Аналитическое решение задачи об изгибе круглой ортотропной пластины переменной толщины, лежащей на упругом основании Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК 8/2011

АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ОБ ИЗГИБЕ КРУГЛОЙ ОРТОТРОПНОЙ ПЛАСТИНЫ ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ, ЛЕЖАЩЕЙ НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ

ANALITYCAL SOLUTION OF THE PROBLEM OF THE BENDING PROBLEM OF A CIRCULAR PLATE OF VARIABLE THICKNESS, RESTING ON AN ELASTIC FOUNDATION

Е.Б. Коренева, B.P. Гросман

E.B. Koreneva, V.R. Grosman

ФГБОУ ВПО МГСУ

Рассматривается изгиб круглой ортотропной пластины радиалъно-переменной толщины, лежащей на упругом основании. Получено решение разрешающего дифференциального уравнения четвёртого порядка с переменными коэффициентами, выраженное в функциях Бесселя. Используется решение Нильсена.

The flexure of a circular orthotropic plate of variable thickness, resting on an elastic foundation, which properties are described by Winkler's model is under study. The paper gives the solution of the solving differential equation of the fourth order with variable coefficients. The result is given in terms ofBesselfunctions. Nielsen's solution is used.

Рассмотрим осесимметричный изгиб круглой пластины радиально-переменной толщины, лежащей на упругом основании, свойства которого описываются моделью Винклера. Материал пластины обладает цилиндрической анизотропией и является ортотропным. Разрешающее дифференциальное уравнение в этом случае имеет вид [1]:

D

d4 w 2 d3 w n2 d2 w

dr

dr

dr

dD dr

d2 D

n2 dw

r3

"3 dr

dr

dr

d3w + (2 + a)d2w n2 dw dr3 r dr2 r2 dr

d2 w a dw q - kw

(1)

dr

где Б - цилиндрическая жёсткость, а - коэффициент Пуассона, к - коэффициент постели. Параметры и2 = п1п2 определяются из соотношений

г

г

г

п

2

E = —, Ea = En , <7, = -

аД=а,

(2)

2

п

п

А/ЭПИ ВЕСТНИК

здесь Е и а - приведённые модуль Юнга и коэффициент Пуассона. Для изотропной пластины п = п2 = 1.

Рассмотрим пластину с жёсткостью

В = D0rm , (3)

где В0 - постоянная.

Подставляя (3) в (1), получим:

4 С*™ 3/ ^с!3™ 2( 2 Л \ 2\С2™

г —— + г [2т + 2)—— + г I— п + ш\1 + а)+ т I—— +

& & &

^ ( 2 ¡1 V ( 2 к™ 4-т

+ г\п - т) + аут - т))---г = —

(4)

с1г В0п2 В0п2

При т = 4 дифференциальное уравнение (4) является уравнением Эйлера и его решение представлено в монографии [1]. В этом случае толщина пластины изменяется по закону к = к0г43, где к0 - постоянная. Там подробно рассмотрены случаи изотропных и ортотропных пластин с подобной жёсткостью; эти пластины лежат на упругом винклеровском основании. В [1] также изучается действие на данные конструкции нагрузок разрывного типа, представляющих собой силы и моменты, распределённые по окружностям, не совпадающим с контуром, а также рассматриваются нагрузки, распределённые по площади кольца. В [1] также освещаются вопросы об антисимметричном и циклически-симметричном изгибе круглых пластин, лежащих на упругом основании при В = В0г4 .

При т ф 4 решение поставленной в данной работе задачи не может быть получено в элементарных функциях.

Сопоставим коэффициенты уравнения (4) с коэффициентами уравнения

4 С4 ™ 3 С V 2 а V .а™

г —- + А3г —г + А2г—- + Аг-+ А,™ = 0, (5)

аг аг аг аг

А3 = 6 - 4а - 4с ,

А2 = 2(а2 - //с2)+ 4(а + с -1)2 + 4(а - 1)(с -1)-1, А = [2(//с2 - а2)- (2а - 1)(2с - 1%2а + 2с -1), А0 = (а2 - ¡л1 с1 \а2 + 4ас + 4с2 - ¡л1 с2)- Ь4с4г4с.

Решение уравнения (1) было дано Нильсеном [2] и имеет вид

™ = га\c.jjuu)+ С2Уи(м)+ С3/>)+ С4Км{и)], и = Ьгс. (6)

где Jp Ум, 1Р Км, - функции Бесселя.

Сравнивая уравнения (4) и (5), получим, что они подобны, если положить либо

ВЕСТНИК МГСУ

8/2011

либо

Из (7a) получим, что при a = —

[a2-ß2c2 )= 0,

(a2 + 4ac + 4c2 -pi2c2)= 0.

_ (4 - m)

4

(4-f

(7a) (76)

общее решение

уравнения (4) имеет вид

w = г-Ч4 [cjXbSi1'1)+ CjXbr^ )+ C3lM{brci^ )+ C4 K>rci12 )],

Т il>2

(8)

где b = 44

I D0 4 - m'

i = лП;

; установлено, что в этом случае выражение для

коэффициента Пуассона а = т/4 можно получить лишь для случая п2 = 1, т.е. только для изотропного материала. Приведённое выше решение можно записать в следующей форме [3]

44 [ß1berM (brc)+ B2beiß (brc)+ B3 ker^ (brc)+ BAkeiß (brc)].

(9)

Если, например, т = 4/3 и а = 1/3, т/(т - 4) =-1/2, то решение выражено в функциях Бесселя полуцелого индекса и, согласно теории цилиндрических функций, может быть представлено в замкнутом виде [3].

Поскольку коэффициент Пуассона для всех материалов 0 <а< 1/2, то приведённое выше решение в функциях Бесселя может быть использовано для случаев 0 < т < 2.

При рассмотрении (76) было выяснено, что в этом случае не удаётся получить аналитическое решение для коэффициента Пуассона.

Для круглой пластины постоянного сечения, когда т = 0, так же учтём

k

соотношения (7а) и (76). Отсюда получим с = 1, а = 0, b = 4I—— i12. Из условия (7а)

n2 D

получим ^ = 0, из (76) ^ = ±2.

Запишем общее решение однородного дифференциального уравнения, соответствующего (4); для случая ^ = 0

w = C1J0 {bril/2)+ C2F0 {bri12)+ C3I0 {bri12)+ C4 K0 {bril/2). Для случая ^ = ±2 общее решение этого уравнения имеет вид: w = BberM {br) + B1beifl (br) + B3 ker^ (br) + B^kei^ (br).

(10)

(11)

4

w = r

Б/2011 ВЕСТНИК

Полученные решения для m = 0 справедливы для ортотропного материала и для всех значений коэффициента Пуассона.

Литература

1. Коренева Е.Б. Аналитические методы расчёта пластин переменной толщины и их практические приложения. -М. АСВ, 2009. -238с.

2. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. -М., «Наука», 1965. -703с.

3. Коренев Б.Г. Введение в теорию бесселевых функций. -М., «Наука», 1971. -288с.

References

1. Koreneva E.B. Analytical methods of plates of variable thickness analysis. -M., ASV, 2009. - 238p. (in Russian)

2. Kamke E. Handbook for ordinary differential equations. -M., "Nauka", 1965. -703p. (in Russian)

3. Korenev B.G. Introduction into the theory of Bessel functions. -M., "Nauka", 1971. -288p. (in Russian).

Ключевые слова: пластины переменной толщины, упругое основание, функции Бесселя.

Key words: plates of variable thickness, elastic foundation, Bessel functions.

Авторы:

Коренева Елена Борисовна, доктор технических наук, профессор (ГОУ ВПО МГСУ);

129337, Россия, Москва, Ярославское шоссе, дом 26; тел./факс + 7 (499) 183-5994, e-mail: [email protected] Гросман Валерий Романович, ст. преподаватель (ГОУВПО МГСУ); 129337, Россия, Москва, Ярославское шоссе, дом 26; тел./факс + 7 (499) 183-5994,

e-mail: [email protected]

Рецензент: В.И. Травуш, профессор, д.т.н., действительный член РААСН.