CC BY
32
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ РАСЧЕТА ТОНКОСТЕННЫХ КОНСТРУКЦИЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СПЕЦИАЛЬНЫХ
ФУНКЦИЙ
SPECIAL FUNCTIONS APPLICATION FOR THIN-WALLED STRUCTURES ANALYSIS
Е.Б. Коренева
E.B. Koreneva
ГОУ ВПО МГСУ
В статье приводятся решения некоторых задач теории расчёта тонкостенных конструкций. Указанные решения представлены в замкнутом виде и выражены в гипергеометрических функциях, в функциях Бесселя и Лежандра, классических ортогональных многочленах.
The paper gives the solutions of some problems of the theory of thin-walled structures. The solutions are represented in the closed forms in terms of hypergeometric, Bessel and Legendre functions, orthogonal polynomials.
Вопросы применения специальных функций получили отражение в литературе [1],[2],[3],[4]. Ниже будут приведены решения некоторых задач теории пластин, дисков и оболочек переменной толщины, а также плит постоянной толщины, лежащих на упругом основании, получаемые в замкнутом виде с использованием указанного выше математического аппарата.
Рассмотрим круглую пластину линейно-переменной толщины (рис. 1), где
r
h = h01 - x, D = D01 - x"
, x = ±-
(1)
здесь D - жёсткость; h0, D0, r0 - постоянные.
—---ГГТ-ГГТТ77Г7, s-« г» * =
А Р7//Т7
1————/А 0'
Рис. 1. Пластина линейно-переменной толщины Для получения решения сопоставим коэффициенты дифференциального уравнения, описывающего осесимметричную деформацию круглой изотропной пластины переменной толщины
r
0
а 2з
ах2
" 1 1 СБ' аз 1 а СБ 1"
____ _ х Б ах _ Сх х _ Б Сх х _
з = о,
(2)
где 3 =--, <г -коэффициент Пуассона,
Сг
с коэффициентами уравнения Гаусса [1],[4].
Учитывая (1), получим, что для изучаемого случая параметры гипергеометрических функций а,Ь,с имеют следующие значения
а,Ъ = — ±д, с = 3 2
(3)
где
5 = - ^13 - 12а . 2
В результате получим следующие решения однородного уравнения: 3{Х) = хГ[5 +5,5 -5; 3; х ], 3(Т) = хф{| + 5, | -5; 3; х
(4)
где Г и Ф - гипергеометрические функции соответственно первого и второго рода.
Рассмотрим теперь действие на пластину нагрузок разрывного типа, представляющих собой силы и моменты, распределённые по окружностям, не совпадающим с контуром. Для этого, используя предложенную в [4] методику, определим функции Коши, а затем фундаментальные функции (х1, х), (х1, х), ы3 (х1, х), ы4 (х1, х), обладающие указанными в [4] свойствами. Запишем уравнение изогнутой срединной поверхности пластины с толщиной (1), когда на неё действуют моменты М1 и силы Qj, равномерно распределённые по окружностям соответственно с приведёнными радиусами х1 и х)
Ы = + М;г0^3 (х,;х)+ Q ■ г0(х,;х)
(5)
Здесь решения также выражены в гипергеометрических функциях. Приведём в качестве примера фундаментальную функцию ы4 (х1; х), служащую для учёта сил, распределённых по окружности.
Ы {х,; х) = \ х'^1 ~ х' ^ | Зс (х, (х, ^ (х) - Г, (х,)]- п (х, (х) - Гг (х,)]
К
+ З'с (х, )|- Ф^2 + 5, | -8;3; х, ^ (х) - Г (х,)] + 2 + 5, | - ¿;3; х, ^ (х) - Г2 (х, )]| + [^3 (х) - Г3 (х,
(6)
где
Г (х )=-
2 3Г212"^,2;3,3;х I;
2
М = у (x )=-^
з <
8, _ ^,2;3,3; x | -13 F21 -5 + 5,5 - с>,2;3,3; x
Я = -
(1 -4(1 + а]х\
2
1 - x
1п
1 - x I Ек
СГп
1+-
1 1 1 Cr,
1 - 3а x ) Eh
Рассмотрим осесимметричиую деформацию конической оболочки линейно-переменной толщины с законом изменения толщины (1). Пусть толщина оболочки уменьшается от вершины к наружному контуру. В этом случае относительная меридиональная координата x изменяется от 0 до 1 (О < x < 1). В этом случае решения задачи также получаются в гипергеометрических функциях. Для указанной области изменения х пригодны решения в окрестности особых точек х=0 и х=1. В соответствии с теорией общие решения однородного уравнения могут быть представлены в одной из следующих форм:
N = сш+ ¿,2-£3;x | + C20
ф
— + (5,1 - с>;3; x 2 2
N;=(1 - x )2
СоФ] 5 + 3, | - £;3;1 - x] + C20Р[| + 5' | - ^;3;1" x
(7)
(8)
где С
10 , С20
| С' , С™ - постоянные.
Решения задач об изгибе пластин постоянной толщины, лежащих на упругом винклеровском основании, и о колебаниях пластин получаются в функциях Бесселя. Ниже приведём решение задачи о расчёте бесконечной плиты, лежащей на основании, в котором имеются карстовые полости и провалы. Такие задачи актуальны при изучении работы зданий и сооружений, возводящихся в регионах, в которых существует карстовая опасность [5]. Для решения поставленной задачи используем метод компенсирующих нагрузок, для чего получим основное и компенсирующее wк решения.
Запишем уравнение изогнутой срединной поверхности неограниченной плиты, лежащей на упругом основании, при её осесимметричной деформации; оно имеет вид: * = V0 (£) + В2 Уо (£) + Вз /о (£) + В4 g0 (£), (9)
где и 0 V0 /0 g 0 (£) - функции Бecceля,
р г . В
с = — , I =4 -
I и О
к0 - коэффициент постели.
Определяя постоянные интегрирования и осуществляя предельный переход, можно получить уравнение упругой поверхности плиты бесконечного радиуса, загруженной сосредоточенной силой Р
ре2
4В
/о (£).
(10)
Формула (10) используется для получения основного решения. Для плиты бесконечного радиуса, имеющей круговое отверстие с радиусом /3 ,
X
2
0
™о =
Рис. 2.
компенсирующее решение следует представить в виде
^ = 4Д Bg й (¿), (11)
где постоянные А и В определяются из граничных условий.
Итак, представим решение в виде:
w = ^ + ^ • (12)
Участок плиты над карстовой полостью с диаметром 2р рассматривается как круглая пластина на винклеровском основании с коэффициентом постели более низким, чем на других участках фундаментной плиты.
Рассмотрим деформацию дисков радиально-переменной толщины. Дифференциальное уравнение, описывающее антисимметричную деформацию круглых дисков переменной толщины, имеет вид [4]:
dx2
(
1 + 2 _ 1 dh
x а0 x h dx
dNr
1
(х СС 0 х
3 2-а dh
-н---
а0х h (х
N.. = 0.
(13)
Сопоставляя коэффициенты дифференциального уравнения (13) с коэффициентами дифференциального уравнения Лежандра
(и 2 х (и
у(У~ 1)
1 - х2
м
(х2 1 - х2 (х
где ц и V - параметры функций Лежандра, получим, что при соотношениях параметров 7 -
(1 - х2)'-
и = 0,
(14)
ап=~-
= 0 V =-1 ± (1 2(2-а) * , 1/1,2 2 Ч 4 «о
2
и при жёсткости
Б = Б0х1+2/а° (1 - х2)"', при 0 < х < 1;
Б = Б0х1+2/ао (х2 -1)"1, при 1 < х <» и толщине
h = h0х1+(1 - х2 У , при 0 < х < 1; h = ^х1+(х2 — 1)Г , при 1 < х <ж
имеем следующее решение:
N. = ЛРУ (х) + вду (х).
4/2011 ВЕСТНИК _4/2011_МГСУ
Аналогичным образом можно получить решения задач об антисимметричной деформации круглых дисков радиально-переменной толщины в ортогональных многочленах Гегенбауэра и Лагерра.
Литература
1. Коренев Б.Г. Некоторые задачи теории упругости и теплопроводности, решаемые в бесселевых функциях. - М., Физматгиз,1960. -458 с.
2. Коренев Б.Г. Введение в теорию бесселевых функций. - М., Наука,1980. -400 с.
3. Коваленко А.Д. Избранные труды. - Киев, Наукова думка,1976. -762 с.
4. Коренева Е.Б. Аналитические методы расчёта пластин переменной толщины и их практические приложения. - М. АСВ,2009. -238 с.
5. Коренева Е.Б. Напряженно-деформированное состояние бесконечной фундаментной плиты, расположенной над карстовым провалом. Труды международной конференции по геотехнике «Взаимодействие сооружений и оснований: методы расчета и инженерная практика», т.2., С.-Петербург, 26-28 мая 2005. -с. 103-106.
The literature
1. Korenev B.G. Some problems of the theory of elasticity and heat conductivity solving in Bes-sel functions. . - M., Phyzmatgiz,1960. -458 pages. (in Russian)
2. Korenev B.G. Introduction in the theory of Bessel functions. - M., Nauka,1980. -400 pages. (in Russian)
3. Kovalenko A.D. Selected works. -Kiev. Naukova dumka, 1976. -762 pages. (in Russian)
4. Koreneva E.B. Analytical methods of plates of variable thickness analysis. -M. ASV, 2009. -238 pages. (in Russian)
5. Koreneva E.B. Stress and deformed condition of infinite foundation slab resting on a subgrade which contains carst caverns. Proceeding of International conference on geotechnique "Interaction of buildings and foundations: methods of analysis and engineering practice", v.2., S.-Petersburg, May 26-28, 2005. -pp. 103-106. (in Russian)
Ключевые слова: пластины, оболочки, диски, специальные функции
Key words: plates, shells, disks, special functions
E-mail автора: [email protected]
Рецензент: Белостоцкий A.M., профессор, д.т.н., генеральный директор ЗАО «Научно-исследовательский центр СтаДиО»
