [Introduction into the Theory of Bessel Functions]. Moscow, Nauka Publ., 1971, 288 p.
2. Koreneva E.B. Analiticheskie metody rascheta plastin peremennoy tolshchiny i ikh prak-ticheskie prilozheniya [Analytical Methods of Analysis of Plates of Variable Thickness and Their Practical Applications]. Moscow, ASV Publ., 2009, 238 p.
3. Kamke E. Spravochnik po obyknovennym differentsial'nym uravneniyam [Reference Book of Ordinary Differential Equations]. Moscow, Nauka Publ., 1965, 703 p.
4. Koreneva E.B., Grosman V.R. Nekotorye voprosy rascheta ortotropnykh plastin, lezhashchikh na uprugom osnovanii, i issledovaniya osesimmetrichnykh kolebaniy kruglykh ortotropnykh plastin [Certain Problems of Analysis of Orthotropic Plates, Resting on the Elastic Foundation, Research of Axis-Symmetric Vibrations of Circular Orthotropic Plates]. Collection of works no. 14, part 1 «Problems of Applied Mathematics and Computing Mechanics». Moscow, MSUCE, 2011, pp. 176—178.
5. Koreneva E.B. Grosman V.R. Analiticheskoe reshenie zadachi ob izgibe krugloy ortotropnoy plastiny peremennoy tolshchiny, lezhashchey na uprugom osnovanii [Analytical Solution of the Problem of Bending of Variable Thickness Circular Orthotropic Plates, Resting on the Elastic Foundation]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2011, no. 8, pp. 156—159.
About the author: Grosman Valeriy Romanovich — Senior Lecturer, Department of Informatics and Applied Mathematics, Moscow State University of Civil Engineering (MSUCE), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; [email protected]; +7(499) 183-59-94.
For citation: Grosman V.R. Nekotorye voprosy statiki kruglykh ortotropnykh i izotropnykh plastin [Certain Statics-Related Problems of Circular Orthotropic and Isotropic Plates]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2012, no. 7, pp. 65—68.
68
ISSN 1997-0935. Vestnik MGSU. 2012. № 7
